（光学专业论文）关于量子信道容量的研究.pdf

摘要 摘要 信道容量是通讯领域最基本的理论问题，它刻画通讯信道在噪声环境中可 信地传输信息的能力。著名数学家、信息论的创立者香农( s h a n n o n ) 精确而漂 亮地解决了经典信道的容量问题，这就是著名的香农第二定理。然而，在更深 的层次上，我们的世界由量子力学所描述，为了理解客观物理规律所允许的人 类通讯能力，通讯信道的量子行为必须加以考虑，这就是量子信道容量问题。 研究表明，量子信道不仅能传输一般意义上的经典信息，而且能传输保密的经 典信息，实现不可窃听的安全通讯；此外，它还能传输神秘的量子信息。自然 地，求解传输上述三种信息的容量( 经典容量，私密容量，量子容量) ，是量子 信息领域非常核心的理论问题。在科学家们的长期努力下，对这个问题的研究 已经取得了很大的进展。然而，已有的结果离我们彻底理解量子信道的信息传 输容量还很远。本文的工作便是在求解量子信道容量的道路上的尝试与努力， 集中体现在以下两个方面： 1 2 0 0 8 年，来自i b m 研究院的s m i t h 矛 1 洛斯阿拉莫斯国家实验室的y a r d 发现 上述三种容量之一的量子容量是不可加的。通俗地说，两条不同的量子信道传 输量子信息的能力超过了它们各自传输量子信息的能力之和。在本论文中，我 们进一步证明了量子信道的另外一个容量，即私密容量，也是不可加的。这种 奇特的反直觉的现象是香农的经典信道容量所不允许的。我们的发现表明，一 条量子信道传输信息的能力不仅取决于信道本身的性质，还与它所处的环境有 关。而容量，作为信道传输信息能力的度量，在量子世界里，已经不如香农的 经典容量那么本质。在这个工作中，我们同时给出了量子容量不可加性的另一 个证明，而且，与s m i m 和y a r d 的不可加性证明的根源并不相同。他们的证明， 要求其中一条信道有很大的私密容量，因此，很多研究者曾经猜测，多出来的 联合量子容量正是来源于单条信道的私密容量。我们发现，事实并非如此，因 为我们的结果不需要单条量子信道有大的私密容量。 2 以多用户信道容量问题为典型代表的网络信息论是经典信息论的重要 篇章。在量子信息论中，多用户信道也受到高度的关注。本文作者与f r 6 d & i c d u p u i s 博士及p a t r i c kh a y d e n 教授合作，研究了典型的多用户信道之一的广播信 道的容量问题。不失一般性，我们考虑两个接收者的情况。首先，我们考虑在 有纠缠辅助的情况下，发送者向两个接收者发送独立的量子信息的容量，得到 了“单字母( s i n g l e 1 e t t e r ) ”的可达传输率区域，对其正规化( r e g u l a r i z a t i o n ) 之后，证 明了相应的逆定理，从而获得了正规化的容量表达式。然后，我们在此基础 t 摘要 上，导出了在没有纠缠辅助的情况下，发送者向两个接收者独立发送量子信息 的正规化容量表达式；以及在有纠缠辅助的情况下，发送者向两个接收者独立 发送经典信息的正规化容量表达式。最后，我们研究了一类特殊的量子广播信 道经典确定性信道，我们发现，对于这类信道，在有纠缠辅助的情况下， 其容量区域可以表示成“单字母”的形式，亦即无需正规化。 关键词：量子信道容量，经典容量，私密容量，量子容量，可加性，广播信道 a b s t r a c t a b s t r a c t c h a n n e lc a p a c i t y , w h i c hc h a r a c t e r i z e st h ec o m m u n i c a t i o nc h a n n e l sc a p a b i l i t yt o f a i t h f u l l yt r a n s m i ti n f o r m a t i o na g a i n s tn o i s e s ，i st h em o s tf u n d a m e n t a lt h e o r e t i c a lp r o b - l e mi nt h es u b j e c to fc o m m u n i c a t i o n c l a u d es h a n n o n ，am a t h e m a t i c i a nw h oe s t a b - l i s h e dt h ei n f o r m a t i o nt h e o r y ，p r o v i d e dab e a u t i f u l l ys i m p l ef o r m u l af o rt h ec a p a c i t y o fac l a s s i c a lc h a n n e l ，w i d e l yk n o w na ss h a n n o n ss e c o n dl a w o u rw o r l dh o w e v e r i sa tab a s i cl e v e ld e s c r i b e db