（应用数学专业论文）两点重设型期权的定价分析.pdf

摘要 摘要 期权是2 0 世纪7 0 年代中期美国出现的一种金融衍生工具，2 0 多年以来作为一 种风险防范和投机的有效手段而得到迅猛发展，为了吸引投资者的兴趣，许多金 融公司相继推出各种新型的期权 本文主要致力于金融学中重设型期权定价问题的研究，运用随机过程、鞅论、 随机分析等数学工具，尝试推广某些结论，试图得到更好的或者对金融实践具有 指导意义并且易于操作计算的结果具体来说，本论文共分六章来进行两点重设 型期权的定价研究 第一章介绍了期权定价理论的产生、发展、研究动态以及在经济学上的意义； 同时对本文的主要工作做了简单概括 第二章介绍了期权定价的理论基础知识：随机分析的鞅论、布朗运动、脚随 机微积分、劢公式与g i r s a i l o v 定理 第三章介绍了有关重设型期权的基本知识，其中包括重设型期权的分类、结构 以及性质 第四章首先介绍了风险中性定价原理，然后在单点重设型期权的基础上设计 了一种两点重设型期权，同时考虑股票价格在风险中性下遵循以下几何布朗运动： 搬( f ) = s o ) 【p ( f ) 一g ( f ) ) 硪+ 仃( f ) d 彬o 】，且无风险利率、股息率以及波动率为时间的 非随机函数，并借助鞅和随机分析知识给出了两点重设型期权的定价公式 第五章按照m e r t o n 的思想，用以下腑一s k o r o h o d 随机微分方程描述标的资产 价格s ( f ) 的变化：础( f ) = s ( 卜) 卉+ 口d 矿( f ) + 1 ) 由( f ) 也即，利用几何b r o w n 运 动描述只有系统风险的资产价格运动，用p o i s s o n 随机过程描述产生非系统风险的 偶然的资产价格的跳跃，并且假设跳跃幅度服从对数正态分布通过求解 肺一s k o r o h o d 随机方程，对冲系统风险运用风险中性定价方法，得到跳跃扩散型两 点重设型期权的定价公式 第六章对全文的研究内容进行了总结并指出了进一步可研究的问题 关键词：两点重设型期权，风险中性，鞅，布朗运动，泊松过程 电子科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t 0 p t i o ni sf i i m c i a ld e r i v a t e sp r o d u c t ，w h i c ho c c u r s 疗o mu s a i n 恤em i d d l eo f s e v e n t i e s i nm ep a s tt 、v od e c a d e s ，i th a sd e v e l o p e dr 印i d l ya sa i le c t i v em e a n sf o r s p e c i l l a t i n ga n da g 血s tr i s k s al o to f 血1 a r l c i a lf i 皿sh a v eb e e ni n t r o d u c i n gs o m en e w o p t i o n st oa c t i i l v e s t o l b ym e a 工l so fm a 吐1 c m a t i c a lt o o l ss u c ha ss t o c h a s t i cp r o c e s s ，m a i t i i l g a i et h c o r ya n d s t o c l l a s t i ca 1 1 a l y s i s ，t h i sp 印e rs h a l lm 削y 咖d ym a l l yr e s e to p t i o np r i c i n gp r o b l e m si 1 1 丘n 趾c i a le c o n o m y ，a 仕e n l p t st oe x t e n da n di 1 1 i l o v a t es o m eo fc o n c l u s i o n s ，a n dt r i e st o 0 b t a i ns o m eb e t t e rc o n c l u s i o l l so rt h er e s u l t sw h i c ha r ee a s yt oo p e m t ea n di n s t n l c t i v et o f i n a n c i a lp r a c t i c e ，越lt l l ec o n t e n t so fm yr e s e a r c ho nt h ep r i c i n go ft 、o - p o i n t sr c s e t o p t i o na r ed i s c u s s e di ns i xc h a