东北大学线性代数期末试题2009-2015及答案.pdf

东 北 大 学 考 试 试 卷 A 卷 20200 09 9 20201010 学年学年 第第一一学期学期 课程名称 课程名称 线性代数线性代数 一 10 分 设矩阵 43 21 A E为 2 阶单位矩阵 矩阵B满足 BA B 2E 求 B 解解 由 BA B 2E 得EEAB2 于是 4 2 EEAB 6 分 又由于6 EA 所以 3 2 B 10 分 二 10 分 设三阶方阵A B满足关系式BABA 1 6 其中 A是A 的伴随矩阵 且 210 530 002 A 求矩阵B 解解 2 A EEAAA2 3 分 由BABA 1 6 有ABEB 12 即 1 12 AEB 6 分 3 23 10 3 53 10 001 12 840 2040 0012 10 分 三 10 分 求线性空间 3 R中由基 T 0 0 1 1 T 0 1 1 2 T 1 1 1 3 到 基 T 1 2 1 1 T 2 1 1 2 T 3 2 1 1 的过渡矩阵 并求向量 321 在 基 321 下的坐标 解解 由C 321321 得过渡矩阵 321 1 321 C 321 212 111 100 110 111 1 321 212 111 100 110 011 321 131 121 5 分 由于 321 所以 1 1 1 1 1 1 321321 C 故向量 在基 321 下的坐标为 0 1 2 1 1 1 321 131 121 x 10 分 2 1 总分 一 二 三 四 五 六 七 学 院 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 四 10 分 设 4321 都是四维列向量 4321 A 向量 T 0 3 0 1 1 T 2 0 0 1 2 是齐次线性方程组0 xA的一个基础解系 求向量 组 4321 的一个极大线性无关组 解解 由于0 xA的解空间是二维的 所以2 AR 3 分 由于 T 0 3 0 1 1 T 2 0 0 1 2 是解 所以 03 31 02 41 8 分 即 43 可由 1 线性表示 所以 21 是一个极大线性无关组 10 分 五 20 分 设三阶实对称矩阵A满足1 2 EAR 且齐次线性方程 组0 xA有非零解 T 2 1 1 求矩阵A 解解 由于1 2 EAR 所以 2 是 A 的二重特征值 4 分 由于0 xA有非零解 T 2 1 1 知 0 是 A 的特征值 是特征向量 8 分 由于 A 是实对称矩阵 所以特征值 2 的特征向量与 正交 可取为 T 0 1 1 1 T 1 1 1 2 12 分 将 T 2 1 1 T 0 1 1 1 T 1 1 1 2 单位化 得正交矩阵 3 1 0 6 2 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 Q 16 分 则 3 1 3 1 3 1 0 2 1 2 1 6 2 6 1 6 1 2 2 0 3 1 0 6 2 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 T QQA 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5 3 1 3 2 3 1 3 5 3 1 3 1 3 1 0 2 1 2 1 6 2 6 1 6 1 3 2 00 3 2 2 2 0 3 2 2 2 0 20 分 六 20 分 问dcba 满足什么条件时 二次型 2 14 2 43 2 32 2 214321 dxxcxxbxxaxxxxxxf 是正定二次型 为什么 解解 显然0 4321 xxxxf 且0 4321 xxxxf当且仅当 0 0 0 0 14433221 dxxcxxbxxaxx 5 分 由于 100 100 010 001 d c b a D abcd 1 10 分 故当1 abcd时 即当且仅当0 4321 xxxx时 二次型0 4321 xxxxf 15 分 所以当1 abcd时 4321 xxxxf是正定二次型 20 分 七 20 分 证明 1 n维向量组 s a 21 和 t 21 等价的充分 必要条件是 21s aR 21t R 21s aR 21t 2 设A是nm 矩阵 则 ARAAR T 证明证明 1 不妨设 r a 21 与 l 21 分别是 s a 21 与 t 21 的极大 线性无关组 则 s a 21 与 t 21 等价 r a 21 与 l 21 等价 r a 21 与 l 21 都是 21s a t 21 的极大线性无关组 21s aR 21t R 21s aR 21t 2 若x 使0Ax 则必使0 T A Ax 又若x 使0 T A Ax 则必使0 TT x A Ax 即 0 T AxAx 0Ax 亦即 0Ax 因此 齐次线性方程组0Ax 与0 T A Ax 同解 所以 ARAAR T 2 2 东 北 大 学 考 试 试 卷 A 卷 20200 09 9 20201010 学年学年 第第二二学期学期 课程名称 课程名称 线性代数线性代数 共 共 2 2 页 页 一 15 分 设矩阵 3142 2401 2222 1043 A 求矩阵A第四行元素余子式 之和 解解 44434241 MMMM 44434241 AAAA 3 分 1111 2401 2222 1043 10 分 0 15 分 二 20 分 已知向量组 