（机械设计及理论专业论文）加筋板稳定性承载能力的研究.pdf

l ，1 0 0 8 4 5 1 摘要 现代社会是一个锻铁的时代，钢结构的东西充斥在我们的周围，使我铝的生活、生 产须臾离不汗它。翱结构的缝成霹以分为板、梁、样、壳等几丈部分，每一部分郡有其 自己的独特的用处。在本文中主要研究的是薄板，尤其是加筋薄板的阅题。 我们可以希至4 板在备行备业中的应用相当广泛，无论是地上的火事、汽车，还是天 上的飞机，海黑的轮船脱艇，扳结构无不在上灏有着缀广的用处。我们在使用扳的时候， 为了减轻整体的重是、降低成本，往往把板傲的很薄。但是过薄的板在受珏的对候会像 抒一样毒届莛失稳豹问题。为了减轻重鐾、降低成本又要克服属曲失稳熬阀熬，人们便 发明t ；b o 筋这种技术。因为人们发现板的盾曲是与其板的宽厚比有关的，通过加筋相当 于在加筋处设露了约束边界，从丽把板分成一系列的小的板，从而降低了宽厚比，增加 了抗屈啦的能力。 然而板的闽题本身就是一个很复杂的阀题，糟礁地得到其承载能力就很困难，考虑 筋豹影响就燹困难了。在实际的应稻中，为了安全考虑人们的设计总是缀保守的。如掬 筋霹寸人们总燕将筋加的很大，想使筋对板的变形有很大的支撑作用。这时便可以认为筋 在板的变形中保持不变形，这就怒工程上的刚性筋，起黧机设计规蓖中也是规定加 刚健筋的。但是这种设计思想也带来了了一定的闻题，如一味的增大筋，不仅使结构变 得笨璧不经济，虽当筋增大到一定的时候也不能辫显藩的提高其抗属越的承载能力。这 在我们先豁所傲的一些实验中也是有复浃的：鲡对于一块实验两的板，随着加筋的变大， 开始其承畿能力会有很明显的增加，螽来再增大筋它的承载能力也不会脊鞠最的增加， 甚至是几乎傈持不变。 那么筋在其承载能力不再增加的时候筋的大小是多少便是一个很值得研究的问题。 商了这个擅我们不仅褥到最大的眉曲承载力祗木浪费任孵材j | ； ，具有很实际的经渗意 义。本文从板的经典薄板理论和我国的超重杌设计规范入乎，对筋的刚性与柔性阔 怒及加荔授的承载能力迸行了一点探讨，褥出一个判断涮懂筋与柔挂筋的公式并用试验 和有限元的方法进行了验证。希望对所做的工作可以为实际的工撩应用提供参考，为今 后的相关研究撮供借监。 关键谰：加筋叛，藩曲幅界载祷，剐链筋，柔性筋 张常伟( 机械设计及理论 等师：譬达蔷 a b s t r a c t | ti sas t e e le r ai nm o d e r nt i m e s a r o u n du st h e r e ；sf u l lo fs t e e l s ，a si fw i t h o u ti tw e c a nn o ti i v ef o ram o m e n t s t e e ls t r u c t u r ei sc l a s s i f i e da sp l a t e ，b e a m ，b a ra n ds h e l l e a c hk i n do fs t e e ls t r u c t u r eh a si t so w ns p e c i a lu s e f u l n e s so ra d v a n t a g e so v e rt h e o t h e r s i nt h i sp a p e r 。p l a t ei sd i s c u s s e d ，e s p e c i a l l yt h es t i f f e n e dp l a t e t h ep l a t ei sw i l d l yu s e di ne v e r yw a l ko fl i f e 。n o to n l yt r a i no rc a ro nt h ei a n d ，b u t a l s op l a n ei nt h ea i r ，e v e ns t e a m s h i po nt h es e a i no r d e rt ol i g h t e nt h ew e i g h to f s t r u c t u r e ，t h ep l a t eb e c o m e sm o r ea n dm o r ef t i m i l yc o m p a r e dw i t ht h ew i d t ha n d l e n g t ho ft h ep l a t e b u tw h e nt h ep l a t ei so v e rf i l m y ，i tw i l lc a u s ep l a t eb u c k l i n gj u s tl i k e ab a r sb u c k l e h o wt os e t t l et h ec o n t r a d i c t i o nb e t w e e nt h ec o s ta n dt h ew e i g h t ? m a n s f i n daw a yt oo v e r c o m ej t 。