yq u a n t u mm e c h a n i c s t ou n d e r s t a n dt h eu l t i m a t el i m i t t h el a w so fp h y s i c si m p o s eo no u ra b i l i t yt oc o m m u n i c a t ei n f o r m a t i o n ，t h eu n d e r l y i n g q u a n t u mb e h a v i o ro ft h ec h a n n e l ss h o u l db ec o n s i d e r e d aq u a n t u mc h a n n e lc a nn o t o n l yc o n v e yc l a s s i c a lm e s s a g e s ，b u ta l s oq u a n t u md a t a ，i tc a na l s oc a r r yc l a s s i c a lp r i v a t e i n f o r m a t i o n n a t u r a l l y ，d e r i v i n gc a p a c i t yf o r m u l a e ( n a m e l y , c l a s s i c a lc a p a c i t y ，p r i v a t e c a p a c i t ya n dq u a n t u mc a p a c i t y ) f o rq u a n t u mc h a n n e l si sac e n t r a lt a s ko fq u a n t u m i n f o r m a t i o nt h e o r y d e s p i t ec o n s i d e r a b l ep r o g r e s s e s ，t r a c t a b l ef o r m u l a ef o rt h ec l a s s i c a l ， p r i v a t ea n dq u a n t u mc a p a c i t i e sa r es t i l lo u to fr e a c h t h ew o r ko ft h i st h e s i s ，a sa l l e f f o r ta n da c h i e v e m e n to nt h er o u t eo fu n d e r s t a n d i n gt h ep r o b l e mo fq u a n t u mc h a n n e l c a p a c i t i e s ，f o c u s e so nt h ef o l l o w i n gt w oi s s u e s 1 i n2 0 0 8 ，s m i t hf r o mi b mr e a r c h ，a n dy a r df r o ml a n l ，h a v ef o u n dt h a tt h e q u a n t u mc a p a c i t yo fq u a n t u mc h a n n e l si sn o tg e n e r a l l ya d d i t i v e s p e c i f i c a l l y , t w od i f - f e r e n tc h a n n e l s ，w h e nc o m b i n e dt o g e t h e r , c a nt r a n s m i tq u a n t u mi n f o r m a t i o nm o r et h a n t h es u mo ft h e i ri n d i v i d u a lq u a n t u mc a p a c i t i e s i nt h i st h e s i s ，w ef u r t h e rp r o v et h a t a n o t h e rc a p a c i t yq u a n t i t y ，n a m e l yt h ep r i v a t ec a p a c i t y ，i sa l s on o ta d d i t i v e t h i ss t r a n g e c o u n t e r - i n t u i t i v ef e a t u r ei si m p o s s i b l ef o rs h a n n o n sc l a s s i c a lc h a n n e lc a p a c i t y o u r f i n d sd e m o n s t r a t et h a t ，t h ea b i l i t yo faq u a n t u mc h a n n e lt ot r a n s m i ti n f o r m a t i o nd o