（应用数学专业论文）一类带粘性项的尖峰孤立波方程的边界控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 边界控制是现代控制理论的重要组成部分 它一直受到控制理论 界的重视而得到不断深入的研究和发展 近几年来 有关b u r g e r s 方 程 k d v 方程 k d v b 方程以及k s 方程边界控制方面的研究已取得 了很多成果 目前 人们越来越多的关注一类新的尖峰孤立波方程 d g h 方程和d p 方程 本文主要研究了一类带粘性项的尖峰孤立波方 程 粘性d g h 方程 粘性d p 方程和粘性b 族方程的边界控制问题 通过运用伽辽金方法证明了解的存在性和唯一性 然后应用y o u n g 不 等式及g r o n w a ll 不等式 并证明了这一类方程在所给的边界条件下 r 日1 日2 日3 全局稳定的 关键词 尖峰孤立波方程 d p 方程 d g h 方程 b 族方程 边界控 制 粘性 全局指数稳定 分布参数系统 江苏大学硕士学位论文 a b s 瞰c t b m n d a r yc o n t r o li s a ni m p o r t a n tp a r to fm o d e r nc o n t r o lt h e o r y w h i c hh a sb e e n e m p h a s i z e di nt h ec o n t r o lt h e o r yf i e l da n dh a sb e e ne t e l l s i v e l ys t u d i e da n dd e v e l o p e d r e c e n t l ym a n yr e s e a r c hh a v eb e e nd o n eo nb u r g e r se q u a t i o n k d ve q u a t i o n k d v b e q u a t i o na n dk se q u a t i o n n o w p e o p l ep a i dm o r ea t t e n t i o n0 1 1a n e wp e a k o n s o l i t a r yw a v ee q u a t i o n d g he q u a t i o na n dd pe q u a t i o n t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h e b o u n d a r yc o n t r o l o fv i s c o s i t yp e a k o ns o l i t a r yw a v ee q u a t i o n v i s c o s i t yd g h e q u a t i o n v i s c o s i t yd pe q u a t i o na n dv i s c o s i t ybf a m i l ye q u a t i o n s u s i n gg a l e r k i n p r o c e d u r et os t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o nt h e s ee q u a t i o n si nas h o r tt i m ei n t e r v a l u n d e rt h eb o u n d a r yc o n d i t i o ng i v e ni nt h ep a p e r a n dt h e n 杭廿lt h eh e l po fy o u n g i n e q u a t i o na n dg r o n w a l li n e q u a t i o np r o v e st h eg l o b ei n d e xs t a b i l i t y o ft h et h r e e e q u a t i o n si nr h 1 h 2 h 3u n d e rt h eg i v e nb o u n d a r yc o n d i t i o n k e yw o r d s p e a k o ns o l i t a r yw a v ee q u a t i o n d g he q u a t i o n d pe q u a t i o n b f a m i l ye q u a t i o n s b o u n d a r yc o n t r o l v i s c o s i t y g l o b ee x p o n e n t i a l s t a b i l i t y d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s i i 独创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下 独 立进行研究工作所取得的成果 除文中已注明引用的内容以外 本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果 对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式表明 