t h a ti st oa p p e n do n eo rm o r es t i f f e n e r so nt h et h i np l a t e i t i sw e l lk n o w nt h a tt h ec r i t i c a lb u c k i n gl o a do fap l a t ei sd e p e n d i n go nt h er a t i oo fw i d t h t ot h i c k n e s s ，b yu s i n gs t i f f e n e r s ，t h er a t i oo fw i d t ht ot h i c k n e s si ss m a l l e r ，b e c a u s et h e s t i f f e n e r sd i v i d et h ep l a t ej n t om o r es m a l ip a r t s ，w h i c hi sc a l l e da sp a r tp l a t e ，a n di t s b u c k l ei sc a l l e da st h ep l a t e sc r i t i c a lb u c k i n g h o w e v e r ，t h ep l a t e s c r i t i c a l b u c k i n gp r o b l e mi sv e r yc o m p l i c a t e dt og e ta n a c c u r a t ea n s w e r t h er a t h e rt h a tt h es t i f f e n e r si st a k e ni n t oa c c o u n t i nt h ep r a c t i c a l ，l t i sa l w a y sc o n s i d e r e dt h a tb yu s i n gb i g g e ra n db i g g e rs t i f f e n e rt h es t r u c t u r ei sm o r e a n dm o r es a f e a l t h o u g hd o i n gi ti nt h i sw a yc a nm a k e ，s u r eo ft h es a f e t y ，i ft h e s t i f f e n e ri st o ob i g ，i tw i l lm a k et h es t r u c t u r et o ow e i g h ta n dd i s e c o n o m y i nf a c t ，a tt h e b e g i n n i n gw h i l et h es t i f f e n e r sb e c o m eb i g g e r ，t h ec r i t i c a lv a l u eo fb u c k l i n gl o a dw i l l j n c r e a s e 。b u tw h e nt h eb u c k l i n gl c a di sr e a c ht oc r i t i c a l ，i tw 川b en o tb e n e f i tt ot h e c r i t i c a lv a l u eo fb u c k l i n gw h i l e t h es t i f f e n e ri sb i g g e ra n db i g g e r ，j u s t a st h e e x p e r i e n c e sa n dt e s t ss h o w i n g i nt h ec r a n ed e s i g nc r i t e r i o n ，t h e r ea r et w ot e m lw e a l w a y su s e d r g i ds t i f f e n e ra n d f l e x i b l es t i f i e n e r 。ar i g i ds t i f f e n e ri sas t i 仟e n e tt h a ti t k e e p si t so w ns h a p e ，n o tt ob ed i s t o r t e da l o n gw i t ht h ep l a t e s ot h ec r i t i c a lv a l u eo f b u c k i n gl o a dw i l ln o ti n c r e a s ef o rt h i sk i n do fs t i f f e n e r sg e t t i n gb i g g e r af l e x i b l e s t i f f e n e rj sas t i f f e n e rt h a ti tc a nn o tk e e pi t so w ns h a p e ，a n dd i s t o r t e da l o n gw i t ht h e p l a t e s ot h ec r i t i c a lb u c k i n gl o a dw 川i n c r e a s e f o rt h i sk i n do fs t i f f e n e r ! sg e t t i n gb i g g e r 。 