（计算数学专业论文）解析映射的fock表示及其在量子随机分析中的应用.pdf

摘要 e 一算子在量子随机分析中起着重要的作用 本文讨论了取值于 一般的b a n a c h 空问的e 一算予的有界扩张 等距扩张和h i l b e r t s c h m i t 扩 张的存在性问题 主要结果如下 一 讨论了非自反b a n a c h 空间值 的多线性映射的核定理 二 给给出了满足s b 条件 强s b 条件和h s 条件的f r c h e t 解析欧射的定义 进而给出满足 b 条件 强孓b 条件 和h s 条件的f r 6 c h e t 解析映射的判别准则 三 给出了向量值映射 可有界f o c k 表示 等距f o c k 表示和h i l b e r t s c h m i tf 0 c k 表示的充要条件 和e 一算子具有有界扩张 等距扩张和h i l b e r t s c h m i t 扩张的解析判据 四 最后作为在量子随机分析中的应用 利用文中的结果对f o c k 空问 的w i e n e r 解释和p o i s s o n 解释这两个例子进行了验证 关键词 e 算子 解析映射 f o c k 表示 a b s t r a c t e o p e r a t o r sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nq u a n t u ms t o c h a s t i cc a l c u l u s i n t h i sp a p e r w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fb o u n d e de x t e n s i o n s i s o m e t r ye x t e n s i o n sa n dh i l b e r t s c h m i te x t e n s i o n so fe o p e r a t o r s t h em a i nr e s u l t sa r e a sf o l l o w s f i r s t l y w ep r o v es o m er e s u l t so nm u l t i l i n e a rm a p p i n g st a k i n gv a l u e si n ab a n a c hs p a c e s e c o n d l y w ei n t r o d u c et h es bc o n d i t i o n s t r o n g l y 孓b c o n d i t i o na n dh sc o n d i t i o nf o rf r 4 c h e ta n a l y t i cm a p p i n g sa n dt h e np r o v e s o m et h e o r e m so nas p e c i a lc l a s so ff r c h e ta n a l y t i cm a p p i n g sw h i c hs a t i s f 3 t h es bc o n d i t i o n s t r o n g l ys bc o n d i t i o na n dh sc o n d i t i o n t h i r d l y w ep r o v i d eac r i t e r i o nb a s e do nt h ew t r a n s f o r mf o rc h e c k i n gw h e t h e ro rn o t a l lo p e r a t o rd e f i n e do n l yo nt h ee x p o n e n t i a lv e c t o r sb e c o m e sab o u n d e d1 i n e a ro p e r a t o r s i s o m e t r yo p e r a t o r so rh i l b e r t s c h m i to p e r a t o r so nt h ef o r k s p a c e a n das u t t l c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nt of o c kr e p r e s e n t a t i o no f a n a l y t i cm a p p i n g s f i n a l l y a sa na p p l i c a t i o nt oq u a n t u ms t o c h a s t i cc a l c u l u s w em a k eu s eo ft h ea b o v er e s u l t st od e m o n s t r a t ei n t e r p r e t a t i o nw i e n e r a n di n t e r p r e t a t i o np o i s s o n k e y w o r d s e o p e r a t o r s a n a l y t i cm a