本 人完全意识到本声明的法律结果有本人承担 学位论文作者签名 日期 0 7 年1 0 月2 6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分编入有关数据库进行检索 可以采用彩印 缩影或扫描等 复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 学位论文作者签名 0 7 年1 0 月2 6 日 保密口 在年解密后适用本授权书 不保密 罗 一 2 一椤 日 2 6 l e i j 鹕 年 黯 年 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 本章将对边界控制的发展概况和背景作一些简单介绍 同时阐明边界控制的 研究意义以及主要的研究内容 1 1 本课题的研究背景 人类认识客观世界和改造客观世界的历史进程总是由低级向高级 由简单到 复杂 在控制领域也是这样 最先研究的控制系统都是线性的 但是随着科学技 术的不断发展 人们认识的不断深入 逐渐意识到了任何一个实际的物理系统都 是非线性的 非线性是本质 普遍的现象 而所谓的线性只是非线性在特定的条件 下的一种特殊的表现形式 因此 近年来非线性问题已成为控制领域的热门方向 见文献 1 2 控制问题是指考虑一个用o d e 常微分方程 或p d e 偏微分方程 来描述的演 化系统 通过选取适当的控制装置作用于系统 对给定的时间区间 初始值和终 点值 我们可以找到一种控制使得系统的解既满足初始值也满足终点值 这是控 制理论中的一个古典问题 在这方面已有大量的研究成果 例如l e e 和m a r c u s 的书中可以初步了解到通过o d e 描述的有限维系统见文献 3 r u s s e l 的调查报 告及在l i o n s 的著作中可以了解到由p d e 描述的无限维系统见文献 4 5 用常微分方程来描述的线性系统 又称为集中参数系统 具有有穷多个自由 度 用偏微分方程来描述的非线性系统 又称为分布参数系统 具有无穷多个自由 度 古典控制论主要研究集中参数控制 但现实世界中所发生的各种现象 从数 学角度来讲 大部分是非线性分布的 如物体温度变化 地下水渗流 汽油形成 生 物种群演化等都是通过分布参数系统来描述的 现代控制论的研究方法从建立在 传递函数基础上的频域法 发展为建立在状态空间上的时域法 其研究对象从线 性系统发展到非线性系统 从确定性系统发展到随机系统 从集中参数系统控制 反馈控制发展到分布参数控制系统 对被控系统根据工程实际要求提出实现准则 寻求系统在满足一定条件下 使实现准则达到所要求的理想状态 这里我们主要 研究由非线性p d e 来描述的无限维动力系统的边界控制问题 随着人们对实际问题研究的不断深入和完善 很多控制系统都需要建模成 江苏大学硕士学位论文 分布参数控制系统 一般来讲 由偏微分方程或积分方程描述的系统称之为分布 参数系统 简称为d p s d i s t f i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s 也称之为无限维系统 即i p s i n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s 而严格地讲 所有物理系统都具有分布特 性 工程实际和社会 经济系统中的许多过程都具有分布特性 属于分布参数系 统 随着控制理论和计算机技术的迅速发展 对实际分布参数过程的控制要求不 断提高 对分布参数过程的建模和控制也就提出了更高的要求 因而研究分布参 数系统及控制 具有重大的理论意义和实际应用价值 而分布参数过程的控制方式一般有以下几种形式 1 分布式控制 该方式的控制作用是分布式的 即为空间变量x 和时间 变量t 的函数 分布式控制就是给定一个性能指标 在允许控制域u 内寻找一 个最优分布控制作用甜 d 当系统在满足初始条件和边界条件的约束下 使 性能指标 达到极小 2 边界控制 对于许多实际过程 尤其是工业过程 其过程特性属于分 布参数系统 但其控制作用往往不是分布式的 而是在系统的边界上实施 如橡 胶工业中的轮胎硫化过程中 热量均通过轮胎的边界向深部传送 这种控制就属 于边界控制 因而研究分布参数系统的最优边界控制 既具有一定的理论意义 又具有实际应用的价值 引起了广泛的关注 对于实际过程的边界控制 一般采 用逼近方法处理 3 点控制 许多实际过程的控制中 有时难以实施分布式控制 而且一 般从实际角度来讲 适当选取几个点对系统实施控制 比实施分布式控制更具有 经济意义 这种控制采用的工具有动态规划方法 参数优化方法和函数逼近方法 在盘 专予o 4 反馈控制 反馈控制即最优控制策略是系统状态或是系统输出的函数 对于线性系统 考虑二次型性能指标时 可得出线性最优反馈控制律 而且类似 于l p s 也可以导出r i c a t t i 方程 5 精确控制 某系统在时间区间 o 刀上具有精确能控性是指对于t 0 时 任意给定的初值x 以及t t 时任意给定的终值墨 一定能找n o t 上的控制 函数使得系统的解精确地满足终端条件 也就是说 系统借助于控制 能将一个 2 江苏大学硕士学位论文 在f 0 时任意给定的初始状态在f t 时变为一个任意给定的终端状态 