2 1 1 1 a 1 2 2 0 2 3 b 与向量组 3 2 1 1 3 1 2 2 6 7 1 3 有相同的秩 且向量 3 可由向量组 321 线性表示 求参数ba 的值 解解 由于 3 可由向量组 321 线性表示 且 0633 712 2121 3321 b 6330 4550 2121 b 6000 2110 2121 b 5 分 所以6 b 且 321 的秩为 2 10 分 依题意 向量组 321 的秩为 2 于是 0284 02 611 221 321 a a 15 分 所以6 7 ba 20 分 三 15 分 设 n 阶方阵A的各行元素之和为零 A的伴随矩阵OA 求齐次线性方程组0 xA的通解 解解 由于OA 所以存在代数余子式0 ij A 故1 nAR 5 分 由于A的各行元素之和为零 所以0 A 故 1 nAR 8 分 所以1 nAR 0 xA的解空间是一维的 10 分 A的各行元素之和为零 即0 1 1 1 T A 因此 向量 T 1 1 1 是0 xA的 一个基础解系 方程组的通解为 12 分 Rkkx 15 分 2 1 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 四 20 分 已知二次型 21 2 3 2 2 2 1321 22 xxxaxxxxxf 可以经过正交 变换yQx 化成标准形 2 3 2 2321 22 yyxxxf 求数a和正交矩阵Q 解解 二次型的矩阵 200 01 011 aA A的特征值为2 0 321 5 分 由特征值性质 有43 a 所以1 a 10 分 由于 200 011 011 A 000 100 011 所以属于特征值0 1 的特征向量为 T e 0 2 1 2 1 1 13 分 由于 000 011 011 2EA 000 000 011 所以属于特征值2 2 的特征向量为 T e 0 2 1 2 1 2 T e 1 0 0 3 18 分 所求正交矩阵为 100 02 12 1 02 12 1 321 eeeQ 20 分 五 15 分 设四阶矩阵A满足023 23 AAA 且A的秩2 AR 问矩阵A是否与对角矩阵相似 为什么 解解 由于2 AR 所以 0 是A的 2 重特征值 0 xA的解空间是二维的 即对 于特征值 0 存在两个线性无关的特征向量 4 分 另由OEAEAAAAA 2 23 23 可知 矩阵A的另两个特征值只能是 1 或 2 1 如果 1 和 2 都是矩阵A的特征值 则矩阵A有 4 个线性无关的特征向量 因此与对角矩阵相似 8 分 2 若 2 不是矩阵A的特征值 则EA2 可逆 于是OEAA 4 EARAR 2 EAR 故 1 是矩阵A的特征值 且对于特征值 1 存 在两个线性无关的特征向量 于是 A有 4 个线性无关的特征向量 A与对角矩阵相似 12 分 3 同理 若 1 不是A的特征值 则 2 是矩阵A的特征值 且对于特征值 2 存 在两个线性无关的特征向量 于是 A有 4 个线性无关的特征向量 A与对角矩阵相似 总之 在已知条件下 矩阵A必与对角矩阵相似 15 分 六 15 分 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为 6 岁 将其分 成三个年龄组 第一组 0 2 岁 第二组 3 4 岁 第三组 5 6 岁 动物从第 二年龄组起开始繁殖后代 经过长期统计 第二组和第三组的繁殖率分别为4和3只 第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为 1 2 和 1 4 假设农场现有三个年龄段的动物各 1000 只 问 6 年后农场三个年龄组的动物各有 多少只 解解 记k2年后三个年龄组的动物只数分别为 kkk zyx 则有 1 2 1 kk xy 1 4 1 kk yz 11 34 kkk zyx 3 2 1 k 5 分 即 1 1 1 04 10 002 1 340 k k k k k k z y x z y x 且 1000 1000 1000 0 0 0 z y x 10 分 所以 250 500 7000 1000 1000 1000 04 10 002 1 340 1 1 1 z y x 125 3500 2750 250 500 7000 04 10 002 1 340 2 2 2 z y x 875 1375 14375 125 3500 2750 04 10 002 1 340 3 3 3 z y x 即 6 年后农场有 0 2 岁动物 14375 只 3 4 岁动物 1375 只 5 6 岁动物 875 只 2 2 15分 东 北 大 学 考 试 试 卷 A 卷 20201010 20201 11 1 学年学年 第第一一学期学期 课程名称 课程名称 线性代数线性代数 共 共 2 2 页 页 一 15 分 设矩阵 400 023 012 A 矩阵B满足EBAABA 1 2 其中 A 是 A的伴随矩阵 1 A是 A的逆矩阵 E是单位矩阵 求矩阵B的行列式 B 解解 由于 A 4 所以 A A 4E 于是有 ABAB 24 即ABEA 24 5 分 4 24 ABEA 10 分 又由于168 24 EA 所以 13 分 42 1 B 15 分 二 20 分 t 取何值时 向量组 2 1 1 1 0 1 2 2 与向量组 t 2 1 1 2 0 3 2 等价 等价时求出相互线性表示式 解解 由于 202 0211 