p p i n g s f o c kr e p r e s e n t a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不 包括其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得西北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签各氆日期 丝 年 月堕日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留 使用学位论文的规定 即 学校 有权保留送交论文的复印件 允许论文被查阅和借阅 学校可以公布论文 的全部或部分内容 可以采用影印 缩印或其他复制手段保存论文 保 密的论文在解密后应遵守此规定 签名 马虢 导师签名羽主 日期 2 旦 年 月堕日 t 上 j 一 刖蟊 自从1 9 0 0 年p l a n c km 提出能量的量子概念以来 量子力学的发展俞来俞 显示了它的随机本质 b o h rn 的原予模型 1 9 1 3 d eb r o g l i el 的玻粒二象性原 理 1 9 2 3 h e i s e n b e r gw y j f f 9 不准原m 1 9 2 7 使物理学家们意识到 量子力学 本质上是一种随机的力学 于是 在2 0 世纪2 0 年代末至3 0 年代初 几乎在k o l m o g o r o v an 奠定经典概率论的数学基础同时 b o r nm d i r a cp 和v o nn e u m a n nj 创立了量子概 率论 但是在一个相当长的时期内 概率论的应用仅仅停留在于阐明量子力学的基 础 物理学家们在得心应手地应用泛函分析 算子代数秘群论等作为量子力学的数学 工具的同时 却没有利用近代概率论的许多深刻结果和精湛技巧来发展量子物理学的 数学理论 这种情况直到2 0 世纪7 0 年代末才有所改变 2 0 世纪7 0 年代末和2 0 世纪8 0 年代 初 h u d s o nrl 1 1 9 首先研究了量子b r o w d 运动 紧接着b a r n e t tc s t r e a t e rrf w i l d e if 3 l 4 叭f e r m i d i r a c 次量子化出发 引进了i t 6 c l i 肺r d 积分 它是一种非交换的 随机积分 几乎同时h u d s o nrl p a z t h a s a r a t h ykr 2 0 l 2 l l 2 2 也建立了一套非交换 的随机分析理论 他们从b o s e e i n s t e i n u 次量子化出发选择增生 湮灭和保守过程为量子 噪声过程 直接推广了经典的i t 6 公式 此后又有几种随机积分理论相继出现 至此就 形成了一个崭新的数学物理分支一量子随机分析 在量子力学中 如果一个系统由两个子系统风和蜗组成 则复合系统就用日lo 风来描述 对n 个相同的子系统的复合系统 一个自然的想法是用日的n 重张量 积日肌来描述 然而在量子物理中相同的粒子是无法区分的 因此只能考虑日跏的两个 子空间 对称和反称张量积空间 而根据著名的p a u l i 原理 相同的粒子 如光子 7 r 介 子等 服从b o s e e i n s t e i n 统计 即采用对称张量积模型 称为玻色子 b o s o n 对于半 整数自旋的粒子 如电子 质子 中子 z 介子等 服从f e r m i d i r a e 统计 即采用反称 张量积模型 称为费米 f i f e r m i o n 由于粒子可能增生 或湮灭 一个系统中粒子的 总数是不固定的 因此采用两c k 空间来作为粒子系统的模型 量子随机分析的基本数学 前言 框架 就是建立在复可分h i l b e r t 空问上的f 0 c k 空间 由于f 0 c k 空间在量子随机分析中所起的基础作用 所以有必要对f o c k 空间上算子 的性质进行讨论 f 一算子即定义在指数矢量上的算予 在量子随机分析中起着重要 的作用 事实上 在量子随机分析理论的发展中 h u d s o n 和p a r t h a s a r a t h y c 2 0 l 使用指数 矢量集合e h 作为检验矢量 在r 日 中的所有算子 首先被定义在e 日 上 然后再 被拓展到它们合适的空间上 本文我们主要讨论了取值于一般的b a n a c h 空间的e 一算 子具有有界扩张 等距扩张和h i l b e r t s c h m i t 扩张的存在性问题 及其在量子随机分 析中的应用 利用指数映射可以把e 一算子与单粒子空间h 上的一个向量值映射联系 起来 该向量值映射称为e 一算子的w 变换 令西 h tx x 为 b a n a c h 空间 若存在有界线性算予t r h 一 x 使垂 to 则称圣可有界f 0 c k 表示 若存在 等距算子t r h x 使圣 to 则称圣可等距f o c k 示 若存在h i l b e r t s c h m i t 算 子t r f 哪 x 使圣 to 则称西可h i l b e r t s c h m tf o c 壤示 通过w 变换可以 把e 一算子具有有界扩张 等距扩张和h i l b e r t s c h m