甘肃省天水一中高三数学下学期第一次诊断考试试题 理（含解析）新人教B版(1).doc

1 甘肃省天水市一中甘肃省天水市一中 20142014 届高三年级诊断考试届高三年级诊断考试 数学 理 试题数学 理 试题 第第 卷 选择题卷 选择题 共共 6060 分 分 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 1 若 a b 都是实数 i 为虚数单位 则 a b i bia 43 25 a 1 b 1 c 7 d 7 答案 b 解析 因为 所以 所以 i bia 43 25 3425 3 4abiiab 所以 1ab 2 已知命题 p 且 a 0 有 命题 q 则下列r a2 1 a ar x3cossin xx 判断正确的是 a p 是假命题 b q 是真命题 c 是真命题 d 是真命题 qp qp 答案 c 解析 命题 p 且 a 0 有 是真命题 命题 q r a2 1 a a 是假命题 所以是真命题 r x3cossin xx qp 3 如图 设 d 是边长为 l 的正方形区域 e 是 d 内函数yx 与 所构成 阴影部分 的区域 在 d 中任取一点 则该 2 yx 点在 e 中的概率是 a b c d 1 4 2 3 1 6 1 3 答案 d 解析 图中阴影部分的面积为 1 3 1 23 2 0 0 211 333 xx dxxx 所以所投的点落在叶形图内部的概率 1 3 s p s 阴 正 4 设 m 是边 bc 上任意一点 n 为 am 的中点 若 则 的值abc acaban 2 为 a b c d 1 4 1 3 1 2 1 答案 c 解析 因为 m 是边 bc 上任意一点 设abc 又 1ammabnacmn 且 所以 11 22 anammabnacabac 11 22 mn 5 执行如图所示的程序框图 输出的k的值为 a b c d 4567 答案 a 解析 第一次循环 此时满足条件 继续循环 21 11 s sskk 第二次循环 此时满足条件 继续循环 23 12 s sskk 第三次循环 此时满足条件 继续循环 211 13 s sskk 第四次循环 此时不满足条件 结束循环 所以输出的22059 14 s sskk k的值为 4 6 八个一样的小球排成一排 涂上红 白两种颜色 5 个涂红色 3 个涂白色 若涂红色的小球恰好有三个连续 则不同涂法共有 a 36 种 b 30 种 c 24 种 d 20 种 答案 c 解析 先把 3 个涂红色的小球捆绑 作为一体 再把 3 个涂白色的小球排起来 第一步 把捆绑的小球插入 3 个涂白色的小球中有 4 种选择 第二步 把剩下的 2 个红色小球插入 2 个红色小球分开有 3 种插法 在一起也有 3 种插 法 即 涂法有 4 3 3 24 种 7 已知函数 则使函数有零点的实数的取值范 0 0 0 xe x xf x mxxfxg m 围是 a b 1 0 1 0 c d 1 2 1 答案 b 解析 3 函数的零点就是方程的根 做出函数mxxfxg f xxm 的图像 观察它与直线 y m 的交点 得知当 0 0 x x x h xf xx ex x 时有交点 即函数有零点 01mm 或mxxfxg 8 若三角形 abc 中 sin a b sin a b sin2c 则此三角形的形状是 a 等腰三角形 b 直角三角形 c 等边三角形 d 等腰直角三角形 答案 b 解析 因为 sin a b sin a b sin2c 所以 sin a b sinc 即 sin a b sin a b 所以 因为 a b 为三角形的内角 所以 sincos0ab cos0 2 bb 即 所以此三角形的形状是直角三角形 9 若某棱锥的三视图 单位 cm 如图所示 则该棱锥的体积等于 a 10 cm3 b 30 cm3 c 20 cm3 d 40 cm3 答案 c 解析 一个三棱柱截取一个三棱锥 111 abcabc 111 aabc 剩下的部分 其中三棱柱的底面为直角三角形 两直角边为 3 和 4 三棱柱的高为 5 所以该几何体的体积为 2 111 3 4 53 4 520 232 vcm 10 已知抛物线 2 2ypx 的焦点f与双曲线的右焦 22 1 79 xy 点重合 抛物线的准线与x轴的交点为k 点a在抛物线上且 正视图侧视图 俯视图 5 3 43 9 题图 4 2 akaf 则 的面积为afk a 4 b 8 c 16 d 32 答案 d 解析 因为抛物线 2 2ypx 的焦点f与双曲线的右焦点重合 所以 22 1 79 xy 8p 设 a 又 2 akaf 所以 又 解得 a m n4mn 2 16nm 所以 的面积为 4 8mn afk 1 8 832 2 s 11 数列的前项和为 数列的通项公式为dxxa n n 0 12 n a 1 n s n b 则的最小值为 8 nbn nns b a 4 3 34 答案 a 解析 所以 22 00 21 1 nn n axdxxxnnn n 所以 所以 1111 1 1 n an nnn 1 1 11 n n s nn 当且仅当时等号成立 8 9 1 104 11 nn n n b sn nn 9 1 2 1 nn n 即 12 设函数在 0 内有定义 对于给定的正数 k 定义函数 yf x 取函数 恒有 则 k f xf xk fx k f xk ln1 x x f x e k fxf x a k 的最大值为 b k 的最小值为 1 e 1 e c k 的最大值为 2 d k 的最小值为 2 答案 b 解析 因为 所以 又 ln1 x x f x e 2 