（电路与系统专业论文）任意阶无漂移全极点有源低通滤波器.pdf

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j a m m i n gu n d e rt h en o i s e e n v i r o n m e n t b e c a u s ep a s s i v er cf i l t e rc a l l o n l yi m p l e m e n tt h es p e c i a lt r a n s f e r f u n c t i o nw i t ha p i c e si nn e g a t i v ex - a x i sa n ds i n g l er a d i x ，t h ea c t i v er cl o w p a s sf i l t e ri s m o s ts u i t a b l el o wf r e q u e n c yf i l t e r ss y s t e m h o w e v e r ，a c t i v ef i l t e rw i t ht h ei m p l e m e n t m e t h o do fd i r e c ts y n t h e s i s ，m u l t i s e c t i o nc o n n e c t i o n , m u l t i l o o pf e e d b a c ka n ds oo na t p r e s e n t , b e c a u s eo fd i r e c tc o n n e c t i n gi nt h ec h a n n e l ，c a l la l li m p o r ta d d i t i v ed r i f t i n g w h i c hi sp r o d u c e db ya c t i v ed e v i c e s i nd o m a i no fs e am o n i t o r ，g e o l o g i c a lp r o s p e c t i n g ， c o n s t r u c t i o n ，b i o m e d i c i n e ，e l e c t r o c h e m i s t r ya n ds oo n , t h es y s t e ms e n s i t i v i t yi nl o w f r e q u e n c yw e a ks i g n a lt r a n s m i s s i o n ，e x a m i n a t i o ns y s t e ma n dh i 曲a c c u r a c yi n s t r u m e n t o f t e nr e a c h e su ve v e nn v s oa tt h a tt i m ea d d i t i v ed r i f t i n gh a st h es a m es e r i o u si s s u e 、v i t hn o i s e i no r d e rt or e s t r a i nn o i s ea n dd on o tc a u s en e w d r i f t i n gq u e s t i o n sa tt h es a r l l et i m e ， t h er e q u e s to fa m p l i f i e ru s e di nf i l t e rs y s t e mi sv e r ys l a s h i n ga n ds o m e t i m e se v e n c a n n o tr e a l i z e t h e r e f o r e ，i ti sv e r yi m p o r t a n tt od e v e l o pas o r to fn o n - d r i f ta c t i v el o w p a s sf i l t e rs y s t e mw i t hh i g hp r e c i s i o nt r a n s m i s s i o na n de x a m i n a t i o ns y s t e mf o rb o t ht h e i n n o v a t i o nf i l t e rt h e o r ya n dt h ea n t i - j a m m i n gd e s i g nm e t h o