通常为 一个理想状态 利用边界控制就能实现的精确控制称为精确边界控制 由于物理和技术的原因 一些系统只能在区域的边界上设置控制装置来进行 研究 近二三十年来 边界控制问题一直受到控制理论界的重视而得到不断深入 地研究 有关k d v k d v b k s 方程方面的研究已经得出很多成果 目前 人 们越来越多的关注一类新的尖峰孤立波方程 d g h 方程和d p 方程 d u l l i n g o t t w a l da n dh o l m 提出如下d g h 方程 u t t t 9 2 u x a 2 a m z 3 略 t t 9 2 2 蚝z k 1 1 并提出两个重要结果 见 6 此外 田立新 桂贵龙 刘悦研究了d g h 方程的 适定性问题 见 7 d p 方程具有如下形式 一u t x x 4 甜 3 虬z k 甜甜埘 它可看作一个非线性浅水波方程的一个模型 它的渐近精度与c h 方程相同 d u l l i n g o t t w a l d 和h o l m 证明d p 方程可通过k o d a m a 变换从浅水波中得到 v a k h n e n k o 和p a r k e s 研究了方程 1 1 行波解 h o l m 和s t a l e y 研究了方程 1 1 的孤子解的稳定性及数值p e a k o n s 在d p 方程给出以后 它被广泛的研究 殷 3 朝阳 见 1 3 证明了方程 1 1 在初值 h 5 他 s 一2 的条件下线性 周期局部适定性 导出精确爆破准则 并给出一个爆破结果 1 2 本课题的国内外研究现状和水平 边界控制是分布参数受控形式的一种 它一直受到控制理论界的重视而得到 不断深入地研究和发展 近几年来 人们越来越多地关注k d v k d v b m k d v b 以 及k s 方程的边界控制问题 从2 0 世纪6 0 年代以来 k d v 方程在数学和物理 方面都得到了广泛研究 在研究k d v 方程时 大部分学者通过直接解方程或者 应用反散射 i n v e r s es c a t t e r i n g 方法 即非线性傅立叶变换 来找到方程的解 其中 b i n g y uz h a n g 研究了k d v 方程的精确边界控制 见文献 8 j a b u r n s c i b y m e s h c h o i 等学者对b u r g e r s 方程进行了研究 见文献 9 11 b y m e s e ta l 研究了b u r g e r s 方程的局部指数稳定性 若初始条件在r 空间下非常小 3 江苏大学硕士学位论文 v a n l y e t a l 将这一结果进一步完善 把它延伸到p 空间 但仍是局部的 m i r o s l a v k r s t i c 对b u r g e r s 方程的全局稳定性进行了研究 见文献 1 2 k d v b 方程是同时 表现了扩散和色散特点的最简单的非线性数学模型之一 b i l e r r a s s e l 和z h a n g b i n g y u 对周期边界条件下的k d v b 方程进行了研究 见文献 1 3 1 5 b i l e r b o n a 和s m i t h 对空间区域是整个实数轴的k d v b 方程进行了研究 见文献 1 6 1 7 r o s i e r 对系统在一个闭域上的可控性进行了研究 见文献 1 8 z h a n g 对系统在一个闭域上的稳定性进行了研究 见文献 1 9 1 l i u 和k r s t i c 研究了 k d v b 方程在一有限区域中的边界反馈稳定性问题 见文献 2 0 a n d r a sb a l o g h 和k l g t i c 研究了k d v b 方程的稳定性和数学模型 曹海霞 卢殿成 田立新对充 分非线性的k d v b 方程解的稳定性作了研究 参考文献 2 1 对k s 方程的研 究也已取得丰硕成果 f o i a se ta l 和n i e o l a e n k oe ta l 对k s 方程全局吸引子和惯 性流形进行了研究见文献 2 2 在此基础上 k s 方程的控制问题研究也得到很 大的发展 h ee ta l 研究了k s 方程稳定性的数字模拟及它的最优控制 c h r i s t o f i d e s 基于一个g a l e v k i n 舍位构造了线性控制项研究k s 方程的局部稳定 性见文献 2 3 田立新和王景峰也对k s 方程的稳定性作了研究 参考文献 2 4 对偏微分方程的精确控制的研究一直受到国内外学者的广泛关注 在这方面的研 究也有很大进展 w e i j i u l i u 和g r a h a m h w i l i a m s 研究了半线性热传导方程的精 确初值问题 见文献 2 5 1 l i a n g y u l i 和x uz h a n g 研究了半线性波动方程的精确控 制问题 见文献 2 6 1 b i n g y u z h a n g 研究了k d v 方程的精确边界问题 见文献 2 7 但是对于d g h 方程和d p 方程的控制问题的研究相对少一些 1 3 本课题研究的基本内容 本文主要研究了一类带粘性项的尖峰孤立波方程的边界控制问题 首先 研究带粘性项的d g h 方程 运用伽辽金方法 证明了其解的存在唯一 性 