1 ln11 x x xx e xelnx xx fx ee 在 0 内单调递减 所以当时 1 ln1g xx x 1 0g 01x 当时 所以 在 0 0g xfx 即1x 0 0g xfx 即 ln1 x x f x e 5 内单调递增 在 1 内单调递减 所以函数 的最大值的 0 1 ln1 x x f x e 所以要 恒有 则 k 的最小值为 1 1 f e k fxf x 1 e 第第 卷 非选择题卷 非选择题 共共 9090 分 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 二项式的展开式中 仅有第 5 项的二项式系数最大 则其常数项是 1 nx x 答案 70 解析 因为仅有第 5 项的二项式系数最大 所以 n 8 所以由 得 8 1 x x 由 8 2r 0 得 r 4 所以其常数项是 88 2 88 1 1 r r rrrr c xc x x 4 4 8 170c 14 设x y满足约束条件 向量 1 1 2 210 x yx xy 2 11 a byxm 且a a b b 则m的最小值为 答案 6 解析 因为a a b b 所以 画出约束条件的可行域 由可行域知 2mxy 1 1 2 210 x yx xy 目标函数过点 1 8 时取最小值 6 2mxy 15 如图 已知球o是棱长为1的正方体 1111 abcdabc d 的内切球 则平面 1 acd截球o的截面面积为 答案 6 解析 易知球 o 的圆心为的交点 球的半径为 且球 o 到面 1 acd 的距离 11 bdb d与 1 2 为 所以平面 1 acd截球o的截面圆的半径为 平面 1 acd截 3 6 2 2 136 266 球o的截面面积为 6 16 已知 f n 1 n n 经计算得 n 1 3 1 2 1 f 4 2 f 8 f 16 3 f 32 观察上 2 5 2 7 o ab c d a1 b1 c1d1 6 述结果 则可归纳出一般结论为 答案 2 2 2 n n f 解析 观察式子的规律 f 22 f f f 可归 4 2 3 2 2 5 4 2 6 2 5 2 2 7 纳出一般结论为 2 2 2 n n f 三 解答题 本大题共 6 道题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1717 本题满分本题满分 1212 分分 在 abc中 分别为内角a b c的对边 且cba 2 sin 2 sin 2 sin aabcbcbc 1 求角a的大小 2 求sinsinbc 的最大值 18 18 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 某班将要举行篮球投篮比赛 比赛规则是 每位选手可以选择在 a 区投篮 2 次或选择 在 b 区投篮 3 次 在 a 区每进一球得 2 分 不进球得 0 分 在 b 区每进一球得 3 分 不进 球得 0 分 得分高的选手胜出 已知某参赛选手在 a 区和 b 区每次投篮进球的概率分别是 和 9 10 1 3 如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准 问该选手应该选择哪个区投篮 请说明理由 求该选手在 a 区投篮得分高于在 b 区投篮得分的概率 1919 本题满分本题满分 1212 分分 如图 正方形 adef 与梯形 abcd 所在平面互相垂直 ad cd ab cd ab ad 2 2 1 cd 点 m 在线段 ec 上且不与 e c 重合 1 当点 m 是 ec 中点时 求证 bm 平面 adef 2 当平面 bdm 与平面 abf 所成锐二面角的余弦值 为 6 6 时 求三棱锥 m bde 的体积 20 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 已知椭圆经过点 离心率为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x c 12 m 2 2 1 求椭圆 c 的方程 2 过点 q 1 0 的直线 l 与椭圆 c 相交于 a b 两点 点 p 4 3 记直线 pa pb 的 m f ab d c e 7 斜率分别为 k1 k2 当 k1 k2 最大时 求直线 l 的方程 21 本题满分本题满分 1212 分分 已知函数 2 ln 1 a f xxar x 求的单调区间 xf 如果当且时 恒成立 求实数的范围 1 x 2x ln1 2 xa xx a 请考生在题 请考生在题 2222 2323 2424 中任选一题作答 如果多做 则按所做的的第一题计 中任选一题作答 如果多做 则按所做的的第一题计 分 做题时用分 做题时用 2b2b 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22 22 本题满分本题满分 1010 分分 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲几何证明选讲 已知 a b c d 为圆 o 上的四点 直线 de 为圆 o 的切线 ac de ac 与 bd 相交于 h 点 求证 bd 平分 abc 若 ab 4 ad 6 bd 8 求 ah 的长 23 23 本题满分本题满分 1010 分分 选修选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 在直角坐标系中 以原点为极点 x轴的正半轴为极轴建坐标 系 已知曲线 cos2sin 