d t h eg o a lo ft h i sa r t i c l ei si nr e s e a r c ho fe s t a b l i s h i n gt h en o n d r i f t i n ga c t i v el o w p a s sf i l t e rs y s t e mt h e o r ya n dt h e r e a l i z a t i o nm e t h o d ，i n c l u d i n gt h et o p o l o g y ，t h e s e n s i t i v i t ya n a l y s i s ，t h ec o m p a r i s o n w i t ht h et r a d i t i o na c t i v el o wp a s sf i l t e r ，t h e m a t h e m a t i c a lm o d e la n dt h ea l g o r i t h md e s i g no ft h ep a r a m e t e ro p t i m i z a t i o n st os c a l e t h ec o n t r a d i c t i o nb e t w e e nn o i s ei nt r a d i t i o nl o wp a s sf i l t e ra n dt h ea d d i t i v ed r i f t t h em a i n w o r ka n dc o n c l u s i o ni nt h i sa r t i c l ea r c ：( 1 ) b a s e do nt h ec i r c u i to f n o n d r i f t i n ga c t i v el o wp a s sf i l t e rs y s t e m ，p r o d u c e sc o m m o n l yu s e dn o n d r i f t i n gl o w 3 山东大学硕十学位论文 p a s sf i l t e rs y s t e m sn o r m a l i z e do p t i m a lp a r a m e t e ri n7s t e p sa n ds u p p l i e sf o rt h en e e d i n g o fe n g i n e e r i n g ；( 2 ) t h ed e s i g np r o b l e m so fn o n - d r i f ta l l - p o l ea c t i v el o w - p a s sf i l t e r s b a s e do nn o ni d e a lo p e r a t i o n a la m p l i f i e r sw i t hl i m i t e d g a i na n db a n d w i d t ha r e i n v e s t i g a t e dt h r o u g hm a t h e m a t i c a lm e 斑o da n de x p e r i m e n t a lt e s t 1 1 1 er e s u l ti n d i c a t e t h a ti d e a lm o d e lo fo p e r a t i o na m p l i f i e ri sa c c u r a t ee n o u g hf o rt h ed e s i g no fn o n - d r i f t a l l - p o l ea c t i v el o w p a s sf i l t e r s n l ed e s i g nf o r m u l a sa l ea l s og i v e na n dh a v eb e e n p r o v e dc o r r e c tb yp s p i c es i m u l a t i o n s ；( 3 ) b a s e do nt h ea n a l y s i sm e t h o do ft h e n o n - d r i f t i n ga c t i v el o wp a s sf i l t e rs y s t e m ，t h en or e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es e n s i t i