（基础数学专业论文）hom余代数上的hom余模及homhopf模结构.pdf

h o r n 一余代数上的h o r n 余模g h o m h o p f 模结构 摘要 本学位论文主要分为三部分 第一部分 首先 在h o m 代数 h o m 余代数 h o m 双代数 弱单位 弱余 单位和h o m h o p f f 数的概念的基础上 给出对极的性质 其次 给出h o m h o p f 模 结构 得至l j h o m h o p f 模结构定理 第二部分 首先引进h o m 余模余代数的概念 给出它的一些性质 并讨论了 由余模余代数如何构造出h o m 余模余代数 进一步地 利用h o m 余模余代数构 造h o m s m a s h 余积 证明其是h o m 余代数 其次给出h o m h o p f 模余代数的定义 相应地 给出两个例子 最后给出使h o m 模余代数成为h o r n h o p f 模余代数的充 要条件 第三部分 在h o m a c 中定义余卷积 其中a 是h o m 一代数 c 是h o m 余代 数 由此构造含在h o m a c 中的h o m 余代数 进一步 由余卷积构造的h o m 余 代数和卷积构造的h o m 代数成为h o m 双代数或是h o m h o p 玳数 关键词 h o m 余代数 h o m 余模余代数 h o m s m a s h 余积 h o m h o p f 模 余卷 积h o m 余代数 l i i 7 j 0 jj h r 1 j 一i i 一 一 t heh o m c o m o d ul ea ndh o m h o p fm o d ul e s t r u c t u r eo v e rh o m c o a l g e b r a s a b s t r a c t t h i st h e s i si sm a i n l ym a d eu po ft h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r t b a s e do nt h ed e f i n i t i o n so fh o m a l g e b r a s h o m c o a l g e b r a s h o m b i a l g e b r a s w e a ku n i t s w e a kc o u n i t sa n dh o r n h o p fa l g e b r a s w eg e ts o m ep r o p e r t i e s a b o u ta n t i p o d e s t h e n w ed e f i n eh o m h o p fm o d u l e s a n do b t a i nt h es t r u c t u r et h e o r e m o fh o m h o p fm o d u l e s i nt h es e c o n dp a r t f i r s t l y w ed e f i n eh o m c o m o d u l ec o a l g e b r a sa n dg e ts o m e p r o p e r t i e sa b o u tt h e m a n ds t u d yh o wt og e th o m c o m o d u l ec o a l g e b r a sb yc o m o d u l e e o a l g e b r a s i na d d i t i o n w ec o n s t r u c th o m s m a s hc o p r u d u c t sb yh o m c o m o d u l ec o a l g e b r a s a n dp r o v eh o r n s m a s hc o p r u d u c t sa r eh o r n c o a l g e b r a s s e c o n d l y w ed i f i n e h o m h o p fm o d u l ec o a l g e b r a sa n dg i v et w oe x a m p l e s l a s t l y w eg i v et h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hm a k eh o m m o d u l ec o a l g e b r a si n t oh o m h o p fm o d u l e c o a l g e b r a s i nt h et h i r dp a r t t h ec o c o n v o l u t i o n sa r ed e f i n e di nh o m a c w h e r eai sa h o m a l g e b r a a n dci sah o m c o a l g e b r a a n dh o m c o a l g r a sc o n t a i n e di nh o m a c a r ec o n s t r u c t e d f