幂等矩阵的性质及应用(定稿).doc

JIU JIANG UNIVERSITY 毕毕 业业 论论 文文 设设 计计 题 目 幂等矩阵的性质及应用 英文题目 Properties and Application of Idempotent Matrix 院 系 理学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 邱望华 年 级 A0411 指导教师 王侃民 二零零八年 五月 摘摘 要要 幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛 因此对 幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义 本文主要是对幂等矩阵的一些 性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广 首先对幂等矩阵简 单性质进行了归纳总结 接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到 复矩阵以及高次幂等矩阵 然后研究了幂等变换 幂等矩阵线性组合 的幂等性 幂等矩阵线性组合的可逆性 幂等矩阵秩有关的性质 关键词关键词 幂等矩阵 性质 幂等性 线性组合 Abstract The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature Firstly this article has carried on the induction summary to its simple nature then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix Then the article studies the idempotent transformation the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices Key Words the idempotent the nature the idempotence linear combination 符号表符号表 实数域R 实数域 n 维列向量空间 n R 实数域上的 n n 阶矩阵 n n R 复数域C 复数域 n 维列向量空间 n C 复数域上的 n n 阶矩阵 n n C 矩阵 A 的转置 A 矩阵 A 的伴随 A 矩阵 A 的逆 1 A 矩阵 A 的行列式det A 矩阵 A 的秩rank A 矩阵 A 的核空间 即 N A 0 n N AxPAxP 是一个数域 矩阵 A 的值域 即 R A n R AAx xPP 是一个数域 线性空间 V 的维数dimV 线性变换的逆变换 1 T T 的值域 即 TVTTV TV 的核 即 1 0 T T 1 0 0 TTV 目目 录录 第一章 预备知识 1 1 1 幂等矩阵的概念及刻划 1 1 2 幂等矩阵的一些简单性质 3 第二章 相关的重要结论 7 2 1 幂等矩阵的等价条件 7 2 2 幂等变换 14 2 3 幂等矩阵线性组合的幂等性 17 2 4 幂等矩阵线性组合的可逆性 23 2 5 幂等矩阵的秩方面的有关性质 26 结 束 语 29 参考文献 30 第一章第一章 预备知识预备知识 1 11 1 幂等矩阵的概念及刻划幂等矩阵的概念及刻划 定义定义 1 1 对 n 阶方阵 若 则称为幂等矩阵 1 A 2 AA A 为了对一般幂等矩阵作出刻划 下面先对二阶幂等矩阵讨论 再推广到一般幂 等矩阵 命题命题 1 1 若是幂等矩阵 则与相似的任意矩阵是幂等矩阵 AA 证明 若相似于 记作 则有同阶可逆矩阵 使 AB ABPB 1 p A P 1 从而 2 B 1 p A P 1 p A P 1 p 2 AP 1 p A PB 命题命题 2 2 若是对角分块矩阵 设 AA 1 2 r A A A 则是幂等矩阵均是幂等矩阵 A i A 1 2 ir 由于每个 n 级复数域矩阵都与一个若尔当矩阵相似 据命题 1 和命题 2A 1 知 我们只需要讨论若尔当块的幂等性 若是一个 2 阶复数域矩阵 则的若尔当标准型有两种可能的形式 AA 第一种 但它不是幂等矩阵 否则有 有 1 0 2 1 0 1 0 矛盾 21 第二种 由 有 从而有 0 0 2 00 00 22 1122 或 1 或 1 于是该情况有四种可能的形式 0 2 0 00 00 10 00 10 01 00 01 1 据命题 1 于是得到 定理定理 1 1 