地球物理学基础作业及参考答案.pdf

2017 年 地球物理学基础第 2 次作业 第 1 页 共 6 页 1 The non brittle or ductile behavior of materials under stress depends on the time scale of the deformation Fig 3 2b An elastic material deforms immediately upon application of a stress and maintains a constant strain until the stress is removed upon which the strain returns to its original state A strain time plot has a box like shape However in some materials the strain does not reach a stable value immediately after application of a stress but rises gradually to a stable value This type of strain response is characteristic of an elastic materials After removal of the stress the time dependent strain returns reversibly to the original level In plastic deformation the strain keeps increasing as long as the stress is applied When the stress is removed the strain does not return to the original level a permanent strain is left in the material Our knowledge of the structure and nature of the Earth s interior has been derived in large part from studies of seismic waves released by earthquakes An earthquake occurs in the crust or upper mantle when the tectonic stress exceeds the local strength of the rocks and failure occurs Away from the region of failure seismic waves spread out from an earthquake by elastic deformation of the rocks through which they travel Their propagation depends on elastic properties that are described by the relationships between stress and strain 材料在应力作用下的非脆性 或延展性 特征取决于形变的时间尺度 一种 弹性材料在施加应力后立即变形并保持恒定的应变直到应力去除 回到初始状 态 应变 时间图是一个盒状形态 然而 在某些材料中 应变在施加应力后不 立即达到稳定值 而是逐渐上升到稳定值 这种应变响应类型是一种弹性材料的 特性 去除应力后 随时间变化的应变可逆地回到原始水平 在塑性形变中 只 要应力施加 应变就会保持一直增加 当应力去除后 应变不会回到原始水平 一个永久的应变留在材料中 我们对地球的内部结构和本质的已经取得的认识很大一部分来自地震释放 的地震波的研究 当构造应力超过岩石的局部强度时 地壳或上地幔发生地震 破坏发生 远离破坏区域 来自地震的地震波通过他们经过的岩石的弹性变形传 播开来 他们的传播取决于由应力与应变之间的关系描述的弹性性质 2 弹性理论 Theory of Elasticity 本构法则 Constitution Law 弹性介质 Elastic Medium 泊松比 Poisson s ratio 连续介质力学 Continuum Mechanics 扩张 Dilatation 剪切应变 Sheer Strain 不可压缩性 Incompressibililty 体积模量 Bulk Modulus 标量 Scalar Divergence 散度 rotation 旋度 stress 应力 initial conditions 初始条件 anisotropy 各向异性 seismic source 震源 Fourier transform 傅里叶变换 wave equations 波动方程 Green function 格林函数 shear strain 剪切应变 3 关于弹性常数请完成下列要求 关于弹性常数请完成下列要求 1 简述五个弹性常数 简述五个弹性常数 E 泊松比 泊松比 的意义及推导公式 的意义及推导公式 2017 年 地球物理学基础第 2 次作业 第 2 页 共 6 页 2 泊松比 泊松比 的取值范围是多少 并思考有没有物质在外力作用下既可以长度变大的取值范围是多少 并思考有没有物质在外力作用下既可以长度变大 又能在横向变粗 请举例加以说明 又能在横向变粗 请举例加以说明 3 推导这五个弹性常数的相互关系 如由两个独立弹性常数 推导这五个弹性常数的相互关系 如由两个独立弹性常数 K 推导其余 推导其余 三个常数 三个常数 E 写出步骤 公式 写出步骤 公式 1 杨氏模量 LL AF E 是在纯伸长或纯压缩情况下 纵向应力与应变的比 值 表示材料的抗线性形变 拉伸或压缩 的能力 泊松比 LL dd 是横向线度的相对变化率与纵向长度的相对变化率的比 体变模量 V AF K V P 是在各个方向受到大小相等的拉力或压力的情况 下 应力与应变的比值 表示材料的三维空间的体积变化或抗拉伸 压缩 强度 剪切模量 AF P 是单纯发生剪切应力时 应力与应变的比值 表示材 料的抗剪切强度 拉梅常数 3 2 K 可用来材料的压缩性 2 泊松比的取值范围介于 1 0 5 之间 负 泊 松 比 物 质 是 存 在 得 通 常 情 况 下 材 料 具 有 正 的 泊 松 