u r t h e r t h eh o m c o a l g e b r a sc o n s t r u c t e db yt h ec o c o n v o l u t i o n sa n d h o r n a l g e b r a sc o n s u u c t e db yt h ec o n v o l u t i o n sb e c o m e e i t h e rh o r n b i a l g e b r a so rh o r n h o p fa l g e b r a s k e y w o r d s h o m c o a l g e b r a s h o r n c o m o d u l ec o a l g e b r a s h o r n s m a s hc o p r o d u c t s h o m h o p fm o d u l e s c o c o n v o l u t i o nh o m c o a l g e b r a s i l 皇 嘈 j jj j 一j j i j 一一 目录 摘要 i a b s t r a c t i i 目录 i i i 1引言 1 2 h o m h o p f 模结构 3 2 1 h o r n h o p f 代数 3 2 2 h o r n h o p f 模 j 9 3h o r n 余模余代数及h o m h o p f 模余代数 1 6 3 1h o m 余模余代数的概念及性质 1 6 3 2 h o m s m a s h 余积 2 0 3 3 h o r n h o p f 模余代数 2 3 4 余卷积h o m 余代数 2 9 4 1余卷积h o r n 余代数 2 9 4 2h o r n 余模作用 3 7 参考文献 3 9 致谢 工 4 1 在学期间的研究成果及发表的论文 4 2 浙江师范大学学位论文独创性及使用授权声明 4 3 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 h i 一 1引言 h o p 玳数是数学中最活跃的研究方向之一 它是人们在研究拓扑时被发现 的 二十世纪四十年代 h o p f 在研究拓扑群中的上链时发现了既有代数结构又有 余代数结构的现称之为h o p f 代数的一种代数表示系统 h o p 玳数在上世纪五十 年代又被c a t i e r 和h a r g e m d e n 等人研究过 当时称之为h y p e r a l g e b r a 直至u 1 9 6 5 年 m i l n o r 和m o o r e 在文献 7 中将上述概念正式称之为h o p 玳数 此后h o p f f 弋数引起 了数学家的广泛重视 取得了丰硕的成果 作为代数的推广 起先h a r t w i n gj t l a r s s o nd s i l v e s t r o vs d 在 l 中介绍 了h o m 李代数的结构 并f 扫l a r s s o nd 及s i l v e s t r o vs d 推广到拟h o m 李和拟李代 数 在此基础上 设口 a a 是a 的自同态 m a k h l o u fa 及s i l v e s t r o vs 将结合律 推广到结合律被扭曲的情况 引进了h o m 结合代数的概念 2 对一般的代数进行 了推广 近年来 对h o m 一结合代数的研究引起了许多数学工作者的兴趣 并取得了 一些成果 d o n a l dy 在 8 中指出任意的代数都可以通过代数同态构造出h o m 结合代数 m a k h l o u fa 和s i l v e s t r o vs 在 3 中给出了h o m 结合代数的对偶概念 h o m 余结合余代数 此后 m a k h l o u fa s i l v e s t r o vs 和d o n a l dy 又对h o m 代数 h o m 余代数和h o r n 一双代数作了不同的研究 见文献 3 4 9 1 0 针对h o m 余结 合余代数 国内 任北上和李桂英等人讨论了h o m 结合代数同态和h o m 余结合 余代数同态之间的对偶关系 1 2 子h o m 余结合余代数的性质 1 3 以及h o m 余理 想的若干性质 1 4 得到了类似于一般代数和余代数的结论 关于h o p 玳数的具体内容 s w e e d l e rm 和a b ee 分别在文献 5 6 中作了非 常系统的总结 而我们现在感兴趣的是f l j h o p f f 弋数推广得到的h o m h o p 玳数 在h o p 玳数中 模与余模是重要的研究对象之一 模可以看作是线性空间的推广 在代数几何 代数数论与算予代数等学科中都有重要的应用 对偶地 余模也起 着重要的作用 刘贵龙在 1 7 中给出了模与余模的对偶关系 李金其在文 1 6 中给 1 1 引言 出了7 r 一余代数上的余模结构 同时模代数和余模余代数等也是众多从事h o p 玳数 研究工作者讨论的焦点 受到文献 1 1 1 5 1 7 1 8 的启发 我们主要讨论h o m 余代 数上的h o m 余模及h o m h o p f 模结构以及h o m 余代数中一般的对偶关系 本文中出现的k 