e s n o to n l yd e p e n d so nt h ec h a n n e li t s e l f , b u ta l s oh a sm u c ht od ow i t ht h ec o n t e x tw h e r e t h ec h a n n e li su s e d t h ec a p a c i t i e s h o w e v e r , a sm e a s u r e so ft h ei n f o r m a t i o nt r a n s m i t t i n gc a p a b i l i t y , i sn o ts oi n t r i n s i ci nt h eq u a n t u mw o r l da st h a to fs h a n n o n sc l a s s i c a l c h a n n e l s i nt h i sw o r k ，w ea l s oy i e l da n o t h e rc o u n t e r e x a m p l et ot h ea d d i t i v i t yo fq u a n t u mc a p a c i t y , o fw h i c ht h eu n d e r l y i n gr e a s o n i n gi sd i f f e r e n tf r o mt h a to fs m i t ha n d y a r d s b e c a u s e ，u n l i k et h e i r s ，t h en o n a d d i t i v i t yi no u rc o n s t r u c t i o nd o e sn o tc o m e f r o mt h ei n d i v i d u a lc h a n n e l sa b i l i t yt ot r a n s m i tp r i v a t ei n f o r m a t i o n 2 n e t w o r ki n f o r m a t i o nt h e o r y , w h i c hd e a l sw i t ht h ec a p a c i t yp r o b l e m so fm u l t i u s e rc h a n n e l s ，i sa ni m p o r t a n tc o m p o n e n ti nc l a s s i c a li n f o r m a t i o nt h e o r y i nq u a n t u m i i i a b s t ra c t i n f o r m a t i o nt h e o r y , p r o b l e m so fi n f o r m a t i o nt r a n s m i t t i n gc a p a c i t yo fm u l t i - u s e rc h a n n e l sh a v ea l s oa t t r a c t e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o n s t o g e t h e rw i t hd r f r 6 d 6 r i cd u p u i s a n dp r o f p a t r i c kh a y d e n ，w ei n v e s t i g a t et h ec a p a c i t i e so fq u a n t u mb r o a d c a s tc h a r t n e l s w i t h o u tl o s so fg e n e r a l i t y , w eo n l yd e a lw i t ht h ec a s eo ft w or e c e i v e r s f i r s t l y , w et h i n ka b o u ti n d e p e n d e n tq u a n t u mi n f o r m a t i o nt r a n s m i s s i o nf r o mt h es e n d e rt ot h e t w or e c e i v e r s ，a s s i s t e db yf r e ee n t a n g l e m e n t w eo b t a i nas i n g l e l e t t e re x p r e s s i o nf o r t h ea c h i e v a b l er a t er e g i o n ，w h o s er e g u l a r i z a t i o nf o r mi sc o n f i r m e dt ob et h ec a p a c i t y r e g i o nb yp r o v i n gt h ec o n