t h em o s ti m p o r t a n ti st h a th o wt og e tt h en u m e r i c a iv a l u ew h i c hd i v i d e dt h e s t i f f e n e rj n t or i g i do rf l e x i b l es t i f f e n e r i fw eh a v et h i sv a l v e ，w ec a ng e tt h eb i g g e s t c r i t i c a lb u c k i n gi c a dw i t h o u tw a s t i n gm o r em a t e r i a l s 。w h i c hi sw h a tw ew a n tt os e e i n t h i sp a p e ri ti si n c l u d e dc l a s s i ct h i np l a t et h e o r y ，t h ec r a n ed e s i g nc r i t e r i o n ，a n da l s o d i s c u s s i n gh o wt og e tt h ep o i n tw h e r et h es t i f f e n e r sd i v i d ei n t or i g i ds t i f f e n e ra n d f l e x i b l es t i f f e n e r 1 nt h i sp a p e rw eg e taf o r m u i aw h i c hc a nv e r d i c tw h a ts e i z ea s t i f f e n e rc a nb er e g a r da sar i g i ds t i f f e n e ro rw h a ts e i z eas t i f l e n e rc a nb er e g a r da sa f l e x i b l es t i f f e n e r 1 no t h e rw o r d s t h ef o r m u l ac a ng e tt h en u m e r i c a iv a l u eo nw h i c h p o i n td i v i d eas t i f f e n e rt ob ear i g i ds t i f f e n e ro raf l e x i b l es t i f f e n e r w eh o p ew h a tw ed o c a nm a k es o m eu s a g ei nt h ea c t u a le n g i n eu s eo rt ob eh e l p f u lf o rf u r t h e rs t u d y i n o r d e rt op r o v ei t sr i g h t n e s s ，t h e r ei sat e s tp a r tt oc h e c ki tu p k e y w o r d s ：s t i f f e n e dp l a t e ，c r i t i c a lb u c k l i n gl o a d ，r i g i ds t i f f e n e r ，f l e x i b l es t i f f e n e r z h a n gc h a n g w e i ( m e c h a n i c a ld e s i g na n dt h e o r y ) d i r e c t e db y ：d o n f ld a s h a n 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包括其他人或其他机构已 经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 论文使用授权声明 日期 本人同意上海海事大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以上网公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名：兰雕导师签名：二这日期： 妇啊二? 