v i t y a n df r e ev a r i a b l e sa n dt h ed e f i n i t i o no fs t a t i s t i cs e n s i t i v i t y , t h r o u g l lt h e o r yd e d u c e ，t h e p a p e rp u t sf o r w a r da l lo p t i m u mm e t h o df o rs t a t i s t i cs e n s i t i v i t yo f t h en o n d r i f ta l l - p o l e a c t i v el o w p a s sf i l t e r s i ti sp r o v e db yl o wr a n ks y s t e mm o d a l a n di tc a r lb ed e d u c e d t h a tw h e na l lt h e ，i se q u a lt oo n et h es y s t e ms e n s i t i v i t yi sa tt h el o w e s t t h e d e c e n t r a l i z a t i o nr a t eo fr e s i s t a n c ea n dc a p a c i t a n c ei sm u c hl o w e ra n dt h es y s t e md e s i g n i sm u c he a s i e r t h es i m u l a t i o n si nt h ea r t i c l ea r ea l lc o m p i l e da n de d i t e di np s p i c ea n dm a t l a b k e y w o r d s ：n o n d r i f ta c t i v el o wp a s sf i l t e r , a m p l i f i e r ，s t a t i s t i cs e n s i t i v i t y 4 山东大学硕十学位论文 符号说明 传递函数 极点频率 极点品质因数 零点频率 零点品质因数 截止频率 阻带( s b ) 频率 增益特性 最大波纹衰减 群时延函数 ，对石的灵敏度 灵敏度测度 电阻 电容 电压 实际放大器的开环传递函数 耶 啡 绋 吃 q 略 以 k巾辨口c v a 山东大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 模拟滤波器的产生、发展及应用概述 滤波器按字面意义定义为：对已知激励提供规定响应的电路，作为- f l 学科 发展到现在己有九十年了，除了在通信领域大量使用岁 ，还在控制、雷达、人造 卫星、仪器仪表和计算机等领域有着广泛的应用。滤波器的发展经过了模拟一数 字一模拟的道路。模拟滤波器在其中占有重要地位，最早是以无源r l c 电路实现。 无源滤波器是仅由无源元件僻、三和。组成的滤波器。上世纪二十年代到六十 年代末，滤波器都是采用无源器件组合丽成的。这类滤波器的优点是：电路比较 简单，不需要直流电源供电，可靠性高；缺点是：通带内的信号有能量损耗，负 载效应比较明显，使用电感元件时容易引起电磁感应，当电感l 较大时滤波器的体 积和重量都比较大。随着电子技术的发展，特别是大规模集成电路的发展，迫切 地要求部件小型化。而c 滤波器中的电感无法适应这一要求，特别是在低频情况 下，l c 滤波器中的电感往往数值较大，造成电感具有较大体积和颇低的品质因数 以及具有较高的成本，要达到部件小型化要求就更为困难。 有源滤波器是由电阻、电容和有源元件组成的。在上世纪的五十年代，为了 减小滤波器电路的体积和成本，用有源电路代替了电感。到了上世纪六十年代， 随着高性能的运算放大嚣集成电路的出现，低成本的有源r c 滤波器被广泛使用。 有源滤波器的优点是：通带内的信号不仅没有能量损耗，而且还可以放大，负载 效应不明显，多级相联时相互影响很小，利用级联的简单方法很容易构成高阶滤 波器，并且滤波器的体积小、重量轻、不需要磁屏蔽( 由于不使用电感元件) ；缺点 是：通带范围受有源器件( 如集成运算放大器) 的带宽限制，需要直流电源供电，可 靠性不如无源滤波器高。 随着航天航空技术、现代通信技术和控制技术的发展，对系统的集成化的要 求也越来越高。由于有源r c 滤波器中的电阻集成需要占用较大的芯片面积，而且 具有非线性、相对精度差等特点，7 0 年代末期，人们开始研究取代电阻的方法。 