3121 2121 t 2420 3330 3121 t 0200 1110 3121 t 5 分 所以 当 t 2 时两个向量组等价 10 分 由于当 t 2 时 有 0000 1110 3121 2121 0000 1110 1101 0000 102 12 1 012 12 1 15 分 所以 211 2 1 2 1 212 2 1 2 1 211 212 20 分 三 15 分 在线性空间 3 xR中定义内积 1 1 dxxgxfxgxf 求 3 xR的一组正交基 解解 2 321 1xx 是 3 xR的一组基 将其正交化得 1 11 4 分 x 1 11 12 22 8 分 1 11 13 33 3 1 2 2 22 23 x 12 分 321 即是 3 xR的一组正交基 15 分 2 1 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 四 20 分 已知线性方程组 1 2432 132 4321 4321 4321 xbxaxx xxxx xxxx 有三个线性无关的 解 求ba 的值和方程组的通解 解解 由于线性方程组bxA 有 3 个线性无关的解 所以齐次线性方程组0 xA 至 少有 2 个线性无关的解 因此0 xA的解空间至少是二维的 故 4 R A 2 显然 R A 2 所以 R A 2 5 分 又由于 111 24132 13121 ba bA 02120 02110 13121 ba 0010 02110 11101 ba 所以0 1 ba 通解为 15 分 Rcccx cx ccx ccx 2124 13 212 211 2 1 20 分 五 15 分 设三阶矩阵A的各行元素之和都等于 3 且向量 T 0 1 1 1 T 2 1 1 2 都是齐次方程组0 xA的解 求矩阵A 解解 由A各行元素之和都等于 3 得 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 A 所以 3 是 A 的特征值 属 于 3 的特征向量为 T 1 1 1 3 3 分 又由于 T 0 1 1 1 T 2 1 1 2 都是齐次方程组0 xA的解 知 0 是 A 的二 重特征值 且 T 0 1 1 1 T 2 1 1 2 是属于 0 的两个特征向量 8 分 又由于 321 正交 单位化后得正交矩阵 3 1 6 2 0 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 Q 10 分 所以 T QQA 3 0 0 111 111 111 15 分 六 15 分 已知三家相互关联的股份制公司 X Y 和 Z 其中 X 公司持 有 X 公司 70 股份 持有 Y 公司 20 股份 持有 Z 公司 30 的股份 Y 公司持有 Y 公司 60 股份 持有 Z 公司 20 股份 Z 公司持有 X 公司 30 的股份 持有 Y 公司 20 股份 持有 Z 公司 50 股份 现设 X Y Z 公司各自的营业净收入分别是 22 万元 6 万元 9 万元 每家公司的总收入是其净收入加上在其他公司的股份按 比例的提成收入 试求各公司的总收入及各公司的实际收入 解解 设 X Y Z 三公司的总收入分别为 x y z 则有 yxz zy zyx 2 03 09 2 06 3 02 022 或 92 03 0 62 0 223 02 0 zyx zy zyx 5 分 由于 912 03 0 62 010 223 02 01 16 17858 0 00 62 010 2 2334 0 01 20100 10010 30001 所以 x 30 万元 y 10 万元 z 20 万元 10 分 X 公司的实际收入为 0 7x 21 万元 Y 公司的实际收入为 0 6y 6 万元 Z 公司的实际收入为 0 5z 10 万元 15 分 2 2 东 北 大 学 考 试 试 卷 A 卷 20201010 20201 11 1 学年学年 第第二二学期学期 课程名称 课程名称 线性代数线性代数 共 共 2 2 页 页 一 15 分 设三阶矩阵 321 A 332321 4 3 32 B 且A的行列式1 A 求矩阵B的行列式 B 解解 因为 332321 4 3 32 B 413 031 002 321 所以 24 413 031 002 AB 二 20 分 设向量组 2 1 1 1 1 1 2 2 a 2 1 3 线性相关 向量 b 1 3 可由向量组 321 线性表示 求ba 的值 解解 由于 ba12 1211 3121 321 6230 4330 3121 ba 2100 4330 3121 ba 所以 2 1 ba 三 15 分 证明由所有二阶实对称矩阵组成的集合 V 是 R2 2的子空间 并试在 V 上定义内积运算 使 V 成为欧几里得空间 并给出 V 的一组正交基 解解 显然 V 是 R2 2的子集 且对于任意 RkV bb bb B aa aa A 2212 1211 2212 1211 都有 22221212 12121111 V baba baba BA V kaka kaka kA 2212 1211 所以 V 是 R2 2的子空间 对于任意V bb bb B aa aa A 2212 1211 2212 1211 定义内积 A B 222212121111 bababa 显然满足 A B B A A B C A C B C kA B k A B