比 Positive Poisson Ratio 即材料在受到纵向拉伸时 横向尺寸收缩 如果横向尺寸 变大 这种材料就是负泊松比 Negative Poisson Ratio 简称为 NPR 或 Auxetic 材 料 1982 年 Ashby 首次指出具有细胞状结构的材料 在变形时 能产生负的泊松 比 人们也已经发现合成材料能够产生负泊松比的现象 如 可再入 泡沫材料 多孔聚合物 聚合物层压材料 拉胀材料乃负泊松比材料的简称 意指材料受拉伸时其垂直方向有膨胀 而受 挤压时有收缩 拉胀高分子材料是八十年代末和九十年代初才出现的新型结构和功 能材料 拉胀 一词意为 受拉膨胀 或 一拉就胀 译自英文 auxetic 是英国材料学家 K E 埃文斯代表利物浦大学 ICI 剑桥大学联合研究小组在 1991 年发表于 自然 杂 志上的一篇通讯中建议代指 负泊松比 的 世界上第一个拉胀材料发明专利 是由美国材料学家 R Lakes 于 1987 年取得 的 是由普通的聚氨酯泡沫塑料再加工制得 3 广义胡克定律可写为 1111 2 2323 2 2222 2 3131 2 3 1 3333 2 1212 2 2017 年 地球物理学基础第 2 次作业 第 3 页 共 6 页 或简写为 ijijij 2 3 2 A 根据纯剪切试验求 此时 0 312333221112 根据广义胡克定律 3 1 2 12 因此测得 和 12 便可求得剪切模量 值 B 根据单轴拉伸试验求E和 此时 0 312333221211 且 1111 1 E 11113322 E 由广义胡克定律 3 1 得 33 22 1111 20 20 2 3 3 将上式相加得 23 11 3 4 将 3 4 带入 3 3 第一式中 得 23 E 3 5 将 3 4 带入 3 3 第二式或第三式中 得 2 3 6 式 3 5 3 6 也可化为 12 211 EE C 根据各向均匀压缩试验求K 此时 0 312312332211 p 且 p K 由广义胡克定律 3 1 得 33 22 11 2 2 2 p p p 3 7 2017 年 地球物理学基础第 2 次作业 第 4 页 共 6 页 将上式相加得 323 332211 p 3 8 又 332211 ii 则 3 2 K 3 9 所以 EK EKKKE K E E 9 33 1 3 2113 2 3 2 21 2 EK KEKE K 9 3 12 213 12 2 3 2 2 1 K EK K KE 6 3 26 23 1 22 213 3 9 12 3 921123 K K K K KK E 21333213 12 3 1 3 2 E E E K 4 根据完全弹性介质的性质以及以上各参数关系的推导 推导三维各向同性介质的 胡克定律 参考各种 弹性力学 书籍 资料 当考虑 x 引起的应变时 在 x 方向有 dx du E x 1 在 y 方向有 dy dv E x 1 在 z 方向有 dz dw E x 1 同理可得 y z 各自在 x y z 方向的应变 因此得到方程组 dz dw E dy dv E dx du E dz dw E dy dv E dx du E dz dw E dy dv E dx du E zzz yyy xxx 333 222 111 2017 年 地球物理学基础第 2 次作业 第 5 页 共 6 页 将各个应力在某个方向引起的应力分别相加 得 zyxz yzxy xzyx E dz dw dz dw dz dw dz dw E E dy dv dy dv dy dv dy dv E E dx du dx du dx du dx du E E E E 321 321 321 解得 zyxzz zyxyy zyxxx 2 2 2 其中 211 12 E E 下面考虑剪应力与剪应变 xyxyyxxy dydx u 2 同理 yzzyyz 2 xzxyxz 2 上述表达式可以统一写成 ijijkkij 2 5 推导弦的横振动方程 弦的横振动 纵向 0cosTcosT 1122 5 1 横向 xtxxuxtxxF tt sinTsinT 211122 5 2 小振动时 x u x u tan 1cos 1cos0 2121 所以 xx x x x uu 2211 tansin tansin 所以 5 1 变为 5 3 5 2 变为 5 4 0TT 12 5 3 xtxxuxtxxFuu tt x x xx x TT 2112 5 4 2017 年 地球物理学基础第 2 次作业 第 6 页 共 6 页 令TTT 12 则 5 4 变为 5 5 xtxxuxtxxFuu tt x x xx x T 21 5 5 5 5 两边同时除以x 得 5 6 T 2 1 txxu txxF x uu tt x x xx x 5 6 则 5 6 可写为 5 7 fuau xxtt 2 5 7 其中 F f T a 2 得证 附加题 1 翻译应力应变课件 16 页 Theory of Elasticity Continuum Mechanics A material is considered to be a continuous media which is a collection of material points interconnected by internal forces forces between the atoms making up the material We concentrate upon the macroscopic properties rather than the microscopic properties of the material We treat the material as a body which is homogeneous and continuous in its makeup Within this continuous material we can define mathematical functions for displacement stress or strain fields which have well defined continuous spatial derivatives Continuum mechanics is the study of how materials behave when subjected to external influences External influence