1 9 7 7 年，采用开关电容模拟电阻获得成功。这是一种采用m o s 管和m o s 电容组成的 6 山东大学硕士学位论文 单元来模拟电阻的新方法，并由此构成了开关电容滤波器。然而，开关电容滤波 器也存在很多问题。首先，它对于来自开关和运放本身的高频噪声无能为力；其 次，由于它具有采用数据系统特性，因而奈奎斯特定理限制了它的高频应用；再 次，开关电容滤波器的中，t l , 频率较低，通常都在几十千赫兹范围内；最后，它的 动态范围也受到限制。 此后，直接用全集成连续时间滤波器处理连续时间信号成为国际学术界所关 注的课题，取得了迅速的发展。从构成原理上看，全集成连续时间滤波器大致可 分为两类；一类是全集成连续时间, ) , l o s f e t - c 滤波器。它是一种利用m o s 晶体管的非 饱和区特性构成压控可调电阻，以取得常规电阻r 的一种全集成有源c 滤波器，具 有面积小、功耗低、噪声小、设计简单、适用于高频应用等优点，但缺点是m o s 电 阻存在着严重的非线性效应。另类是全集成连续时间跨导运放一电容( o t a - c ) 滤 波器( 或称跨导一电容( t o 滤波器) 。它采用m o s 跨导或跨导运放而不是传统的运算 放大器作为有源增益器件，构成流控系统。具有工作频率商、调节方便的特点， 可与现有的m o sv l s i 技术兼容。从本质上看，全集成连续时间滤波器不需要开关 和采样，因而不受奈奎斯特定理的限制，适于高频运用，没有开关噪声和量化噪 声，无平滑噪声引入基带，也不需要抗混叠或平滑滤波器，因而是一种很具诱惑 力的器件。但它利用非线性器件的放大区特性实现线性处理，在信号幅度放大时 会产生严重的非线性失真效应，因而很多地方都还有待于进一步完善。 连续时闻电流模式电路是以电流为参量来处理模拟信号的模拟( 集成) 电路。 它的主要性能如带宽、速度、精度等继承了电流模式基本单元电路的优点，且电 路的拓扑结构，可靠性和精度等许多方面均优于电压模式滤波器。因此，连续时 间电流模式滤波器的研究自9 0 年代以来一直是国内外学术冕研究的重点前沿热门 课题。研究的内容从电流模式电流传输器滤波器、跨导运算放大器电流模式滤波 器，发展到最近的电流模式电流镜滤波器。 总之，滤波技术在现代信息科学中的基础地位是学术界所公认的，滤波技术 也已经经历了长期的发展日渐趋于成熟。但是由于科学与生产活动中的大量基础 信息承载于低频微弱信号，长期以来，低通滤波器被广泛应用于噪声环境下的信 息获取和抗干扰设计。因为无源r c 滤波器只能实现极点在负实轴上且为单根的一 山东大学硕士学位论文 类特殊传递函数“，无法适应多样性的工程要求，因此，有源r c 低通滤波器是最 适宜也是研究最多的低频滤波系统。然而目前用直接综合、多节级联、多环反馈 等方法实现的有源滤波器，由于直接串联在信道中，无一例外地会在信道中引入 由有源器件产生的附加漂移。在海洋监测、地质勘探、土建、生物医学和电化学 等领域的低频微弱信号传感、检测系统和高准确度仪器仪表中，系统灵敏度常达 “v 甚至n v 量极，这时附加漂移是同噪声样严重的问题。对于此项问题，仍有待 于进一步的研究。 1 ，2 论文工作意义 为了抑制噪声的同时不引起新的漂移问题，对滤波系统使用的放大器必然提 出非常苛刻的要求，有时甚至是不能实现的。因此，发展一种面向高精度传感与 检测系统的无信道附加漂移的有源低通滤波系统，对创新滤波器理论和抗干扰设 计方法两方面都具有普遍重要的意义。 本文目的即研究建立原理上无信道附加漂移的新型有源低通滤波系统理论及 实现方法，包括拓扑结构，灵敏度分析，与传统有源低通滤波器的比较，参数优 化的数学模型和算法设计，从而彻底解决传统低通滤波器抑制噪声的同时引起附 加漂移的矛盾。 1 3 本论文的研究内容 论文第二章介绍了模拟滤波器的基本原理，包括有源滤波器和无源滤波器， 滤波器传递函数及其实现方法，滤波器设计步骤等理论。第三章分析了无漂移全 极点有源低通滤波器的原理，包括无漂移基本节电路，任意阶全极点低通滤波器 的有源无漂移实现，并进行仿真验证。第四章分析了运算放大器极点对任意阶全 极点低通滤波器的影响。第五章对无漂移低通滤波系统的灵敏度进行了分析和验 证。第六章总结了本论文的工作，并指出了以后的工作方向。 8 山东大学硕士学位论文 第二章低通滤波器基础理论 目前滤波器式样包括：集总l c 滤波器、晶体和陶瓷滤波器、机械滤波器、微 波滤波器、集总和分布有源r c 滤波器、开关滤波器、n 通路滤波器和数字滤波器。 这些电路本质上都有相同的目的，但仍存在着差异。由于技术的多样和随之而来 的数学上的复杂化，滤波器理论和设计方法，多年来仍被看作是高度专业化的课 题。 