A A 0 且 A A 0 当且仅当 A O 00 01 1 A 01 10 2 A 10 00 3 A是 V 的一组正交基 注 内积和正交基都是不唯一的 2 1 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 四 20 分 已知三阶矩阵A的伴随矩阵 333 222 111 A 求齐次线性 方程组0 xA的通解 解解 由于OA 且1 AR 所以 R A 2 0 xA的解空间是 1 维的 由OEAAA 可知 A 的列向量是0 xA的解 于是 1 2 3 T是 0 xA 的一个基础解系 通解为 Rkkx 3 2 1 五 15 分 设三阶实对称矩阵A满足AA2 2 向量 T 0 1 1 是 齐次方程组0 xA的一个基础解系 求矩阵 A 解解 由0 xA的基础解系中只有一个解可知 A 的秩为 2 由AA2 2 知 A 的特征值只能为 2 或 0 所以 A 的三个特征值为 2 2 0 由0 A知 是属于特征值 0 的特征向量 由于 A 的属于特征值 2 的特征向量必与 正交 所以特征值 2 的特征向量 可取为 T 0 1 1 1 T 1 0 0 2 构造正交矩阵 010 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 Q 则 T QQA 010 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 0 2 2 0 2 1 2 1 100 0 2 1 2 1 200 011 011 六 15 分 某仓库有 A B C 三种物品若干件 现按下述方案进行采购 购进原 B 物品件数 30 和原 C 物品件数 50 的 A 物品 购进原 A 物品件数 30 的 B 物品 购进原 B 物品件数 60 的 C 物品 试建立采购前后仓库 A B C 三种物 品件数间的关系式 若采购后仓库 A B C 三种物品件数分别为 290 330 380 求采 购前仓库 A B C 三种物品的件数 解解 记采购前仓库 A B C 三种物品件数分别为 000 zyx 采购后仓库 A B C 三种物 品件数分别为 111 zyx 则按题意有 001 001 0001 6 0 3 0 5 03 0 zyz yxy zyxx 即 0 0 0 1 1 1 16 00 013 0 5 03 01 z y x z y x 所以 当380 330 290 111 zyx时 有 380 330 290 16 00 013 0 5 03 01 1 0 0 0 z y x 200 300 100 380 330 290 91 0 6 018 0 15 0 13 0 5 001 即采购前仓库 A B C 三种物品的件数分别为 100 300 200 2 2 东 北 大 学 考 试 试 卷 A 卷 20201 11 1 20201 12 2 学年学年 第第一一学期学期 课程名称 课程名称 线性代数线性代数 共 共 2 2 页 页 一 15 分 设三阶矩阵 A的行列式4 A 求行列式 1 6 1 AA 的值 其中 A 是矩阵A的伴随矩阵 解解 1 6 1 AA 1 1 46AA 1 2 A2 4 1 23 二 20 分 设向量 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 3 4 5 1 1 a 9 2 2 3 1 3 b 问 1 ba 满足什么条件时矩阵 321 A与 321 B等价 2 ba 取何值时向量组 321 与 321 等价 解解 1 由于 211 112 121 A 000 330 121 000 110 121 所以2 AR 34 95 121 a bB 180 510 121 a b 5 8 100 510 121 ba b 所以 当 0 5 8 1 ba 时 2 BR 矩阵BA 等价 2 由于 34211 95112 121121 a bBA 223330 253330 121121 a b 470000 253330 121121 ba b 所以 当4 7 ba时 向量组 321 与 321 等价 三 15 分 设 T 0 1 1 V 表示标准内积下与向量 正交的所有三维 向量组成的集合 证明 V 是 R3的子空间 并求 V 的一组基和维数 解解 设RkV 则有0 0 于是 0 0 k 即 VkV 所以 V 是 R3的子空间 又由于与 正交的向量 T xxx 321 满足 0 21 xx 所以 V 是 2 维向量空间 T 0 1 1 1 T 1 0 0 2 是 V 的一组基 2 1 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 四 15 分 设 54321 A 其中 5 4 3 2 1i i 是 n 维列向量 已知0 xA的一个基础解系为 TT 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 21 求 54321 的一个极大线性无关向量组 解解 由于0 xA的基础解系含两个解向量 所以3 AR 又由于 TT 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 21 是0 xA的基础解系 即解 所以 02 31 0 41 表明 43 可由 1 线性表示 因此 521 线性无关 即是 54321 的一个 极大线性无关向量组 五 