舌1 加筋板稳定性承载能力的研究 第一章绪论 1 1 工程背景及选题的意义 薄板作为一种构件正越来越广泛地应用于工农业生产的各个方面。如航天工程中火 箭、人造卫星和宇宙飞船等的外壳是由一些板件和一些壳体组成，火箭的尾翼板、太阳 能翼板等都是薄板；在海洋工程中，近年来各国建成许多海上石油平台和水下实验室， 平台和水下实验室它们都是由各种板壳围成的空间结构：在交通运输业，如岸边集装箱 起重机及各种码头的装卸设备中，其主体骨架结构基本上都是由薄板通过焊接连接起来 组成的；此外在容器制造、建筑工程及军事工程中，薄板也发挥了不可替代的作用。 然而薄板在使用中也有其自身的不足。我们知道杆件在受压时会失稳，薄板也存在 着这样的问题。人们经过研究发现像杆件的长细比，薄板的失稳取决于其宽厚比p j 。这 样解决失稳的便有了两种方法：( 1 ) 增加薄板的厚度以减小薄板的宽厚比。( 2 ) 对薄 板进行加筋，用筋的支撑作用来把薄板分割成一系列小区格。这样薄板的失稳便被筋所 削弱，甚至被完全限制在筋所围成的区格内。比较上面两种方案可知，第一种方法会使 构件自重大，且没有能够充分利用材料，显然是不经济的，人们广泛采用的是第二种方 案。因此对薄板的加筋后的稳定性问题的研究是有很直接的应用价值。近年来，由于大 量加筋薄板的使用，暴露出很多问题，其中因为承载能力不足而发生的事故更是连续不 断，给人们的生命和财产都带来巨大的损失。 1 9 9 8 年9 月2 4 日1 9 点5 0 分左右，正在施工中的招宝山的主梁上连续发生了两次 沉闷的断裂声，随之桥面和钢索激烈抖动。正在桥上施工的工人立即撤离，未发生人员 伤亡。经现场勘察发现，主梁上游1 6 # 一1 7 # 块箱体底板接缝前的1 6 # 块锚板预应力 连接器位置出现破坏性裂崩，下游的1 5 # 一1 6 # 块箱体底板接缝前的1 5 # 锚板预应力 连接器位置也出现破坏性裂崩。1 0 月2 6 日，浙江省交通厅工程质量监督站和宁波市交 通工程质量监督站组成调查组进驻现场，进行实地勘察调查，并组织专家全面论证和鉴 定。根据事故调查报告，事故主要的直接原因是：主梁设计结构单薄，尤其是底板厚度 过薄，有效截面较小，从而导致受压区实际应力偏大，导致构件失稳。 上海海摹大学硕士学位论文 加筋板稳定性承载能力的研究 图1 - 1 。1 招宝山大桥断裂现场 2 0 0 3 台风“鸣蝉”1 2 日和1 3 日横扫韩国南部地区，位于东南部沿海的釜山市在1 2 日深夜至1 3 曰凌晨的3 个多小时内，遭受了最高速度达每秒4 0 米以上的狂风袭击。瞬 间达4 2 7 米的狂风刮倒釜山港区集装箱码头的1 0 多台重达近千吨的货物起重机。台 风何以能将那么重的起重机吹到? 事后的调查研究发现其实是台风首先将起重机吹动， 当这个庞然大物运动起来后在运动过程中受到阻碍，尤其是下面前面轮子部分的阻力。 这样由于整机的惯性便会向前倾覆，使后排的轮子和门腿离地，当回复力矩使起重机回 复时后面的轮子及门腿便与地面产生撞击。这个撞击产生的瞬时力是很大的，它将引起 门腿的焊接板局部屈曲失稳，进而引起整机的倾覆。造成这次损失固然与起重机的绑定 不牢被风吹走有关，但从另一方面由于门腿是由加筋板焊接而成，也给我们加筋板设计 的局部稳定性问题的敲响了警钟! 图1 - 1 2 釜山事故现场 2 0 0 4 年，上海港某公司的设计5 0 0 吨浮吊在新机第一吊副吊载荷为1 0 0 吨便时发生 了悬臂梁的屈曲( 见图1 - 1 3 ) 。事后的调查表明根本原因是加筋设计上的失误、校核 审查时又没有发现，导致这一事故的发生。图1 - 1 3 可以清楚地看到屈曲折弯的痕迹。 上海海事大学硕士学位论文 加筋板稳定性承载能力的研究 图i - i 3 浮吊的屈曲变形悬臂梁 其实这方面的例子很多，工程上因为加筋板的局部失稳性问题而引起的损失也是巨 大的，因此研究加筋板的稳定性承载能力有很现实的意义。 上海海搴大学硕士学位论文 加筋板稳定性承载能力的研究 1 2 加筋薄板结构国内外的研究现况 1 2 1 、国外有关加筋薄板的研究状况 在有关薄板的理论研究中，最有成果也最有影响的是科学家之一俄国力学科学家铁 木辛柯。他研究矩形板在其中面上受力的弹性稳定问题时，对各种边界作了精确计算， 编制了应力临界值表，用以解决海军舰船中发生的一些结构问题。研究四边简支的受压 矩形板压屈问题，得到了计算临界压应力值公式。1 9 1 5 年，针对船舶制造中常常会遇到 的使用一组纵向或横向加筋加强的均匀受压矩形板，铁木辛柯用能量法求解加筋板的临 界值。在作进一步研究后于1 9 3 6 年出版了弹性稳定理论。 实际问题总是比理论模型复杂得多，薄板的最大承载能力要受到很多因素的影响。 诸如边界支承条件、初始变形隋况、焊接残余应力、初始缺陷形式及加筋的尺寸和形状 等都会显著影响板的最大承载能力，其中很多涉及非线性理论。 从板的非线性力学的奠基人v o nk a r m a n 开始，国外许多学者如s m i t h 、g i l b e r t 、 w i n t e r 及国内不少学者都对有初曲率的薄板结构的承载特性进行了有成效的研究 k a r l n a l l 提出板的有效宽度概念后，使该领域的研究进入了一个新阶段。 