是二阶幂等矩阵 则是零矩阵或单位矩阵或形如 19 AA 1 ab ca 证明 由以上讨论知相似于 1 式中的四个矩阵之一A 若 显然有 0 1A 00 00 A 00 00 若 显然有 0 2A 10 01 A 10 01 若 则有可逆矩阵 0 3A 10 00 P 12 34 1423 P 因为可逆 使 A 1412 14231423 1 3423 14231423 10 00 ab PP cd 则有 即 1da A 1 ab ca 对剩余的一种与此有同样的结果 设 由 有这是不可能 1 1 2 1 n nJ 2 nn JJ 2 21 的 于是有 命题命题 3 3 当时 阶若尔当块不具有幂等性 即 2n n n J 2 nn JJ 因此 若是幂等矩阵 则的若尔当标准型如下 AA 1 2 00 00 00 n r J 据命题 1 即有 2 nn JJ 2 1 2 ii ir 于是 或 1 0 i 于是我们得到如下定理 定理定理 2 2 是阶幂等矩阵 当且仅当存在阶可逆矩阵 使AnnP 得 其中是主对角线上元素为 0 或 1 的对角矩阵 1 APJP J 1 21 2 幂等矩阵的一些简单性质幂等矩阵的一些简单性质 性质性质 1 1 方阵零矩阵和单位矩阵是幂等矩阵 E 性质性质 2 2 方阵是幂等矩阵 且可逆 则 AAAE 因为 则 2 AA 121 AA AA AE 据此易知 可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵 即 如果存在的话 是幂等 1 A 矩阵 因为 1 AEAE 性质性质 3 3 若是实幂等矩阵 则都是幂等矩阵 A A EA A 证明 对 A 22 AAA 对 有EA 22 22EAEAAEAAEA 对 先证明对任意两个幂等矩阵 有关系式 A A B 2 ABB A 由公式有 Cauchybinet A i j ABBij 矩阵的第行第列代数余子式 1 det 1 1 1 1 1 1 ij ABjjniin 1 1 det 1 1 1 1 1 1 n ij k Ajjnkkn det 1 1 1 1 1 1 Bkkniin 11 nn jkkikijkij kk A BB AB A 于是 2 2 AAAAA AA 性质性质 4 4 若是复数域上的幂等矩阵 则也是幂等矩阵 A A EA 证明 222 AAAAAA 22 22EAEAAEAAEA 性质性质 5 5 若是幂等矩阵 则的特征值只能是 1 或 0 AA 即知幂等矩阵是半正定矩阵 证明 由 知 2 AA 2 A 是的特征值01 或 由此易知 幂等矩阵是半正定矩阵 性质性质 6 6 若是幂等矩阵 设是的最小多项式 A A 则 从而可对角化 且其若尔当标准型为 1 或或 1 A 0 00 r E 其中是 阶单位矩阵 是的秩 r ErrA 证明 由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式 据性质 5 知 1 或或 1 又最小多项式是互素的一次因式的乘积 故可对角化 性质性质 7 7 若是幂等矩阵 则 其中 17 A N AR EA 0 n N AxCAx nn R EAxCxEA y yC 证明 由 有 立即知 2 AA 0A EA 的阶列向量都是的解EA n0AX 故有 R EAN A 又对 有 aN A 0 AaaAaEA aEA a aR EA 由的任意性知 a N AR EA 于是有 N AR EA 同样地 有结论 N EAR A 性质性质 8 8 若是幂等矩阵 对任意实数 则是可逆矩阵 A 0 1 a a AaE 证明 由有 2 AA 2 1 1 AAa aEa aE 1 1 AaEAaEa aE 又由 有0 1a 1 1 1 AaEAaEE a a 故可逆 且 AaE 1 1 1 1 AaEAaE a a 性质性质 9 9 任一秩为 的幂等矩阵可分解成 其中是秩为 的rn n AACB Cr 矩阵 且 其中是 阶单位矩阵 n r r BCE r Er 证明 由性质 6 知 存在阶可逆矩阵使nP 1 0 00 r E P AP 则 1 0 0 000 rr r EE APPPEP 记 显然满足要求 0 0 r r E CPBE B C 性质性质 1010 任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积 证明 因为 故结论成立 11 00 0000 rr EE APPPP 性质性质 11 11 若均为阶幂等矩阵 且 则与 A Bn n ABBA ABA B 均为幂等矩阵 证明 据题意有 222 