均指域 线性空间均指域k 上的线性空间 映射i d 指的是 恒等映射 对任意的线性空间y 和 映射t v0w 一 圆y 满足 对任意 的u kt u w t vo 叫 训圆 相关的概念及记号参照文献 5 2 2 1 h o m h o p f 代数 2 h o m h o p f 模结构 本章回顾7 h o r n h o p 玳数的概念 给出对极的性质 当一个线性空间 的h o m 一模和h o r n 余模结构满足一定的相容条件时 定义了h o m h o p f 模结构 得 到了h o m h o p f 模结构定理 定义2 1 1 n 设a 是线性空间 线性变换o t a a 若存在线性映射工 a o a a 满足 u u 固a p 口圆p 2 1 则称 a p q 是h o m 一代数 一般地 简记为a 若记p 口ob a b 则式 2 1 等价于对任意的a b c a 若o t 可逆时 式 2 2 等价于 a b a c q a 6 c 2 2 a b c 口 口 6 q 1 c 口 6 c o z 1 口 6 q c 2 3 命题2 1 2 设 a 脚 q 与 b i f 上b q 日 是h o m 代数 若定义 分别为 t aob o a 圆b a b 口 j 4 圆b a o b p p aou 日 i d a o t 0i d b 口 q a a b p l u a b p q 是h o m 代数 称之为a 与b 的张量积h o r n 代数 3 2 h o r n h o p f 模结构 定义2 1 3 设a 是h o m 代数 若存在映射叩 kja 记7 1 k 1 a 使得 p 叩圆i d p i d o 叩 q q 7 7 7 7 即对任意的a a 有 1 a a a l a q 口 a 1 a l a 2 4 则称7 7 是a 的弱单位 此时 称a 是有弱单位的h o m 代数 定义2 1 4 设a 是h o m 代数 是a 的子空间 若满足 a a a i a 冬 i j j a a i i 则称 是a 的h o m 一理想 设 a 纵 q a 与 b 加 q b 都是h o m 代数 若线性映射f a b 满足 协a 峰b 0 圆l q a a b f 即对任意的a b a 满足 口6 口 6 f a a a 口b 口 2 5 则称 是h o r n 一代数同态 例2 1 5 9 设 e l e 2 e 3 是域k 上三维线性空间y 的一组基 若定义线性映 射 v v y 与口 v y 如下 p e 1 e 1 a e l p e z e 2 a e 2 卫 e s e 3 0 p e 2 e s 2p e 2 e l j2a e 2 p e 2 e s 2 3 p e l e 3 p e 3 e 1 b e s j e 3 e 2 0 a e 1 a e l a e 2 c t e 2 a e a b e a 其中口 b k 则 kp q 是h o m 代数 命题2 1 6 设 a p r a 是有弱单位的h o m 代数 则q 是h o r n 一代数同态 4 2h o m h o p f 模结构 证明因为a 是有弱单位的h o m 代数 所以对任意的a b c a 满足 q o 6 c 口6 q c 1 a a q 口 特别地 令a 1 a 贝l j o z 1 a b c 1 加 q c 又因为a 1 a 1 a 所以 o r b c q 6 口 c 因此 0 f 是h o m 代数同态 定义2 1 7 3 l 设c 是线性空间 线性变换a c c 若存在线性映射a c c0c 满足 圆q q 圆a a 则称 g 0 f 是h o m 余代数 一般地 简记为c 对任意的c c 设 c c l c 2 则有 c l l c 1 2oq c 2 q c 1 圆c 2 l 圆c 2 2 2 6 在不混淆的情况下 式 2 6 记为 c 1 c 2 a c 3 q c 1 圆c 2 c a 2 7 当q 可逆时 式 2 7 等价于 c l c 2 圆c a q c 1 c 2 a 一1 c 3 q 1 c 1 c 2 固q c 3 2 8 命题2 1 8 设 c a c q c 与 d a d a d 是h o m 余代数 若定义 a c9 d 一 c o d c d 口 c 圆d c 圆d 分别为 a i d c 圆toi d d g a d q o z c oq d 2 h o m h o p f 模结构 则 c d a 口 是h o m 余代数 称之为c 与d 的张量积h o m 余代数 设c 是h o m 余代数 若存在映射e c k 使得 即对任意的c c 有 t d 圆e oi d a q g q s c e c 2 c t c 2 a c e q c c 2 9 则称 是c 的弱余单位 此时 称c 是有弱余单位的h o m 余代数 定义2 1 9 1 3 l 设 e a 是h o m 一余代数 w 是c 的子空间 若满2 a w w o 及q w 则称 彬 q i 是c 的子h o m 一余代数 简记为 定义2 1 1 0 设 c a c q c 与 d a d q d 都是h o m 余代数 若线性映射f c d 满足 a o f fof a c q c a d 即对任意的c c 