然后应用分布积分理论 泛函知识及g r o n w a u 等不等式 并证明了系统在 所给的边界条件下r 日2 日3 全局指数稳定 其次 对带粘性项的d p 方程和b 族方程进行了研究 方法与d g h 方程相同 在处理粘性d p 方程和b 族方程的边界控制时 由于方程的非线性项比粘性d g h 方程要复杂 当方程与u a u 做内积时 不等式的估计难度就更大 给证明带来 4 江苏大学硕士学位论文 了难度 1 4 本课题研究的意义 价值 边界控制是分布参数受控形式的一种 它一直受到控制理论界的重视而得到 不断深入地研究和发展 而由于一些技术上的原因 许多系统需要在区域的边界 上设置控制装置来进行研究 近二三十年来 国内外的学者都很关注边界控制问 题的研究 特别是对k d v 方程 b u r g e r s 方程 k d v b 方程及k s 方程的研究 在理论上至今已经证明了这些方程解的存在唯一性 并且给出了解的一些稳定性 估计 而对于d g h 方程 d p 方程边界控制方面的研究甚少 所以 对此类方程 的解的存在性 唯一性及稳定性的研究意义广泛 不仅如此 边界控制问题在水 利 电磁学 国防等方面都有很重要的作用 特别是水利方面 因此 边界控制 理论不但在理论上而且在应用方面都有极大的价值 所以对此类方程的边界控制 问题进行研究意义重大 江苏大学硕士学位论文 第二章预备知识 我们所研究的边界控制就是在系统的边界上加上某种可行性条件 从而保证 系统的解存在且唯一 并在一定的空间上保证此解是稳定的 在证明解在给定的 边界条件下的稳定性时 我们经常会用到某些不等式和分布积分理论 在证明解 的存在唯一性时我们经常采用先建立非线性映射 然后证明此映射是压缩映射 应用b a n a c h 压缩不动点定理说明此映射存在唯一不动点 则这个不动点即为方 程的唯一解 因此 本章中我们将介绍一些常用的不等式 b a n a c h 压缩不动点定理 分 部积分理论 f r e d h o l m 算子理论以及s o b o l e v 空间知识 2 1不等式 1 c a u c h y 不等式 对任就6 o 有挑譬 譬 2 带占的c a u c h y 不等式 对任意a b 0 和刚 举f f a b o 1 p g o 1 p g t o 有 y t 争 a 2 唧 q 6 p o in c a r e 不等式 设c g q 表示有界开区域qcr 上一切朋次连续可微 并在边界讹的某 邻域内为0 的函数集合 即 四 哟 0 c m l u x 0 凯e 讹的某邻域 那么对任意的u c 孑 q 有 j 不肌 陬c h z 历l i o 口 l 2 其中c 是仅依赖于区域q 及m 的常数 2 2b a n a c h 不动点定理 压缩映像原理 设 力是一个完备的距离空间 t 是 力到其自身的一个压缩映射 则 r 在x 上存在唯一的不动点 2 3 分部积分理论 若甜 x 与v 功可导 且不定积分p x v x 出存在 则p x 1 功威也存在 并有 p 功v x 出 材 x v 砂一p x v x 办 2 4 f o u r i e r 变换的性质 定义 设f f r 称 可 功 夕 x 上 厂 力e 2 麻 y 咖 是厂的f o u r i e r 变换 性质1 映射f 厂专夕是f r 到r r 的有界线性算子 江苏大学硕士学位论文 性质2 若f y ef 犬 则夕是一致连续的 性质3 r i e m a n n l e b e g u e 定理 若f y e l l r 则当i 叫jo o 时 夕 x 专o 2 5f r e d h o l m 算子理论 定义1 设mcx 是一个闭线性子空间 称 c o d i m m 全d i m x m 为m 的余维数 定义2 设x 是b a n a c h 空间 t 矽 x d 称为一个f r e d h o l m 算子 是指 1 r t 是闭的 2 d i m n t o o 3 c o d i m r t o o f r e d h o l m 理论归结起来 有 若彳是x 上的紧算子 且t 一a 则 1 n t 田 r t x 2 a r 盯 3 d i m n t d i m n t o o 4 r r n t 上 r r 上n 仃 5 c o d i m r t d i m n t 参考文献 3 5 2 6s o b o l e v 空间 定义一个范数j i i 胪 q 其中聊是非负整数而且1 p o o o 缈 矿 叫q 磊 o 4 缈 二 i 俨堆 m a x 0 封4 m 耖妒k 9 当1 p o o 江苏大学硕士学位论文 f 酬t 7 给出一类s o b o l e v 空间 形m q 满足移 c 册 n l l d j 的完备空间 并且其模l i i l 矿 0 记现在职 o 1 为 c o o 1 在日s o 1 中的完备化空间 1 l 为r o 1 的范数 1 1 甜1 1 h q 0 d 甜峙q 本问中肛k q 垒l i l i d i i p n 垒肛i i i 甜忆 q 垒i d 朋 i 首先考虑以下带有边界条件的粘性d g h 方程 u t 一口2 u x a 一占 甜一 2 t o u y u 麒 3 u u x 口2 2 l g u m o u x o u o u 1 f 3 1 u x 1 f 以 0 r 0 f u x