ABABABAABBA BAB 2222 A BBABABABABAB ABAA B 第二章第二章 相关的重要结论相关的重要结论 本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件 幂等变换 线性组合 的幂等性 线性组合的可逆性 秩方面的有关性质等有关问题 2 12 1 幂等矩阵的等价条件幂等矩阵的等价条件 经过参考多篇文献 并进行归纳和推理可以得出以下定理 定理定理 1 1 设是的实矩阵 则下列命题是互相等价的 An n 1 是幂等矩阵 A 2 是幂等矩阵 A 3 是幂等矩阵 EA 4 对任意的可逆矩阵 是幂等矩阵 P 1 P AP 5 是对合矩阵 满足的矩阵称为对合矩阵 2BAE 2 BE B 6 N AR EA 7 R AN EA 8 rankrank AEAn 9 0R AR EA 10 0N AN EA 11 n RR AR EA 12 n RN AN EA 以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件 经过研究和分析知 对复幂等矩阵也 有平行的结论 定理定理 2 2 设是的复矩阵 则下列命题是互相等价的 An n 1 是幂等矩阵 A 2 是幂等矩阵 A 3 是幂等矩阵 EA 4 对任意的可逆矩阵 是幂等矩阵 P 1 P AP 5 是对合矩阵 满足的矩阵称为对合矩阵 2BAE 2 BE B 6 N AR EA 7 R AN EA 8 rankrank AEAn 9 0R AR EA 10 0N AN EA 11 n CR AR EA 12 n CN AN EA 证明 1 2 由知 2 AA 22 AAA 反过来 222 AAAAA 1 3 必要性 在 1 2 节性质 3 中已经给出了证明 充分性 2 EAEA 22 2EAAEAAA 1 4 由 知 2 AA 1211121 P APP AP P APP A PP AP 反过来 12111121 P APP APP AP P APP A PP AP 2 AA 1 5 由 有 2 AA 2 B 2 2 AE 2 44AAEE 反过来 222 44BEAAEEAA 1 6 必要性 在 1 2 节性质 7 中已经给出了详细证明 充分性 对有 n aR 故 EA aR EAN A EA aN A 于是有 2 0 0A EA aAA a 由的任意性得 a 2 AA 1 7 必要性 由知 有 2 AA AaR A 0 EA AaAaN EA R AN EA 又 有 aN EA 0EA a 于是 aAaEA a AaR AN EAR A 故有 R AN EA 充分性 对 有 n aR AaR AN EAAaN EA 于是有 2 0 0EA AaAA a 由的任意性得 a 2 AA 1 8 必要性 由知 2 AA N AR EA 于是有 dim dim N AR EA 即有 rankrank nAEA 亦即 rankrank AEAn 充分性 由 易知 rankrank AEAn dim dim N AR EA 又对 有 aN A 0Aa 则有 EA aaAaa 由知 EA aR EA aR EA 即有 N AR EA 据 式知 N AR EA 再由 6 得 2 AA 8 9 必要性 由 即知 rankrank AEAn dim dim R AR EAn 又对 有 n aR aAaEA a 而 AaR A EA aR EA 故 n CR AR EA 又 dimdim dim dim n CR AR EAR AR EA n 故有 dim 0R AR EA 于是 0R AR EA 充分性 由 有 0R AR EA dim dim R AR EAn 即有 rankrank AEAn 9 10 必要性 由上面的证明知由 9 有 6 和 7 再把 6 和 7 代入到 9 立即得 到 10 充分性 同理可证 9 11 这是显然的 1 10 12 这是显然的 1 定理定理 3 3 设是秩为 的矩阵 则是幂等矩阵存在阶可逆矩阵 Arn n A nP 使 1 0 00 r E P AP 证明 必要性 在 1 2 节性质 6 中已给出了证明 充分性 由 有 1 0 00 r E P AP 1 0 00 r E APP 则 2111 000 000000 rrr EEE APPPPPPA 以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论 下面来对高次幂等矩阵进行有关 的讨论 定理定理 4 4 设是三次幂等矩阵 即 且满足 A B 33 AA BB ABBA AB 