有 作 你 2 f c 1 圆 c 2 叼 c o l d f c 2 1 0 则称 是h o m 余代数同态 命题2 1 1 1 若 g q 是有弱余单位的h o r n 余代数 则 q q 圆q a p e 是h o m 余代数同态 证明因为c 是h o m 余代数 所以对任意的c c 满足 口 c 圆c 2 圆c 2 2 c c 2 q c 2 上式两边作用t d 圆i d 圆e 得 a c x 圆c 2 1 e c 2 2 e l loc 1 2 e 0 l c 2 又由于 c 1 c 2 q c e 口 d c 6 2h o m h o p f 模结构 所以 a c 1 oa c 2 e q c 1oa c 2 因此 口是h o m 余代数同态 定义2 1 1 2 3 h o r n 双代数日是指 p q 满足 1 h p q 是h o m 代数 2 凰 a 是h o m 余代数 3 是h o m 代数同态 l l p 肛 p 日 日 固a pou c i d t i d h c a 特别地 当 日 p q 作h o m 代数有弱单位叮 日 q 作为h o m 余代数有 弱余单位e 记r 1 k 1 h 若还满足对任意的h g h a 1 x 1 h 圆1 x e i h 1 k e h g e 9 则称h o m 双代数日是有弱单位及弱余单位的 定义2 1 1 3 3 若 p 7 e s a 满足 1 h p 7 a g q 是有弱单位及弱余单位的h o m 双代数 2 s 口 a s i d 幸s s 木t d 叼 其中s h 一日 则称 日 p 叩 s q 是h o m h o p 玳数 简记为h 称s 为h o m h o p 玳数日的对 极 现在给出对极的一些基本性质 定理2 1 1 4 设日是h o m h o p 玳数 1 日是h 的弱单位 当a 可逆时 则s 有如下 性质 1 对任意的 g 日 s h g s 夕 s 1 5 1 x 1 詹 2 对任意的 h s s h 2 固s h 1 1 日 1 k 7 2h o m h o p f 模结构 证明 1 因为日是h o r n h o p 玳数 所以对任意的h 日 1 h h a 且 1 日 1 ho1 h 1 日 1 k c 1 h 1 h 所以 a 1 n 7 7 e 1 n i d 木s 1 日 l u s i n q s 1 日 由于q 是可逆的 所以 s i h i h 对任意的 k h 令f h k s 后 s g hok s h k 于是 g 卓p ok s h k 1 h 2 k 2 s 九七 1 九七 2 h k l g 7 7 九七 p 木f 圆k 九1 后1 s 如 s 2 q 1 h l k l s k 2 a s h 2 由 2 3 a 一1 h 1 a 一1 七 s 乜 q s 2 口一1 七 口一1 s 也 s q 2 1 9 七 1 日 s a 1 2 乜 1 s q j 1 2 e 七 e h e k l z 7 7 七 所以g f 即 s h k s 尼 s 2 对任意的 h 令p h a s h q h t sqs 于是 p 宰 j i p h 1 a h 2 s 1 l 圆s 1 1 2 7 1 2 1 h 2 2 s 1 2 l s h 1 h 2 e h l z zo l z z a 幸q h 1 s os 圯1 q 1 h 1 1 s o l h 2 固s 1 2 由 2 8 e o e 1h m q 1 l l l 2 s 口 2 os h 1 2 8 所以 1 loq 一1 1 2 1 s 0 f 2 s q 一1 h 1 2 2 h l l s c y h 2 qq 1 h 1 2 1 s c y 1 h 1 2 2 h l l s q h 2 圆e a 1 1 2 1 日 a c h l s a h 2 圆1 r e 1 日圆1 h a s t s s z x 即 对任意的九 日 a c s c h s h 2 os 1 2 2h o m h o p f 模 定义2 2 1 1 3 设 a p a a 是h o m 一代数 对线性空间m 及线性变换0 f m m 一 肘 若存在线性映射入 m 圆a m 满足 1 a m a a 口m 圆q a 2 a a m 圆p 入 入圆q 则称 m o t m a 为右a h o m 模 其h o m 一模结构映射为 a 一 特别地 当a 是有弱单位l a 的h o m 一代数时 m 口 f 是右a h o m 一模还需满足 对任意的m m a 仇圆1 a q m m 若记a mon 仇 a 则对任意的m m 口 b a 定义2 2 1 中的 1 2 分 别等价于 q m m 口 a m m o t a a a m m o t a a q m m 口j2 a m m a b m 口 a a b 2 1 1 2 1 2 设a 是h o m 代数 m q m a m 取j n o t n a 均是右以 h o r n 模 若线性映射 m 满足 a m 入 圆i d a a f a n f 则称 是右a h o m 一模同态 例2 2 2 设 p 刀 s a 日 是h o r n 双代数 ka y 入y 和 彬o t w a 均是 9 2h o m h o p f 模结构 