近代板壳稳定性理论主要研究临界点性态及后屈曲平衡路径问题，特别是k o i t e r 理 论解释了不少屈曲的重要现象。t h o m p s o n 提出广义坐标原理，采用摄动法建立离散模 型，为后屈曲数值分析开辟了新的途径。 1 2 2 、国内有关加筋薄板的研究现状 我国的科研工作者在此领域的研究虽说起步晚了些，但他们在前人的基础上，通过 对经典理论的发展与深化，也做出很多贡献： 钱伟长教授在板壳内禀统一理论，板壳大挠度问题的摄动解和奇异摄动解，广义变 分原理上做出了突出的贡献。他早年与导师辛格( j l s y n g e ) 合作研究板壳的内禀理论， 开创了板壳理论的新方向，受到国际学术界的重视。他提出的“参数摄动法”，不但解 决了冯卡门f r v o n k a r m a n ) 于1 9 1 0 年提出的圆薄板大挠度变形问题，而且能广泛用于解 决各种非线型偏微分方程，被苏联学者称为“钱氏摄动法”。他的关于广义变分原理的 工作，从理论上阐于固体力学、流体力学、传热学、电流物、振动、断裂力学以及一般 力学的各种理论明了变分原理与变分约束条件之间的关系，提出了用拉氏乘子法系统地 消除变分约束条件的方法，并将广义变分原理广泛应用和实践问题。 张福范采用双重三角级数与力法相结合的方法，从1955 年开始，先后得到以下 几种固定边矩形板的解答：( 1 ) 垂直板面载荷作用下的正交各向异性板： ( 2 ) 垂直 板面载荷作用下的弹性地基上的板；( 3 ) 垂直板面载荷与板面内张力共同作用的固定 边矩形板，并且应用这一方法求解了一系列固定边矩形板的平衡、稳定和振动问题。所 上海海事大学硕士学位论文 4 加筋板稳定性承载能力的研究 得的结果表明，这是求解固定边矩形板的十分简洁的途径。若令上述第二种情形下弹性 地基模量趋于零，或令第三种情形下面内张力趋于零，便得到铁木辛柯早年得到的解答。 这表明，铁木辛柯的解答是更一般化情形下的一种特殊情形。悬臂矩形板的弯曲、悬臂 矩形板的一边固定，其余三边自由，并有两个自由角点。要寻求满足微分方程及所有的 边界条件( 包括角点条件) 的精确解，被认为是薄板弯曲理论中的一个难题。前人所作 的工作，大都采用差分法和能量法，所得到的是近似解。张福范引入广义简支边的概念， 在l e v y 解的基础上，应用叠加法，解决了若干悬臂矩形板问题，包括：集中力作用于 与固定边平行的自由边中点引起的对称弯曲；集中力不作用于自由边中点引起的非对称 弯曲；均布载荷作用下悬臂矩形板的弯曲；不连续载荷作用下的悬臂矩形板的弯曲，以 及两相邻边固定的悬臂矩形板的弯曲等等。此外，还包括用薄板理论解扭转问题。所得 到的解答满足板的微分方程和全部边界条件，因而是基于柯克霍夫( k i r c h h o f f ) 薄板理 论的精确解。 此外白青侠在对加筋圆曲板的稳定性分析中，将求临界载荷问题转化为求解特征值 问题，应用离散型最小二乘配点法分析，配点的多少决定了与解析解的收敛精度；徐凯 宇采用加筋板离散模型，建立加筋板统一的控制方程，考虑加筋板初始缺陷，分析了加 筋板的初始缺陷对临界应力以及后屈曲的影响；许醇义利用能量原理研究了具有加筋的 四边简支矩形板的稳定性，比较了设置加筋对板稳定性的作用。 1 2 3 、加筋薄板的研究趋势 目前，国内外对加筋薄板的研究有以下几个特点： ( 1 ) 板的研究越来越精确。由于计算机的普及应用，过去对板的求解很困难的问 题已得到很好的解决，通过有限元计算，精确度得到极大的提高。因此过去为简化计算 常做的假设现在也可以考虑其精确情况，如薄板的非线性，剪切力的影响因素等。 ( 2 ) 理论与实际的联系更紧密，突出应用性。现在的薄板理论的发展多为利用已 有的结论来联系实际，解决实际问题，从实际的应用中得到发展。 ( 3 ) 虽然规范仍然指导加刚性筋，但柔性筋已经成为人们开始考虑和研究的热点。 上海海事大学硕士学位论文 加筋板稳定性承载能力的研究 1 3 本文的选题意义及研究内容 1 3 1 、论文的选题意义 通过对薄板理论的理论探讨，进一步得到其关于加筋板的承载能力的理论公式。并 结合规范关于实际的板的处理方法，来比较加筋板的局部稳定性承载能力与区格的稳定 性承载能力，从而得到一块板的刚性筋与柔性筋分界点处筋的规格大小。 这个结论可以指导我们的实际加筋的设计，计算加筋板的承载能力，也对加筋扳的 失稳模式进行一定的探讨。 1 3 2 、本论文的研究内容及理论逻辑 本文共七章，主要包括下面几个方面的内容： 1 、1 - 4 章为经典的薄板理论的探讨，得出加筋板的理论上的局部稳定性承载能力公 式。 2 、第5 章介绍现用规范对实际问题的处理的思想及加筋的设计原则。 3 、结合理论上的局部稳定性承载能力公式与规范的实际处理理论思想，比较加筋 板局部稳定承载能力与由筋围成的区格的承载能力的大小关系，得到一块板的刚性筋与 柔性筋分界点处筋的规格大小。 