20 分 已 知 3 元 二 次 型xAxf T 可 经 过 正 交 变 换 化 为 2 3 2 2 2 1 2yyyf 又知 A 其中 A是A的伴随矩阵 T 1 1 1 求二次 型xAxf T 解解 已知条件表明矩阵A的特征值为 1 2 32 1 于是2 A 由EEAAA2 A 得 2 A 即 是矩阵A属于特征值 2 的特 征向量 由于矩阵A是实对称矩阵 所以矩阵A属于特征值1 32 的特征向量与 正交 可取属于 1 的特征向量为 T 1 0 1 T 1 2 1 将 单位化 得正交矩阵 6 2 0 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3 1 Q 且有 011 101 110 T QQA 所以二次型为 2 323121 xxxxxxxAxf T 六 15 分 一个混凝土生产企业可以生产出三种不同型号的混凝土 它 们的具体配方比例如下表所示 型号 1 混凝土 型号 2 混凝土 型号 3 混凝土 水 10 10 10 水泥 20 18 12 砂 20 25 15 石子 10 5 15 灰 0 2 8 现在有二个用户要求混凝土中含水 水泥 砂 石子及灰的比例分别为 10 16 21 9 4 和 12 16 19 9 4 那么 能否用这三种型号的混凝土配出满足用户要求的混凝土 如能配出 需要这种混凝土 50 吨 问三种混凝土各需要多少吨 解解 由于 44820 9915510 1921152520 1616121820 1210101010 44820 31550 51550 84820 1210101010 00000 80000 2592500 42410 1210101010 所以可以配出满足用户一要求的混凝土 但配不出满足用户二要求的混凝土 又由于 00000 10000 125 9100 42410 8 21301 00000 10000 025 9100 025 14010 025 2001 所以 若用户一需要混凝土 50 吨 则三种混凝土分别需要 4 吨 28 吨 18 吨 2 2 东 北 大 学 考 试 试 卷 A 卷答案 20201 11 1 20201 12 2 学年学年 第第二二学期学期 课程名称 课程名称 线性代数线性代数 共 共 2 2 页 页 一 15 分 设矩阵 322 222 221 A 求 1 A 其中 A是矩阵A的伴随矩阵 解 解解 由于02 A 所以A可逆 于是 5 分 11 2 AAAA 10 分 所以 2 311 111 112 1 2 1 1 AA 15 分 二 15 分 设向量 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 3 a 9 2 问 a取 何值时向量 可由向量组 321 线性表示 表示式是否唯一 并求表示式 解解 由于 a211 9112 2121 321 2330 5330 2121 a 7000 3 5110 3 16101 a 5 分 所以 当7 a时 向量 可由向量组 321 线性表示 且表示式不唯一 10 分 表示式为 Rkkkk 3 5 3 16 321 15 分 三 15 分 证明 Rcba c bcbaa V 00 是 32 R的子空间 求 V 的一组基和维数 并在V上定义内积运算 使V成为欧几里得空间 不用证明 解解 显然 V 是 32 R的子集 且对 00 1 11111 c bcbaa A RkV c bcbaa B 00 2 22222 都有 V cc bbccbbaaaa BA 00 21 2121212121 V kc kbkckbkaka kA 00 1 11111 所以V是 32 R的子空间 而 5 分 000 011 000 110 010 010 是 V 的一组基 维数是 3 10 分 定义内积 212121 ccbbaaBA 则V是欧几里得空间 15 分 2 1 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 四 20 分 设 3 阶非零矩阵A满足OAB 其中 413 112 121 B 求齐次线性方程组0 xA的通解 解解 由OAB 得3 BRAR 且B 的列向量都是0 xA的解 5 分 由于 413 112 121 B 770 330 121 000 330 121 所以2 BR 10 分 由于 A是非零矩阵 所以1 AR 齐次线性方程组0 xA的解空间是 2 维 的 15 分 因此 齐次线性方程组0 xA的通解为 1 1 2 3 2 1 2121 Rccccx 20 分 五 20 分 设n阶方阵A B满足BAAB 且矩阵A有n个互异的特 征值 证明 1 矩阵A的特征向量都是矩阵B的特征向量 2 矩阵B与对角矩阵相似 证明证明 1 记A的特征值和特征向量分别为 n1 和 n1 则 n1 线性无关 且niA iii 2 1 5 分 若0 i B 则 i 是B属于特征值 0 的特征向量 10 分 若 0 i B 则有 i AB iii BAB 所以 ii B 也是A属于 i 的特征向量 于是 i B ii k 即 i 是B属于特征值 i k的特征向量 所以 1 2 i in 也是B的特征向量 15 分 2 由于矩阵B有n个线性无关的特征向量 所以B与对角矩阵相似 20 分 六 15 分 下图是某一地区的公路交通网络图 所有道路都是单行路 且 道路上不能停车 通行方向用箭头标明 标示的数据为每小时进出网络的车辆数 