右日一h o m 模 则 yo 眦口y 圆q w 入 为右日 h o m 模 其h o r n 一模结构映射a 满足 对任意的h h u k 叫 w 有 a u 圆 a y 扣圆 1 圆入w 伽 h 2 证明若记a v voh 口 h a w w 圆h w h 则 a u 叫 h 1 圆w 嘲h 故对任意的 kw 彬h g h 有 q y 固a w a 0 圆wph a y 圆q w u h i 圆1 0 h 2 a v v f h 1 oa w w a l l h 2 a v v a 日 j 1 1 1 圆a w w a l l h 2 a q y 圆口w oq 日 p 埘 h 因为 h h h 是h o m 一代数同态 所以a h g h l g l h 2 9 2 于是 a a v o wop 口ow 圆h 夕 a q y u qc l w w oh g a v v h 1 9 1 oa w w h 2 9 7 2 1 a h 9 1 o w h 2 a l l 9 2 入 a 圆口日 u 圆伽 h 圆g 即 a y 圆q a a 口 o t w o 口j a a v 圆o t w 圆肛 a ao 口j j r 所以 vo 彬q yoo t w a 为右h h o m 模 定义2 2 3 s l 设 c a c 是h o m 一余代数 对线性空间m 及线性变换q m m m 若存在线性映射p m mpc 满足 1 胆m q f q c p 1 0 2h o m h o p f 模结构 2 poo c p n mo p 则称 m q m p 为右c h o m 余模 其h o m 余模结构映射为 p 特别地 当c 是有弱余单位 的h o m 余代数时 m a m 是右c h o m 余模还需 满足 i d m 圆e j d a m 即 m o e m 0 a m m 显然 有弱余单位的h o m 余代数 c s 口 是右c h o m 余模 其h o r n 余模 结构映射为 若记p m r e o om 0 则定义2 2 3 中的 1 2 分别等价于 口m m o 圆q m m 1 口肘 m 0 q c 仇 1 2 1 3 m o 0 m 0 1 口c m 1 c r m r n o 圆m 1 1 m 1 2 2 1 4 设c 是h o m 一余代数 m 口m p f 和 j v q 肌 均是右c h o m 余模 若线性 映射f m 满足 p n f f 圆i d c p m r a m q 毒 则称 是右c h o m 余模同态 定义2 2 4 设h 是h o m h o p f 代 数 对线性空间m 及线性变换口m m m 若存在线性映射a moh m p m m 圆 满足 1 m q m 入 是右h h o m 模 2 m q m p 是右h h o m 余模 3 对任意的m m h h 满足 p m j 1 r e o h i 圆t o o h 2 2 1 5 则称 m q m 是h h o r n h o p f 模 定义2 2 5 设日是h o m h o p 玳数 m a m 与 口 均是日 h o m h o p f 模 若 2 h o m h o p f 模结构 线性映射f m 既是h h o m 模同态又是h h o m 余模同态 则称 是日一 h o m h o p f 模同态 命题2 2 6 设日是h o m h o p 玳数 m q m 既是右h h o m 模又是右h h o m 一 余模 贝j j moh c t mqq 日 是右h h o m 模 且 m 口m 是h h o m h o p f 模当且仅 当p m moh 是右h h o m 模同态 证明 由例2 2 2 知 m 圆h a m 圆q 日 的右h h o m 一模结构映射 u 对任 意的m m h g 满足 u m 圆hog moh g m 9 1oh 9 2 所以 r e o h i 圆m o h z u m o om o 圆h u 户 m 圆 因此 m a m 是日 h o r n h 叩f 模当且仅n p m h r e o h i 圆m 1 2 当且 仅n p r n h u p m 圆h p m l 当且仅当p m m 日是右h h o r n 模 同态 下面给出两个h o m h o p f 模的例子 例2 2 7 设 h p r a e q 是h o r n h o p 玳数 其中q 可逆 对任给的线性空 间y 及线性变换p v y 定义a v 圆h h y 圆h p v 圆h y 圆日圆日分别为对任意的 0h vph g h 扣oh g a v 圆h a 1 9 j d u p u 圆h 1 q 如 则a 与p 分别使 yoh p a 成为右日一h o m 模和右日一h o r n 余模 g v h p a 是h h o m h o p f 模 设 日 p 日 叩日 a h e 日 a 和 l 比 r l a l 6 卢 均是h o m h o p 玳数 及h o m 一 余代数同态7 r l 日 若存在h o r n 一代数同态西 h l 满足 i d lo7 r 工 圆i d h a h 则称西是7 r 的 右 c r o s s s e c t i o n 1 9 1 2 2h o r n h o p f 模结构 