p 击e r s c h a p t e ro n ei n 拄o u d u c e st h eo r i 画，d e v e l o p r n e n t ，a c a d e m i c 删a n dm e 姐i n g si n e c o n o m i c so f o p t i o n 曲c i n gm e o r y ；a tm es 锄et i m es a d z e sp r i n c i p a lw o r ko f 也i s p 印e r c h a p t e rt 、v oi m r o d u c e ss o m eb a s i ck n o w l e d g ea b o u to p t i o np r i c 访g ：b a s i cc o n c 印t s a 1 1 dt h e o r i e sa b o u ls t o c h a s t i cp r o c e s sn l e o 够s u c ha sm 枷n g a l e ，b r o w nm o t i o na n d 且6s t o c h a s t i ci n t e g r a la i l dd i 髓r e r n i a l ，脚f 0 1 m u l aa n dg i r s a n o v 廿1 e o r e m 姐ds oo n c h a p t e rt h r e e s t u d i e sb a s i ck i l o w l e 姑ea b a u tr e s e to 州o n ，i n c l u d i n gt y p e s ， g t m c t u r e sa i l df e a t u r e so fr e s e to p t i o n c h 即t e rf o u r 矗r s t l yi n 廿o d u c e sr i s k n e u 廿a lp r i c i n gt 1 1 e o 吼a do n 恤eb a s i so f s i n g l e p o i n tr e s e to p t i o n ，d e s i g n sat w o - p o i n t sr e s e to p t i o n ，a tt 1 1 es 锄et i m el m d e r c o n d i t i o nt h a tm ep r i c eo fs t o c kf 0 i l o w sg e o m e t r i cb r o w nm o t i o ni 1 1r j s k - n e u n a l c o n d i t i o n ：矗譬9 ) = s o ) 【( ，( f ) 一q ( f ) ) 函+ 盯( f ) d 彤a1 ，a i l dt h ei m e r e s tr a t eo ft l l er i s l ( 1 e s s a s s e t 、t h ev o l a t i l i t yr a t ea n dt l l ed i v i d e n dm t eo fs t o c ka r en o n 棚d o mf n c d o n so f t i m e ， t h ep r i c i n gf o n n u l ao ft 、) l ，o 。p o i n t sr e s e to p t i o ni so b t a i n e db yu s i n gm a r t i n g a l ea n d s t o c l l a s t i ca n a l y s i sh m w l e d g e f o l i o 、v i n gt i l em o u g h t0 fm e r t o n ，c h 印t e rf i v ed 印i c t st h ea s s e tp r i c em o l i o nw i t l l 肺一s k o r o h o d ( 嬲= s ( 卜) 西+ 卅矿( f ) + ( ，一1 ) 由( f ) ) ；m a ti s ，d e p i c t sm ea s s e tp r i c e i i 一一垒! ! ! 