v e r s et h e o r e m s e c o n d l y , w ed e r i v eac a p a c i t yr e g i o ne x - p r e s s i o nf o ri n d e p e n d e n tq u a n t u mi n f o r m a t i o nt r a n s m i s s i o nw i t h o u ta s s i s t a n c eo ff r e e e n t a n g l e m e n t ，a n df o ri n d e p e n d e n tc l a s s i c a li n f o r m a t i o nt r a n s m i s s i o nw i t ha s s i s t a n c e o ff r e ee n t a n g l e m e n t ，b a s e do nt h ef i r s ta c h i e v e m e n to ft h ee n t a n g l e m e n t - a s s i s t e dq u a n t u mc a p a c i t yr e g i o n 。l a s t l y , w ep r e s e n tas i n g l e l e t t e re x a m p l e ：t h es oc a l l e dc l a s s i c a l d e t e r m i n i s t i cc h a n n e l s w ef i n dt h a t ，f o rs u c hc h a n n e l s ，t h et w oe n t a n g l e m e n t - a s s i s t e d c a p a c i t yr e g i o n sc a n b ee x p r e s s e db ys i n g l e l e t t e rf o r m u l a e ，a n dr e g u l a r i z a t i o ni sn o t n e e d e d k e y w o r d s ：q u a n t u mc h a n n e lc a p a c i t i e s ，c l a s s i c a lc a p a c i t y ，p r i v a t ec a p a c i t y ，q u a n t u m c a p a c i t y ，a d d i t i v i t y , b r o a d c a s tc h a n n e l 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： a 1 年月年日 第1 章基率概念和研究现状 第1 章基本概念和研究现状 1 1 引言 1 9 4 8 年+ 著名数学家香农( c l a u d e es h a n n o n ) 发表“通信的致学理论”l ”，标 志着信息论的刨建。作为他的论文中重要内容之一香农( s h a n n o n ) 漂亮而彻 底地解决了经典信道的信息传输容量问题，这就是著名的香农第二定理，也称 信道编码定理。 信道容量刻画一条通讯信道在噪声环境中可靠地传输信息的最人能力。通 讯信道( 如连接电话机及计算机网络的光纤或电缆) 在使用时不可避免地要受 到各种噪声的干扰，而克服噪声实现无噪的信息传输的办法就是在信道的连续 多个输 和输出信号问进行编码和解码，也就是联台信道的多份拷贝来传输信 息如下面的简单示意圈其中的s 表示编码操作口表示解码操作，用n 表示 笑一一萄净一 0 3 、喝 7 b _ _ 毛掌一d l 蒜k 圈1 1 噪声信遒中信息的可信传输示意图 信道的使用扶数，信道容最0 的定义可以简略地表示为 ， 传输的信息比特数 。2 艘：m a x 。百面丽而丽f 同样诞生于2 0 世纪r 半叶的曩子力学是当代物理学的主要基石之一，它革 新了我们对微观物质世界的理解在更深的层次上我们的世界由量子力学所 描述。所以，为了理解客观物理规律对 粪通讯能力的制约，通讯信道的量子 效应必须加i ；上考虑，这就是量子信道容量问题。量子信道容量是量子信息论的 核心内容之一，作为一个极限理论，除了纯理论上的意义外，它还可以为量子 错误纠错码的设计提供理论指导和评判标准。在这一章里，我们介绍关于量子 信道容量的基本概念、工具和已经取得的研究进展。 第1 章基本概念和研究现状 1 2 经典信息论的若干回顾 在经典信息论中，信源或者信道的输入输出信号用随机变量来描述，记 输入信号为随机变量x ，其值取q 的概率为鼽，输出信号记为随机变量y 。那 么信道便是从输入信号x 到输出信号y 的一个随机变换，数学上用条件概 率p ( y i x ) 来描述。