鉴于本文研究的滤波器为低通模拟滤波器，且低通滤波器是其它形式滤波器 的基础，所以以下仅就低通滤波器展开叙述。 2 1 传递函数嘲 在线性网络分析与综合中，我们把线性网络两端变量的拉普拉斯变换之比， 称为网络函数，当所比的两个变量为零状态响应的拉普拉斯变换输出】，( s ) 和输入 x ( s ) 时，则网络函数叫做传递函数即日( s ) 即) = 端= 静m 蠢砖m - i4 - 者 ( 2 1 - 1 ) 其中m n 对任实际网络均成立，故有源滤波器的传递函数即可用( s ) 表 示。传递函数月0 ) 还可以用它的零、极点对应因式的连乘形式表示，即： 即，= k 慧监蒯 ( 2 1 - 2 ) 式中的诸零点互、极点只可以是实数，亦可以是复数。如果是复数零( 极) 点，则 必然是共扼发生的。因此，可将两个共扼零点( 极点) 对应的因子相“配对”，将日( s ) 写成下述形式： 州、卉pj 2 + c f s 4 - d t ( s ) 。r l l = 1 墨黼，”t ( 2 卜3 ) ( 2 卜3 ) 式适用于原日0 ) 的阶次( 即分母多相式的最高幂次) 是偶数的清况， 9 山东大学硕十学位论文 此时可以凑成个( j 岳m 2 ) 上述形式的二次因式。注意，如果原0 ) 分母中有两个 实根因式，亦可以将其配对而最终得到式( 2 卜3 ) 的形式。这两个实根因式的配对 即指： ( s 1 o 1 ) ( s b o 2 ) = j 2 + ( q + 吒) j + 呒吒= j 2 + a t $ + b t 如果原h ( s ) 的分母阶次为奇次，此时除具有个( r ( 聊- 1 ) 2 ) 二次型因式外， 还将剩余一个单实根极点对应的因子，从而可将日0 ) 表示为下述的形式： 即) = 鬻彝砖舞 眨h ， 其中0 ( j ) 可以为一次因子s + ，亦可以为常数雨，视日( s ) 具体表达式而 定。 有源滤波器传递函数o ) 的分子阶次总是小于或等于分母的阶次，因而在式 ( 2 卜3 ) 和( 2 卜4 ) 中，分子的二次式个数不定与分母二次式的个数相同，从而 在分子上可能会出现仅有常数项或一次项( s + 西) 形式的分子因式。 现在研究下这二项式的基本形式项。我们可以把基本形式项写成如下一般 形式： 抒( s ) = 置舞( 2 1 - 5 ) 式( 2 卜5 ) 被称为“双二次函数”，意指其分子和分母都是由s 的二次式组成。 如上所述，虽然分子可能仅为常数或一次式，但我们仍按习惯这样称呼。 另外，双二次函数还有另外一种重要的表达方式： 晰k 群淄篙 c z h ， 通常称式( 2 1 - 6 ) 中的绵为极点频率，o 为极点品质因数：吃为零点频率， q z 为零点品质因数。 比较式( 2 卜5 ) 和式( 2 卜6 ) 我们可以得n _ 2 式之间的关系： 山东大学硕士学位论文 = 如 q ，= 矗| a 埘：西 q z = 如 c 由式( 2 1 - 5 ) 和式( 2 卜6 ) 表示的双二次函数是双二次函数的一般形式。它可 作为多种有源滤波器的积木块。当各系数取不同的值时，双二次函数就可以表示 低通、高通、带通、带阻滤波器的不同传递函数。 2 2 低通滤波器定义及表征方法 低通( l p ) 滤波器的功能是让直流到截止频率的低频分量通过t 同时衰减高频 分量。这类滤波器用截止频率、阻带( s b ) 频率略、直流增益、通带( p b ) 波纹和 阻带衰减等技术指标说明。滤波器的通带定义为频率范围0 ，阻带为频率 范围( - 0 s ，过渡带( t b ) 为频率范围 5 时，增益峰就出现在坼处。所以人们称坼为极点频率，称 g 为极点品质因数。 显然，当式( 2 2 一1 ) 中k b 而为任意常数值时，其增益特性具有完全类似的 形状。 2 3 低通滤波器设计的逼近方法 本节仅简述理想低通滤波器传输特性的经典逼近方法。至于这些逼近公式的 详细推导，可参看标出的参考文献。 2 3 1 巴特沃思低通滤波器 巴特沃思函数是一种经常采用的对归一化理想低通滤波器的逼近的函数。第疗 阶巴特沃思函数为 最( ) 2 丽1 竹= 1 ，2 ，3 ， ( 2 3 1 ) 对每一个疗值，巴特沃思函数e ( 出) 的幅度平方函数具有特性：其分子和分母两者 都是具有实系数的c 0 2 的多项式，且对于所有的c o ，色( c o ) - 0 。因此，巴特沃思函 数可作为一个能实现的传递函数的幅度函数 一个，z 阶归一化低通巴特沃思滤波器的幅度函数定义为 f ( 口) 1 22 e ( 珊) 。