型 _ _ ，一 m o t i o nw i 也o n l ys y s t e m a t i cb yg e o m e 订i cb r o 啪m o t i o n ，a n dm ea s s e t so c c a s i o n a l j u m p 聃恤c hg e n e r a t e sn o n - s y s t e m a t i cr i s kb yp o i s s o ns t o c h a s t i cp r o c e s s ，a n ds u p p o s e s t h a tj u m ps c a l ef o l l o w sl o g n o n n a ld i s t r i b u t i o n b ys o h m o n 肺s k o r o h o ds t o c h a s t i c d i 丘b r e n t i a le q l l a t i o n ，a i l dh e d g i n gs y s t e m a t i cr i s ka 1 1 dm a k eu s eo fr i s k n e u t r a lv a l u a t i o n m e t h o d ，w eg e tt h cv a l 岫t i o nf 0 n l l l a so ft w o p o i n t so p t i o nw i t ht h ej 咖p 。d i f m s i o n p r o c e s s c h a 酏c rs i xs 眦盥e r i z e st h ew h o i et e x ta n d 啊e w sp r o s p e c to f t l l er e s e a r c h 1 哂唧o r d s ：t w o p o i n t sr e s e to p t i o n ，r i s k - n e 劬融，m 舳g a l e ，b r o w nm o t i o n ，p o i s s o n p r o c e s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：董壶生日期：乃年，月手日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名l 童益量导师签名：! 曼盎壹 日期：乃仉( ) 年1 月j e 日 第一章绪论 第一章绪论 期权的思想萌芽至少可以追溯到公元前1 8 0 0 年的汉穆拉比法典早在公 元前1 2 0 0 年的古希腊和古腓尼基国的贸易中出现了期权交易的雏形，但期权的快 速发展是2 0 世纪5 0 年代以后才开始的，真正标准化的场内期权交易还只有不到 3 0 年的历史由于期权具有良好的规避风险、风险投资和价值发现等功能，且表现 出灵活性和多样性特点故近2 0 年来，特别是九十年代以来，期权成为最具活力 的金融衍生产品，并且得到了迅速发展和广泛应用期权市场的快速发展得益于 期权理论的不断深化期权理论研究的重点在于两个方向：一个方向是如何构造 出新的期权以满足不断变化的市场投资需要；另一个方向是如何确定这些日趋复 杂期权的价值 1 1 期权定价理论的产生和发展 1 1 1b l a c k _ s c h o i e s 以前的期权定价理论研究 期权定价理论与实践并非始于1 9 7 3 年b l a c k s c h o k s 关于期权定价理论论文的 发表在此之前，许多经济学家就曾经研究过这一问题虽然某些尝试被现代标准 所取代，但没有早期的工作决不可能有后来的发展公认的期权定价理论的始祖 是法国数学家巴舍利耶1 9 0 0 年，为测定股票价格波动，他涉猎了布朗( b r o w n ) 运 动数学理论的某些方面假设一个没有漂移和每单位时间具有方差盯2 的股票价格 运动过程是绝对的布朗运动，他确定到期日看涨期权的预期价值为： c = s ( 兰二鲁) 一x 仁二和+ 6 打妒( 生釉 ( 1 1 ) o lo io l 这里烈) 和烈) 是标准正态分布函数和正态密度函数，s 是股票的价格，z 表示履 约价格，为期权有效期为与股票的零预期价格变化假设一致，他没有为得到现 值而贴现预期值令人难以理解的是，长达半个世纪之久巴舍利耶的工作没有引 起金融界的重视、直到1 9 5 6 年被克鲁辛格再次发现 以现在的标准来看，这一模型也许还是领先的它只在两个方面稍有缺陷：一 电子科技大学硕士学位论文 是绝对布朗运动的应用允许股票价格为负，这是一个与有限债务假设相悖的条件； 另一个是平均预期价格变化为零的假设，它忽视了资金的时间价值为正，期权和 股票间的不同风险特征，以及风险厌恶特征和风险厌恶程度虽然有此不足，实际 上该公式对预测短期看涨期权价格非常适用但在长期期权价格的判断中，因要 求期权价格与期限的平方根成比例增加而失败 在其后的半个多世纪里，期权定价理论上的多数发展集中于特定的经济计量 模型其中典型的例子是卡苏夫的模型，他用下式估计看涨期权价格： c ! c = x 【( y + 1 】7 1 ) 1 ， b ，则普通股价值为e b ：若砟t b ，则普通股价值为o 故普通股价值为 m 矗( 1 一日，0 ) ，这是一个看涨期权的损益( p a y o 行) ，可把普通股看成基于形，履约 价格为b ，在时刻r 到期的欧式看涨期权，时刻f 的价值为c ( k ，r f ，日) 按照资本结构无关论，债务与权益之和必定为f ，故债务价值为： d ( 1 ，r f ，功= k c ( e ，r f ，b ) 利用随机微分方程为工具，即可处理对于”的不同假设之下的资本结构 ( 2 ) 零息可转换债券的定价 设公司现有股普通股流通在外，所有的零息可转换债券可转换为”股普通 股，若所有债券全转换为普通股，则债券所有者现在将拥有y = 上i 的权益，若 h + v 形，b ，则他们将会转换，否则他们将只收回口，除非公司不抵债巧 o ) 口 ，y 称为鞅差( 下鞅差) 序列 定义2 1 3 设随机序列y = 形，”e ，若= 矗，且当门o 时，k “e ， 则称矿是可料的 定义2 。1 4 ( 鞅变换) 若x = 五，疗) ，矿= 彤，撑 为 五= 五k + 巧吗一t 一，) ，h ，z = 乙，h ，则z = 矿x 定理2 譬l 若x 为鞅( 下鞅) ，y 是可料的( 非负可料的) 则z 也是鞅( 下鞅) r v 。序列，又 z = 矿z 可积。 定理2 1 2 ( 有界停时定理) 若盖= 五， ) 为下鞅( 鞅) ，s ，丁为有界停 时，且s 兰丁，则e ( 巧j 墨) 乓( = 置) 弛 定理2 1 3 ( 极值不等式) z = 五，疗 为下轶，则对任一五 0 p ( s u p 女如爿l 五) i 瓦( 护： 碲以o 五p ( i 鸣；。五一丑垮i 五卯一e 瓦： i n f 以 一 a p ( s u p i 如j k 陋a ) s 2 。e 群一e k 第二章随机分析的有关理论 定理2 1 4 ( d o o b 不等式) 设z = 瓦，h 为鞅或非负下鞅，记 z = s u p 。i 五i ，x + = s u p 。i 五1 ，则l i x k = g s u p 。0 瓦p 1 ，p 。+ q = 1 ， 倒( 1 + s u p e i 瓦l 定理2 1 5 ( d o o b 收敛定理) x = 五，胛) 为下鞅，若s u p 点 m ，或等价 地，s u p l 甄l ，则当聍寸。o ，( 五) a s 收敛于可积r v 以 定理2 1 6 ( d o o b 分解) 若设x = 以，”) 为上鞅，则可表为鼍= 鸠一4 ， 其中肘= 坂，行 为鞅，4 = 4 ，即) 为可料递增序列，4 = 0 ，且具有这种 性质的分解是唯一的 2 2 布朗运动基础理论。2 2 - ”纠 布朗运动( b r o w nm o t i o n ) 最初是由英国生物学家布朗( r b r o w n ) 于1 8 2 7 年根 据观察花粉微粒在液体表面上作“无规则运动”的物理现象而提出的1 9 1 8 年维 纳对这一现象在理论上作了精确的数学描述，并进一步研究了布朗运动轨道的性 质，提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，这些工作使对布朗运动及其泛函 的研究得到迅速而深入的发展，而今，布朗运动及其推广已广泛地出现在许多纯 科学领域中，如物理，经济，通信理论，生物，管理科学数理统计等，同时，由 于布朗运动与微分方程( 热传导方程) 有密切联系，它又成为概率与分析联系的重 要渠道 定义2 2 1 设x = 五，o r 。 为一个随机过程，鼻= 盯( 五，o j 兰f ) ，若满 足： ( 1 ) 爿( r ) 是独立增量过程，即v o j f o ，x p + f ) 一= | ( j ) ( 0 ，c 2 f ) ，即丑0 + r ) 一z ( s ) 是期望为0 ，方差 为c 2 f 的正态分布： ( 3 ) z ( f ) 关于f 是连续函数： 皇至登堇查翌堡主堂堡堡茎 一一 则称f x ( f ) ，r 0 ) 是布朗运动或维纳过程( w i e r l c rp r o c e s s ) 当c = 1 时，称 ( r ) ，f o ) 为标准布朗运动，记为 口( f ) ，0 若曰( o ) = o ， 1 ， 则它在f 时刻的概率密度函数为z ) - 去8 。 定理2 2 1 设( 占( f ) ，f o 为标准布朗运动，令= o ，乇= o ，则当曰( o ) = o 时 对v o f 2 o ，有 e 丑( 0 ) = o ，e 徊( j ) b ( f ) = f j ，则( 曰( ，) ，f 0 是布朗运动，反之亦然 定理2 2 3 设( 曰( n f o ) 为布朗运动，则： ( 1 ) 丑) ， o ) ：( 2 ) 9 4 8 卜；，f o ) ： ( 3 ) 口2 ( 0 一f ，f o ) ：( 4 ) e m 丑+ ；22 ，o ) 都是鞅 定义2 2 3 设 b ( 0 ，f o 是标准布朗运动，记工( r ) = 砌0 ) + ，为常数， 称 z ( d ， 2 0 是带有漂移系数为及扩散系数为f 的布朗运动 2 3m 