考研数学辅导讲稿之定积分例题资料版.pdf

2012 考研数学之定积分 1 一 定积分的定义和性质 1 定积分表示曲边梯形的面积 1 定积分表示曲边梯形的面积 例 1 1 000101 1 1 0 2 2dxxx 例 1 2 22 a a xaax dx 例2 已知 xf在 ba 上是连续的递增函数 求证存在 ba 使得 d bbfaafxxf b a 真题 090103 090206 090304 080202 070103 970202 2 2 定积分是一个常数 定积分是一个常数 例3 设 xf 1 0 2 0 2 d 2d xxfxxfxx 求 xf 例4 020406 设 D 是闭区域 yyx 22 0 x yxf 在 D 上连续 而且 D dudvvufyxyxf 8 1 22 求 yxf 真题 080318 890101 2 990302 2 参考题 已知 2 0 50 dxxfxf 且0 0 f 求 2 0 dxxf以及 xf 解 10 2 0 dxxf xf 5x 2012 考研数学之定积分 2 3 积分不等式和估值定理 积分不等式和估值定理 当 xgxf 且ba B 321 III C 312 III D 213 III 030202 5 000206 990109 例7 设 xf在 ba 连续 证明 b a b a xxfabxxfd d 2 2 注 柯西施瓦茨不等式 b a b a b a xxgxxfxxgxfd d d 22 2 2012 考研数学之定积分 3 参考题 设函数 xf在 0 1 上连续 在 0 1 可导 0 0 f 1 0 xf 求证 1 0 3 2 1 0 d d xxfxxf 例8 设 x f 在 ba 连续 0 x f 求证 b a xxfd 2 ba fab 真题 050319 930208 4 积分中值定理 积分中值定理 如果 xf在 ba 上连续 则在开区间开区间 a b内至少存在一个点 使得 b a f x dxfba 积分等式或不等式的证明经常使用积分中值定理 尤其当表达式中出现积分区间的长度 b a 的倍数时 例9 940207设 xf在 0 1 上连续递减 求证 当10 时 0 1 0 dxxfdxxf 真题 100319 080220 970407 参考题 1 设 xf在 0 1 上连续 在 0 1 可导 0 0 f 1 1 f 2 1 0 dxxf 证明 至少存在一点 1 0 c 使得0 c f 2012 考研数学之定积分 4 二 变限函数和牛顿 莱布尼兹公式 1 变限函数的导数 变限函数的导数 变限函数的导数应遵循以下基本公式 若 xf在 ba 连续 x a ttfxFd x ba 则 xF xf 若 xf连续 x 可导 d x a ttfxF 则 xF xxf 若 xf连续 x x 可导 d x x ttfxF 则 xF xxfxxf 真题 110111 设函数 2 0 sin 1 xy t F x ydt t 则 2 20 0 x y F x 110215 050109设函数 yx yx dttyxyxyxu 其中函数 具有二阶导数 具有一阶导数 则必有 A 2 2 2 2 y u x u B 2 2 2 2 y u x u C 2 22 y u yx u D 2 22 x u yx u 080101 080301 880101 2 910102 2 900102 1 930102 1 950204 980204 990202 2 010206 010408设 xf在 0 连续 2 5 1 f 且对所有的 0 tx 满足 txxt duufxduuftduuf 111 求 xf 参考题 设 xf在 0 连续 3 1 f 且对所有的 0 tx 满足 txxt duufxduuftduuf 111 求 xf 2012 考研数学之定积分 5 被积函数里含有自变量时 应该先将被积函数中的变量x换到积分号外或积分限上 然 后再求导数 达到如上目的的方法有2个 1 通过恒等变形把自变量提出到积分号外 2 利用换元公式消去被积函数里的自变量 例10 设 xf连续 b a yyxyfxFd bxa 时 1 中的1 0 0 x是唯一的 真题 040317 950107 2 不定积分可以用变限函数表示 不定积分可以用变限函数表示 设 xf连续 则 Cdttfdxxf x a 例14 960208设 xf连续 0 a 1 求方程 xfayy 满足0 0 x y的解 xy 2 求证 当kxf 且0 x时 1 ax e a k xy 参考题 1 设 xf在 0 内连续 1 lim xf x 求证方程 xfyy 的一切解当x 时都趋向于1 注 本题与 960208 题非常相似 3 利用变限函数讨论重积分 利用变限函数讨论重积分 当重积分的积分域的边界曲线 曲面 方程含有参数时 重积分往往利用转化为累次积 分的过程 变为变限函数 从而展开后续讨论 2012 考研数学之定积分 7 真题 110319设 函 数 f x在 区 间 0 1上 具 有 连 续 导 数 01f 且 满 足 DD tt fxy dxdyf t dxdy 其中 0 0 t Dx yytxxt 01t 求 f x 解 解 积分域如图 则 00 Dt tt x fxy dxdydxfxy dy 0 0 t x t f xydx 0 t f tf x dx 0 t t f tf x dx 2 1 2 t DD tt f t dxdyf tdxdyf tDt f t 即 0 t t f tf x dx 2 1 2 t f t 上式两边求导 有 2 2t ftf t 分离变量解得 2 2 C f t t 代入 01f 得4C 040110设f x 为连续函数 t t y xxfytF 1 d d 则 2 F 等于 A 2 f 2 B f 2 C f 2 D 0 o x y t ytx t 2012 考研数学之定积分 8 030108 满分12分 设函数f x 连续且恒大于零 22 222 tD t dyxf dvzyxf tF 其中 