x 1 f t 0 x e q q o 1 令1 一口2 上式变为 1 a f 2 一g 2 a r u x z 叱 2 u x v 0 甜o u x o u o f u 1 f 甜 1 f 蚝 0 r 0 1 r 记b 1 u v v v 是哈密顿算子 则v 甜 u x 记6 甜 v w b 甜 v w v v w a x 由所给边界条件 我们有 口 叩 w u w y 一 b w 甜 v 曰 v w b w v 一 b v w 甜 则有 b v u 2 b i u 甜 v b 甜 v 2 b v 甜 甜 b u 甜 v b v 甜 z 口 甜 甜 甜 o l l 3 2 江苏大学硕士学位论文 记么 a 是l a p l a c e 算子 1 甜 口2 a u 原方程可表示为 害 咖 2 胡掰 b 叩 2 s v 甜 o u o 马o u o r u 1 f 虬 1 t u x 0 f o f 1 3 2 定理及证明 3 3 定理1 当 eh 3 方程有整体解甜 c o h 3 o 1 n c o o o h 2 o 1 并且满足如下指数稳定性 i m 2 十口2 1 2 k 1 2 搿i l u 1 1 2 e x p 2 以r 3 4 i i i i i 8 如2 1 11 1 f e x p 3 c l c 2 c 3 一以 r 删旷2 l 2 o 8 日 2 e x p 帆吐 吨 2 k 2 二以 r 占 一 佃 3 5 3 6 证明 设 办 二是么在日上的一组标准正交基 下面我们考虑常微分方程组 j 鲁倒 2 钾 删 岛召 死2 s 川 3 7 o o 其中 口2 a u 由经典的常微分方程理论我们知道方程组在短时间段 o 乙 内有唯一的解 下面我们的目的是证明原方程组在所给边界条件下解的存 在性 用 对 3 7 两端做内积有 1 2 江苏大学硕士学位论文 三丢 蚶耐 1 2 咖 2 o l 2 圳2 o 由p o i n c a r e 不等式可得 丢 蚶材蚶i i 2 观 蚶耐 哈 再由g r o n w a l 不等式可得 3 8 蚶 吲蚶材n 1 2e x p 一2 以f 蚶材n 1 2 垒吒 3 9 对 3 9 在 f f 上积分有 r i l 哪 l a u r a s 1 2d s r 现在 用a u m 对 3 7 在 o 1 做内积 丢舢辨1 2 c z 2 2 s 2 a 2 v a u m 2 b 以 3 1 0 2 n b a u r a 0 通过计算我们有 i p m b u m 彳 2 召 彳u m i 3 b u m u r n a u 曰 么 加 u r n 么 曰 么 a u 由a g m o n 不等式 当1 1 1 有 m b c m 恻昏 其中c 是一常数 我们有 l p 小 b 彳甜 4 i 却v u 4 1 2 剁 l m l 5 k b 彳u m u m 彳u m i u v u u 护1 4 1 2 c 58 1 m 胪l 么 f i b 彳 f l u v u n pl i v i f 2 导0 例5 么 l 1 从上述不等式中 我们得到 l b a u m 2 p m b v m 么 l 瓢阢岍1 挚沁 谆 3 1 1 阳5 u r n 叫孕沁庐 川彳 川兰半愀i l 3 1 1 5 2 4 江苏大学硕士学位论文 c 60 甜m 庐1 4 材m 户 0 历1 1 2 l 彳 册1 2 s 尹1 j l u 1 j 2 i a u 1 2 岛1 1 1 1 1 彳 五9 8 2 i v a u i 2 五i a u j 2 以及 3 1 0 我们有 翱甜册1 1 2 口2 k 1 2 2 c l l u 1 l l a u 1 1 l u u 2 2 1 a u i 2 再由y o u n g 不等式和上述不等式 我们有 面d u 删2 口2 p 1 2 岛 1 4 2 口2 l 彳 1 2 2 记y i l u s 0 2 口2 1 a 肌 s 1 2 g c 7 m s 1 1 2 e 陬 j 2 2 由不等式 3 1 2 我们有 f y s 鱼 f 7 9 s g 盟 占 由g r o n w a l l s 不等式我们有 川 口2 h 小i r 6 面f k 盟s 1 垒 o n 3 1 3 名e t f 上积分 占刑4 s 1 2 材阳 s 胂譬 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 1 5 f 以 m 湃口2 s 1 2 号 o s 0 2 0 r 2 1 彳 s 1 2 2 产咖 1 1 2 村川2 b 卑卜璺 用a 2 对 3 7 做内积 有 1 4 3 1 6 江苏大学硕士学位论文 1 2 丢 2 u 2 l v a u 珊1 2 占 1 w 甜m 1 2 材陋脚1 2 bu r a 彳2 u r n 2 b 么2 o 由y o u n g 不等式 我们有 兰丢 川2 材阳 1 2 占睁 2 c z 2m 1 2 以 i 彳 册1 2 口21 w 1 2 龟 怕 m 1 2 口2i 刚 2 由p o i n c a r e 不等式和y o u n g 不等式 我们有 罢 2 o r 2 v a 2 岛帆i i i a u l i a u 1 2 t z 2 v a 1 2 釉蚶材 2 k 2 4 口2 i r a 甜 1 2 由 