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概率论与数理统计公式 1 第一章 随机事件及其概率第一章 随机事件及其概率 随机事件A 样本空间 概率空间F AA F 一 随机事件间的关系和运算一 随机事件间的关系和运算 1 包含 A B 表示 A 发生必有事件 B 发生 2 相等 若 A B 且 B A 即 A B 则称事件 A 与事件 B 相等 3 互不相容 或互斥 A B 表示 A 与 B 不可能同时发生 对立一定互斥 4 对立 或互逆 A A 表示 A 不发生的事件 互斥未必对立 5 和事件 并 A B 或者 A B A B 表示 A B 中至少有一个发生的事件 6 差事件 ABAABAB 表示 A 发生而 B 不发生的事件 7 积事件 交 A B 或者 AB 表示 A B 同时发生的事件 二 运算定律二 运算定律 1 交换律 A B B A A B B A 2 结合律 A B C A B C A B C A B C 3 分配律 A B C A B A C ABCABAC 4 德摩根律 对偶率 BA A B BA A B 常用结论 AA A A ABABABABBAAB 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 一 一维随机变量及其分布一 一维随机变量及其分布 1 分布函数 分布函数 F xP Xx 分布函数性质分布函数性质 1 0 1 F xxR 2 F x 是单调不减的 3 lim 0 x FF x lim 1 x FF x 概率论与数理统计公式 2 4 F x 为右连续 即 0 00 lim xx F xF xxR 分布函数重要公式分布函数重要公式 1 P XbF b 2 P aXbF bF a 4 P XbF b 5 P XbF bF bbR 2 离散型随机变量 离散型随机变量 k k xx F xP XxP XxxR 典型离散型随机变量的分布 1 退化分布 单点分布 1P XC 2 两点分布B 1 p 1 1 0 1 kk P Xkppk 3 离散型均匀分布 1 1 2 k P Xxkn n 4 二项分布 B n p 1 kkn k n P XkC pp 5 泊松分布 P e 0 1 k P Xkk k 6 几何分布 1 1 1 2 k P Xkppk 7 超几何分布 0 1 2 min kn k MN M n N C C P XkkM n C 3 连续型随机变量 连续型随机变量 d x F xp tt 密度函数的性质 1 0 p xxR 2 d1 p x x 3 d b a P aXbF bF ap x x 4 0 P Xc 典型连续性随机变量的分布 1 均匀分布均匀分布 X U a b 1 0 axb p xba 其它 0 1 xa xa F xaxb ba xb 1 0 P XaP Xb 性质 2 dc P cXd ba 2 正态分布正态分布 2 XN 概率论与数理统计公式 3 2 2 2 1 2 x p xex 1 0 0 0 x ex F x x 二 二维随机变量及分布 二 二维随机变量及分布 1 联合分布函数 联合分布函数 F x y P Xx Yy 2 二维离散型随机变量的分布 二维离散型随机变量的分布 ijij P Xx Yyp ij ij xxyy F x yp 3 二维连续型随机变量的分布 二维连续型随机变量的分布 d d xy F x yp u vu v 联合密度函数性质 1 0 p x y 2 d d 1 p x yxyF 2 3 F x y p x yx yp x y x y 若在连续 则有 4 d d G PX YGp x yxy 典型二维随机变量的分布 1 均匀分布 1 0 x yD p x yS 其它 2 二维正态分布 22 1212 X YN 22 1122 222 1 2 12 2 1 2 1 2 12 1 2 1 x x y y p x ye xy 4 边缘分布 边缘分布 X FxF xP Xx YP Xx Y FyFyP XYyP Yy 概率论与数理统计公式 4 1 离散型随机变量 边缘分布函数 1 i Xij xx j FxF xp 1 j Yij yy i FyFyp 边缘分布律 1 1 2 iiji j ppP Xxi 1 1 2 jijj i ppP Yyj 2 连续型随机变量 边缘分布函数 dd x X FxF xp x yyx 边缘密度 d X pxp x yy d Y pyp x yx 3 结论 二元正态分布的边缘分布是一元正态分布 22 1212 X YN 即若 则 22 1122 XNYN 5 独立性 独立性 XY XYF x yFx Fy 和 相互独立 1 ijij XYP Xx YyP Xx P Yy 离散型与 相互独立 2 XY XYp x ypx py 连续型与 相互独立 常用结论 1 XYf Xg y若和 相互独立 则与也相互独立 1212 2 X YN u u 0XY 与 相互独立 6 条件分布 条件分布 1 离散型 条件分布律 ijij ij jj P Xx Yyp P Xx Yy P Yyp ijij ji ii P Xx Yyp P YyXx P Xxp 2 连续型 条件概率密度 X Y Y p x y px y py x Y X X py py x px 条件分布函数 d x d xx X YX YY Fx ypx yxpy p yx d y Y XY X Fy xpy xy x d y X py pxy 3 常用结论 二元正态分布的条件分布仍为正态分布 