记 则 CAB 3 0CCAB AB 证明 由矩阵是幂等可交换的 于是可同时对角化 即存在可逆矩阵 A B 6 使得均为对角矩阵 而且它们对角元素分别是的特P 11 12 P APP BP A B 征值 从而有 11 12 APPBPP 进而 1 12 CPP 于是 可以等价为 3 CC 3223 33 1 2 iiiiiiii in 其中分别是的对角元 ii 12 又由知的特征值只有 0 1 1 3 0 1 1xxx A B 即 333 1 2 iiii ir 于是等价为 3 CC 22 0 1 2 iiii ir 即 22 1212 O 因此等价为 3 CC 0AB AB 注注 当 立即有 同样地 对 为正整数 2 AA 32 AAA k 2k k AA 即任意的二次幂等矩阵均为次幂等矩阵 因此可得以下推论 k 推论推论 设是二次幂等矩阵 且满足 记 A BABBA AB CAB 则 2 0CCAB AB 引理引理 1 1 对任意两个同阶矩阵 有 1 A Brank rank rank ABAB 引理引理 2 2 设为矩阵 满足 则有 1 A Bn n ABO rankrankABn 定理定理 5 5 设矩阵满足且可逆 A 3 AA A 则且 2 AE rankrank rank 2AAEAEn 证明 由可逆 有 3 AA A 13 12 AAAAAE AEAEO 于是据引理 2 有 1 rank rank AEAEn 又据引理 1 有2 EEAEA rank 2 rank nEEAEA rank rank EAEA 2 rank rank AEAE 有 1 式和 2 式有 rank rank AEAEn 由于可逆知 Arank An 因此有 rankrank rank 2AAEAEn 定理定理 6 6 设矩阵满足 则都是此幂等矩阵 A 2 k AA k A A A k 证明 对 A kk AAA 对 A kk k AAAAA 个 对 A kkk AAAA 定理定理 7 7 设矩阵满足 A 2 k AA k 则的特征值为 0 和 A 22 cossin 0 1 2 11 m mm imk kk 证明 由 有 k AA 其中是矩阵的特征值 解方程 k A k 可得 22 0cossin 0 1 2 11 mm imk kk 以及 2 22 2 幂等变换幂等变换 数域上维线性空间的全部线性变换组成的集合对于线性变换的加FnV L V 法与数量乘法构成上的一个线性空间 与数域上阶方阵构成的线性空间FFn 同构 特别地 与幂等矩阵对应的是幂等变换 因此为了讨论和探索幂等矩阵 n n F 的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质 定义定义 1 1 设是线性空间的一个线性变换 若 则称是幂等变换 TV 2 TT T 由于矩阵与变换间存在一一对应的关系 因此前面所提到的性质和结论可以平 移到幂等变换上来 限于篇幅 下面只举几个例子 性质性质 1 1 可逆的幂等变换是恒等变换 证明 恒等变换与单位矩阵相对应 因此该性质与 可逆的幂等矩阵为单位矩 阵 一致 性质性质 2 2 若是幂等变换 则也是幂等变换 其中是恒等变换 TT 性质性质 3 3 是幂等变换为对合变换 T 2T 其中线性变换满足 则称是对合变换 T 2 T T 性质性质 4 4 是线性空间上的幂等变换 则 TV 1 0 VTVT 我们知道 对于一般的线性变换来说 虽然 但未必 1 dimdim 0 dimTVTV 有 这样的例子很多 1 0 VTVT 例如 在线性空间中令 则微分变换是一线性变换 其 nP x f xfx 1 值域为 其核是子空间 它们的维数分别是 但显然 1 nP x P1 1n 1 nP x P nP x 性质性质 5 5 设和是维线性空间上的线性变换 且 TUnV 22 TT UU 如果 则 2 TUTU 0TUUT 证明 由 2 TUTU 可得 0TUUT 对 式左乘 得 T 0TUTUT 对 式右乘 得 T 0TUTUT 比较 和 得 TUUT 代入到 式得到 20TU 于是就有 0TUUT 性质性质 6 6 设 是维线性空间上的线性变换 且 TUn 22 TT UU 则 1 TVUVTUU UTT 2 11 0 0 TUTUT UTU 证明 1 对有 aV UaUVTV 故使 V UaT 从而 2 TUaTTUa 因此有 TUU 同样可证得 UTT 据可知 TUU UTT 对 有TaTVV TaUTaU TaUV 故 TVUV 同样可证得 于是 UVTV TVUV 2 对 作向量 据 有 aV aTa 11 0 