3 1 2 及 3 1 6 我们有 号f l 2 口2k s 1 2d s 万c s r l 刑彳 s 卜2 i 黝 s 1 2d s 詈 由g r o n w a l l s 不等式我们有 i a u r a 2 口2i r a 1 2 鲁e x p 差堡 对 3 1 2 毛e t f 上积分 我们有 占f r i v a u s 2 a 2 1 2d s 巩吩 半卜吩 最后用a 3 u m 对 3 7 做内积 丢翻剐 2 a 2 协1 2 岛 1a u m l i v a u 1 2 t z 2 陋 2 蚝a u m l 8i r a 珊1 2 由g r o n w a l l s 不等式我们有 i r a 叫2 材 2 熹如如 e 坤p 厂净 3 1 7 3 1 8 3 1 9 3 2 0 3 2 1 现在我们知道了i l l l l l i a i 1 w 7 0 a 2 u 1 都是有界的 那么i v m l l l 0 和i 彳 i 江苏大学硕士学位论文 是有界的 则我们得到l 刮和l 刽也是有界的 a u b i n s 压缩定理 警 得到 存在一子列 有甜 寸甜或1 寸v 我们重新将 一和嵋记为 和 现在我 们来证明 满足原方程组 令w d 彳 我们知道i 叫是有界的 由常微分方程 3 7 我们有 f w 占 s 么w p 3 b h s s 以w 西 b 甜肼 s s p m w d s 岛 w 很明显熙 s 彳咖 y s 彳 凼 所以 1 i m l p 一叫 o n m l a w a w l o 则 f w 专 v r s p a w d sj v s a w a 刀l 争 i j v o 以w 西一j v v s w 凼f ij 砜 s w w 凼l j n s 一v v s w 西l 0 0 i w 一叫 8 一v 叫一 幢 曰 j d w 西一 召 v j 甜 j w 凼卜卫 e 露 其中艺 l j b s s w w 西l h o i l l 甜 s l l l p 一w d s 0 i 召 j 一v s s w 西l h s 一v s i s l i i 叫凼专o lj 曰 v o o 一掰o w 凼i 卜o l l l u j 一z o l l i 4 a h o 由上述讨论2 乏l e b e s g u e 定理我们有 舰j b j s p w d s j b v s 甜 s w 西 同理有舰j 曰 s s w 凼 召0 j y p w 凼 棕上 w d 彳 我们有 1 6 江苏大学硕士学位论文 v w s f o v j 驯协 3 j b v s s w 豳 b s v s w 施 v f o w 令u v 是方程组的两个解 彩 一1 我们有 婢一彩k s 国一够h 3 u c o u x o 一国皱 2 u x c q q 够搿 彩k 廊缈一o o x m 对 3 2 2 在 o 1 上做内积 2 蚝 国q u x 国一q 圭丢 h 2 1 2 g 1 2 陋国1 2 由 3 1 5 我们有i i 0 i i p 一明 i 彳甜1 2 r 2 由 3 1 1 我们有鲁 1 国1 2 荆1 2 m i 彩1 2 恻j 2 o 其中m 是常数 则l 国1 2 0 国0 2 1 6 0 2 m 2 p 一肺 0 故 o 则国 o 1 由 3 2 1 我们有i 1 2 口2o 1 1 2 i 1 2 口20 1 1 2 e x p 2 6 2 1 f 现在用a u 对 3 2 做内积 丢翱甜l 2 口2 川2 g i a 2 陋1 2 b 彳 2 b v a u 0 3 2 2 3 2 3 3 2 4 b 材 1 彳 2 曰 1 甜 么 i 3 b 么 b 彳材 掰 彳甜 b 么 彳甜 曰 甜 么甜 i l i f l 0i a u l c 1 l 甜1 1 2 i 彳甜1 2 b 彳 彳 l l i i i i 彳 1 2 c 2 1 l 0 2 l 彳 1 2 i b 甜 么甜 么 l 岛i 彳甜1 2s 巳 0 甜0 2 i 么甜1 2 丢丢 2 p 甜1 2 3 q c 2 c 3 一以 2 i 彳甜1 2 2 2 1 1 0 1 1 2 l a u o l 2 o x p l c 2 c 3 一以 这样就得到了 3 4 用a 2 对 3 2 做内积 江苏大学硕士学位论文 丢丢 w 阳 1 2 g 陋1 2 l 以1 2 b 蚺矶 2 b v 么2 0 丢丢 w 陋1 2 s 陋h 以1 2 1 a 4 l v a 甜1 2 舭 m 1 2 1 2 w 阻甜1 2 o t t n 订 1 2 w 阳材1 2 丢 w 陋哈 n o o n n 坩 蚓2 一观 阻1 2 v a 甜1 2 p 甜1 2 阳甜1 2 1 么 1 2 m 1 2 o x p n o l l n 1 1 2 p 1 2 一以 f 证毕 1 8 江苏大学硕士学位论文 第四章粘性d p 方程的边界控制 此苹中我们锣 用上一覃中的符号表不方法 则d p 方程司表不为 f v t e v 2 u x 叱 o u o u x o 4 1 i o f 甜 1 f o f 0 z k 1 f 蚝 1 t u a o f 我们可以得到以下结果 定理 u o h 3 方程有唯一解 c o o o h 3 o 1 n c o o h 2 o 1 并且 满足如下指数稳定性 i 