将经典信道的容量记为g w ) ，香农第二定理告诉我们 c w ) = i l l o , x x ( x ；y ) 上式中，y 是信道作用在输入信号x 上产生的输出信号，互信息量，( x ；y ) ： h ( x ) + h ( y ) 一日( x y ) ，而香农熵n h ( x ) 定义y - , , , j h ( x ) = 一e i 鼽l o g p i ( 在本 论文中，对数l o g 都是取2 为底) 。 从上式可以看出，香农的经典容量简洁而漂亮，是一个只涉及到信道单次 使用的熵表达式，虽然信道容量的定义中引入了信道的多个拷贝。在信息论中， 我们称这种只涉及到信源或信道单次使用的表达式为“单字母的”，这样的表达 式简单可以有效地计算。在后面的小节中，我们将会看到，对于量子信道而言， “单字母”的容量公式尚未得到。随着信息论的深入发展，后续的研究发现香农 的容量完全刻画了经典信道在很多情形下传输信息的能力，是一个非常鲁棒的 度量 2 】。比如说，两条不同的经典信道传输信息的容量等于他们各自的容量之 和，也就是说，香农容量满足可加性：双向经典通讯或者经典反馈不改变信道 的容量。 另一方面，从上个世纪六七十年代开始，研究多用户信道( 一条信道同时 拥有多个发送者和接收者) 的网络信息沦逐渐发展和完善【3 】。从理论上来说， 多用户信道比简单的单个发送者和单个接收者的信道( 以下简称一对一信道) 更加复杂，研究内容更加丰富；从现实的角度来说，很多通讯信道都是多用户 信道，如电视广播网、互联网等等。因此，网络信息论的研究从一开始就受到 了高度的关注，时至今日，仍然是一个很活跃的领域，并且有很多问题有待进 一步解决。典型的多用户信道包括：多址接入信道( 多个发送者对一个接收者) 和广播信道( 一个发送者对多个接收者) 。 1 3 量子信息论中的概念、定义和性质 在这一节里，我们介绍量子系统与量子态，量子信源，量子信道，量子熵 与信息量，量子信息距离度量，量子信道容量等的基本概念和相关性质【】。 1 3 1量子系统与量子态 通常，我们用字母a ，b 等表示一个量子系统，其所处的状态是希尔伯特空 间( h i l b e r ts p a c e ) 中的一个矢量( 纯态) 或矢量的概率混合( 混态) 。对应的希尔 2 第l 章基本概念和研究现状 伯特空间用巩，h b 等表示，量子系统或者其希尔伯特空间的维度大小记为f a i ， i b i ，希尔伯特空间日上的有界线性算子空间记为b ( h ) 。纯态用d i r a c 符号记 为i 妒) 等，混态又称密度矩阵，它用所在希尔伯特空间中的一个正定的迹为1 的 算子( 或矩阵) 表示，记为p 等，满足t r p = 1 。纯态也可以写成密度矩阵的形 式，如i 妒) 可记为i 妒) ( 妒| ，在本论文中，我们也简写为妒。我们有时会关心一个量 子系统以某一概率处于某一状态，数学上用量子态系综来描述，记为 p p i ) 。 对于包含两个量子系统a ，b 在内的复合量子态，如果能够写成 鼽p o 仃尹的形 式，则称其为可分态，否则是纠缠态。我们定义一个标准纠缠态，它是两个d 维 量子系统上的最大纠缠纯态，记为i 圣) 口= 击垒1i i i ) 。 1 3 2 量子信源与量子信道 量子信源当传输经典信息时，对应的信源是经典信源，它以不同的概率发 出不同的经典消息，数学上用随机变量来描述。如果传输的是量子信息( 即某 个希尔伯特态空间中的任意量子态) ，对应的信源是量子信源，它发出的是量子 态。我们用一个量子态系综 纯，p i i 或者密度矩阵p 来描述。 量子信道量子信道对量子系统( 称为输入) 进行一个量子演化，其结果称 为量子信道的输出。它是作用在量子态的密度算符空间上的完全正定且保迹的 线性变换，数学上有两种典型的描述： 1 算符和表示。量子信道：a - b 作用在量子态p 上的演化可以用一组 算符 舰) i 来表示，其中的舰称为k r a u s 算子，满足t 趔舰= 1 ，具体形式如 下： n ( p ) = ：m p 删 i 需要指出的是，一条信道的算符和表示不是唯一的。 2 s t i n e s p r i n g 表示。记量子信道的输入为a ，输出为b ，引入一个环境系统 记为e ，y 是一个从巩到如0 如的等距映射( i s o m e t r y ) ，即从巩到o 如的 某个子空间的幺正映射。那么，对应的量子信道：a _ b 可以写成如下形式 人r ( p ) = t r e v p v t 我们同时可以定义它的补信道：a _ e ，它是从输入系统到环境系统的信道， 具体形式如下 ( p ) = t r bv p v t 量子信道的s t i n e s p r i n g 表示在环境系统的局域幺正作用下是保持不变的。 我们在这里还要简单介绍一下量子多用户信道。它拥有多个输入系统和 多个输出系统，是从输入系统的联合希尔伯特空间到输出系统的联合希尔伯 3 第1 章基本概念和研究现状 特空间的一个量子演化。典型的量子多用户信道包括量子多接入信道( q u a n t u m m u l t i p l e 。a c c e s sc h a n n e l ) ，它是一个多对一的信道，以及量子广播信道( o u a n t u m b r o a d c a s tc h a n n e l ) ，它是一个一对多的信道。 