0 TU 故 T aTa 2 0TaT aTaTa 11 0 0 aTaTU 从而有 0U aTa UaUTa UTU 同理有 TUT 对 有 1 0 aT 0Ta 据 有 TUT UTU 1 0 0 UaUTaaU 即有 11 0 0 TU 同理可得 11 0 0 UT 故有 11 0 0 TU 2 32 3 幂等矩阵线性组合的幂等性幂等矩阵线性组合的幂等性 在本节中 我们将给出两个幂等矩阵线性组合仍是幂等矩阵的一 12 Pc Ac B 些充分条件 引理引理 1 1 设 为的整数 且 15 2 0 0 n nl A BCAABB l2 ABBA 则存在 使为幂等矩阵的充要条件是 12 0c cC 12 Pc Ac B 2 21 112 11 2 cc AEBBB ccc 证明 22 1212 PPc Ac Bc Ac B 令 222 22111 21 2 c Bc Bcc Ac c ABc c BA 1 2 1 c c 2 2 11 1 2 2 c BBAABAEB cc 据引理 1 下面将给出是幂等矩阵的十组充分条件 为了简化过程 先 12 Pc Ac B 令 0 0 s 1 1 1 l sx xxC 21 sx xyz y zs 012 ssss 定理定理 1 1 设 8 2 0 0 2 n nl A BCAABBllZ ABBA 若及满足下列任意 12 0 c cC 1 3 1 2 1 i c u vs uveas c 12 c c A B 一个条件 则必为幂等矩阵 12 Pc Ac B 0s 且 12 1 1 c c u 0 0ABB uEB 证明 由易知0 0ABB uEB 1 2 ABB uEB u 又由和知 12 1 1 c c u 0 2 AEB 2 2 11 1c BB cc 满足引理 1 故此时为幂等矩阵 12 Pc Ac B 且 12 1 1 c c u 0 0EA BB uEB 证明 由易知 0 0EA BB uEB 2 1 22 0ABBBB u 将它们相加得 2 1 2ABBB u 又由 可得 12 1 1 c c u 0 2 2 11 1 2 c AEBBB cc 满足引理 1 故此时为幂等矩阵 12 Pc Ac B 且 12 1 1 c c u 0 0EA B uEBABuEB 证明 由条件易知 0B uEBABuEBAB uEB 将它们相加后 再乘以可得 1 u 2 1 2ABBB u 又由知 12 1 1 0c c u 2 2 11 1 2 c AEBBB cc 满足引理 1 故此时为幂等矩阵 12 Pc Ac B 1s 且 12 1 1 0 1c caaa u 0 0EA BA uEB 证明 由条件易知 BAB ABuA 从而有 22 BuA BuAu uAuB 即 故有 2 BuB 11 2 1 1 1 1 a ua u BBBuBB aaaa 结合上式有 2 22A uEBuAABABABABB 1 2 1 1 2 a u A uEBBB aa 从而可得 2 AEB 2 2 11 1c BB cc 满足引理 1 故此时为幂等矩阵 12 Pc Ac B 且 12 1 1 u c c v v 0 0A uEBEA B vEB 证明 由知 从而 0A uEB uAAB 2 2A uEBuAAB 2uAuAuA 即 2 A uEBuA 又由可得 0EA B vEB 2 B vEBAB vEBvABAB 又因为 代入上式可得 22 ABuA ABAB BuABu A 2 B vEBuvAu A 即有 2 B vEB A uvu 结合有 2 A uEBuA 2 B vEB A uEB uv 即有 1 2 11 1 2 11 v A uEBBB uvuv 又由知 12 1 1 u c c v v 2 2 11 1 2 c AEBBB cc 满足引理 1 故此时为幂等矩阵 12 Pc Ac B 且 12 1 v c c uv uv 0 0EA BA uEB vEB 证明 由知 从而 0EA B ABB 2 22A uEBuAABuAB 又由展开得 0A uEB vEB 2 0ABuv ABuvA 又 结合上式可得 22 ABB ABAB BB 2 0Buv BuvA 故 2 uv BB A uv 代入到得 2 2A uEBuAB 2 A uEB 2 2 uv BB B v 即 2 1 2 uv A uEBBB vv 又由 可得 12 1 v c c uv uv 2 2 11 1 2 c AEBBB cc 满足引理 1 故此时为幂等矩阵 12 Pc Ac B 且 12 1 1 u c cuv v v 0 0A vEBEA B vEB 