忱忆2 l 圳一2 p 2 i 蚓i h l 2e x p f 掣七训a f 4 2 其中s 0 4 纠 畛 写一 品 q a 2 u 4 纠 妒 弓产7 毛a 2 i 1 u u l l h z 2 o 算子 2 2j 彳 1 有如下卷积形式 力2 彳 1 厂 x 彳 qo 厂 x 砑i 广彤厂 y 方 x r w h e r e q 害p 一州 因此我们有厶 以x 严 l x 芦g l 吾 f x 吾 p 十一卅 l j 2 砂 定义 r x g 2 r x s r e 耷卅 f y 砂 t o x e r 由于g 2 e 2 h 算子4 彳的g r e e n 函数 所以 满足方程e 由方程 3 我们有 a h 4 k 甜肿 丢 v 手 丸厶篁一占彳 x 疋 足 么厶 厶 要k 2 z 墨x r么厶 厶 丢z z 墨 o 4 6 4 7 引理1 设 0 r l 2 对于给定的任意8 0 对任意f o 有下列性 质 l a h t 1 2 5 l v 分 1 2 4 i k 分 1 2 2 占f 卜黝吃 f 1 2 5 卜彳 钳 1 2 4 陬 乃 1 2d t l a h o j 2 s l v h o 1 2 4 l h o j 2 证明 与k 4 做乘积并在r 上积分 我们有 工色 么k 出 s a 彳 皿 一 v k 彳 皿一互巩 吃 么 净 一 v 甜 彳 一 砜 彳 出 对等式的左边我们利用 4 6 可以得到 丢甜 吒 彳吃 占 彳材 k 么吃 出 4 8 4 9 江苏大学硕士学位论文 4 d 西h 历 v a h 1 h 彳k 净一s 4 彳 卅k 彳 上 4 丢 5 罢彳吃k 一丢4 彳吃卜 s i c 4 么吃一5 么2 4 2 彳吃净 三2 旦d t 4 瑶 5 v 2 一么 2 p s 4 v 2 5 一么 2 一y a h 2 p 4 1 0 其中我们利用 4 6 s 1 1 4 7 并且分部积分可以得到 互r u m v 甜 吃 么 一上砜 么吃肛 一 v 一 甜 v u m f r u m v 埘 一上 v 4 出一上砜 k 彳k 出 彳 皿 工厶v 吃出 工彳厶v 吃出 彳吃 上 厶 以 v 出 彳 皿一3 上 v 凼 一上 v 4 么 净 一上 v 甜肼d x 0 4 1 1 将 4 1 0 和 4 1 1 替换至l j 4 9 d p 变成 旦d t 上 4 圮 5 v 2 一彳 2 净 2 占上 4 v 2 5 一彳 2 一v a h i 2 出 o 将此不等式在 o 上积分我们可得 4 8 引理2 设 o h r i 2 对任意给定占 0 有下列不等式 f o l u i 2 娜驯帆i i 忑2 i 证明 f l 了 4 6 我们口j 以看出 m 分 1 2 2 i a h m t 1 2 3 2 1 h m t 1 2 8 i 一么k 训2 5 1 v h o 1 2 4 h m t 1 2 i v u m 分 1 2 2l v a h t 1 2 3 21 v h m t 1 2 l a h o 1 2 5 i 砜 训2 4 陬 f 1 2 4 1 5 由 4 1 0 4 1 3 a n d 4 1 5 l 1 2 8 彳 f 1 2 5 l v h t 1 2 4 i k 分 1 2 8 卜a h 0 1 2 s l v h o 1 2 4 l h o 1 2 8 i o 1 2 4 1 6 申 4 8 4 1 4 a n d 4 1 5 i v u 巩 t 1 2 8 占 i 删 分 1 2 5 1 一彳吃 f 1 2 4 l v h t 1 2 仆y a h 0 1 2 5 卜a h o 1 2 4 l v h o 哈4 k o 1 2 4 1 7 卜凹让明足埋1 显然由 4 1 6 和 4 1 7 可以得到 4 1 4 i 2 8 i f 2 8 i o j 2 4 l u o i 2 全 i 将 4 1 式在q 上和 做内积可得 丢丢 i 1 2 8 1 1 2 s 册1 1 2 1 彳 拼1 2 b 彳 o i b 彳 卜吉i l v i p q i i v 睡 哟s 鲁l i v 峙 q i l v 甜 眨 q 岛l l u 1 1 z 4 v i 巳 钏小川 嘻 1 1 2 制1 2 2 其中岛 镌是常数 从 4 1 9 式我们可得不等式 4 1 8 4 1 9 糍 1 2 懒i i 1 2 仫 o 1 2 i 彳 1 2 毛 1 蚶i i 川 嘻 1 1 2 眠i i 限4 加 将 4 2 0 式在 f t r 上积分得 刑i s 1 2 i 么 s 1 2 d s 壁4 e 2 1 2 占一岛 将 4 1 a 式在q 上和彳甜 做内积可得 a 吒 江苏大学硕士学位论文 糍 2 川2 s 2 v a u m 2 b 彳 4 2 1 3 p b a u r a 0 由计算我们可以得到 f b v 卅 彳 3 岛 b a u r a l 4 b 卅 甜 a u 3 b 彳 a u b a u 朋 a u 由n 1 时的彳9 7 z d 咒不等式可得 其中c 是仅依赖于q 的常数 我们可以得到 p r o b 4 么 l l l l v u m l l pi a u 1 2 钏甜 庐i 么 p i p m b a u m 彳u m l l l v u l l pi a u 1 2 乞m m 所户 i b u m u m 