4 、通过实验及有限元对上面部分进行验证。 刚柔性 l 罴口 筋的分界点 实验与 及此时筋的 有限元检验 l 设计规范卜_ j 规格大小 上海海事大学硕士学位论文 图1 - 3 1 本文的逻辑图 加筋板稳定性承载能力的研究 第二章薄板理论概述 2 1 薄板问题的分类及基本方程 2 1 1 、薄板问题的分类及假设 薄板的概念的具体表述有多个版本，比较被广泛接受的是；在一个周边为任意形状 的理想平面上下分别加一同样厚度的适当的薄层即为薄板，其中的理想平面即为薄板的 中面。 板又可以按其厚度t 与最小边b 的比值的大小分为厚板与薄板两种。当么 1 称为 ，u 薄板，否则为厚板。厚板理论是基于严格的三维弹性力学，因此它的应力分析将是比较 复杂，到目前为止，只有少数情形能得到完美的解答。至于薄板，在做了一些假设之后， 可以使它的分析大大地简化，同时可以得到非常满意的计算结果。薄板和厚板之间其实 没有严格的区分。在通常所要求的精度范围内，当s 时可以按薄板计算。然而严 格地说，薄板理论的应用范围不仅与么的比值有关，还应考虑到载荷的性质与支撑条 件等。在目前的工业工程中使用的也大多为薄板，因此我们主要研究薄板。 薄板也可以按最大挠度w 远较薄板的厚度t 小时称为小挠度薄板。当w 与厚度舛日差 不大时称为大挠度薄板。当w 远较厚度t 大时称特大挠度薄板。 薄板理论的基础是建立在柯克霍夫三个假设上的： ( 1 ) 忽略垂直于薄板中面的法向应力； ( 2 ) 变形前垂直于薄板中面的任一直线，在变形后仍为一直线，且在中曲面的法 向内。 ( 3 ) 在中面内没有伸缩和剪切变形。 如果取薄板的中面为坐标平面x o y ，z 轴垂直于中面，则按照第一个假设，可得 法向应力盯一0 ，也就是说，薄板的各个水平层之间没有挤压。按照第二个假设，则角 应变k t k 一0 ，而且法向应力o z ，口，以及剪应力与f ，沿薄板的厚度呈直线的分 布。按第三个假设，则中面内各项应力等于零，即：( 以l 。一k t 。一k t 。- 0 。因 此，根据上述假设，可得各项应力沿薄板厚度的分布，如图2 - 1 1 所示。其中z 轴方向 内的横向剪切应力r 。与百，：的分布为二次抛物线。 上海海摹大学硕士学位论文 加筋板稳定性承载能力的研究 y 图2 - 1 1 由于各项应力沿薄板的厚度的分布已知，因此它们可以合并成为几个内力素。法向 应力吒与q 分别形成弯矩m 。与m ，；剪应力与分别形成扭矩m 。与m ，；横向 剪切应力吒与分别形成横向剪力q ，与q ，。由图2 - 1 * 1 可知，内力素与应力之间的关 系为： hh， 帆4 j 璇z 吒比m y 。象z q 出 q _ t 2 h d z 易。j 出 。h， m ”。鼯zm 旷舒乒 2 1 2 、几何方程 其次来研究薄板挠曲时的几何变形。图2 - 1 - 2 表示薄板的中面。 上海海事大学硕士学位论文 ( 2 1 ) 8 加筋板稳定性承载能力的研究 0c d 卜 按柯克霍夫的第三条假设，中面上的任一点既没有线应变与角应变，也没有z 方 向内的位移“与y 方向内的位移v 。因此在变形之后，中面上各点将仅仅获得与中面相 垂直( z 方向) 的位移w ，如图中的m m 。在变形之后，中曲面上任一点m 在z 与l ，方 向内的切线斜率显然分别o _ z w 为与o _ z w 。为了求得中曲面的曲率与扭率，我们应该注意到 d x 吵 中面的挠度w 是一个很小的数值，因此可以用切线的斜率来代替切线的转角，并且可以 用曲率的近似公式来代替精确公式。于是得曲率改变的公式如下： 局一去一窘乃一专争( 2 一- 2 ) 局一面【面j 一万乃一万l 万j 矿 其中，以为平行于x o z 平面的曲率，z ，为平行于y o z 平面的曲率。等号右边的负 号是因为在正曲率的情况下，当坐标( x 或y ) 增加时转角减小的缘故。 同时切线的斜率不仅与一个坐标有关，而且它随着两个坐标x 与) ，的增加而改变。 例如转角，它不仅与y 有关，而且随着x 的增加而改变。沿着x 轴每单位长度内切线娑 叫 旋转角的改变称为薄板对z 与y 轴的扭率。因此扭率改变的公式为： z 。；一善娑 ( 2 3 ) z v 一面面 p 正扭矩产生的扭率为正。当扭率为正时，转角娑将随坐标z 的增加而减小，因此 公式( 2 3 ) 的右边加一负号。由于混合导数与微分的次序无关，可见在y 方向内的扭率 z 。与如相同n 上海海事大学硕士学位论文 9 。 加筋板稳定性承载s 力的研究 公式( 2 2 ) 与( 2 3 ) 给出了以挠度w 来表示的薄板中面的曲率与扭率的改变。 其次来研究在薄板内，非中面某点的应变与位移之间的关系。在图2 - 1 3 中所示的 薄板，通过m 点作一截面，平行于坐标平面x o z ，并将此截面投影至f j x o z 平面上，如 图2 - 1 3 所示。在薄板中取任一点a ，它在z 轴方向内的坐标z 。在变形后，a 点将移 至a 的位置。按假设二，垂直于中面的直线a m ，在变形后( 47 m ) ，还将为中曲面的 直法线。