随机微积分，脚公式与g ir s a n o v 定理2 2 2 设标准布朗运动f 曰( ，) ，f o 是定义在概率空间( q ，印上的随机过程，设 ( 鼻，f o ) 是一簇单调递增的f 的子一盯域，即c 五c ，( v 屯) ，犯是，的 1 0 笙三皇堕垫坌堑箜互茎壅笙 ，一 一 子一盯域，且对v o s 蔓f ，b ( s ) 关于e 可测，e ( r ) 1 只) = b 0 ) ， 露( 口( d 一口( j ) 1 e ) ；o 定义2 3 1 设 口o ) ，i o 为标准布朗运动， g ( f ，妫聊，任取 v o 岛 那磐 ( 5 ) 胁) 嘶) = 噶( 她( 伊) 翟圭巩d 性质( 3 ) 说明了由肺积分定义的过程一定是鞅 定义2 3 2 设随机过程z ；f 墨，r o ) 满足如下的脚积分，对v 0 屯 r 丁 x o ) 一工( f o ) = f 6 ( s ，盖o ) ) 西十( 盯( 岛j o ) ) ( 扭o ) ( 2 1 ) 或等价地写作且6 微分形式 矗y ( n = 6 ( f ，x ( f ) ) 毋+ 仃( f ，盖 f ) ) 招( r ) ( 2 2 ) 电子科技大学硕士学位论文 l 其中6 ( f ，x ) ，d ( f ，x ) 是二元函数，且对垤r ，1 6 ( f ) r 仃o ) 埘，则称盖为确随机 其中，f 6 ( j ，j ( s ) ) 幽是一般的均方积分，而f 盯( j ，z ( j ) ) d 8 ( s ) 则是脚积分 定理2 3 1 ( 肺公式) 设工= z ，f o ) 满足等式( 2 1 ) ，y = 厂( ，x ) 是二元函 数，且具有连续偏导数要，罢，害令y p ) 兰厂( f ，爿( d ) ，则过程y ： 】，( 吐f o ) 也 o t c 口cm 是随机过程，且对v o 气 墙肓足如下硒积分方程： y 一y ) = f 嗟+ 曝+ 譬害，。) ) 西+ ( 以x ( 劝船( 。 或等价的微分形式： 硝( 。= ( 等+ 6 篆+ 譬窘如，( r ) ) 衍+ 盯誓( f ，x ( 。招( 。 定理2 3 2 ( 多元脚公式) 设z = 五，r o 是，z 维脚过程，满足： 翻( o = 6 ( f ) 出+ 盯础( o ，( ，= ( z ( r ，砷，五( f ，工) ) 7 是 o ，o 。) r ”哼r 4 上的函 数，其中工= ( ”一 ) ，且偏导数警，善，譬器连续，l 七列乳，胛， 则随机过程 y u ) = ，( ，工( r ) ，r o 是d 维的脚过程，且 删= 譬+ 喜嗳+ 圭喜喜喜器啪邱 + 喜c 喜m 嘞鳓， 定理2 3 3 ( 第一g i r s 蛐o v 定理) 设以r ) 为一个行维的脚过程，且 d y ( ，) ：n ( f ) 出+ 担，其中口( 力为刀维的随机过程，且菇e 归。肛 。，e 为一个 维布朗运动，令m ；e j ：毒蛾+ 瓤蠢d f 女如果在( q ，耳) 上定义一个新的概率测度q 为：署= 屿，则g 为p 的等价鞅测度，且在g 测度下y ( f ) 为一个胛维布朗运动 第二章随机分析的有关理论 定理2 3 4 ( 第二g i 玮a n o v 定理) 设y ( f ) 为一个n 维的硒过程，且 盯( r ) ；属廊+ 只啦，f 5 r ，其中尽为聊维布朗运动，屈为聍维过程，q 为个 n 州阶矩阵过程如果对九维过程q ，存在一个卅维过程q ，使得q q = 屏一q ， 且长1 i “ 。，那么，令m ：p 一：以 ( “，定义测度q 为：罢：鸩，此 时骞= 【虬西+ 皿为在一个测度q 下的小维布朗运动，且y ( f ) 在q 下可写成： d z = q 田+ q 皿，q 为p 的等价鞅测度 注：g i r s a n o v 定理讨论了布朗运动在等价鞅测度变换下的不变性，它告诉我们 随机过程在一定条件下经过适当的等价鞅测度变换后为鞅或局部鞅，这一结论在 金融数学的资产定价理论中有十分重要的应用自从血w & r o s s ( 1 9 7 8 ) 和 h a r r i s o n & 融印s ( 1 9 7 9 ，1 9 8 1 ) 【1 0 ，1 1 1 提出期权定价鞅方法以来，鞅方法已成为未定权 益定价和对冲的主要思想方法h a r r i s o n & 心e p s ( 1 9 8 1 ) 【1 1 峙旨出用等价鞅测度能够 很好的刻画证券市场的套利和完备性，证明了无套利机会隐含着等价鞅测度下的 存在当市场是完备时，等价鞅测度存在且唯一，此时任意衍生证券的现值等于 该证券未来收益折现值在等价鞅测度下的数学期望可见等价鞅测度的存在和唯 一性，是决定未定权益是否有唯一定价和市场是否是完备市场的关键 电子科技大学硕士学位论文 第三章重设型期权介绍 重设型期权是一种新奇的期权，顾名思义，就是履约价格可以调整的期权 它和一般标准期权最大不同之处在于在某些不利于持有者的情况之下，会自动调 整履约价格就买权而言，在一段特定的时间内，若标的股价下跌至一水平，期 权的履约价格可往下重设，具有下挡风险的保证：反之：对卖权而言若标的股 价上涨至一水平，期权的履约价格可往上重设，具有上挡风脸的保证此外，重 设条款的加入有助于期权市场的活跃，一般而言，期权在价平时交易最为活跃， 而在极度价外时，流动性十分低，交易冷清但若附有重设条款，使得股价不利 于期权投资者时，同步调整履约价格，可使期权接近价平的状态，应有助予期权 流动性的提升由于重设型期权较一般标准期权多提供了一项有利于持有者的条 件，理论上重设型期权的价值应高于相同条件但无重设条款的期权 3 。