试 求每小时通过各干道的车流量 例如 表示每小时通过干道 AB 的车辆数等 并 简单解释你得到的结果 解解 由已知得 vu zu zy yx vx 500 300 400 200 400 即 500 300 400 200 400 vu uz zy yx vx 5 分 其通解为 Rc cv cu cz cy cx 500 200 600 400 10 分 由于车流量不能取负值 所以参数c应满足 600500 c 显然 如果500 c 说明由 A 口入的 400 辆车全部由 E 口出 由 B 口入 C 口 出的 100 辆车全部走的 B C 通道 如果500 c 说明由 A 口入的 400 辆车有一部分 是从 C 口出的 也有可能 B 口入的车有一部分走 B A E D C 绕行的 15 分 2 2 v u z y x 400 400 200 300 500 A B C D E 东 北 大 学 考 试 试 卷 A 卷 20201 12 2 20201 13 3 学年学年 第第一一学期学期 课程名称 课程名称 线性代数线性代数 共 共 2 2 页 页 一 5 分 已知 5 阶实对称矩阵 A满足AA 2 且秩3 AR 求矩阵AE 2的行列式 2det AE 解解 因为AA 2 所以 A 的特征值只能是 0 和 1 另因3 AR 所以矩阵 A 的 特征值为 1 1 1 0 0 3 分 于是 矩阵 2E A 的特征值为 1 1 1 2 2 4 分 所以 422111 2det AE 5 分 二 5 分 设向量组 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 3 和向量组 1 3 2 1 1 3 2 b a 3 1 3 秩相等 且 3 可由 321 线性表示 求ba 的值 解解 因为 3 可由 321 线性表示 且 a211 3112 1121 3321 2000 1330 1121 a 所以2 a 3 分 由于 211 33 132 321 b b600 110 211 且2 321321 RR 所以6 b 故6 2 ba 5 分 三 5 分 设 321 是 3 R的一组基 求由基 321 3 1 2 1 到基 133221 的过渡矩阵 解解 由于 31 21 1 3 1 2 1 321321 1 分 133221 110 011 101 321 2 分 所以 122331123 101 110 011 123 1101 11 2110 23 3011 3 分 所求过渡矩阵为 3 2 1 C 110 011 101 330 022 101 5 分 2 1 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 四 5 分 为何值时 线性方程组 22 12 4321 4321 xxxx xxxx 和 421 4321 122 xxx xxxx 有公共解 并求出所有公共解 解解 公共解既是联合方程组的解 于是由 1 分 1011 11122 21121 12111 0000 13100 11210 12111 0000 13100 35010 36001 可知 当 0 时 两个方程组有公共解 且全部的公共解为 3 分 Rk kx kx kx kx 31 53 63 4 3 2 1 5 分 或写成 1 3 5 6 0 1 3 3 Rkkx 5 分 五 5 分 问a为何值时矩阵 aa A 22 132 003 与对角矩阵相似 解解 矩阵 A 的特征多项式为 2 300 231 3 3 22 3 2 1 22 EAaaa aa 所以矩阵 A 的 3 个特征值为 3 2 1 a 2 分 当1 a且2 a时 A 有 3 个不同的特征值 故 A 必与对角矩阵相似 3 分 当1 a时 矩阵 A 有二重特征值 2 由于 112 112 001 2AE 000 110 001 所以 R 2E A 2 属于特征值 2 的线性无关特征向量只有 1 个 故 A 不能与对角 矩阵相似 4 分 当2 a时 矩阵 A 有二重特征值 3 由于 102 102 000 3AE 000 000 102 则 R 3E A 1 属于特征值 3 有 2 个线性无关特征向量 故 A 与对角矩阵相似 因此 只要1 a 矩阵 A 必与对角矩阵相似 5 分 六 5 分 某人将 10 万元投给甲 乙 丙 3 个公司 共获利润 1 79 万元 已知投给甲的钱等于投给乙和丙的钱数之和 且甲 乙 丙 3 个公司的利润率分别为 22 15 12 问此人分别投给甲 乙 丙 3 个公司多少钱 解解 设此人投给甲 乙 丙三个公司分别zyx 万元 则 79 1 12 0 15 0 22 0 0 10 zyx zyx zyx 3 分 由于 79 112 015 022 0 0111 10111 06 003 0 00 5110 5001 2100 3010 5001 所以2 3 5 zyx 即 此人投给甲公司 5 万元 投给乙公司 3 万元 投给丙公司 2 万元 5 分 2 2 东 北 大 学 考 试 试 卷 A 卷 20201 12 2 20201 13 3 学年学年 第第二二学期学期 课程名称 课程名称 线性代数线性代数 共 共 2 2 页 页 一 5 分 已知 3 阶非零矩阵A满足 T AA 其中 A为矩阵A的伴随矩 阵 T A为矩阵A的转置 求矩阵A的第一行元素的平方和 2 13 2 12 2 11 aaa 解解 由EAAAAA T 得 32 AA 