例2 2 8设日 l 是h o m h o p 玳数 h o m 一余代数同态7 r l 一日存在一 个c r o s s s e c t i o n q b h l 若对任意的z l h h 定义f 厶 h t o h 则作用 厶 使得 l p 是h h o m h o p f 模 证明对任意的f l h g h p c 一 h g p z 9 p 2 夕 2 咖 p 9 2 q 夕 厶 h 厶一q 9 jl 1 日 z 1 日 l l z 卢 f 设j d i d l 7 r l 则 p flh i d no7 r l z 咖 i d l 圆 r a l 1 i d z o7 r l f l 圆 f 2 圆i d h 日 t x 圆咖 z 2 1 oh 2 1 1 厶 lol r 2 h 2 所以 厶 p 是 h o m h o p f 模 对h o m h o p f 模 有以下的h o m h o p f 模结构定理 定理2 2 9 设 日 p 7 7 a s q 是h o m h o p 玳数 且a 可逆 m p 为h h o m h o p f 模 记 仇 m l p m p m o1 日 则 f m oh m 仇7o hhm h 为h h o m h o p f 模同构 证明定义p m m 对任意的m m p m p 4 仇 o s q m 1 则 p 尸 m p 一4 m o o s q 一4 m c m o 口一4 m o 1 s q 一4 仇 1 1 p 一3 m o s q 5 m 1 勉 口 4 仇 1 1 s q 一5 m 1 2 1 由 2 1 4 1 3 2h o m h o p f 模结构 p 3 m o j s q 4 m 1 2 圆q 5 m o n s a 5 m 1 1 2 由 2 8 p 一3 7 n o s 口一4 t o o 2 e m o 1 1 日 p 一3 m o s 口一3 m 1 圆1 x p 尸 m 圆1 h 所以 尸 m cm 7 定义g m m h 为g p q 一2 oj d 即 对任意的m m 夕 m p 一4 m 0 0 s 口 m e 1 a m e l 则 f g m p 一 m o o s 0 4 m o 1 a 2 m 1 p 一3 o o s q 一4 o 1 q 一3 m 1 由 2 1 4 p 一2 m o s 口一4 仃 1 1 q 一4 7 n 1 2 p 2 m o e r a 0 l h p 1 m 1 日 m 对任意的m 7ph m 圆h 夕 硝oh 2 m 口一4 h 1 1 s a 3 1 2 圆 1 2 p 1 m q 4 h 1 1 s a 4 1 2 o 口 1 2 e p 一1 刀口7 1 1 日oa 一1 h 2 7 7 r 圆h 故 与g 是互逆的线性同构 又因为 对任意的m 7oh m 0h k h m oh 七 f b m 7 o h a 1 七 p m h a 1 七 仇7 h k f m 7 圆h k 另一方面 1 4 p f c m 7oh p m h p m h x 圆t f h 2 foi d h p m p 因此 是h h o m h o p f 模同构 1 5 3 h o r n 余模余代数d h o m h o p f 模余代数 众所周知 余代数与余模结合有余模余代数的结构 本章我们主要给出h o m 余模余代数的结构 并给出由余模余代数构造h o m 余模余代数的条件 再通 过h o m 一余模余代数构造h o r n s m a s h 余积 证明其是h o m 余代数 最后引进h o m h o p f 模余代数的结构 给出使h o m 模余代数成为h o m h o p f 模余代数的充要条 件 3 1h o m 余模余代数的概念及性质 定义3 1 1 设日是h o m 一双代数 c 是h o m 余代数 且 c o e c p 是 j 6 h h o m 余 模 若满足 g a c a c a 刍 j d 3 1 其中p i d c i d vo 触 i 如ot i 如 op c 圆c gqc oh 则称c 是 右h h o m 余模余代数 若记p c c o 圆c o 则对任意的c c 式 3 1 等价于 c l o pc 2 0 圆c i 1 c 2 i c o 1p c o 2o 口备 c 1 3 2 l p圆 2 l p o 口备 c 1 引理3 1 2 设 日 日 c h a h 是有弱余单位的h o m 余代数 j t c a g p 是 右日一h o r n 余模 则万 i d coq 备 p c c h 使得c 也是右日 h o m 余模 证明由于 c 口c p 是右h o m h 余模 所以 p a c q co 口日 a poq 日 p q c a h p 因此 p a c 如oq 备 胆c i d c 圆q 备 口coa h p 幻oq h i d co 口备 p q c 口日 互 由于日是有弱余单位的h o m 一余代数 故 日q 日 q 日 口日 日 所以 万圆q 日 万 i d coq 备 j 9 固q 日 t d co 口备 p 1 6 3 h o m 余模余代数及h o r n h o p f 模余代数 i d c 圆q 备固q 备 0o0 f 日 p i d co 