1 重设型期权的分类 重设型期权依是否可提前执行权利，可分为欧式重设型期权和美式蘑设型期 权：依买卖权利的性质，可分为重设型买权与重设型卖权本学位论文都以欧式 重设犁买权做一些分析重设型期权条款的设计主要有四个考量点，一是重设时 点的确定，二是重设界限的确定，三是重设执行价格的确定，四是重设条款有效 期的确定 重设型期权依重设时点、重设界限和重设执行价格可做如下分类： ( 1 ) 单一重设时点、单一重殴界限、单一重设价格 指期权在存续期间内的特定时点，可依标的股价是否满足预先确定的一个 重设界限，而决定调整履约价格，例如当期权上市后满三月当日，标的股价若 低于原履约价的9 0 ，则将履约价格调整为原履约价之9 0 ( 2 ) 单一重设时点、多重重设界限、多重重设价格 指期权在存续期间内的一特定时点，可依标的股价是否满足预先设定的多个 重设界限，而决定调整履约价格例如，当期权r 市满三月当臼，标的股价低于 原履约价格之8 5 ，则将履约价格调整为原履约价之8 5 ：若标的股价高于原履 约价格之8 5 而低于原履约价格之9 ( ，则将履约价格调整为原履约价格的9 0 ： 约价格之8 5 而低于原履约价格之9 0 ，则将履约价格调整为原履约价格的9 0 ； 第三章重设型期权的介绍 若标的股价高于原履约价格之9 0 而低于原履约价格之9 5 ，则将履约价格调整为 原履约价格的9 5 。 ( 3 ) 多重重设时点、单一重设界限、单一重设价格 指期权在存续期间内的多个特定时点，可依标的股价是否满足预先设定的一 个重设界限界限，而决定调整原履约价格。例如，当期权上市后满三月内的任一 交易日，标的股价若低于原履约价格的9 0 ，则将原履约价格调整为原履约价的 9 0 ( 4 ) 多重重设时点、多重重设界限、多重重设价格 指期权在存续期间内的多个特定时点，可以依标的股价是否满足预先设定的 多个重设界限，而决定调整履约价格。例如，当期权上市满三月内的任一交易日， 标的股价低于原履约价格之8 5 ，则将履约价格调整为原履约价之8 5 ：若标的 股价高于原履约价格之8 5 而低于原履约价格之9 0 ，则将履约价格调整为原履约 价格的9 0 ；若标的股价高于原履约价格之9 0 而低于原履约价格之9 5 ，则将履 约价格调整为原履约价格的9 5 。 另外依重设条款的有效期间可分为连续重设型期权，远期开始重设型期权，以 及提早结束重设型期权。连续重设型期权指重设条款的有效期是自发行日到到期 曰，即o ! f 7 1 ：远期开始重设型期权指重设条款的有效期是自发行曰后的某一目 到到期日，即ts f 7 ，而o t r ：提早结束重设型期权指重设条款的有效期 是自发行日到到期前的某一日，即o ，兰r ，而o k 1 k 。 k 。l dk 。s t k s t s k ，。 ( 1 )c b d 0 c oo0 s t k ，h o o i s m k e = ( 2 ) c b d i c s t k h 。s t k h 。 o 0 0 o s t r j k e = k ， ( i ) + ( 2 ) s f k n 。 s t k 一 0 s t k o i d o0 根据表3 一l 我们可以得到连续单一界限重设型期权的价格与连续单一界限下 降敲出型期权的价格和连续单一界限下降敲入型期权的价格的关系： 第三章重设型期权的介绍 c s _ r c ( s o ，r ，吒，日，k ，k 。，r ) 5 c b d c c ( 岛，r ，吒，日，k w ，丁) + c j 研c ( 氐，r ，日，。，丁)( 3 1 ) 同理我们可以得到提早结束单一界限重设型期权的价格与提早结束单一界限下降 敲出型期权的价格和提早单一界限下降敲入型期权的价格的关系。这里我们不在 用表格说明。 e e s r c ( s o ，r ，d s ，h ，k 。l d ，k 。，t ，t ) = e e d o c 哂n ，r ，a 3 ，h k ，l ，t 1 + e 龇( 瓯，吒，日，民州，r ) ( 3 - 2 ) 3 3 重设型期权的- 性质 一般的期权一旦在发行时决定履约价格之后，其履约价格即告确定，仅在股 票除权日或除息日才进行调整。