i t 扩张的问题分别转换为向量值映 射可有界f 0 c k 表示 等距f o c k 表示和h i l b e r t s c h m i tl e o 出表示的问题 如在文嘲中作 者使用w 变换给出了从h i d a 检验泛函空间到h i d a 广义泛函空间的线性连续算子的刻 画 2 0 0 3 年 王才士 黄志远 王湘君 3 9 l 4 0 j 讨论了取值于h 丑b e n 空问的e 一算子具有 有界扩张和h i l b e r t s c h m i t 扩张的存在性问题 给出了h i l b e r t 空间值e 一算予具有有界 扩张和h i l b e r t s c h m i t 扩张的解析判据 本文在上述工作的基础之上讨论了取值于一般 的b a n a c h 空间的e 一算子的有界扩张 等距扩张和h i l b e r t s c h m i t 扩张的存在性问题 给 出了相应的解析判据 需要指出的是 文p 9 j f 4 0 中 作者在其主要结果的证嘎中用到 t h f l b e r t 空间作为一类特殊的b a n a c h 空间所具有的自反性性质 而在本文讨论中则没 有使用白反性性质 所以本文讨论取值于一般的b a u a c h 空问的e 一算子的有界扩张 等 距扩张和h i l b e r t s c h m i t 扩张的存在性问题是有意义的 本文主要内容包括四部分 第一部分作为预备 介绍了f o c l 空间的构成及其性质 第二部分我们讨论了取值于一般的b a n 础空间的多线性映射的核定理 给出了满 2 前言 足s b 条件和强s b 条件的f r 6 c h e t 解析映射的定义 进而给出满足s b 条件和强s b 条件 的f r 6 c h e t 解析映射的判别准则 最后利用w 变换给出了e 一算子具有有界扩张和等距扩 张的解析判据 主要结果如下 定理o 1 令m h 一x 为一个有界n 一线性映射 则存在一个唯一的功 l 旧部 x 有1 l 了kl l i i m l l s j i m h i h 2 一 k t m h i o h 2 0 o k l 危2 一 k h 0 1 定理0 2 令m 王p x 为一个强有界对称i i 一线性映射 则存在一个唯一的 l m 叫庐 x l i i l m i i 嘉l i m i i s 而且 m h l h 2 k l m h 1 园k 裔 裔k h l h 2 k 驴 0 3 定理0 3 对映射垂 h x 下列两个性质是等价的 i 圣是f r 6 c h e t 整映射 且满足s b 条件 i i 圣是局部有界的且对每一 h h 和g x 下面的这个复合函数是一个整函数 g 名 圣 tz h g x x 名 c o 4 而且 西满足s b 条件 定理0 4 令映射圣 h x 则下列 结论是等价的 i 存在一个有界线性算子l r h x 使得西 lo 日 i i 圣是f r 6 c h e t 整映射 且满足s b 条件 i i i 西是局部有界的 且对每一 h h 和g x 下面的这个复合函数是一个整函数 c z 西 功 g x x z c 0 5 而且 圣满足 b 条件 定理0 5 令a e h x 为一e 一算子 且复合映射西 a0 为a 的 v 变换 则下 列三个结论是等价的 3 前言 i a 在r 日 上具有有界扩张 i i 西是f r 6 c h e t 整映射 且满足s b 条件 i i i 圣是局部有界的 且对每一 h 日和9 x 下面的这个复合函数是一个整函数 g 力 圣 z h g x x z c 0 6 而且 垂满足s b 条件 定理0 6 令m h o y 为一个等距算子类的对称n 一线性映射 则存在一个唯一的 等距算子工m 毋一x 有 i i l m i i i i m i i 盯 去 s o 7 而且 m h l k k l m 裔也圆 圆k 1 h 2 一 k h n他8 定理0 7 对映射圣 h x 下列两个性质是等价的 i 圣是f r c h e t 整映射 且满足强s b 条件 i i 圣是局部有界的且对每一 h 日和g x 下面的这个复合函数是一个整函数 g z 壬 z h g x x z c 0 9 而且 西满足强8 b 条件 定理0 8 令映射西 h x 则下列三个结论是等价的 i 存在一个等距算子三 r h x 使得壬 l0 i i 西是f r 6 c h e t 整映射 且满足强s b 条件 i i i 壬是局部有界的 且对每一 h h 和g x 下面的这个复合函数是一个整函数 o z 圣 z h g x x z c 0 1 0 而且 圣满足强s b 条件 定理0 9 令a e 日 x 为一e 一算子 且复合映射西 ao 为a 的w 一变换 则下 列三个结论是等价的 4 前言 i a 在r 日 上具有等距扩张 i i 西是f r 6 c h e t 整映射 且满足强s b 条件 i i i 圣是局部有界的 且对每一 h 且和口 x 下面的这个复合函数是一个整函数 a z 西 z h g x x z c 0 i i 而且 西满足强s b 条件 第三部分我们使用前一节同样的思想 给出了e 一算子具有h i l b e r t s c h m i d t 扩张的 解析判据 主要结果如下 定理0 1 0 