概率论与数理统计公式 5 三 随机变量的函数及其分布三 随机变量的函数及其分布 1 一维随机变量函数的分布 一维随机变量函数的分布 Yf X 1 离散型 kk P YyP f Xy ki i yf x p 2 连续型 方法一 分布函数法 d YX f xy Y FyP YyP f Xypx xx FyY 再对求导得到 的密度函数 方法二 公式法 11 0 X Y pfyfyy py 注意条件 其它 常用结论 1 随 0 1 XF xU机变量的分布函数 2 若 22 XN YaXbN a b a 则 2 二维随机变量函数的分布 二维随机变量函数的分布 Zf X Y 1 和的分布 和的分布ZXY d Z pzp zy y y dp x zxx XY当与 独立 d ZXY pzpzy pyy d XY px pzxx 2 差的分布 差的分布ZXY d Z pzp zy yy dp x xzx XY当与 独立 d ZXY pzpzy pyy d XY px pxzx 3 商的分布 商的分布 X Z Y d Z pzy p yz yy XY当与 独立 d ZXY pzy pyz pyy 4 极值分布 极值分布max MX Y min NX Y 的分布 XY当 相互独立 MXY FzFz Fz 1 1 1 NXY FzFzFz XY当 相互独立且同分布 2 M FzFz 2 1 1 N FzF z 概率论与数理统计公式 6 3 常用结论 常用结论 1 若 1122121212 XPXPX XXXP 且相互独立 22 1122 2 X YXNYN 相互独立且 22 1212 ZXYN 则 3 若 0 1 0 1 X YXNYNZX Y 相互独立且 则服从柯西分布 2 11 1 Z pz z 第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 一 数学期望 一 数学期望 1 定义 离散型 1 kk k E Xx p 连续型 d E Xxp xx 2 随机变量函数的数学期望 1 一元函数的数学期望 1 d kk k f xpX E YEfX f x p xx X 为离散型 为连续型 2 二元函数的数学期望 离散型 11 ijij ij E ZEfX Yf x yp 连续型 E ZEfX Y d df x y p x yx y 3 数学期望的性质 0 0 0 11 0 1 2 3 4 nn iiii ii E CC E CXC X Ea Xa E X X YE XYE X E Y 独立 概率论与数理统计公式 7 二 方差 二 方差 1 定义 22 2 D XE XE XE XE X 离散型 2 1 kk k D XxE Xp 连续型 2 d D XxE Xp xx 2 性质 1 设C为常数 则有 0 D C 2 2 D kXk D X 3 设随机变量 X Y 相互独立 且D X D Y 存在 则 D X Y D X D Y 4 D X 0的充要条件是 1 P XCC 为常数 5 2 D XE XCC 为常数 6 切比谢夫不等式 2 2 P X 2 2 1 P X 其中E X 2 D X 三 协方差 三 协方差 1 定义 cov X YEXE XYE Y 2 性质 1 Cov X YCov Y X 2 Cov X YE XYEX EY 3 Cov aX bYab Cov X Y 4 1212 Cov XX YCov X YCov X Y 5 若X与Y独立 则 0 Cov X Y 6 2 D XYD XD YCov X Y 11 2cov nn iiij iiij DXD XXX 则 E X 1 D X 2 1 9 伽玛分布伽玛分布 密度函数 1 0 0 e 0 x x p x xx 1 0 0 x xe dx 其中 1 2 E X D X 2 1 Exp 10 卡方分布卡方分布 2 n 密度函数 1 22 2 1 0 2 2 0 nx n xex n p x 其它 2 1 2 2 n n 22 2 nn EnDn 2 1 2 2 n n 11 0 XE X E D X 1 XE X D D X 第四章第四章 极限定理极限定理 一 四种收敛性 一 四种收敛性 1 依分布收敛 lim L nn n F xF xYY 2 依概率收敛 lim 0 P nn n P YYYY 3 r阶收敛 lim 0 rr nn n E YYYY 均方收敛2r 则平均收敛1r 4 几乎处处收敛 lim 1 a e nn n PYYYY 二 大数定律 二 大数定律 11 11 lim1 nn P inin n ii PXaXa nn 则对任意的恒有 11 11 lim1 nn ii n ii PXEX nn 则对任意的有lim1 n n Pp n 试验中事件 出现的次数 则对任意的 P 11 11 lim1 nn nn kk n kk Ppp nnnn 则对于任意的都有 P 11 11 lim1 nn ii n ii PXX nn 即 三 三 中心极限定理中心极限定理 1 林德贝格 林德贝格 列维中心极限定理列维中心极限定理 12 n XXX 独立同分布 E Xi D Xi 2 0 则 1 n i i n Xn Y n 0 1AN 2 棣莫佛 棣莫佛 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 n YB n p 则 1 n n Ynp Y npp 0 1AN 概率论与数理统计公式 11 第五章第五章 数理统计的基本概念与抽样分布数理统计的基本概念与抽样分布 一 基本概念 