因此在存续期间当中，除遇股票除权日或除息日 外，无论标的股价如何变动，其履约价格维持不变，故可称为标准型期权。 然而重设型期权与标准型期权最主要的差别，就是在于重设期权的履约价格 会随标的股价达重设条件时而进行调整，此项特性使两者在定价上有所不同。此 外，重设条件的内容包括重设期间、重设次数( 重设时点) 、重设界限以及重设的 履约价格，倘若重设条件的内容不同，也会影响重设型期权的价格与重设机率。 下面对重设概率、重设有效期、重设界限、重设次数等条件来讨论重设期权的一 些眭质。 性质1 ：假设有一个标准型期权与一个重设型期权，除了重设型期权具有重设 特性外，两个期权的其他条件完全相同，则重设型期权的价格高于标准型期权的 价格。 证明：假设有两个标准型期权，第一个标准型期权的标的股价为s ，履约价 格为丘，无风险利率为，标的股价波动率为盯，具到期日为丁一f ，则依 b l a c k s c h o i e s 模型求解此期权的价格c ( 瓦，足) 为： c ( 岛，置) = ( 4 ) 一x 8 叫”( 吐)( 3 3 ) 其札：骘= 耋竺，如：雹一盯厉，( ) 为标准正态分布函数。 第二个标准型期权，除了履约价格为o 9 足外，其他条件与第一个标准型期权相同， 则其价格c ( 氐，0 9 k ) 为： c ( 岛，o 9 k ) = 岛( ) 一o 9 肫”。( )( 3 4 ) 电子科技大学硕士学位论文 其中，；竺盎! ：彗竺生：一仃再 o j l j t 比较( 3 - 3 ) 与( 3 - 4 ) ，可以得到c ( 瓯，k ) c ( 瓯，o 9 足) 。在得知履约价分别为k 与 o 9 世的标准型期权的价格后，假设有一重设型期权，其原始履约价为世，若达成 重设条件，则履约价格变为0 9 k 。除了此项重设特性外，其他条件与第一个标准 期权完全相同。又进一步假设此重设型期权的重设概率为口，则此重设型期权的 价格c 。为： c r = ( 1 一p ) c ( ，k ) + p x c ( & ，o 9 k ) = c ( & ，k ) + p c ( 岛，o 9 k ) c ( & ，k ) ( 3 5 ) ( 3 5 ) 为( 3 3 ) 和( 3 4 ) 的线性组合，依线性代数，可知重设型期权的价格介于此两个 标准期权之间：c ( & ，世) sq c ( ，0 9 足) 得证a 性质2 ：重设履约价格相同时，重设型期权的重设概率越高，其价格就越高。 证明：假设有两个重设型期权，原始履约价格为世，若达成重设条件，则履约 价格重设为o 9 k 。假设第一个重设期权重设的概率为扔，第二个重设期权重设的 概率为岛，且p i 岛，由式( 3 5 ) 可得第一和第二个重设型期权得价格分别为g 。和 ：。 g ，l = ( 1 一p 1 ) c ( 氐，置) + p l c ( 瓯，o 9 世) = c ( 瓯，k ) + p 1 “c ( 氐，0 9 瓦) 一c ( 瓯，足) 】( 3 - 6 ) g 2 = ( 1 一j d ：) c ( & ，足) + 见。c ( 瓯，o 9 足) = c ( 墨，k ) + 兄x 【c ( 品，q 。9 x ) 一c ( 禺，k ) ( 3 7 ) 由于p 。 c ( 氐，o 9 罡) 比 较( 3 _ 8 ) ，( 3 9 ) 和( 3 - 1 0 ) 式，得到g 。 o 故知存在一个f ，使得罢兽= o ，此即 c ：= ( 1 一p + ) c ( 晶，司+ p c ( 魏，罡+ ) 为一极值，但此极值不同于前面证明的极小值，故其必定为极大值得证 前面讨论的都是股票一日的价格，为了避免股票价格被操纵，我们可以使用股 票的均价 性质6 ：均价天数愈长，重设概率愈低，重设型期权的价格愈低 证明：h l l l l 在使用b 曲i n i a l 仃e e s 方式求算新权价格时，假设期权发行日股票价 格为r ，在第一阶段结束时，股价可能上涨到瓯“，或下跌到瓯d 经由理论推导可 得h 1 ，d c l ，且”= e 。拉，d = e ”厄其中a 为每日股价波动率股价上涨的概率为 p ，p ：! 三 ，股价下跌的概率1 一p 若”为天数，则。曰均价波动率为辜， “一口 、，胛 。：。警当。愈大时，旱愈小，。