令m 上p x 为一个h i l b e r t s c h m i d t 类的n 线性映射 则存在一个唯一 i 拘h i l b e r t s c h m i d t 算子了k 日 x 有0 n 州2 i i m ij 2 且 m h l k t m h i k o o h l 圯 一 k 4 0 1 2 定理o 1 1 令m 王p x 为一个h i l b e r t s c h m i d t 类的对称n 一线性映射 则存在一 个唯一的h n b e r t s c h m i d t 算子l m 日骱 x 有 忙训 去 o 1 3 而且 m h 1 h 2 k l m 九l 舀 2 畲 裔 h i h 2 k h 0 1 4 定理0 1 2 对映射壬 h x 下列两个性质是等价的 i 西是f r 6 c h e t 整映射 且满足h s 条件 i i 垂是局部有界的且对每一 h h 和g x 下面的这个复合函数是一个整函数 g z 西 z h 口 x x z c 0 1 5 而且 西满足h s 条件 定理0 1 3 设t r h x 为一个h i l b e r t s c h m i d t 算子 则复合映射西 toe 是一 个f r 6 c h e t 整映射 且满足h s 条件 5 前言 定理0 1 4 设圣 h x 是一个f r 6 c h e t 整映射 且满足h s 条件 贝 存在一个唯一 的h f l b e r t s c h m i d t 算子l r h x 使得壬 los 定理0 1 5 令映射垂 h x 则下列三个结论是等价的 i 存在一个h i l b e r t s c h m i d t 算子l r h x 使得西 loe i i 西是f r 6 c h e t 整映射 且满足h s 条件 i i i 西是局部有界的 且对每一 h h 和l g x 下面的这个复合函数是一个整函数 g z 垂 z h g x x z c 0 1 6 而且 西满足h s 条件 定理0 1 6 令a e h x 为一e 一算子 且复合映射西 ao 为a 的w 一变换 则下 列三个结论是等价的 i a 在r 日 具有h f l b e r t s c h m i d t 扩张 i i 圣是f r 6 c h e t 整映射 且满足h s 条件 i i i 垂是局部有界的 且对每一 h h 雨4 l g x 下面的这个复合函数是一个整函数 g z 圣 z h 功x x 2 c 0 1 7 而且 垂满足h s 条件 第四部分作为在量子随机分析中的应用 我们使用文中的结果对f o d c 空间 的w i e n e r 解释和p o i s s o n 解释这两个例子进行了验证 6 1 f o c k 空间的构成及其性质 在这部分中 我们主要介绍f o c k 空间的构成及其性质 参见 1 6 1 1 8 1 本文中 用r 与c 分别代表实数域和复数域 设皿和岛为两个h 讧b e r t 空间 描述两个量子系统 量子力学中一般用它们的张量 积h 1oh 2 来描述其复合系统 设 1 与 2 分别为日l 与岛中内积 对u l 日l 也 日2 我们定义其张量积t 1 2 为h i 马上的一个共轭双线性型 让lo 乱2 m 啦 l u 1 l l u 2 2 1 1 以e 表示由 u lo 2 l u l h i 2 凰 生成的线性空问 对n 1o 2 口l 固忱定义内积 似1 圆地 口l o 勘2 t 正l n 1 2 吨 2 1 2 并将其线性开拓到 上 容易验证 这种开拓是确定的 且的确定义了e 上的严格 正的h e r m i t e 型 对第一个变量共轭线性 将 关于此内积完备化而得的h i l b e r t 空间称 为玩和仍的张量积 记为盟 岛 命题1 1 若 e j j d 和u b n 分别为日l 和趣之正交基测 8 j o j k n 为肌 凰之正 交基 设 肘 卢 为一测度空间 为h i l b e n 空间 我们以三2 m 叼表示m 上取值k 的平方可积 函数 卢一等价类 所构成的h d b 吼空问 其中内积为 g z 9 z d 肛 z 1 3 命题1 2 设 m p 和 p 为测度空间 且l 2 m p 和l 2 p 可分 则 1 存在惟一同构关系 铲 m o 口 p 皇l 2 m n 卢 p 使 o9 对应于 z 9 z 2 对任一可分h i l b e r t 空间k 存在惟一同构关系 l 2 m p k 星三2 肘 肛 j r 7 1f o c k 空间的构成及其性质 使 o 对应于 z h 对任意有限多个h f l b e r t 空间的张量积 可以归纳地定义 当皿 岛 风 日时 其n 重张量积记为日卸 若 e 女 为h 之正交基 则 o 饕1 i k l 一 k n 为日肌之 正交基 在物理中 日o 相当于n 个子系统构成的复合系统 在经典物理中 相同的子系统仍 然可以通过某一时刻的空间位置 其轨迹 区别开来 但在量子物理中 却无法区别相同的 粒子 因此只能考虑日 n 的两个子空间 对称和反称张量积子空间 设g 为 1 2 n 上的n 阶置换群 对盯 g 定义 i o o 钍口 1 o o u 则 可开拓为日肌的自同构映射 且对吒r g 有i i o 靠听 令 趴2 去乏 2 击嘉和h 其中 