口备p q 备 q g 圆n h p 口c 圆 0 f 备 p o e c 圆a h i d coq 备 p o t c 圆o e u p i d co 日 歹 1 如oe h i d c 圆a 备 p i d co 日 p 口c 故 c q c p 也是右h h o r n 余模 引理3 1 3 设 胃 弘日 伽 a h e 日 q 日 是h o m h o p 玳数 c q c j d 为右日 h o m 余模 则口 c 2 一c 2oh 使得g 固c 是右h h o m 余模 其中p 见定义3 1 1 证明欲证p 是g c 的右日 h o m 余模结构映射 需证明p a 乎 q 乎o q h p p o i i o q 8 2 日 口以及g 如 2 圆 u o q c 圆a c 对任意的c c 由 c q c p 是右h h o m 余模知 a g c o c o c t 1 q c c o 圆o t n c 1 3 3 幻 c o c 0 1 c 0 2 c o o 圆c 0 1 a l l c 1 所以 对任意的c d a p q 9 2 cod p q c c oa c d a c c o oq c d o oa c c c o a c d c 1 a c c o q c d o pq 日 c 1 a j j r d 1 a c c o pa c d o 圆a h c 1 d o a 9 2 圆a 日 套 c 圆d 此外 p q 日 p c 圆d 0o 口日 c o 圆d o 圆c o d o c o o 圆d o o c o 1 d o 1 oq j 5 r c 1 d 1 c o o d o o oc o 1 d o 1 a u c c l a x d 1 a c c o oa c d o oc 1 1 d 0 1 固c 1 2 d 1 2 1 7 3 4 由 3 3 由 3 4 3h o m 余模余代数及h o m h o p f 模余代数 口c 圆a coa 日 c o od o oc 1 d 1 q 乎o 日 p c 圆d 另一方面 i 露2 日 p cod f 喀2o 日 c o 圆d o c 1 d 1 c o qd o 圆 c 1 d d o e c c o q c d 口coq c c 圆回 故 c 圆c q 3 2 p 为右日一h o m 一余模 定理3 1 4 设 h p 日 r h a h 日 a 日 是h o m h o p 玳数 c a c c q c 是有 弱余单位的h o m 余代数 且 c q c p 为右h h o m 余模 则p 使得c 为右h h o m 余模余代数当且仅当a c c coc 是右h h o m 余模同态 其中c coc 的 右h h o m 一余模结构映射分别为御p 见引理3 1 2 3 1 3 证明由定义知 a c 为右h h o m 余模同态当且仅当p g a coi 妇 历 而 a coi d g 万 a coi d n i d c q 备 p a coq 刍 p 于是 e a c a coq 备 肛 所以 a c 为右h h o m 余模同态当且仅当c 为右h h o m 一余模余代数 对于任意代数 余代数 双代数都能通过其线性自同态成为h o m 代数 h o m 余代数 h o m 双代数 8 9 那么 对于一个余模余代数 是否也能构造出h o m 余 模余代数 以下定理给出了构造方法 定理3 1 5 设 日 p 日 r l h a h s 日 是双代数 c a c e c 是余代数 且p c c 圆 使得c 是右h 余模余代数 若存在线性变换o l 日 日一日为双 代数同态 q c c c 是余代数同态 且满足p a c q coq 日 p 设玩 日 h 口 日 q 日 乙 ga 口 c q c 其中 h 口h p 日 口 日 日q j j r a a c c q c 则儿 p e c g gp 风使得g 为玩 h o m 余模余代数 证明先证凡使g 成为右玩 h o m 余模 儿q g2 p o l c a c o r eoq 日 p q c q coa 日 几 儿oa n p a 叼 o h q 日 poi d n p o t c o t c 圆q 日圆o t h i d c 圆a n p o c 1 r 3h o m 余模余代数及h o m h o p f 模余代数 一1 a coa z c z p o e c2 口goa a 日 几 所以 g 是右矾 h o m 一余模 再证瓯是右玩一h o r n 一余模余代数 即需证 a 幽c a a c 圆q 铲 儿 如 t 喀2 p 口 日 i 如ot 圆i d x 砖2 d 8 2oq 耳p 日 i d c 圆t oi d h a c 圆q 日oq c 圆q 日 p 2 1 i 避2 圆p 日 d 乎圆q 铲 q 字 q 铲 0 如 toi d h p 固2 一1 a 8 2o 口备p 日 0 如固t o i d z p 2 由于c 是日 余模余代数 所以 a coi d x p e a c 而d o 甥2 圆肌 i 如圆tot 妇 j d 圆p 故 a c 圆i d z p i 喀2od l t i d cot 圆i d h pop a c 3 5 对式 3 5 两边作用q c 固o c toq 