愈小，p 愈大，则股价下跌的概率愈小，由性质 、f h 二可知，重设概率愈低时，重设型期权的价格愈低得证均价天数愈长，重设概率 愈低，重设型期权的价格愈低得证 电子科技大学硕士学位论文 第四章扩散型两点重设型期权的定价分析 期权是7 0 年代中期在美国出现的一种金融创新工具，2 0 多年来它作为一种防 范风险和有效的投机手段而得到迅猛发展，为了吸引投资者的兴趣，有不少券商 相继推出不同新类型的期权单点重设型卖权由g r a y 及w h a l e y 所介绍1 2 钔，本章 在单点重置期权的基础上了设计一种具有更高实用价值的重置期权一两点重设型 期权同时因为市场不稳定性，市场无风险利率，股价波动率等不可能为常数 因此本章在市场模型中考虑无风险利率、股息率以及波动率为时间的非随机函数， 并借助鞅和随机分析知识来讨论两点重置期权的定价模型 4 1 风险中性定价原理 风险中性定价是衍生证券分析中的一个重要工具它来源于b l a c k s c h o l e s 微 a ，j ，1j 2 ， 分方程：等+ 心羔+ 吉口2 s 2 豢= 矿的一个关键性质：该方程不包含任何受投资 者的风险偏好影响的变量，方程出现的变量为股票当前的价格时间、股票价格方 差和无风险利率它们都独立于风险偏好b l a c k - s c h o l e s 微分方程独立于风险偏好 这一事实使我们可以使用一个很巧妙的观点如果方程中不存在风险偏好，那么 风险偏好将不会对其解产生影响因此，在对，进行定价时，我们可以使用任何 一种风险偏好，特别是，可以提出一个非常简单的假设：所有的投资者都是风险 中性的 在一个所有投资者都是风险中性的世界里所有证券的预期收益率皆为无风 险利率因为风险中性的投资者并不需要某种补偿促使他们承担风险而且在风 险中性的世界中，将期望用无风险利率贴现可获得任何现金流的现值因此，世 界是风险中性的假设确实很大程度上简化了衍生证券的分析考虑一种衍生证券 比如欧式期权，它的盈亏状态是在丁时刻股票价格的函数首先，在股票的预期 收益为，( 无风险利率) 而非( 瞬时收益率) 的前提下，计算丁时刻衍生证券的 期望值，用，作为贴现率，将这个期望值贴现到当前时间然而风险中性的假设 仅是一个求解b l a c l ( 一s c h o l e s 微分方程的人为假设，获得的方程解对于所有的世界 第四章扩散型两点重设型期权的定价分析 都有效，而不仅仅是风险中性世界当我们从风险中性世界进入到风险厌恶世界 时会发生两件事情：股票价格的期望增长率改变了；在衍生证券任何损益中所用 的贴现率改变了然而这两件事的效果总是正好相互抵消 风险中性估值的原理其实在应用时只有一句话：今天的衍生证券的价值是其 未来预期值按无风险利率贴现的值 4 2 两点重设型期权模型 该期权实际是一种特殊的欧式看涨期权，标的资产为股票，执行时间为r ，原 定协定价为k ，在事先指定的时间q 、屯( q s h 昌一墨：，若氏k ，最： ( 4 - 1 ) 昌一足，若瓯足，置，品 足 0 ，其他 4 3 金融市场模型及测度变换 基本假设：( 1 ) 世界是风险中性的：( 2 ) 金融市场包含两种证券，一种是债券，其 价格满足如( f ) = 占( r ) ，( f ) 击，玩= 1 解微分方程得b 0 ) = 8 ”。；另一种是股票其 在风险中性下价格遵循以下几何布朗运动： d ，o ) = s ( f ) p o ) 一9 0 ) ) 衍+ 盯( f ) d 彬o 】( 4 2 ) 其中r 0 ) 是瞬时无风险利率，g ( r ) 是瞬时股息率，盯( ，) 瞬时波动率，且，( f ) 、盯2 ( f ) 以及g ( f ) 都为有界可积的非随机函数，q 为风险中性概率测度，随机过程 彬。，o sr n 是 q ，f ，q ) 上的标准布朗运动，o f n 是由 彬o ，o ，) 产 生的自然盯一域 由( 4 2 ) ，结合m 定理有：d 1 1 1 s ( 0 = ( ，( r ) 一g ( f ) 一去盯2 ( r ) ) 西+ 盯p ) d 形。 二 进而求得在q 测度下，股票价格的动态过程为： 皇王登垫查兰堡主堂垡笙塞 跗：s ( 栅申。似4 砰 为了以下求解方便，我们作如下变换： 罢：并：。胂。和肼，d 时：d 砰一盯( f ) 卉 q z 根据g i r s a j l o v 定理，r 是另一风险中性的概率测度， 彬8 ，o f n 是 q ，f ，r ) 上 的标准布朗运动；俨 靠l 】_ 酽 l 】，4 匕f 在r 下股票价格遵循如下几何布朗运动： 矗宝( r ) = s ( f ) 【( r ( 0 一g ( r ) + 盯2 ( f ) ) 出+ 盯( f ) d 彬。】 因此在盖下股票价格的动态变化为： ：s ( o ) g 肌m ) + 扣泌彬 4 4 两点重设型期权的r t ；n g a l e 定价 巧：8 一j ，( 。最 ( q ) ( 岛) ( q ) + ( q ) ( 一6 l ，q ；n ) + ( 一q ，吃；岛) ( q ) + ( 岛，一趣，乞；一见，岛，& ) 一p 一三巾冲e rg 砷6 墨【( q ) ( 趣) ( 五) + ( 一q ，6 2 ；岛) ( 五) 】一p 一( 巾冲e 一f l 仲。s ( q ) 隔，磊；n ) 一e rr ( 5 冲k ( a i ，匠，毛；一| ；0 j ，岛，n ) n ( x ，y ，z ；锄，p n ，p 拓) 为三元标准正态分