为置换口的符号 偶置换时为 l 奇换时为 1 容易验证 最 a 均为日 n 上的正交 投影且相互正交 其值域为日 n 的两个相互正交的闭子空间 分别称为日之n 重对称张量 积空问和反称张量积空间 例如 当日 工2 r n 时 h 肌 l 2 郧 日劬为口 p 中关 于n 个变量对称的函数构成的子空间 a 王p 为驴啤 中反称函数 每交换两个变量则改 变符号 构成的子空间 以后我们主要讨论对称张量积空间 并将 日肌改记为日h 对 于u l o 2 0 圆 h 肌 记 n l 嘶iu l 萄t 2 茵 舀 鼹1 哟 兰去 u 邮 州 o 6 g 称为u l 一 的n 重对称张量积 命题1 3 极化公式 设日为任一线性空问 l 为赢 聂育e 的对称n 线性型 若令 l t 占 工 u u u 日 则对任意让l 一 让 日有 三 u 一 矗 s 矗 勺嘶 1j l 1 9 n 其中 是对勺 1 0 1 礼 所有2 埽 情形求和 命题1 4 设 勺 为h i l b e r t 空间h 之正交基 对o a 令 瓦 孝q 1 5 1 6 1f o c k 空间的构成及其性质 其中括号内的张量积只含n 个因子 其中勺出现 次 j 1 2 则 q 一 露i 口 a 构 成日如之正交基 设 上 n 1 2 t 为一列h n b e r t 空间 其无穷直和日 o 甚l 三k 是指由满 足 川 峨 u n 王k n 1 2 之序列 构成的线性空间 其中定义 内积 叩 u n l z t r i 口 u 珥 n 1 2 容易验证 日构成一个h i l b e r t 空间 定义1 1 设日为h i l b e r t 空间 则 f 日 o h 舯 1 7 n o 约定h o c 称为日上的f o d c 空间 或完全f 0 c k 空间 自d j f o c k 空间 而 r 日 o 一 1 8 n 0 则称为日上的对称f 0 d c 空间 或b o s o nf 0 c k 空问 若把上述定义中对称张量积改为反称张 量积 则称相应的无穷直和为反称f o c k 空间 或l b l i o nf o c k 空间 记为l 日 n 重张量积 空间称为n 粒子空间 绀 1 u 百u 2 鲁 h 1 9 称为指数矢量 特别 5 o 1 00 0 0 0 称为真空矢量 今后 为了记号简单起见 日肌也代表f 口 中的矢量oo ou o 一 其中除 第n l 项为 外其余各项均为o 因此真空矢量e 0 也记成1 若 勺 为日之正交基 则 1 o 冬1 j 尼 一 1 i n 礼 1 2 构成f 日 之正交 基 l 毛1 q q 构成r 日 之正交基 指数矢量在f o c k 空间的分析中起着十分重要的作用 由定义可知 若 w 日则 p r h e c p w 1 1 0 其中我们约定日 n 中的内积为日却中的n 倍 此外 我们有 9 1f o c k 空 问的构成及其性质 定理1 1 指数矢量族忙 让 l u 日 为r 日 中的线性独立完全集 即所生成的线性子 空间在r c h 中稠密1 上述定理的重要意义在于 在许多情形下 定义r 日 中的某个线性算子 不必考虑其精确的 定义域 只需在指数矢量上给出定义 就存在惟一延拓 命题1 5 设m 为日的稠密子集 以 且卯表示由s e t i 让 m 生成的线性子空 间 贝i j 6 m 在r 日 中稠密 且任一映射t s r 日 必可唯一延拓为r 日 中的线性算 子于 其定义域d t i m 定理1 2 设皿和岛为h i l b e r t 空间 h h toh 2 则存在惟一酉同构u r h 一 r 皿 0 1 1 玩 使 阮 u o 口 牡 o v u 日j 2 1 1 1 1 0 2 向量值映射的有界f o c k 表示和等 距f 0 c k 表示 在这一节中 我们利用 变换给出了取值于一般的b a n a c h 空间的e 一算子具有有晃扩 张和等距扩张的解析判据 2 1b 一值多线性映射的有界型核定理 在这一部分中 我们讨论了取值于一般的b a n a e h 空间 不必须是自反的 的多线性映射 的核定理 设k r c 且口是k 的可分h i l b e r t 空间 内积和范数分别用 和i l 表示 x 为k 上 的b a n a c h 空间其范数用i 表示 其次我们总假定n 1 定义2 1 令m h n x 为一个有界n 线性映射 嬲被称为强有界 如果存在一个标 准正交基 k 1 h 有 l l m l i s f s u p i g m e j x x x l 2 5 o o 2 1 帖l 9 p l j 这里 且j 靠 乳 j n m 怙口q 做磁的强范数 命题2 1 令m 俨一 x 为一个有界竹一线性映射 假定存在一个标准正交 基 e h 1 日 i m c e j e j o 1 2 1 则我们有 i i m i i s u p l 仉m e j p x 1 2 i g l 1 t g e x j l 矗 众所周知 支雩条要害翌i r 您 为日 n 的一个标准正交基 这里1 r l r 2 n r 1 您 一 n n 1s n r k 巩因此 0 l m 旷2 l i l k 胪2 三u p i l l t i h s n f e xj 卜1 s u p x 萎i c 工知 篓羔 善 芋圭 笋 日鼽 葡1 2 