故0 A或1 A 2 分 另由EAAAT 又得3 2 1 2 3 2 2 2 1 iAaaa iii 所以 由OA 必有0 A 故1 A 于是 4 分 1 2 13 2 12 2 11 aaa 5 分 二 5 分 问ba 为何值时 向量 b a 1 1 和 ba 0 3 2 都能由向量组 1 2 1 1 1 1 2 2 线性表示 并求出线性表示式 解解 由于 bab a 11 012 3121 2121 3100 6230 3121 baba a 所以当21 ba时 向量 1 和 2 都能由向量组 1 2 线性表示 3 分 又由于 2121 3100 6230 3121 baba a 0000 2110 1101 所以 1 21 2 21 2 5 分 三 5 分 设 5662 4331 4152 3221 A 求齐次线性方程组0 xA的通解 其中 A是矩阵A的伴随矩阵 解解 由于 5662 4331 4152 3221 A 11020 1510 2510 3221 0000 3000 2510 3221 1 分 所以3 AR 0 A 2 分 于是 由OAA 得1 AR 3 分 因此 0 xA的基础解系有 3 个解 4 分 由于A的列向量都是0 xA的解 所以0 xA的通解为 5 4 4 3 6 3 5 2 2 1 2 1 321321 Rccccccx 5 分 2 1 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 四 5 分 已知 3 阶实对称矩阵 A不可逆 且满足 10 12 12 10 11 11 A 求矩阵 A 解解 已知条件表明 0 1 1 2 0 1 1 A 1 1 1 1 1 1 A 1 分 所以2 1 1 2 是A的特征值 对应的特征向量为 0 1 1 和 1 1 1 2 分 由A不可逆 知0 3 是A的特征值 对应的特征向量则为 2 1 1 3 分 取正交矩阵 6 23 10 6 13 12 1 6 13 12 1 Q 得 4 分 3 13 13 1 3 13 43 2 3 13 23 4 T QQA 111 142 124 3 1 5 分 五 5 分 给出线性空间 Rcba c ba V 0 的维数和一组基 并写出V上线性变换 A A AT在这组基下的矩阵 解解 线性空间 Rcba c ba V 0 的维数是 3 1 分 一组基为 00 01 00 10 01 00 3 分 线性变换 A A AT在这组基下的矩阵为 010 100 001 5 分 六 5 分 密码是一种保密通信技术 矩阵秘密法是一种常用编码技巧 其中 一种方法是将明文矩阵 A 前面乘以一个加密矩阵 P 使其变成密文矩阵 PA 现取加密矩 阵 32 2 31 1 12 PPPP 得到密文矩阵 2433 10141410 61397 求明文矩阵 A 注 32 2 31 1 12 PPP 都是 3 阶初等矩阵 解解 已知条件表明 2433 10141410 61397 PA 所以 2433 10141410 61397 1 PA 2 分 于是 2433 10141410 61397 1 12 2 31 32 PPPA 3 分 2433 4153 61397 2 31 32 PP 2433 4153 2531 32 P 4153 2433 2531 5 分 即明文矩阵为 4153 2433 2531 A 2 2 东 北 大 学 考 试 试 卷 A 卷答案 20201 13 3 20201 14 4 学年学年 第第一一学期学期 课程名称 课程名称 线性代数线性代数 共 共 2 2 页 页 一 5 分 已知 3 阶矩阵A满足0 52 EA 且1 2 EAR 其中E 为矩阵A的伴随矩 为 3 阶单位矩阵 求矩阵A的行列式 A 解解 由0 52 EA知 A 的 1 个特征值 2 5 1 2 分 由1 2 EAR知 A 的 2 个特征值2 32 4 分 所以 A10 321 5 分 二 5 分 问ba 为何值时 向量 1 1 1 a 和 3 0 2 2 与向量组 1 1 3 1 b 1 2 2 等价 并将 21 用 21 线性表示 解解 由于 b a 131 110 2321 2121 2410 213120 2321 b aaa aaba b b 62111100 2410 261101 1 分 所以当 2 5 11 1 ba时 21 与 21 等价 且有 3 分 211 411 212 2 9 11 5 分 三 5 分 设 3 阶矩阵A第一行元素与对应的代数余子式分别为1 11 a 3 12 a 3 1 3 2 13121113 AAAa 求齐次线性方程组0 xA的通解 解解 0 131312121111 AaAaAaA 1 分 又由于0 11 A 所以2 AR 2 分 于是 0 xA的解空间是 1 维的 3 分 由OEAAA 知 T 3 1 3 是0 xA的非零解 4 分 所以0 xA的通解为 Rccx 3 1 3 5 分 2 1 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 四 5 分 设二次型 321 xxxf可经过正交变换Qyx 化成标准形 2 3 2 2 2 1321 yyyxxxf 且Q的第三列元素为 2 1 2 1 0 求正交矩阵Q和二次 型 321 xxxf 解解 由已知条件可知 A 的 3 个特征值分别为1 1 321 1 分 且属于特征值1 3 的特征向量为 T 0 2 1 