百万1，( 2 3 - 2 ) 由式( 2 3 - 2 ) 可知，当巴特沃思滤波器的阶数聆增加时，在通带内幅度函数更 接近于1 ，过渡带更窄，而在阻带中幅度函数更接近于零。因此，可以通过选择合 7 适的刀值以满足一组预先给定的通带和阻带的条件。 归一化低通巴特沃思滤波器具有下列特性伽： 山东大学硕士学位论文 ( 1 ) 对每一个 有i 何( ，o ) 1 2 = 1 ，i h ( j 1 ) 1 2 = o 5 和l ( - ，m ) i 2 = o 。这意味着直流增益( 当 国= 0 时的幅度) 是1 ，3 d b 的截止频率是l r a d s 。 ( 2 ) 当0 时，巴特沃思滤波器的幅度函数是单调下降的。因此，i h ( j o ) i 在= 0 时有最大值。 ( 3 ) ”阶巴特沃思滤波器的前( 2 n 1 ) 阶导数在缈= 0 处为零。由于这个原因，巴特沃 思滤波器也称为最大平坦幅度滤波器。 ( 4 ) 阶巴特沃思滤波器的高频降落是每十倍频程2 0 n d b 。 2 3 2 切比雪夫低通滤波器 一个滤波器像巴特沃思滤波器那样用其全部维数来保证其在原点的幅度响应 平坦不定是最好的滤波器。在许多情况下，在整个通带上均匀的逼近更为重要。 切比雪夫滤波器就是具有这种均匀逼近特性的滤波器。切比雪夫滤波器的幅度响 应在通带内是在两个值之间波动。在通带内波动的次数取决于滤波器的阶数。波 动的幅度是一个独立的参数。 一阶切比雪夫多项式为以( ) = c 0 8 ( h c o s 。) ，且具有下列性质“1 ： 一懈髓荆引端一 ( 2 ) 对所有的疗，曲1 时峨( m ) 单调上升。 ( 3 ) 若n 为奇( 偶) 数，则巩( m ) 是出的奇次( 偶次) 多项式。 ( 4 ) ”为奇数时l 风( o ) l = o ， 为偶数时i 以( o ) i = 1 。 当蚓1 时，c o s 。国是实角度。因此，风( 国) 是实角度的余弦。且巩( m ) 在一1 和i 之间波动。当h - 1 时，c o s 。国是虚数，h ( 甜) 是实角度的双曲余弦函数，且 有1 巩( 珊) o o 。 用切比雪夫多项式构成的一个适当的滤波器幅度平方函数是 当玺奎耋璧圭耋堡丝茎 p ( 硝。诵1 ( 2 3 3 ) 式( 2 3 - 3 ) 中占是个独立的参数，它决定了切比雪夫滤波器的纹波幅度。具有上式 所给出的幅度平方函数的滤波器称为n 阶归一化低通切比雪夫滤波器。其具有下列 基本特性： ( 1 ) 对于l 脚l 1 ，p ( 脚) 1 2 在l ( 1 + 9 2 ) 和1 之间波动。在o c o - o 5 则归一化低通切比雪夫滤波器的3 d b 截止频率要比l r a d s p t z 。 ( 2 ) 当珊l 时，f h ( j c o ) 1 2 单调下降到零高频降落是每十倍频程2 0 n d b 。 ( 3 ) 棚，切比雪夫滤波器的幅度平方函数满足： 。为奇数时， l 何( 一) l ：2 7 1 + f ，。为偶数时 h ( ，。) j z ：l l + ：。 i t e ( s o ) 1 2 = l 1、“ 给定一组通带和阻带条件，就可确定纹波参数占和切比雪夫滤波器的阶数r l 。 如给出通带的最大波纹衰减k ，可由下式确定。 s ；压再：7 巧 2 3 3 椭圆滤波器 巴特沃思和切比雪夫滤波器的传递函数是一个常数除以一个多项式。也就是 说，所有的传输零点是在j = 。在某些情况下这并不理想，有一些场合，希望有 某些有限值的传输零点。在1 9 3 1 年考尔( c a u e r ) 证明，如果利用具有有限频率传输 零点的滤波器，可以获得对理想低通幅度特性的更好的逼近。他发现适当选择极 点和零点可以设计出通带和阻带两者都具有等波纹的滤波器。由于零点的位置与 经典场论中的椭圆函数有关，所以这些滤波器常称为椭圆滤波器。因为考尔首先 做了这个工作，所以也称为考尔滤波器。 椭圆滤波器的幅度函数为 山东大学硕十学位论文 ) j 22 而1 7(23-4) 式( 2 3 - 4 ) 中有理函数民( ) 有如下形式：当h 为奇数时，肛- ( n - 1 ) 2 卅篙糟搿 当n 为偶数时，k = - n 2 砖 ) = ( 2 3 5 ) ( 2 3 - 6 ) 归一化椭圆滤波器的设计和切比雪夫滤波器的设计很类似，这里就不再重复。 值得提的是归一化椭圆滤波器的传输零点在高于l r a d s 的频率上，或者说是在 阻带内。 2 3 4 贝塞尔滤波器 巴特沃思、切比雪夫和椭圆滤波器是对理想低通滤波器的幅度的逼近。在某 些工程情况中更重要的是对滤波器的相位函数的逼近。使理想滤波器的线性相位 或固定群时延条件与传递函数中的多项式联系起来的最容易的方法是首先把传递 函数写成极坐标形式。