证明 由知 从而 0A vEB ABuv A 2 A uv EB 2 uv AABuv A 又先把展开可得 0EA B vEB 2 0B vEBvABAB 又将及 代入到上式可得 ABuv A 22 ABAB Buv ABuvA 2 0B vEBv uv AuvA 即有 代入到 可得 B vEB A uv u 2 A uv EB uv A 2 1 2 v A uv EBBB uu 从而由知 12 1 u c cuv v v 2 2 11 1 2 c AEBBB cc 满足引理 1 故此时为幂等矩阵 12 Pc Ac B 且 12 c c u 2 0 0 A uEBuEBEA BuEB 证明 由知 0A uEBuEB 22 0Au Euu BB 由知 2 0EA BuEB 222 AuBBBuEB 将上面两式相加并乘以可得 1 u 22 1 AuEBBuEB 又满足 结合上式可得 3i e 22 1 12 2 AuEB 2 11 BB u 从而由 知 12 c c u u 2 2 11 1 2 c AEBBB cc 满足引理 1 故此时为幂等矩阵 12 Pc Ac B 2 2s 且 1 2 1 1 c c u 0 0A uEBB uEB 证明 由知 0 0A uEBB uEB 1 22 0 AuEBB uEB u 即 2 1 22 AuEBBB u 从而由 知 1 2 1 1 c c u 2u 2 2 11 1 2 c AEBBB cc 满足引理 1 故此时为幂等矩阵 12 Pc Ac B 2 0 1 2 s 且 1 2 1 u c c v v 0 0A uEBEA B vEB 证明 由知 0A uEB ABuA 从而 22 ABuABu A 2 A uv EB 2 uv AABuv A 又由展开得 0EA B vEB B vEBAB vEB 据知 22 ABuABu A 22 AB vEBvABABuvuA 结合上式可得 2 uvuAB vEB B vEB A uv u 代入到可得 2 A uv EB uv A 2 1 2 B vEBv A uv EBBB uuu 又由 知 1 2 1 u c c v v uv 2 2 11 1 2 c AEBBB cc 满足引理 1 故此时为幂等矩阵 12 Pc Ac B 2 42 4 幂等矩阵线性组合的可逆性幂等矩阵线性组合的可逆性 在本节中 我们将给出两个幂等矩阵的线性组合矩阵可逆的一些条件 12 c Ac B 并给出一些相关的结论 引理引理 1 1 设矩阵是阶方阵 则可逆 3 An n A 0N A 定理定理 1 1 设矩阵均是幂等矩阵 即 若存在两个非零复数 A B 22 AA BB 1 2 k k 且使得可逆 则对所有的复数 满足 则线性组合 12 0kk 12 k Ak B 1 2 c c 12 0cc 都是可逆的 12 c Ac B 证明 设且 1212 0 0c cC cc 12 0cc 对 有 12 xN c Ac B 12 0c Ac B x 即有 12 c Axc Bx 将上式两边依次左乘 可得 A B 12 c Axc ABx 12 c BAxc Bx 比较上面三个式子可得 BxABx AxBAx 又由于 故 222 12112122 k Ak Bk Ak k ABk k BAk B 222 12112122 k Ak Bxk Axk k ABxk k BAxk Bx 将代入上式可得 BxABx AxBAx 2 12 k Ak Bx 22 112122 k Axk k ABxk k BAxk Bx 112212 k kkAxk kkBx 1212 kkk Ak B x 由于可逆 将上式两边左乘得 12 k Ak B 1 12 k Ak B 121212 kkxk Ak Bk Axk Bx 再左乘得 A 1212 k Axk Bxk Axk ABx 即有 代入可得AxABx 12 c Axc ABx 12 00ccAxAxABx 注意到 式有 因此由 式可得0Bx 但 所以 12 0kkx 12 0kk 0 x 因此 由引理 1 知是可逆的 12 0N c Ac B 12 c Ac B 在定理 1 中令 立即有 12 1cc 推论推论 1 1 设矩阵均是幂等矩阵 即 若可逆 则 A B 22 AA BB AB 对所有的复数 满足 线性组合都是可逆的 1 2 c c 12 0cc 12 c Ac B 定理定理 2 2 设矩阵均是幂等矩阵 对任意的复数 下列命题等价 18 A B 1 2 c c 可逆 AB 及可逆 12 c Ac B EAB 证明 对 由定理 1 的证明过程知 12 xN c Ac B BxABx