1 3 3 熵和信息量 在这- - d , 节里，我们介绍量子v o nn e u m a n n 熵和相关信息量的概念和主要性 质【8 1 。 y o nn e u m a n n 熵我们定义一个量子态p 的v o nn e u m a n n 熵为 h ( p ) = 一t r p l o g p 有时简称为熵。如果一个态属于量子系统a ，我们也将其熵记为何( p ) = 日( a ) p ，并且在不引起歧义的情况下，常将下标省略。量子v o nn e u m a n n 熵刻画 了一个密度算子的“混合”程度，它等于该密度算子的本征值所对应的香农熵， 下面列举v o nn e u m a n n 熵的基本性质。 性质1 1 ( 非负性) 日( p ) 0 ，等号成立的条件是量子态j d 为纯态 性质1 2 ( 次加性) 对于a ，b 的复合量子系统，我们有h ( a b ) h ( a ) + 日( b ) ，等号成立的条件 是a 和b 处于直积态o 盯b 。 性质1 3 ( 凸性) 。m 日( 如) 日( 霉如) ，等号成立的条件是各个触相等 量子条件熵复合量子态p a b 的条件熵( 以b 为条件) 定义为 h ( a i b ) = h ( a b ) 一日( b ) 需要特别指出的是，不同于经典条件熵总是取非负的值，量子条件熵既可 以取正值也可以取负值。很长时间以来，大家认为量子条件熵是一个很奇异 的量，因为作为信息度量的熵不应当取负值，直到2 0 0 5 年，m h o r o d e c k i ，j o p p e n h e i m 和a , w i n t e r 提出了量子态合并的概念，成功解释了条件熵取负值的物 理意义【9 1 。量子条件熵的两个基本性质如下 性质1 a ( 条件减小熵) 日( a ) h ( a i b ) h ( a i b c ) 性质1 5 ( 凸性) 和v o n n e u m a n n 熵一样，条件熵作为量子态的函数也是凸的 4 第1 章基本概念和研究现状 性质1 6 ( 次加性) 和1 ，d nn e u m a n n 熵一样，条件熵满足次加性，我们有 h ( a b i c d ) h ( a i c ) + h ( b i d ) 量子互信息量量子互信息量定义为 ，( a ；b ) = h ( a ) + h ( b ) 一h ( a b ) ， 它代表了二体量子态的总关联眦1 ，刻画了纠缠辅助编码的量子信道容量【t z 1 3 1 。 两个基本性质如下： 性质1 7 ( 非负性) ，( a ；b ) 0 ，等号成立的条件是a 和b 处于直积态矿圆盯且。 性质1 8 ( 单调性) 假设复合量子系统a b 经过一个量子演化作用在b 上之后变为a b 7 ，则有j ( a ；b ) ，( a ；b ，) 量子条件互信息量量子条件互信息量定义为 j ( a ；b i c ) = h ( a c ) + h ( b c ) 一h ( a b c ) 一h ( c ) 其物理意义可见参考文献 1 4 1 。量子条件互信息量的两个重要性质表述如下： 性质1 9 ( 非负性) j ( a ；b i g ) 0 量子条件互信息量的非负性等价于下面的强次加性定理，它是量子信息论 中一个极其重要的不等式，几乎所有关- 于v o nn e u m a n n 熵的不等式都可以由强次 加性得到。 定理1 1 0 ( 强次加性【1 s _ 1 7 1 ) h ( a c ) + h ( b c ) h ( a b c ) + h ( c ) 以上两个等价不等式中，等号成立的条件可以参见参考文献【i 8 1 。 性质1 1 1 ( 链式法则) 量子互信息量的计算满足如下链式法则 ，( a ；b c ) = ，( a ；b ) + ，( a ；cj b ) 5 第1 章 基本概念和研究现状 相对熵记同一个量子系统上的两个量子态为p 和口，则它们的量子相对熵定 义为c 1 9 ，2 q 1 d ( p l l o ) = t r p ( 1 0 9 p l o g 盯) ， 记s 聊( p ) 为p 的非零本征值对应的子空间，则当s u p p ( p ) 垡s 钆印( 盯) 时，相对 熵d ( p l l o ) 的值为正无穷大。量子相对熵是比v o nn e u m a n n 熵更宽泛的量，所有 有关v o l ln e u m a n n 熵及信息量的概念和结论都可以统一在相对熵的框架内加以表 述，比如( a ；b ) = d ( p a b l i p a p b ) 。量子相对熵在一定程度上可以看作是两 个量子态的距离，或者严格地讲，它是一种有向距离，因为d ( p l l o ) d ( o l l p ) 。 量子相对熵的两个重要性质表述为下面的两个定理。其中，l i n d b l a d u h l m a n n 定 理中等号成立的充要条件由d p e t z 给出 2 i 2 2 1 。 