一 基本概念 总体 X 样本 12 n XXX 样本值 12 n x xx 统计量 12 n f XXX 统计量的观测值 12 n f xxx 二 常用统计量 二 常用统计量 1 样本均值 1 1 n i i XX n 其中 E XE X 2 1 D XDX n 2 样本方差 2 222 11 11 nn nii ii SXXXnX nn 其中 2 1 n n E SDX n 3 样本标准差 2 2 1 1 n nni i SSXX n 4 修正样本方差 2222 11 11 11 nn nii ii SXXXnX nn 2 n E SDX 5 样本k阶原点矩 1 1 n k ki i AX n 1 AX 6 样本k阶中心矩 1 1 n k ki i BXX n 2 2n BS 7 次序统计量 分布函数 n n X FxF x 1 1 1 n X FxF x 密度函数 1 n n X pxn F xp x 1 1 1 n X pxnF xp x 8 经验分布函数 1 12 1 0 1 n nkk n xx x xxxk F xxxx nn xx 其它 1 0 0 x xe dx 其中 2 1 2 2 n n 22 2 nn EnDn 2 2 n AN nn 2 T分布分布 t n 2 0 1 X XNYnX YTt n Y n 且独立 则 密度函数 1 2 2 1 2 1 2 n n x p xx nn n 0 1 TAN 3 F分布分布 12 F n n 22 12 XnYnX Y 设 且相互独立 1 12 2 Xn FF n n Y n 则 密度函数 12 1 1 12 2 2 1 11 2 12 22 2 1 0 22 0 nn n n nn nn xxx nnp xnn 其它 2 2 2 2 2 n E Fn n 2 212 2 2 122 2 2 4 2 4 n nn D Fn n nn F分布的性质分布的性质 1221 1 FF n nF nn F 若则 2 1 Tt nTFn若则 概率论与数理统计公式 13 四 上侧分位数四 上侧分位数 P Xx 1 0 1 Nu 标准正态分布的上侧分位数 1u 1 uu 0 0250 05 1 96 1 645 uu 常用 2 tt 分布的上侧分位数 1 tntn 45 ntnu 当时 3 22 nn 分布的上侧分位数 2 60 2 nnnnu 当时 4 F分布的上侧分位数 12 F n n 1 12 21 1 Fn n F nn 五 抽样分布五 抽样分布 1 设随机变量列 12 n XXX 相互独立 且 2 1 2 iii XNin 则 22 111 nnn iiiiii iii C XNCC 2 样本来自单正态总体 2 XN 若总体则 1 2 1 1 n i i XXNn n 2 2 2 22 1 nn nSnS 2 2 1 1 n i i XX 2 1 n 则 22 1 n n E S n 22 2 2 1 n n D S n 2 2 n E S 2 4 2 1 n D S n 2 3 n XS与独立 4 1 nn XX T SnSn 1 t n 3 样本来自两个正态总体 22 1122 若XNY N XY与 相互独立 则 22 12 12 12 1 XYN nn 222 12 2 当时 12 12 12 2 11 w XY Tt nn S nn 概率论与数理统计公式 14 12 22 2 2 2 112211 1212 1 1 22 nn ii ii w XXYY nSnS S nnnn 其中 22 11 12 22 22 3 1 1 S FF nn S 第六章第六章 参数估计参数估计 一 点估计 矩估计 最大似然估计 一 点估计 矩估计 最大似然估计 1 矩估计 矩估计 步骤 1 计算总体m阶距 2 令样本m阶矩 总体m阶矩的估计 3 解方程得到矩估计量 2 最大似然估计 最大似然估计 步骤 1 求似然函数 1 n i i Lp x 2 求出 ln L 及似然方程 ln 0 i L 3 解似然方程得到最大似然估计值 12 iim xxx 4 最后得到最大似然估计量 12 iim XXX 二 估计量的评判标准 无偏估计 最小方差无偏估计 有效估计 相合估计 二 估计量的评判标准 无偏估计 最小方差无偏估计 有效估计 相合估计 1 无偏估计 无偏估计 E 渐近无偏估计 lim n E 偏差 E 2 最小方差无偏估计 最小方差无偏估计 方差最小的无偏估计 一般的若 E 1 D nI 其中 2 2 2 ln ln 0 p xp x IEE 则为最小方差无偏估计 3 有效估计 有效估计 1 E e 渐进有效估计 渐进有效估计 lim 1 n E e 其中 1 nI e D 有效估计一定是最小方差无偏估计 最小方差无偏估计不一定是有效估计 概率论与数理统计公式 15 4 相合估计 一致估计 相合估计 一致估计 lim1 lim0 nn nn PP 或 定理 若定理 若 lim n n E lim 0 n n D 则 则 n 是是 的相合估计量 的相合估计量 三 区间估计三 区间估计 12 112212 1 nn P XXX XXX 1 单个正态总体均值 单个正态总体均值 的置信度为的置信度为1 置信区间 置信区间 1 方差 2 已知 2 2 XuXu nn 2 方差 2 未知 2 2 1 1 nn SS XtnXtn nn 2 单个正态总体方差 单个正态总体方差 2 的置信度为的置信度为1 置信区间 置信区间 1 1 1 1 2 2 1 2 2 22 n Sn n Sn nn 3 两正态总体均值差 两正态总体