备 有 q coo l co 口备 coi d h p o t co 口c 圆口备 g d 酽固u z i a e 固tpi d x p p h c q 9 2oq 备p 日 i 如固t 固 d 圩 如 p h c 一i 如 c 从而 a a c 圆q 备 p 口 a c a coq 备 j d a c 1 一 口coq c n coa 备 胆g q coo l cqa 备 goi d t 舱c 1 8 a a c a c p a a c 所以 儿使得瓯成为右玩 h o m 余模余代数 若在定理3 1 5 中设q 日 i d h 则条件成为p o e c a c o i d x p 即0 f c 是右日 余 模同态 故有以下推论 推论3 1 6 设 日 p 日 r y 日 e 日 为h 0 p f 代数 p c c 日 使得余代 数 ga c s c 为右日一余模余代数 若存在线性映射q c c c 既是余代数 同态又是右h 余模同态 则儿使得h o m 余代数倪为右h h o m 余模余代数 其 中p 口 瓯如定理3 1 5 中所述 1 0 3 h o r n 余模余代数及h o m h o p f 模余代数 3 2ho m s m a s h 余积 在h o p f 弋 数中 若日是h o p 玳数 c 是左日 余模余代数 则有s m a s h 余积c xh 且它是余代数 在 1 l 中张良云等人给出s m a s h 余积余代数成为双代数的充要条 件 下面我们讨论由h o m 余模余代数构造的h o m s m a s h 余积 设 肛日 彻 a n e 日 a n 是h o m h o p 玳数 ga c e g 口e j d 是右日一h o m 一余 模余代数 且q 日与a c 都可逆 定义日与c 的h o m s m a s h 余积hxc 为 1 h xc 作为线性空间是日0c 2 线性变换q q 日固o l c hoc 日 c 3 定义a hxc h cohxc 为 对任意的hxc hxc a h c h 1 口弓1 c 1 o oq 分 2 q 孑 c 1 1 xc 2 定理3 2 1设 日 p 日 r n 日 e 日 q 日 是h o r n h o p 玳数 c a c c c 口c p 是 右h h o m 一余模余代数 且a 日与c z c 都可逆 贝j j h c a 口 是h o m 余代数 且有弱 余单位g s 日圆e c 证明因为c 是右h h o m 余模余代数 所以对任意的c g 满足 q c c c 2 c 3 c 1 圆c 2 a c c 3 q c c o 圆 q c c 1 q c c o 口日 c 1 q c c o c 1 1 c i 2 c 0 0 圆c o 1 圆口日 c 1 锏1 固c 0 2 圆q 刍 c 1 c l 0 c 2 0 圆c l 1 咖 所以 对任意的hxc hxg 口 xc o f h h 1 xc 1 o q 斧 j 1 2 1 q 孑 c 1 1 1 xq 云1 池l o q 孑 恐 q 孑 c l 1 2 q 孑 c 2 l 1 xc 2 2 1xq 云1 c 1 0 oq 2 a 宇 c 1 1 1 q 云1 c 2 o 固 o h 1 h 3 o t h 4 c 1 1 2 o h 2 c 2 1 o 0 c 3 2 0 3 6 3 7 3 8 3 9 由 3 6 一 一 1 q 弓1 c 1 o 圆q 2 0 1 彳 c 1 1 1 o c 弓1 c 2 o 3 0 c 1 1 2 q 才 c 2 1 o c c c 3 h i 3 q 亍 o c 孑 c 1 o o 0 c 斧 2 q 3 c 1 o 1 a 弓1 c 2 o o c 1 1 a 于 c 2 1 xo z c c 3 危l q 孑 c 1 o o oq 吾1 2 a c l o 1 q 弓1 c 2 o 圆 3 q 于 c l 1 c 2 1 q c c s 由 3 8 1 0 f 云2 c 1 o l o 圆a i l h 2 a 吾s c 1 o l o 口弓1 c 1 o 2 p 3 q c 1 1 o c c c 2 由 3 9 另一方面 apa a h c ao 口 h l q 弓1 c 1 o q 口 2 a 孑 c l 1 c 2 h 1 1 q 孑 c l o 1 o 圆口 1 1 2 口子 c 1 o 1 1 q 云1 c l o 2 圆 h 2 a 吾1 c 1 1 a c c 2 1 a 8 2 c 1 o 1 o 口才 k q 1 3 c 1 0 l 1 q 云1 c 1 o 2 圆 h 3 a h l c l 1 a c c 氇 所以 a 圆口 qon n 易证 i d 圆e 0 圆i d a 口 故 hxga 口 为h o r n 余代数 定义3 2 2 称h o m 余代数 hxga 口 为 右 h o m s m a s h 余积 定义3 2 3 设h 是h o m 双代数 c 是h o m 余代数 p c h 圆c 使得c 是 左 h o m 余模 记p c c 一1 oc o 若对任意的c c 满足 a 刍 c 一1 圆c o io c o 2 i o 固c 2 o 2 二 o 凶c 2 o 则称c 是左日 h o m 余模余代数 3 1 0 r