定理1 1 2 ( k l e i n 不等式) 量子相对熵是非负的， 当且仅当p = 盯时，上式取等号。 d ( p l l a ) 0 定理1 1 3 ( l i n d b l a d - u h l m a n n 定理【2 4 2 5 1 ) 量子相对熵在完全正定量子算符作用下是单调的，记为完全正定的量子算符， 即量子信道，则有 d ( p l o ) d ( p ) | i ( 盯) ) 1 3 4 量子信息的距离度量 前- - 4 , 节中，我们介绍了量子相对熵，它是量子态之间一种非对称的距离 度量。下面，我们介绍另外两个对称的距离度量。 迹距离两个量子态p 和盯之间的迹距离定义为 l i p 一, , 1 1 1 = t ri p 一盯i 由定义可知，迹距离的取值在0 到2 之间，当p = 盯时，取值为0 ，当p 和盯相互正交 时，取值为2 。 保真度两个量子态p 和仃之间的保真度定义为 f ( p ，仃) = 1 r p 仃p 由保真度的定义可知，其取值在0 到1 之间，当p = 盯时，取值为1 ，当j d 和盯相互正 交时，取值为0 。 6 第l 章基本概念和研究现状 纠缠保真度在量子通讯中，我们非常关心量子信息通过一条噪声信道后其状态 保持得多好，这就需要用纠缠保真度来度量，定义为 e o ( p ，) = f ( 妒，( 丑o ) 妒) 2 ， 其中妒为j d 的纯化系统。记量子信道的鼬a u s 算子为 坛) ，我们有f e ( j d ，) = in ( p 坛) 1 2 。 下面，我们给出这些距离度量的重要性质和定理，它们是量子信息理论研 究中的重要工具。 性质1 1 4 ( 迹距离的强凹性) 记 鼽) 和 吼) 是同一个指标集上的概率分布，胁和吼是密度算子，我们有 i i p t 纯一吼吼l i ，1 1 ；0 一 q o l l ，+ 鼽l l 风一吼i l 性质1 1 5 ( 迹距离的三角不等式) 记p ，盯和叫是密度算子，我们有 l i p 一4 1 1 l i p u i l + l l u 一4 1 , 性质1 1 6 ( 保真度的强凸性) 记 鼽) 和_ 吼) 是同一个指标集上的概率分布，p i ：c p 口c r t 是密度算子，我们有 f ( 胁阳孵) 厕f ( 风，以) 定理1 1 7 ( 完全正定保迹量子操作下的单调性) 和相对熵距离一样，迹距离和保真度满足完全正定保迹量子操作下的单调性。 记占为完全正定保迹的量子操作，我们有 i i ( p ) 一( 盯) | 1 1 l i p 一盯| 1 1 ， f ( 占( p ) ，( 盯) ) f ( p ，盯) 接下来的两个定理给出了迹距离，保真度和相对熵距离之间的关系。 定理1 1 8 ( 迹距离与保真度两个距离度量的等价性) 对于迹距离和保真度，我们有下面的关系成立 l f ( p ，盯) 去l i p 一4 1 ，、石_ = 了彳万忑乎 定理1 1 9 ( p i n s k e r 不等式) 对于迹距离和相对熵，我们有下面的关系成立 d ( p l 啦( 嘉l l p - o i i ，) 2 第1 章基本概念和研究现状 当两个量子态在迹距离或者保真度的度量下很接近时，我们希望它们的各 种熵量也以某种方式接近，称为熵量的连续性。这方面的结果见下面两个定 理。 定理1 2 0 ( f a n n e s 不等式：v o nn e u m a n n 熵的连续性【2 7 1 ) 如果量子态和盯a 袱- i i p a 一仃a i l l e 三1 ，那么我们有 h ( p ) 一日( 仃) i 一e l o g e + e l o g d a 定理1 2 1 ( a l i c k i f a n n e s 不等式：量子条件熵的连续性) 对于复合量子态，b 和盯a b ，如果约化态矿和盯 袱- i i p a g a i l l e 1 ，那么 我们有 其中， 日( a i b ) p h ( a i b ) ，i 2 ( e ) + 4 el o gd a ， ( e ) = 一l o ge 一( 1 一e ) l o g ( 1 一e ) 最后一个定理，是关于量子信道信息传输中的熵量与纠缠保真度的关系。 定3 墨1 2 2 ( 量子f a n o 不等式c 2 0 1 ) - s p 3 b 量子态，为量子信道，我们有 s ( p ，) h ( f e ( p ，) ) + ( 1 一f o ( p ，) ) l o g ( d 2 1 ) ， 其中，s ( p ，) 称为熵：g a ( e n t r o p ye x c h a n g e ) ，等于量子信道的环境系统的 熵1 3 0 i 。 1 3 5 量子信道容量的概念和定义 量子信道不仅能传输一般意义上的经典信息，而且能传输保密的经典信息， 实现不可窃听的安全通讯【3 1 】：此外，它还能传输神秘的量子信息( 希尔伯特空 间中的所有量子态) 。因此，对应地存在三个典型的量子信道容量：经典容量g ， 私密容量p ，量子容量q 。