勾股定理-学生版.doc

勾股定理知识要点勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方和等于斜边的平方。关键词：直角三角形勾股定理的逆定理：若一个三角形的某两条边的平方和等于剩余的一条边的平方，则这个三角形一定是直角三角形。关键词：判定直角三角形直角三角形的性质：在直角三角形中，为斜边，为直角边，为直角边，是斜边上的高。、分别是边、的边长。勾股定理：。；其他性质：，,（一）面积计算【例1】 如图所示，以直角三角形的三边向外作正方形，其面积分别为，,且,则? 【例2】 证明：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积，即：【例3】 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形，的面积之和为。ABCD7cm【例4】 如图，大正方形由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成。若大正方形的面积为，每个直角三角形两条直角边的和是，求中间小正方形的面积。【例5】 如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以直角边为边，分别向外作正方形和，依此类推，若正方形的边长为，则正方形的边长为。【例6】 园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知米，米，米，米，且,这块草坪的面积是（ ） 【例7】 四边形中，求四边形 的面积。【例8】 如图，有一块地，已知， ， ， ， ， 。求这块地的面积。【例9】 （第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级 第试）如图所示，已知长方形的长是宽的倍，对角线的长是，则长方形的面积是 。【例10】 如图，在线段上，和都是正方形，面积分别是平方厘米和平方厘米。求三角形的面积等于多少平方厘米？【例11】 （小学华罗庚金杯赛模拟题）如图所示，直角三角形的两个直角边分别为厘米和厘米。问下图中个正方形面积之和比个三角形面积之和大多少？【例12】 用一张斜边长为的红色直角三角形纸片，一张斜边为的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，如图所示拼成一个直角三角形。问：红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少？【例13】 （年日本小学算术奥林匹克大赛高小组初赛）沿直线将一个长方形剪掉一个角后形成一个五边形，已知这个五边形条边的长度分别是厘米、厘米、厘米、厘米、厘米（未必是按顺序的）。这个五边形的面积是_平方厘米。直角三角形的构造【例1】 观察下列各组数，能够构成直角三角形三边的有哪些？并说明理由,；,；,；,【例2】 已知一个等腰直角三角形的斜边长为，求这个直角三角形斜边上的高。【例3】 如图所示，大正方形由小正方形和四个全等的直角三角形组成。试说明。（不直接应用勾股定理）【例4】 如图所示正方形由一个小正方形和四个全等的直角三角形构成，请根据这个图形证明勾股定理。【例5】 在一块平地上，张大爷家屋前米远处有一棵大树。在一次强风中，这棵大树从离地面米处折断倒下，量得倒下部分的长是米。出门在外的张大爷担心自己的房被倒下的大树砸倒。大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？【例6】 在布置新年联欢会的会场时，小虎身高米，他准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为米的梯子，要想把拉花挂在高米的墙上，小虎应把梯子的底端放在距离墙最远_米处？【例7】 一架方梯长米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米，这个梯子顶端距地面有多高？如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？AABABOA【例8】 如图：边长为的正方形中，是的中点，且，证明【例9】 已知：如图，在中，是边上的中线，于，求证：【例10】 （年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛（一）三角形中，线段、分别是、边上的中线，且与互相垂直，如图所示，已知、。请问等于多少？【例11】 （年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛（二）将矩形分成四个全等的矩形，如图所示。若，请问的长度是多少厘米？【例12】 为矩形内一点，已知，。求【例13】 如下图，直角三角形，及其边上所连的三个正方形、和。请根据这个图形，证明勾股定理。 【例14】 如图：边长为的正方形中，是的中点，且，证明。【例15】 （年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛（二）将矩形分成四个相同的矩形，如图所示。若，请问的长度是多少厘米？最短路程【例1】 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是_。 【例2】 一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是_.AB【例3】 如图所示，为一个长、宽、高分别为、的木盒，、是木盒上的两点， ， ，（1）问在木盒内最长能放进一根多长的硬木棒（木棒很细）？（2）一只蚂蚁从点爬到点的最短路程是否会小于？图形剪拼【例1】 （小学奥林匹克训练题）把下图所示的纸片分别剪开后各拼成一个正方形。在空白处标出新的正方形。【例2】 （第六届中环杯五年级决赛）将下图分成三块，再拼成一个正方形，并求该正方形的面积。请画图表示分割及拼剪方法。【例3】 长方形的宽和长分别为和，将它剪成块，拼成一个正方形。【例4】 （第七届中环杯五年级复赛）下图是由五个相邻的正方形组成的一个长方形。要把它剪拼成一个正方形，并且要求剪得块数越少越好，该怎么剪拼？请你试试看。并把剪拼的方法画在下面。【例5】 把下图中两个边长分别为和的正方形剪两刀，拼成一个大正方形。 【例6】 （第六届中环杯五年级复赛）下图两个完全一样的图形都是由个小正方形组成的。请把它们分成四块，拼成一个大正方形，在原图上画出划分方法，并在空白处画出所拼的大正方形。【例7】 （第六届中环杯五年级决赛）将下图分成三块，再拼成一个正方形，并求该正方形的面积。请画图表示分割及拼剪方法。【例8】 把下图中两个边长分别为和的正方形剪两刀，拼成一个大正方形。把剪的方法在图中标明。 【例9】 现有一张长为、宽为的纸片，如下图，请你将它分割成块，再拼合成一个正方形。要求现在图中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据。【例10】 如图所示，直角三角形的两条直角边长为、，斜边为。以、为边长分别作两个正方形。请在为边长的正方形内添出辅助线，使得沿辅助线剪下的部分可以和为边长的正方形组成一个新的正方形。并在新的正方形中将各个版块的位置标明。一课一练【练习1】 如图所示，以直角三角形的三边向外作正方形，其面积分别为,且，【练习2】 “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过. 如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？A小汽车小汽车BC观测点【练习3】 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。【练习4】 已知，中，边上的中线，试说明 是等腰三角形【练习5】 如图，铁路上，两点相距，、为两村庄，于，于，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？ADEBC【练习6】 如图所示，是年月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形若大正方形的边长是，小正方形的边长为，则每个直角三角形较短的一条直角边的边长是【练习7】 如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？【练习8】 已知：如图，四边形中，请说明。【练习9】 某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图所示的图案景观，该图案由四个一样的直角三角形组成。要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为米，如果每个三角形最短边上都植棵树，那么这四个直角三角形的边上共需植树_棵。【练习10】 如图，正方形里面有一倾斜的正方形把大正方形分成了四个相等的三角形，四个三角形的内部也有完全相同的四个小正方形，已知,求正方形的面积是多少？【练习11】 在一块平地上，张大爷家屋前米远处有一棵大树。在一次强风中，这棵大树从离地面米处折断倒下，量得倒下部分的长是米。出门在外的张大爷担心自己的房被倒下的大树砸倒。大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？【练习12】 在布置新