v s 埘u p 两1j 荟 鲰昏 届啪 荫咿一2 罐s v u p 雨1 善 k e j 两 昏一鸹j h q 刘2 稚s u p 竹雨1 邑 i 州 尚 x 川2 j 1l i 怙2 这里 定义如下 l r l r 2 r k r l r 2 r k 礼 1 南 n 2 1 2 i 毗i i l m i i 而1l i m b 2 向量值映射的有界f o c k 表示和等距f 0 c l c 表示 2 2 满足s b 条件的f r 6 c h e t 解析映射 在这部分中我们给出了满足s b 条件的f r 6 c h e t 解析映射的定义 进而给出了满 足孓b 条件的f r 6 c h e t 解析映射的判别准则 令皿x 如前一节所设 定义2 2 令圣 h x 为一f r 6 c h e t 解析映射 卿发称为一个f r 6 c h e t 整隈射 宴 果e 满足以下两个条件 三 地 扣垂 川 0 o 2 1 3 且 西 者西 o 驴 日 2 1 4 n 0 命题2 4 假定西 h x 是一个f r 6 c h e t 茔映射 则它满足以下两个条件 翌日i 删 jj r o 日 2 1 5 且 7 叫 妨2 薹五1 缸n n 址h 2 1 6 特别地刮暑f r 6 c h e t 解析映射 证明 首先 我们 要确保f 列这个序列在叉中对v h 日都绝对收敛 蚤薹而与叫砷 0 广 2 1 7 事实上 我们有 墨薹两i 圭面 叫帕 0 l 薹两百圭可j i 斟由 o l l l f j m i 萎丢窳与渺 l l l f l 叫 n uk u s 拶 o l l 1 i l 帅 从 2 1 3 5 始1 j 上式收敛 故 2 1 7 式收敛 现在 对 h 定义a 靠 h x 如下 慨 肌k 薹南批胁 b 邝t 厄 岫倒 2 1 8 1 5 坠些丝墅丝型坠型堕丝堡堕 这里f 在西 n 一 h l h 2 饥 中出现了n k 次 则m 2 1 7 式的收敛性 我们可得到 对讹 1 m i 月噜 x 是一个有界的对称七一线性映射 且满足 i i m f l l 面南渺 o i t n n 矗 2 1 9 t 2 1 4 t d 2 一1 7 式 我们有 垂 击壬恤 0 f i h 2 薹善而与删 o 旷础胪 薹而南耐帕 0 嘴 击 i 丢丽圣 o 尸4 胪 k 0n k 7 击尬 矿 这里 h 日 另一方面从 2 1 5 6 1 2 1 9 我们能得到 却螈 删渺 o 2 2 0 这暗含着恃0 且缸 删胆 因此圣 n 坞 n 0 1 下面给出了满足s b 条件的f r 6 c h e t 解析映射的定义 定义2 3 令西 日 x 是一个f r 6 c h e t 解析映射 圣被称为满 y s b 条件 如果它满足 下式 圳鬈x 圣去 荟且m 0 e j l 射一删舻蹦卜 o 口七q 注令壬 h x 是一个f r 6 c h e t 解析映射满足s b 条件 则 扣壬唧 0 l 腿1 1 垂1 1 2 2 2 2 下面的这个定理给出了给出满足s b 条件的f r 6 c h e t 解析映射的判别准则 定理2 3 对映射西 h x 下列两个性质是等价的 i 西是f r 6 c h e t 整映射 且满足 s b 条件 i i 西是局部有界的且对每一 h h 幕1 g x 下面的这个复合函数是一个整函数 g z 西 z h g x x z c 2 2 3 而且 西满足s b 条件 6 证明 i 争 i i 首先 对每一f heh 9 x 和z c 我们用证p 1 7 类似的方法证 明下列这个序列是绝对收敛到c 中的 妻壹嘉 圳 0 n k h 她彬 2 2 勺 黜我懦手手氘 缈坩嘞t 舶彬e i i 丽南缈 o 9 删 妻妻而 拶 o l l l 1 叫计i g i 州 曼妻妻丽 i 砂 o l l l s l 槲i 帕i 州 s 1 i 圣 o l l i f l l h l i g l x 因此 由计算可得 g 力 妻击哪k 怏c 2 2 砷 括o 赳 丽乓 圣 曲 慨艚 2 2 6 t 而匆 州o 厂 胪 g 删 f w 注意到 2 2 6 式右边序列是绝对收敛到x 中 因此g z 是一个整函数 i i 号 i 我们首先注意到从 3 0 中的定理2 3 鼍西是f r 6 c h e t 可微的 由仁2 2 可得 扣 0 1 1 去惮i i 2 2 7 它暗含着 跏 删i 3 一 一 特别 黔1c 删卜 一0 r 1 1 1 i n 一 n l n j 因此序列 是 刍圣扣 护对h 日是在x 中绝对收敛的 2 2 8 2 2 9 另 方面 我们有 杀吣圳删 两0 瓦0 矗西 盈矗 施危 斗 b 一一n o 2 3 0 1 7 2 向量值映射的有界f o c k 表示孝等距f o c k 表示 则 因此 故结论成立 州劫 宝去杀 删劫 也 者 西 o 胪 曲m 三刍毗啪 讹叫9 时 吣 薹扣 0 2 3向量值映射可有界f o c l 表示条件 在本部分中 我们提出和证明了在本章节中的主要结果 利用w 变换给出了e 一算子具 有有界扩张的解析判据 令日 x 如前一节所设 日 r 日 是指数映射 e 算子就是定义在 日 上取值 于x 上的算子 如令a 圩 x 为一e 算子 则复合映射西 aoe 被称为a 的w 变换 在证明主要结果之前先证明一个引理 