2 1 3 而属于特征值1 21 的特征向量与 T 0 2 1 2 1 3 正交 可取为 T 1 0 0 1 T 0 2 1 2 1 2 2 分 故所求正交矩阵为 321 Q 二次型 321 xxxf的矩阵为 3 分 100 001 010 T QQA 4 分 于是二次型 21 2 3321 2 xxxxxxf 5 分 五 5 分 设 321 和 321 是向量空间 3 R的两组基 且满足 11 212 3213 若向量 在基 321 下的坐标为 T 3 2 1 求向量 在基 321 下的坐标 解解 由于 321211321 100 110 111 321 1 分 所以 由基 321 到基 321 的过渡矩阵为 100 110 111 C 3 分 向量 在基 321 下的坐标为 xCy 1 3 1 1 3 2 1 100 110 111 1 5 分 六 5 分 现有电工 木工 油漆工各一人 按等价交换原则达成如下 工作协议 电工到木工家工作 2 天 到油漆工家工作 4 天 木工到电工家工作 3 天 到油漆工家工作 2 天 油漆工到电工家工作 4 天 到木工家工作 3 天 他们 各自的总收入和总支出恰好相等 求他们的日工资各是多少 假设他们的日工 资都是介于 70 90 之间的整数 单位 元 解解 设电工 木工 油漆工的日工资分别为zyx 元 则有 yxz zxy zyx 247 325 436 即 0724 0352 0436 zyx zyx zyx 2 分 由于 724 352 436 000 13120 352 000 12 13 10 24 29 01 3 分 所以 方程组的通解为 kz ky kx 24 26 29 Rk 4 分 由于zyx 是介于 70 90 之间的整数 所以 元72 元78 元87 zyx 5 分 2 2 东 北 大 学 考 试 试 卷 A 卷 20201 13 3 20201 14 4 学年学年 第第二二学期学期 课程名称 课程名称 线性代数线性代数 共 共 2 2 页 页 一 5 分 设 200 053 021 A 矩阵B满足EBAABA 1 求矩阵B的 行列式 B 其中 A是 A的伴随矩阵 1 A 是 A的逆矩阵 解解 因为2 A EBAABA 1 所以 ABAB 2 即ABEA 2 2 分 于是 2 ABEA 而 60 2 EA 所以 30 1 B 5 分 二 5 分 设 2 1 1 a 1 1 1 2 b 2 2 3 1 2 1 1 2 5 1 2 1 1 2 3 若矩阵 321 A与 321 B等价 且 3 可由 321 线性表示 求ba 的值 解解 b121 2152 2211 3321 b000 6330 2211 因 3 可由 321 线性表示 所以2 ARAR 0 b 2 分 又 012 21 211 321 a 410 2210 211 aa a2200 410 211 由 321 A与 321 B等价 知2 ARBR 所以1 a 5 分 三 5 分 设 312 111 A 31 21 C 1 求齐次线性方程组0 xA的一个基础解系 2 求满足CAB 的所有矩阵B 解解 1 312 111 A 110 201 所以2 AR 且 T 1 1 2 是0 xA 的一个基础解系 2 分 2 31312 21111 CA 13110 12201 所以CA 00 13 12 即 2 3 0 T 1 1 0 T是特解 满足CAB 的所有矩阵B为 B即为矩阵方程 AX C 的通解 Rkk kk kk kk B 21 21 21 21 13 2122 5 分 2 1 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 四 5 分 设 300 02 021 A 00 000 003 问 取何值时A与 相似 满足何条件时A与 合同 解解 矩阵 的三个特征值为 0 3 若 A与 相似 或 A与 合同 则 0 一定是A的特征值 由 0 4 3 A 得4 1 分 当4 时 矩阵A的三个特征值为5 0 3 所以 当5 4 时 A与 相似 3 分 当0 4 时 A与 合同 5 分 五 5 分 求线性空间 3 xR中由基x21 x31 2 x 到基2 x 1 2 21xx 的过渡矩阵 解解 由 100 032 011 1 31 21 22 xxxxx 有 1 22 100 032 011 31 21 1 xxxxx 2 分 100 210 112 1 21 1 2 22 xxxxx 1 2 100 032 011 31 21 xxx 100 210 112 100 034 146 31 21 2 xxx 4 分 由基x21 x31 2 x到基2 x 1 2 21xx 的过渡矩阵为 100 034 146 C 5 分 六 5 分 某动物园饲养的某种动物所能达到的最大年龄为 2 岁 动物 从 1 岁起开始繁殖后代 且每岁动物最多只繁殖一只动物 经过长期统计 一岁 动物有 4 3 可以繁殖一只动物 二岁动物有 2 1 可以繁殖一只动物 0 岁动物有 4 3 可 以存活至一岁 一岁动物有 2 1 可以存活至二岁 假设动物园现有 0 岁动物 8 只 一岁动物 12 只 二岁动物 4 只 问一年后和一年前动物园这三个年龄组的动物 各有多少只 解解 设k年后三个年龄组的动物只数分别为 kkk zyx 由已知条件则有 1 4 3 kk xy 1 2 1 kk yz 11 2 1 4 3 kkk zyx Zk 1 分 即 1 1 1 0