即 片( ) = r ( c o ) + j x ( c o ) = e x p - t z ( c a ) - j c p ( ( o ) ( 2 3 - 7 ) 式( 2 3 - 7 ) 中 嵋( ) = m 1 日( 酬 ( 2 3 - 8 ) 咖卜列粥( 2 3 - 9 ) 式( 2 3 - 9 ) 中妒( ) 的反正切函数是不易进行计算的。幸而，群时延函数 巾) = 塑端铲型 是有理函数，并且更适于计算。若要求有线性相位的滤波器， 函数等于常数。 6 ( 2 3 - i 0 ) 那么就要求群时延 ，一n， 兰咖 f卜| 二 兰 缒肛 矿 生耐 (“r 山东大学硕士学位论文 我们知道r ( ) 是偶函数，x ( ) 是奇函数，而偶函数的导数是奇函数，奇函 数的导数是偶函数。而且两个偶函数的积是偶的，两个奇函数的积同样是偶的。 于是，f ( m ) 为一个偶函数。此外，群时延函数f ( m ) 是两个缈2 的多项式的比。因 此，求逼近常量的口2 的问题与求在通带内逼近常量的l h ( - ，) | 的问题没有太大差 别。其主要的差别是在通带之外f ( 国) 或妒( m ) 的性能是不重要的。 2 4 双二次传递函数的实现 虽然实现高阶滤波器的方法很多，但是将个双二次有源网络级联起来实现一 个2 阶的滤波器的方法是应用最广泛的。所以此处我们单独拿出一个章节来讨论 双二次传递函数的实现方法。鉴于现在使用的实现方法已经很多而且也很完备， 所以我们此处仅是略加叙述，详细内容参见相关的参考文献。 2 4 1 连续时间有源滤波器双二次传递函数的实现 1 ) 有源r c 双二次结构 a ) 单运放或单放大器双二次( s a b ) 结构 只用单个运放的双二次有源r c 节，其运放是在单环反馈结构内接成反相( 负反 馈) 或同相( 正反馈) 模式。这种双二次节又可进一步分成低通、带通、高通和陷波 滤波器。详情参见参考文献 2 第4 2 节。 b ) 单运放一般双二次电路 与德里安尼斯( d e l y i a n n i s ) “1 正反馈负反馈电路及其相似，实质上是增加了 两条前馈路径以综合零点卿，称为德里安尼斯一福莱德( d f ) 电路。 c ) 低灵敏度多运放双二次实现”1 钉 、 由于用s a b 实现不可能达到5 0 以上的q 值，而采用多运放可使双二次有源滤波 节实现很高的q 值，且比起上述的单运放电路具有灵敏度较低，元件较易制造，极 点频率较高的优点，所以在q 值要求较高时使用广泛。 通常使用的低灵敏度多运放双二次实现方法包括二运放、三运放及四运放滤 山东大学硕士学位论文 波节。 2 ) 有源r 和有源c 双二次实现“”2 1 1 有源r 滤波器，由于它除了运放内补偿所用的小电容器外不使用其它电容器， 可以有效的减小电路尺寸和简化生产过程进而降低电路成本，因此已经被广泛的 关注和应用。 有源r 的双二次实现又有元件最少的有源r 双二次节和一般状态变量有源r 双 二次电路等实现方法。 有源c 滤波器，即是将有源r 滤波器中的所以电阻都用电容代替的m o s 滤波器。 2 4 2 有源s c 双二次结构- 2 3 1 有源开关电容( s c ) 滤波器实质上是递归式或无限冲击响应( i i r ) 式滤器，所以 这样的m o s 模拟取样数据滤波器更富于吸引力。 2 5 高阶滤波器的实现 在2 4 节中，我们讨论了二阶或双二阶滤波节的实现。这些滤波节通常用作实 现高阶滤波器的积木块。所谓高阶滤波器。是指阶次大于或等于4 的滤波器。因为 三阶滤波器能用有源双二次节简单地增添一个无源r c 网络实现 实现高阶滤波器的方法有很多也很完善，归纳起来分别属于下面五类 2 5 1 直攒综合法 直接组合法，是用一个简单的电路结构以及一些适当的r c 网络来实现一个指 定的高阶传递函数，其中的r c 网络由经典的驱动导抗综合法确定。一旦确定了所 需的驱动点导抗，设计就简单明了。但是这种方法并不实用，且会导致较差的灵 敏度。 2 5 2 级联实现 最简单的也是应用最广的实现高阶滤波器的综合方法是级联实现，即把两个 或多个基本上独立的双二次节级联起来。一个n 阶滤波器，当n 为偶数时，双二次 8 山东大学硕+ 学位论文 节的数据就是n 2 ；当n 为奇数时，则需要( n 一1 ) 2 个二阶节和一个一阶节或( n 一3 ) 2 个二阶节和一个三阶节，它们可用2 4 节中讨论的任何一个双二次电路来实现。 例如，高阶低通滤波器可以由多个双二次低通滤波器节级联来实现；高阶高 通滤波器可以由多个双二次高通滤波器节级联来实现；而对于高阶带通滤波器而 言，我们可以通过把低通滤波器节和高通滤波器节相间连接而构成。 