故由图2 - 1 3 可得，非中面上任一点a 在石方向内的位移“为： “一一z 娑( 2 4 ) 艘 缸 图2 - 1 3 同理，可得a 点在y 方向内的位移v 7 为： v 一一z 娑( 2 5 ) 町 为了求得非中面上任一点处的应变，在图2 - 1 3 中，通过a 点作一水平薄层平行于 坐标平面x o y ，并在此薄层的a 点处取一微分体，将其投影到x o y 平面上。于是不难求 得非中面上任一点处在z 方向内的线应变s ：、y 方向内的线应变s ；与剪切应变y 0 为； s ：- 等e j 一詈r 。一詈+ 警( 2 - 6 ) 以公式( 2 - 4 ) ( 2 5 ) 中的“7 与v 代入公式( 2 6 ) ，并注意到公式( 2 2 ) 与( 2 - 3 ) ， 可得： a 。w ，一2 i 钉忍 y ，- - 2 z 执0 2 w 玲。2 z x 口 叱一一z 可0 2 w z x y ( 2 - 7 ) 公式( 2 - 7 ) 给出了非中面任一点处的应变与中面上的挠度或曲率之间的关系式。 上海海事大学硕士学位论文 1 0 加筋授穗怒健承载$ l 力鳇研究 2 1 3 、物理方程 下霆我稻庆讨论薄板懿耱蓬方翟。蠢辩往力学鸯： 啦- 扣懈沪i 1c , 面a u 一肛争一品等+ 哆- i 1 弼懈i 1 唏a y 一芦等一一毒譬+ e ， e za 2 w 吒，。啊。面丽一面丽 穗上式饯入( 2 - t ) 中戆疆个弯矩，剿溪令弯矩努； o 。川譬+ 肛 即。学丰声 ；m - - d 0 训嘉 冬8 ) 其辛d - i 三茬孬称搀薄板的抗弯嚣l 度。掰x 、m r 、m w 代表单位长度上豹箍矩 或弯矩，所以它的意纲是 力】。 上嚣推导了薄板约几何方程和物理方程，对于受奔羚载薄豹叛蕊害，在热上多 载麓 霹豁写密一个警衡方程。凡错方程、镌理方程积平衡方程方程联立，w 以得到薄板的瘙 曲微分方程。当然平衡方程的形式随着载荷的不同而不同，但前面的几何方程和物理方 稷龆是不变的。 上海海事大学硕士举钕论文 加筋板稳定性承袭能力的研究 2 2 薄板屈曲微分方程 当薄板在中面内承受平行于中面的载荷而屈曲时，可以用静力法来确定其临界载 荷。为此首先我们来建立薄板在微弯状态下的平衡方程。图中以、p y 表示单位长度上 的法向载荷；p ，、p ，表示单位边长上的切向载荷，由m ：一。可得p 。= p ，。 薄板屈曲时，在薄板内将产生弯曲内力帆、m y 、m 。、q 、g ，除此之外，还 存在平行于中面的内力以、虬、a 根据薄板小挠度问题的假设，弯曲时薄板不会 引起平行于中面的内力a 因此屈曲时中面的内力以= p ，n y = 马，= p 。，= p ，。 建立平衡方程时，对这两类内力分别考虑，然后再组合。 lb f 一 出 口印 ( a )( b ) 图2 2 1 图为薄板的微元体受中面内力。这时考虑到由于挠度w ( x ，y ) 引起的变形。图2 - 2 - 2 为微元体受弯曲内力作用。先分析中面内力作用。在z 轴方向m 的投影为 ( a ) 图2 2 。2 m ( 警+ 害出渺一虬i o w 咖一虬害蚴 再分析q 、和，在z 轴上的投影为 上海海事大学硕士学位论文 r 加筋板稳定性承载能力的研究 ( ，争+ 等+ 茜脚 中面内力在z 轴上的投影等( a ) 于( b ) 两式之和，即： ( ，窘+ 2 丽02 w + n y 0 2 w 姗 ( c ) 在弯曲内力的作用下，图中双箭头矢量表示弯矩和扭矩，矢量的指向按右手法则确 定。在z 轴方向的剪力投影为： 阻+ 堡) 抛 ( d ) 帆 o y 故由z o 将( c ) 与( d ) 相加得： n ya 叫2 e + 砜瓤02 妙w + n ，守+ 警+ 可o q , 一。 ( c ) 对图所示的微元体，对x 的力矩平衡条件m ：- 0 ，得： 等批+ 竖砂出一o q d x ( 丢d y ) d y o x 2一蛾+ 鲁蚴- 。 a y 7。 。 妙 略去高阶微量后得： 等+ 警呜- 。 同理可以由m ，- o 得到 _ o m x + 单一级。o ( h ) 将上面的( h ) 对x 求导，式( g ) 对y 求导，然后代入( e ) 得： 等+ z 盟o x o y + 等+ 以害+ 啬+ 虬争一。 降， 缸。 砂。 4 缸魄妙 。妙 将( 2 8 ) 式代入上式，可得 。c 害+ z 爵+ - 札害+ 巩等+ q 争 c z 若记1 ；7 2 一蔷+ 等为拉普拉斯算子，则上式可以简记为 删v 2 w 一虬害+ 2 爵+ q 守 ( 2 - 1 0 a ) e 式便是薄板屈曲的微分方程，它是以挠度w 为未知量的四阶常系数偏微分方程。 上海海搴大学硕士学位论文 加筋板稳定性承载能力的研究 2 3 边界条件 薄板的周边总是耍与其它的物体相联系的，这些联系对于薄板受载荷后的挠曲有很 大的影响。一般情况下，主要有以下几种： 自由 d 图2 3 1 2 3 1 、固定边 在薄板的小挠度问题中，它的特点是沿着固定边缘各点的挠度为零，以及在该边缘 处与中曲面相切的切面和原中面重合。