2222 tzyxzyxt 222 tyxyxtD 1 讨论F t 在区间 0 内的单调性 参考题 1 求 222222 6 0 1 limsin R xyzxyzdxdydz R 设 是 2222 Rzyx 0 R 答 9 1 三 换元积分法 例15 设 2 sin x x dttxf 1 证明 xf xf 周期函数 2 求 xf的最值 或值域 注 本题被选用为040217 满分11分 例16 940207设 xf在 0 1 上连续递减 求证 当10 xafxf 求证 0 0 a dxxf 四 分部积分法 1 基本类型 基本类型 被积函数含有三角函数 指数函数 幂函数 反三角函数和对数函数某两者之乘积时 三 指 幂 反 对 后者选作u 被积函数含有抽象函数与三角函数 指数函数 反三角函数 和对数函数之一的乘积时 也宜用分部积分法 真题 100110 求 2 0 cosxxdx 090216 060216 870207 930203 3 970203 3 980201 3 例18 若 x f 在 0 2 上连续且不小于零 求证对任意的自然数n 有 0 2 2 dsin 2 0 ff n xnxxf 参考题 1 设 xf的导数在 ba 连续 证明 0dcos lim b a xxxf 真题 090211 1 0 limsind x n enx x 2 被积函数的分母中含有平方项或平方根时 被积函数的分母中含有平方项或平方根时 2012 考研数学之定积分 10 例19 1 900203 4 求 dx x x 2 1 ln 例19 2 000401 1 dx x xarcsin 例20 010207设 xf xg满足0 0 f 2 0 g 2 xfexg x xf xg 求 0 2 1 1 dx x xf x xg 真题 110317 本题满分10分 计算 arcsinlnxx dx x 030205 020305 900103 1 960204 990205 010103 020204 3 被积函数含有某函数 被积函数含有某函数 xf的导数的导数 x f 时时 例21 已知1 f 0 3dsin xxxfxf 求 0 f 真题 050117 本题满分11分 曲线C的方程为 xfy 点 3 2 是它的一个拐点 直线 1 l 与 2 l分别是曲线C在点 0 0 与 3 2 处的切线 其交点为 2 4 设f x 具有三阶连续导 数 计算定积分 3 0 2 dxxfxx 2012 考研数学之定积分 11 012345 0 1 2 3 4 5 l2 Y Axis Title X Axis Title F1 C l1 y f x 110119 110221 已知函数 f x y具有二阶连续偏导数 且 1 0fy 10f x D f x y dxdya 其中 01 01Dx yxy 计算二重积分 xy D Ixyfx y dxdy 解 因为 1 0fy 10f x 所以 1 0 y fy 10 x fx 从而 1 y xo 2012 考研数学之定积分 12 11 00 xy Ixdx yfx y dy 11 00 x xyd fx ydx 11 1 0 00 xx x yfx yfx y dy dx 11 00 x xdxfx y dy 11 00 x ydy xfx y dx 交换积分次序 11 1 0 00 xf x yf x y dx dy 再一次分部积分 11 00 dyf x y dxa 080202 050319 040317 020401 2 890202 5 990301 1 4 当被积函数含有变限函数时 当被积函数含有变限函数时 真题 950207设 x dt t t xf 0 sin 求 0 dxxf 参考题 设 2 2 1 x t dtexf 求 1 0 dxxxf 答 1 4 1 1 e 五 特殊类型的积分 1 对称区间上的奇偶函数的积分对称区间上的奇偶函数的积分 0 0 2 0 a a a a f x dxf x f x dxf x f xfx dxf x 是偶函数 是奇函数 是一般函数 2012 考研数学之定积分 13 例22 求 2 2 d 1ln xexI x 解 3 8 d 2 0 2 xxI 真题 030401 2 dxexx x 1 1 21 2 1 e 010201 3 940202 5 参考题 计算 2 1 2 1 2 d 1 arcsin 1 x x xx I 2 周期函数的定积分 周期函数的定积分 若 xf是周期为T的函数 a是任一实数 则 TTa a dxxfdxxf 0 例23 970202 4 2 sin sin x x t tdtexF 是 A 正数 B 负数 C 0 D 不是常数 参考题 求 x xx x Id sin2cos cos 22 真题 080318 3 分段积分 分段积分 当被积函数是分段函数 含有参数 平方根 绝对值或最值函数 max min 时 应该 根据积分变量的变化范围划分积分区间 2012 考研数学之定积分 14 例24 计算 2 2 2 mindxxxI 例25 求 2 0 dxtxxI t是常数 真题 080416 求 1 0 f xt tx dt 01x 的单调区间和极值以及曲线 yf x 的凹凸区 间 040410 880206 910202 2 920203 4 980206 000204 010302 2 020204 例26 1 设 2 0 2 0 sin x xx xg 分别求 2 0 x与 2 x时积分 dttxgtfI x 0 的表达式 提示 dttxgtfI x 0 2 1 2 0 sin xx xxx 真题 040303 设 2 1 1 2 1 2 1 2 x xxe xf x 则 2 1 1 2 2 1 dxxf 2012 考研数学之定积分 15 4 常数和递推公式 常数和递推公式 1 2 0 2 0 dcosdsinxxxxI nn n 当n是正偶数时 22 1 4 3 2 31 n n n n In 当n是大于1的正奇数时 3 2 5 4 2 31 n