由于级联实现时各滤波器节之间的调整是互相隔绝的，因此这种实现方法很 引人注目。还有可能设计具有外控特性的二阶滤波器节，这样可以用少数低阶的 基本组成单元来实现总的传递函数。另外。级联实现产生的电路通常要比用直接 法所得到的电路具有较小的灵敏度，且级联滤波器便于设计和调整，故这种方法 在工业上被广泛采用。 2 5 3 电感模拟法“”1 电感模拟法，即用一个象电容负载迥转器那样的有源网络模拟一个电感。这 样，经典的无源梯形无损滤波器可直接转换成有源滤波器实现，且转换后的有源 滤波器保留了无源实现的许多优点。 2 5 4 广义导抗法 它和电感模拟法类似，即经典的r l c 综合加上频变阻抗( 或导纳) 转换。这个转 换给每个阻抗乘上一个不影响传递函数的比例园子，该比例因子引入一个新的很 容易用有源网络实现的有源元件，即频交负阻器( f d n r ) 。广义导抗法的主要优点 是所用的运放数目比相应的电感模拟法所需的运放的数目少。 2 5 5 多环反馈( m f ) ( 或前馈) 法m “ 它通过把一阶或二阶滤波节连接成一个给定的多环反馈拓扑结构来实现高阶 滤波器。这种方法既能保持级联法所具有的积木化性质，实现的滤波器又能达到 由电感模拟法和广义导抗法实现的滤波器所具有的所需运放少的特性，且能提供 优良的灵敏度特性。 1 9 山东大学硕士学位论文 2 6 滤波器的灵敏度分析 在实际电路中，元器件总不是理想的，存在一定的容差或非线性等因素。另 外，一个实际元件的特性还取决于环境条件，如室温、光的强度等。因此有必要 研究，在硬件实现中使用非理想元件对系统的影响。 灵敏度是由电路参数( 如电阻值、电感值、电容值、晶体管、运算放大器的有 限的开环增益) 的变化和回转器的非理想性对输出量性能影响的量度。数学上，我 们把响应的变化( 廿) 与元件的变化( 缸) 之间的关系用下列线性方程表示： 竺：s 竺，我们定义s 为响应，对x 的变化的灵敏度。 2 6 1 单参数灵敏度 灵敏度最简单的定义是某网络函数的变化与单个电路元件或器件变化的关 系。虽然在实际电路中，许多器件是同时变化的，单元件的灵敏度用处不大，但 它是处理多参数以及统计灵敏度的基础。此处我们仅给出实际中常用到的几个单 参数灵敏度： 1 ) 传递函数的灵敏度 令h ( s ，x ) 表示网络的增益函数，而x 表示r ，c j ，墨，等中的任一个值，则h 对x 的灵敏度定义为：s ，：掣掣丝，其中日= 以s x + 力一h ( s ，功。 x x 实际上若将埘展成泰勒级数，当缸较小时仅取该级数的线性项，有 日兰塑缸：x 塑垒，经过简单计算整理我们可得到 o x墩z 掣= 筹= 篱兰寺等臣口灵敏度的经典定义，也称为波特灵敏度o 2 ) 根灵敏度 多项式根的灵敏度( 即固有频率的灵敏度) 。 此处定义根n 的灵敏度为夥= 蓑怎。夥一般是复数，而参数x 是实数a 若 山东大学硕士学位论文 p t = 仃。+ j t ，贿s ：。= s ：1 + j s t 3 ) 和q 的灵敏度 在滤波器尤其是带通滤波器中，中心频率纨和品质因数q 是两个重要的参数。 系统的和q 灵敏度的定赠：譬= 篱= 去警，蹈2 篙= 苦薏其 中t 为网络元件r ，和q 4 1 增益灵敏度的乘积 由参考文献 3 5 知，对于闭环放大器增益k 的变化引起的鳓和q 的变化，我 们可定义中心频率和q 的增益灵敏度的乘积( 以) 为：o = 髟警，e = 噼 2 6 。2 多参数灵敏度确定情况 在任何网络设计中，网络函数都是几个参数的函数。每一个参数的变化都可 对系统函数产生影响。此处我们讨论元件的相对变化给定或已知时，多个元件均 变化时系统的灵敏度。 为了简化起见，我们采用参考文献【2 】中f l j s c h o e f f l e r 提出的多参数灵敏度的定 t 义：s = 碟。其中为函数中任一个自变量的单参数灵敏度 j 。l 2 6 3 多参数灵敏度统计情况 上面我们讨论了确定情况的s c h o e f f l e r 多参数灵敏度，但实际中的元件变化往 往是不确定的，所以我们要考虑多参数统计灵敏度。它表征了系统在不同环境下 的稳定性，是系统设计的重要依据口”。 由参考文献【4 2 】可知传递函数统计多参数灵敏度测度坼的定义： 曲曲 m r = en h | h ld = l s r d m 一唧 其中e 表示求期望值的运算，q 和吐是设计者确定的频带上下限，岛是随频 2 l 山东大学硕士学幢论文 率变化的被积函数灵敏度的测度。 2 7 小结 本章通过对低通滤波器的传递函数及其实现方法，元器件对系统影响等理论 的介绍，使我们对低通滤