AxBAx 故 22222 0ABxAABBABxA xABxBAxB x 又由可逆 故 AB 0 x 因此 12 0N c Ac B 由引理 1 知 可逆 12 c Ac B 同样地 对 两边左乘 得 0 xN EABEAB xxABx A AxABxxBAxBx 所以 2 0ABxAxABxBAxBx 又由可逆知 AB 0 x 所以 0N EAB 由引理 1 知可逆 EAB 对 有 xN AB 0AB x AxBx 则 AxABx BAxBx 所以 121212 c Ac B EAB xc Ac Bc ABc BAB x 22 0c Bxc BAx 0 x 由及可逆 知 12 c Ac B EAB 0N AB 由引理 1 知可逆 AB 在定理 2 中令 立即有 12 1cc 推论推论 2 2 设矩阵均是幂等矩阵 下列命题等价 A B 可逆 AB 及可逆 AB EAB 定理定理 3 3 设矩阵均是幂等矩阵 满足 18 A B 1212 0 0c cC cc 12 0cc 则可逆及可逆 12 c ABc BA 12 c Ac B EAB 证明 由 22 12121212 c Ac B EABc Ac Bc Ac BAc ABc B 12 c ABc BA 可见可逆及可逆 12 c ABc BA 12 c Ac B EAB 2 52 5 幂等矩阵的秩方面的有关性质幂等矩阵的秩方面的有关性质 定理定理 1 1 设是的复幂等矩阵 则 5 A Bn n 1 rank rankrankrankrank 00 ABBA ABBA BA 2 rank rank rankABAABBABABB 3 rank rank rankABBABBAABAA 定理定理 2 2 设为 Hermite 矩阵 即 且对某个有 n n AC AA kN 2k AA 则 rank Atr A 证明 设 分别是矩阵的特征值和相应的特征向量 rank Ar x A 则是实数 且 1 2212kkk AxxA xAxx 从而有 又 21 1 0 k x 0 x 于是 由是实数 21 1 0 k 所以 故结论成立 11 1 0 rrn 推论推论 1 1 设 且 则 n n AC 2 AA rank Atr A 其实 该结论在 1 2 节中已经很明朗了 定理定理 2 2 设为 Hermite 矩阵 且存在某个 10 1 2 2 n n i ACim m i kN 使 又对某个正整数 有 2 i k ii AA t 2 11 t mm ii ii AA 则 111 rankrank mmm iii iii AAtrA 证明 由定理 1 可知 rank ii Atr A 11 rank mm ii ii AtrA 于是有 1111 rank rank mmmm iiii iiii AtrAtr AA 推论推论 2 2 设为 Hermite 矩阵 且存在某个 1 2 2 n n i ACim m i kN 使 又为幂等矩阵 2 i k ii AA 1 m i i A 则 111 rankrank mmm iii iii AAtrA 推论推论 3 3 设为幂等矩阵 且为幂等矩阵 1 2 2 n n i ACim m 1 m i i A 则 111 rankrank mmm iii iii AAtrA 推论推论 4 4 设为 Hermite 矩阵 且存在某个 1 2 2 n n i ACim m i kN 使 又 则 2 i k ii AA 1 m i i AE 11 rankrank mm ii ii AAn 推论推论 5 5 设为 Hermite 矩阵 且 1 2 2 n n i ACim m 1 m i i AE 则 11 rankrank mm ii ii AAn 定理定理 3 3 设及的特征值均为实数 且存 10 1 2 2 n n i ACim m 1 m i i A 在使 又对某个正整数 有 i kN 2 i k ii AA t 2 11 t mm ii ii AA 则 111 rankrank mmm iii iii AAtrA 定理定理 4 4 设及的特征值均为非负实数 且 20 1 2 2 n n i ACim m 1 m i i A 存在使 又对某个正整数 有 2 ii kNk i k ii AA t 11 t mm ii ii AA 则 111 rankrank mmm iii iii AAtrA 结结 束束 语语 本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推 广 如本文首先对幂等矩阵下定义和刻划并对其简单性质进行了归纳总