引理2 1 令k 日 x 作为一列有界线性算子满足 b i 曩x 薹酬赫 x x z c 2 3 7 而且 西满足s b 条件 证明 i 争 i i 定义蛆 日 x 如下 螈 危1 h 2 一 k l h 1 园 西 舀 h k 一 k h 2 3 8 易知 对每一个n 螈是对称的有界n 一线性映射 而且 i i 尬川 礼川圳 2 3 9 这暗含着 啬i l m n m 0 n 0 另一方面 由计算可得 西 2 去呱 h h 2 4 0 1 9 2 向量值映射的有界f o 出表示和等距f o c l 表示 故西 o 2 因此圣是7 c h 8 1 整映射 现在我们证明西满足s b 条件 事实上我们确 2 m 吐s u 斛p 圣砉血量 触 射一圳p 硝 2 2 忙s 球u p x 三 五1 扎三h j 吼以 鲰昏一碱 斌r m s u p x 妻丢 三 垡窆雩 潜 x x 1 2 i s u p x 薹 l l 1 4 1 笋 打 1 2 2 s u 胙p x 酬赢 俐1 l l 卯 这里 的定义和定理2 2 中的 定义相同 i i 辛 i 令螈 圣 o 则 矗是有界对称的礼一线性映射 而且去0 m i i 归忾故眠是强有界的 因此由定理2 2 存在一个唯一的有界线性算子 k 日 n x 如 下 矗 l h 2 一 h l n l 园b 园 西k h 1 k k h 2 4 1 且 l l i i 去懈恬 2 4 2 另一方面 我们有 m 乱s u 斛p 舭n 0 川爨兽耻 龟雩簪害产 岬叩加 1 2 m s u p x 薹丢 i lo 呈 爹 滞 x12 3 川吐s u p 薹 面1a 至矗j 缸吲 心 舟 f 蹦 2 归1 1 2 因此由引理2 1 存在一个有界线性算子三 f h x 如下 l 叫 去工n 舯 且 注意到西是f r 6 c h e t 整映射 我们有 1 西 壶三n 部 h h n o 2 向量值映射的有界f o c l 表示和等距f o c k 表示 因此垂 loe i i i i i 由定理2 3 可得 下面的定理给出了e 一算子具有有界扩张的解析判据 定理2 5 令a 日 x 为一日一算子 且复合映射垂 ao 为a 的 v 变换 则下 列三个结论是等价的 i a 在r 日 上具有有界扩张 i i 圣是f r 6 c h e t 整映射 且满足s b 条件 i i i 圣是局部有界的 且对每一 h 日和g x 下面的这个复合函数是一个整函数 g 0 圣 z h g x x 2 c 2 4 3 而且 圣满足s b 条件 证明显然 a 在r 日 上具有有界扩张甘存在一个有界线性算子上 f h x 且圣 lo 因此由定理2 4 可知结论成立 2 4向量值映射可等距f o c k 表示条件 在本部分中 我们给出了e 一算子具有等距扩张的解柝判据 令h x 如前一部分所设 我们首先给出等距算子类的定义 定义2 4 令m s n x 为一个有界n 线性映射 m 被称为等距算子类的n 线性映 射 如果m 为强有界且存在一个标准正交基 e k 1 h 有 i i m i i 0 s u p 币1 邑 讹 耵 川 删2 卜1 猁 这里邑 西 靠 i i m 叫做m 的等距范数 注 由定义2 4 易知刍1 i m 瞻 l i m i i 矗 下面我们得到了与定理2 2 相类似的一个定理 定理2 6 令m 王p x 为一个等距算子类的对称n 一线性映射 则存在一个唯一的 等距算子l m 日孙 x 有 j m 蚣南o m 恬 2 4 5 而且 m h 1 h 2 一 k l m 1 裔 萄 茵k h 1 2 一 h h 2 4 6 有 证明我们仅需证明l 的存在性 由定理2 1 知存在一个唯一的死f l 日觚 x 且 m h 1 k 一 k l o h 2 0 o k h i h 2 一 k 俨 令工村 k 1 日如则对v 圯 一 k 舻 依据m 的对称性我们有 m 1 h 2 k 刍 m h 邮 h c 2 3 出 口 晶 刍 功 邮 o 帕 k n i r n j 去姜晰 h 丁k 1 园 2 园 茵危 l 肘 h 园地 园k 现在取 h 的标准正交基 e k l i 则我们有 罡 s u p m e j e i 2 k x x f 2 b i l 9 x j l j i 矗 众所周知 豆雩等茅i t r n 为日 n 的一个标准正交基 这里1 r 1 r 2 r k r 1 r 2 一 n n 1 茎七兰n r k n 因此 i i l 村i i 2l i 二h 旷2 u p i l h i 函如 i 怿l x s u p x 丢i e l 矗 雩 芋兰 专笋 t 日s 日a 1 2 3 吐s u 州p 丽1 荟 i 材舟两洒 鸥a 西叩柚如 2 s v u p 丽1h 荟 f l m e y t 辆 鸥j k 刘2 s 埘u p 丽1 薹 i 叫 一2 一点 p 斌 2 i i l l 各 知m 瞻 1 这里 定义如下 1s r 1 仡 p 斌 2 卅 所以 l 是一个等距算子 且有圣 l0 i i 辛 i i i 由定理2 7 可得 下面的定理给出了e 一算子具有等距扩张的解析判据 定理2 9 令a h x 为一e 一算予 且复合映射圣 aoe 为a 的w 变换 则下 列三个结论是等价的 i 4 在r 日 上具有等距扩张 i i 