2 ac 0 a 已知过点 4 2 p的直线l的参数方程为 ty tx 2 2 4 2 2 2 直线 与曲线分别交于两点 lcnm 写出曲线和直线 的普通方程 cl 若 pnmnpm成等比数列 求a的值 2424 本题满分本题满分 1010 分分 选修选修 4 4 5 5 不等式选讲不等式选讲 解不等式211xx 2 设 试求的最小值及相应的值 4 222 zyxzyxrzyx22 zyx 8 数学 理 答案 一 选择题 bcdca cbbcd ab 二 填空题 13 70 14 6 15 16 6 2 2 2 n n f 三 解答题 本大题共 6 道题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1717 本题满分本题满分 1212 分分 答案 解 1 由已知 根据正弦定理得 2 222abc bcb c 即 3 分 222 abcbc 由余弦定理得 222 2cosabcbca 6 分 1 cos 120 2 aa 2 由 1 得 sinsinsinsin 60 bcbb 9 分 31 cossinsin 60 060 22 bbbb 故当时 取得最大值 1 12 分30b sinsinbc 1818 本题满分本题满分 1212 分分 答案 解 设该选手在a区投篮的进球数为x 则 999 2 2 10105 xbe x 故 则该选手在a区投篮得分的期望为 3 9 23 6 5 分 设该选手在b区投篮的进球数为y 则 11 3 31 33 ybe y 故 则该选手在b区投篮得分的期望为 3 13 所以该选手应该选择a区投篮 6 分 9 设 该选手在a区投篮得分高于在b区投篮得分 为事件c 该选手在a区投 篮得 4 分且在b区投篮得 3 分或 0 分 为事件d 该选手在a区投篮得 2 分且在b区 投篮得 0 分 为事件e 则事件 且事件d与事件e互斥 7 分 cde 9 分 81483 1009275 p d 11 分 1884 1002775 p e 3449 57575 p cp de 故该选手在a区投篮得分高于在b区投篮得分的概率为 12 分 49 75 19 19 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 解 1 以分别为轴建立空间直角坐标系dadcde x y z 则 2 0 0 2 2 0 0 4 0 0 0 2 0 2 1 abcem 的一个法向量 2 0 1 bmadef 面 0 4 0 dc 即 4 分0bm dc bmdc bmadef面 2 依题意设 0 2 04 2 t mtt 设面的法向量bdm 1 nx y z 则 220db nxy 2 0 2 t dm ntyz 令 则 面的法向量1y 1 2 1 1 4 t n t abf 2 1 0 0 n 解得 10 分 12 12 12 2 16 cos 642 2 4 nn n n nn t 2t 为 ec 的中点 到面的距离 0 2 1 m 1 2 2 demcde ss bdem2h 12 分 14 33 mbdedem vsh 另解 用传统方法证明相应给分 10 20 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 试题解析 1 由已知可得 所以 1 222 22 1 2 cab aa 22 2ab 分 又点在椭圆c上 所以 2 分 2 1 m 22 21 1 ab 由 解之 得 22 4 2ab 故椭圆c的方程为1 24 22 yx 4 分 2 解法一 当直线l的斜率为 0 时 则 12 kk 333 42424 5 分 当直线l的斜率不为 0 时 设 11 a x y 22 b xy 直线l的方程为1xmy 将 1xmy 代入 22 1 42 xy 整理得 22 2 230mymy 则 12 2 2 2 m yy m 12 2 3 2 y y m 又1 1 1xmy 2 2 1xmy 所以 1 12 1 3 4 y kk x 2 2 3 4 y x 12 12 3 3 3 3 yy mymy 1212 2 1212 93 93 yyy y m yym y y 22 2 22 23 93 22 23 93 22 m mm m mm mm aa 2 2 325 46 mm m 2 341 4812 m m 9 分 令41tm 则 12 2 32 4225 t kk tt 当时即时 0t 1 4 m 12 3 4 kk 当时 12 2 32 4225 t kk tt 32 25 4 2t t 0t 或 12 73 124 kk 12 3 1 4 k k 当且仅当5 t 即1 m时 取得最大值 11 分 12 kk 由 得 直线l的方程为 10 xy 12 分 11 解法二 当直线l垂直于 x 轴时 则 12 kk 66 33 5 22 41416 a 当直线l与 x 轴不垂直时 设 11 a x y 22 b xy 直线l的方程为 1 yk x 将代入 22 1 42 xy 整理得 1 yk x 2222 12 4240kxk xk 则 22 1212 22 424 1212 kk xxx x kk 又 11 1 yk x 22 1 yk x 所以 1 12 1 3 4 y kk x 2 2 3 4 y x 222 1212 1212 9 3 164 kkkx xk x x xxx x 2 2 325 46 kk k 令由得或 2 2 325 46 kk h k k 0h k 1k 2 3 k 所以当且仅当时 12 k k 最大 所以直线l的方程为 10