么 三l l v u i i pi l v u m l l 2 号co 川5 彳 户 由以上不等式可以得到 i p b 脚 彳u m 3 p b 册 彳 i 5 1 五0 1 1 2 i 黝 1 2 丑阻 1 2 以及 4 8 孽们有否d u 肼9 2 i 么 1 2 2 岛l m t 彳 i 8 4 2 i 彳 1 2 基于y o u n g 不等式和以上不等式可以得到 罢 吖 蚓2 岛 黼 2 2 令y i i 坍o l 2 p 肿o 1 2 g c 7 0 o 1 1 2 p s 1 2 2 由不等式 4 2 3 可得 厂y o 鲁 n o 由g r o n w a l l s 不等式可得 岛 其中 吒 岛为非负常数 模j 4 2 4 5 姘e t f 上积分可得 占删么 s 1 2 l 剐 s 1 2 净 4 2 5 4 2 6 f 以 i j 1 2 铷 讲 i 么 s 1 2 2 卜 1 1 1 1 2 i 彳 1 2 b 呼卜玺 将 4 1 a 式在q 上和彳2 做内积可得 丢鲁 i 彳u m l 2 i v a u 1 2 s 阳 1 2 3 b 彳2 u o 由y o u n g 不等式可得 i a 2 u m l 2 以 b 么2 互1 一d i a u 1 2 i v a u 1 2 s 阳 肼1 2 l 彳2 1 2 以 i 彳 1 2 1 w 1 2 岛慨舭 m 1 2 阳甜 1 2 由p o i n c a r e 不等式和y o u n g 不等式可得 4 2 7 4 2 8 江苏大学硕士学位论文 丢 阪1 2 1 w 1 2 c 1 l 圳a u m 肛 1 2 i r a 1 2 2 2 8 d 12 l 彳 肿1 2 i 么甜肼1 2 l v a 1 2 i a 甜 l v a 甜 1 2 昙e x pc 2 s s r l a t 将 4 2 9 毛e t f 1 上积分可得 f f i 跗州1 2 1 彳2 u s 1 2d s 以吩 半 啪 将 4 1 a 式在q 上和a 3 u m 做内积可得 f 岛 4 2 9 4 3 0 l zd 讲 1 v a u m 1 2 j 么2 1 2 6o o j li 么u m l 1 v a 1 2 l 彳2 1 2 q i a u 1 8i v a u 1 2 4 3 由g r o n w a l l s 不等式得 i r a 1 2 心1 2 鲁啦 枷 e 冲p 冷 4 3 2 现在我们l l l 彳 l i v a u 1 和l a 2 i 都是有界的 也就是说i 1 1 8 和l 彳 l 是 有界的 最终我们可以得到 肌d 引都是有界的 3 a u b i n s 紧性定理 贝 j 存在 的收敛子列 不妨仍记为 也即存在 的收敛子列v 埘 也记为 设甜 j v 朋一v 我们还需要证明甜 v 满足方程 4 1 令w d 彳 由以上讨论可知1 w i 是有界的 由常微分方程 4 1 a 恒有 w 占 s 么w 净 3 f b s s p m w b 5 s w 凼 气 w 很显然有 熙 s 彳w p j v s a w d s 2 5 一搪吩一占 西 凼 j g得圳例孺 么 么 南劢小忙降记n 叫不 l l 2 秕 讲胁 忆 肌 2 1 加嗍 腓似 江苏大学硕士学位论文 故有 般阪w 一叫 0 舰陬彳w 一爿叫 0 w 一 矿 d s 么咖专 v 占 彳w i 砜 s 办丫 凼一 v v j w 凼l 肌寸o o l j v o w w 出卜i j v s 一v v s 叻凼l 怫8 l w 一叫 帆一v 射叫专o i 艿 v 埘 s s w 凼一j 曰 v j 甜 j w 凼卜己 e 露 其中艺 l 召 j s w w 凼l j h s 鼍 s l l l p w 一叫西专o e l 曰 o 一y o o w 凼l h j 一v j i l l 5 l i l 叫凼专o e l 召 v o j 一 了 w 凼l i v o l f i o 一 o 叭叫凼专 由以上讨论我们可以得到 舰f 刀 j s 凼 j 召 v s z j w 凼 类似的我们可以得到 熙j 召 s 心 j w 凼 曰0 j v j w 出 w d 彳 有 v r w gj v s 么w p 3j b v s 甜 s w 豳 b s v s w 西 v 岛 w 令叩 2 1 的两个解 且 一1 我们有 q 一仞刍一f 国一哆材 职 3 u c o 心国一缈q 2 虬 q a o x c o 搿 u f o x 甜蹦国一国够 对 4 3 3 两边做内积得到 4 3 3 互l 面d i 国1 2 1 1 国1 1 2 f 黼 i 彳国1 2 三3 畋 国吱 畋 力一吱 擘 4 由 4 2 6 我们有 i 爿 1 2 r 2 2 6 江苏大学硕士学位论文 由 4 3 4 可得丢 h 2 m 1 2 m i 国1 2 1 2 o m 是一常数 则h 2 忪1 1 2 i 嘞1 2 0 1 1 2 e m r 0 故h o 即国 o 用甜对 4 1 两边做内积 三丢 k1 2 l l 1 1 2 瑚甜1 1 2 阻1 2 b 川 血 i b 甜 彳 i l l v i l r n i i v i i n 墨l l v 1 1 日 l l v 0 q k l a l i 1 1 2 由引理 我们知i i 甜0 2 忑2i i 陬哪 彳