壬是f r 6 c h e t 整映射 且满足强s b 条件 i i i 壬是局部有界的 且对每一 h 日和g x 下面的这个复合函数是一个整函数 g z 垂 2 g x x z c 2 5 1 而且 垂满足强s b 条件 证明 显然 a 在r 日 上具有等距扩张营存在一个等距算子三 r h x 且西 三oe 因此由定理2 8 可知结论成立 3 向量值映射的h i l b e r t s c h m i d tf o c k 表 不 在这一节中 我们使用前一节同样的思想 给出t e 算子具有h i l b e r t s c h m i d t 扩张 的解析判据 3 1b 值多线性映射的h i l b e r t s c h m i d t 型核定理 在这一部分中 我们讨论了一般的b a n 8 c h 空间值多线性映射的核定理 令日 x 如前一节所设 定义3 1 令映射m 俨一x 为一个有界n 线性映射 m 被称为h i l b e r t s c h m i d t 类 如果m 满足 z i m e j 如 陬 呼 c o 1 l 3 2 j 这里舀 西 芝况 l 注 对一个h i l b e r t s c h m i d t 类的n 线性映射m 三p x 显然i i m i i z 与圄的标准 正交基 e k 2 的选取无关 命题3 1 令m 日t x 是一个h i l b e r t s c h m i d t 类的n 线性映射 则这存在一个唯一 的线性算子m x 日铘 对任意 矗1 2 一 k f 和g x 有 扫 m h l h 2 k x x x m g h l oh 2 圆 t o h 饵 x 日 n 3 2 证明n n h loh 2 o i h l h 2 k h 是日肌中的完全子集 故m 是 唯一的 现在证明存在性 定义m x 日舯 如下 m g 扫 m e i e j 一 e x r e j 固r e j 圆r e h 3 j l j 2 j n 这里g x 令r h h 为r i e s z 映射 满足 r 1 h 2 h x h h i 2 h l k 日 3 4 l 王 r e j r e j ot r e i l j l 如 一 1 2 是一个 h 的标准正交基 易知m 是一线性算子 t 证 3 2 式 2 5 实际上 对 l 7 1 2 k f 和g x m 9 h io 屹o 圆h 日 n 日 n 臼 m e j e j a m x e j 2 e j k j 1 血 矗 f g m e j h 1 e j h 2 e j 2 1 一 勺 k 弦 x j l j 磊 g m h l h 2 k x x x 定理3 1 令m h n 一 x 为一个h 丑b e r t s c h m i d t 类的n 线性映射 则存在一个唯一 i 掏h i l b e r t s c h m i d t 算子n f 日舯 x 有i 了k1 1 2 i m 1 1 2 且 m h 1 h 2 砌 1 0 h 2 0 o k h l k 扩 p 5 证明令t m j 1 m j x x 是自然嵌入映射 故j 1 j x 一x m 为m 的对偶算子 g m h 1 h 2 一 f k x x j m m h 2 7 k 曲x x x m l o h 2 0 o k 9 x x x j m h 1 k m p h i o h 2 0 圆k m h l h 2 一 k j 1 m p h i oh 2 0 o h n m h 1 h 2 t l o o h n 故l l t k 0 i i m i l 2 所以 是一个h 讧b e r s c h i i l i d t 算子 t 唯一性显然 定理3 2 令m 印 x 为一个h d b e r t s c l l m i d t 类的对称n 一线性映射 则存在一个 唯一的h i l b e r t s e h m i d t 鼾l 肘 日萄n x 有 i l l o 去o m 峙 3 6 v 而且 m h l h 2 一 h l m h l 园 2 茵 茵h h i h 2 一 h 妒 3 7 证明我们仅需证明l m 的存在性 由定理3 1 知存在一个唯一的h 沁e m s i 虹出t 算 子死f 口肌 一x 且有 m h 1 h 2 一 k 砌 危1 0 h 2 0 o k h i h 2 一 k h 3 向量值映射h i l b e r t s c h m i d tf o c k 表示 令l 肘 t k l 日 则对v l h 2 一 h 日 依据m 自q 对称性我们有 m h 1 h 2 n 刍 m k 1 h 2 i 一 k n d 品 嘉 t m h o i u n o 1 k 2 k 币乙 凹 b 2 凹 固n n j 去 嘶叽卵 帆 口 品 茵如6 裔k l 吖 裔 2 圆 8 h 现 芷取目的标准正趸基 8 k l 则找们召 l 净 i m e j e j 1 2 众所周知 盏弓熹凳嘉翌 sr r m 您 n n 1sk n 为一n 的一个标准正交基 这里l 7 1 r 2 r k 札周此 忙训 丢阻雩貉字 j 2 l m e j 萄 西 裔 2 m e j e j 2 e j 1 2 2 面1 1 1 2 2 这里 定义如下 1sr l r 2 r l r 2