假设a l i c e 为信息的发送者，b o b 为信息的接收者，按 惯例，我们将量子信道环境系统的拥有者记为e v e ，对于信道：a _ b ，其环 境系统记为e ，下面我们给出上述三种容量严格的数学定义。 定义1 2 3 ( 经典容量) a l i c e 的目的是通过佗次使用量子信道，将2 h a 个等概率的经典消息m = m 1 ，m 2 m 2 。r ) 发送缃曲发送的消息即经典信源用x 表示，它是集合m 上 g 第l 章基本概念和研究现状 的均匀分布记人厂肌的输入系统为印，输出系统为b n ，环境系统为伊 a l i c e 和b o b 约定一对编码和解码操作( 厶，v n ) 当发送的经典消息x 取值m 。时， a l i c e 将其编码为量子信道肌的输入态p a “，即晶( m 霉) = p 。，然后通过量子信 道传输给接收者b o b 。b d 6 收到肌( 如) 后，应用解码操作z k ，也就是做一个广 义的量子测量，其测量结果即b d 易收到的消息，记为经典随机变量y 这个过程 中，信息传输的可信度用平均错误概率只= 取p ( x y ) 表示对于一对编 解码( 幺，巩) ，如果对应的平均错误概率满足p e ( 磊，d n ) ，我们称其构成一 个( r ，n ，。) 码。我们称r 为一个可达的经典信息传输率，如果存在一个码的序 列( r ， 2 ，) ，满足1 i m n - o 。e 。= 0 。所有可达的经典信息传输率构成的集合的上 确界则定义为经典容量c ( 人厂) 私密容量的定义跟经典容量类似，不同的地方在于我们要求所发送的经典 消息在传输过程中不泄漏到量子信道的环境体系中去。 定义1 2 4 ( 私密容量) a l i c e 的目的是通过7 1 , 次使用量子信道，将2 n r 个等概率的经典消息m = m l ，m 2 m 2 。凡】- 保密地发送给b o b 。发送的消息即经典信源用x 表示，它是 集合m 上的均匀分布。神n 的输入系统为a n ，输出系统为b n ，环境系统 为伊。a l i c e 和b o b 约定一对编码和解码操作( 晶，巩) 当发送的经典消息x 取 值m 霉时，a l i c e ： 夸其编码为量子信道肌的输入态p 量“，即幺( m 。) = p z ，然后通 过量子信道传输给接收者b o b 和环境系统e v e ，他们的复合量子态为增”( p 曼“) ， 定义在h i l b e r 空间b ”e n 上。b o b 收到后，应用解码操作巩，也就是做一个广义 的量子测量，其测量结果即b 曲收到的消息，记为经典随机变量y 。这个过程 中，信息传输的可信度用平均错误概率r = 取p ( x y ) 表示? 信息传输的 保密程度用互信息量，( x ；伊) 描述。对于一对编解码( 晶，玩) ，如果对应的平均 错误概率满足只( 厶，巩) ，保密程度满足k ( x ；伊) “，我们称其构成一 个( r ，n ，f n ，如) 码。我们称元为一个可达的私密信息传输率，如果存在一个码的 序列( 死7 , ，e n ，靠) ，；n , g , _ l i m n - + o o = o 以及1 i m n + 矗= 0 所有可达的私密信息 传输率构成的集合的上确界则定义为私密容量p w ) 不同于上述两个容量的定义，量子容量度量的是量子信息的传输，即一个 多大希尔伯特空间中的量子态可以被可信地传输。他有好几个等价的定义，主 要区别在于用不同的方法来度量量子信息传输的可信度 3 2 , 3 3 。下面列举其中两 个典型的定义。 定义1 2 5 ( 量子容量) a l i c e 的目的是通过n 次使用量子信道，将一个希尔伯特空间中的任意量子 9 第1 章基本概念和研究现状 态发i t 生, 给b o b 记胪n 的输入系统为a n ，输出系统为b n ，环境系统为驴一 个( 冗，几，e n ) 码由一对编码和解码操作( & ，巩) 定义：& ：b ( h ) _ b ( h a 。) 以 及巩：b ( h b n ) _ b ( 日) ，满足传榆可信度 i 鹈f ( 忱( 口。j i f 。no ) ( 愀妒i ) ) 1 一 和信息传输率 r = 二l o g1 日| 我们称旯为一个可达的量子信息传输率，如果存在一个码的序列( 元，礼，) ，满 , , l l i r r h - + e n = 0 所有可达的量子信息传输率构成的集合的上确界则定义为量 子容量q w ) 上面的定义称为子空间传输容量；我们也可以要求量子信源中的任意纠缠 态被可信地传输，从而定义一个叫做强子空间传输的容量。其定义和上面的子 空间传输容量类似，只是把传输可信度和信息传榆率两式替换为 r = m a , x p e z - i n h ( p ) ：r ( j d ，d 。舰o ) 1 一) 这里e 称为纠缠保真度i s , t ，定义为 咒( p ，9 ) = f ( i 皿) ，( i 9 ) ( 1 皿) ( 皿i ) ) ， 其中l 皿) 为p 的纯化 另一方面，如果有其它的辅助资源可供利用( 如单向或双向的经典通讯， 量子纠缠等) 量子信道传输上述三种信息的能力将发生改变，