因此，在ya 0 的固定边缘处，它得两个位移边 界条件可以写为： ( 1 ) ( w ) 一0 ( 2 )f 塑1 0 i 妙j ( 2 1 1 ) 因为在y 。o 的固定边缘上，切线转角娑沿着z 的变化等于零，或芒姿。o ，故在 o y 0 优d y 固定边缘的扭矩。- 0 。 2 3 2 、铰接边 在薄板的小挠度问题中，铰接边界条件的特点是在铰接边缘上各点的挠度为零，而 且薄板可以绕铰轴自由转动。因此在x 一0 的铰接处，它的两个边界条件可以写为： ( 1 ) ( w ) 删一0( 2 ) ( m ，) 。- 0 如果注意到方程组( 2 1 2 ) 的第一式，则以上第二个边界条件可以改为 陋孰。一。 上海海事大学硕士学位论文 1 4 加筋板稳定性承载能力的研究 同时从第一个边界条件，因为沿着x 。的直线边缘的位移恒为零，故业a y ，参一。， 故第二个边界条件亦可以写为( 等l 乩或( v 2 w ) 。i o o 综上所述例 可以将铰 接边的两个边界条件写成位移的形式如下： ( 1 ) ( w ) 。= 0 ( 軎+ 喀卜。或i 0 叭2 w i - o | 。或( v 2 w 卜。 ( 2 - 1 2 ) 2 3 3 、其他边界条件 边界条件除上述两类外还有自由边界、弹性固定边、曲线边缘等。对于这些边界条 件，在许多文献吲中都有详细的讨论，在此不再一一列举。在实际的工程应用中的边界 很难直接与上面的某一种边界条件完全一致，往往都是在一定的条件下近似认为符合某 一边界条件。如工程中时常将受腹板嵌固的翼板的边界条件简化为四边简支，然后加以 修正。在我们后面的试验中，也是模拟了四边简支的边界条件。注意的是它也并不是理 想的四边简支条件，在板尺寸较大及采用v 型槽口后与四边简支的情况是极为相似的， 近似认为是四边简支时引起的误差可以忽略不计。 上海海事大学硕士学位论文 加筋板稳定性承载能力的研究 2 4 微弯薄板的初始挠曲的影响 实际中我们所接触到的薄板，往往不可能是理想的中面为平面的形式，它往往带有 一定的初始变形，我们称之为初始挠曲，这样的薄板称为具有初始挠曲的薄板，或微弯 板。 由文献【8 1 的推导，我们知道薄板再承受垂直于中面的横向载荷作用下的屈曲微分方 程与( 2 - 1 0 ) 形式很接近，只需要将( 2 1 0 ) 右边的三项改为q ( x ，y ) 。既承受横向载荷 又承受纵向载荷的情况则是右边二者相加。 。( 窘+ z 丽04 w + 一虬害+ 砜舄+ 虬害+ 如y ) ( 2 - 1 3 ) 设有一微弯板，具有微小的初始挠度，它与薄板的厚度相比较是一个小值。此微 弯板在载荷作用下所增加的挠度为w 。按照叠加原理，其总挠度为w n + w ，然而在受有 横向载荷与纵载荷联合作用下的微弯板中，纵向力对挠曲的影响，不仅与增加的挠度w 有关，而且也与初始挠度w 0 有关。设总挠度为w = - i - w 。在方程( 2 1 3 ) 的等号左边 各项代表着薄板的弯曲力，而他们与初始挠度无关，故仍用w ，然而它现在的意义是 新增加的挠度，而不是总挠度。在来看方程( 2 1 3 ) 的等号右边各项，它们代表着侧力 与纵力在z 轴上的投影，其中关于w 的两阶导数实际上是侧力与坐标轴之间总倾角的增 量，故应以总挠度w 代替w 。故在横向载荷与纵向载荷联合作用下，微弯板小挠度问题 的挠曲面方程是： 删v 2 + 虬避掣+ q 掣+ 砜等掣沼 上式也可以有另外一种表达法： 胛v 2 w 叱+ 吼) + 以萨a 2 w + 虬争+ 砜嵩 吼叫n 可0 2 w o + 虬等+ 砜茜 ( 2 1 4 a ) 显然，初始挠曲的微弯板的初始挠度相当于集度为吼的假想横向载荷的作用。这个 假想的载荷的作用显然会降低薄板的承载能力。另外我们也知道理想薄板届曲时有个突 变的现象，而实际有初始变形的薄板因为受载荷前便有了某一方向的位移，可能使屈曲 失稳点变得不再明显。 上海海摹大学硕士学位论文 塑塑堡堡塞些墨壁丝垄塑婴墨一 2 , 5 单向均匀受压薄板的临界屈曲载荷 单向均匀受压薄板设在x 轴向受有载荷办其它载荷为零。并且薄板为四边简支边 界条件。即； n 。一p t n y n - 0 边界条件表达式为： x 。a 和x 。咐w - 。害一。 和舢时删害一。 。c 窘+ z 岛+ 他害 设微分方程( a ) 的解为双三角级数 w - 塞弘s h 等咖詈哪地邵 ” 嘞 显然( b ) 满足边界条件，将其代入( a ) 中，得： 塞弘c 等+ 等+ z 警一告警s 证了m 瓜s m 丁n a y 目。( d ) 在上式中若以。= 0 ，则w 一0 ，薄板保持平直，没有意义。因此上式恒等于零的解 应该是： 丛+ 丛+ 2 一m 2 y 2 r 9 4 一丝哮0 丁+ 丁百一百丁。 即 p 。z 害c 等+ 务2 上面显然当聍。1 时有最小值，因此微弯时板在y 向的半波数为1 。 若记_ j 。( 堕a + ，则临界应力可记为： p 。t 害 ( 2 1 5 ) 其中在设计规范中，称为屈曲系数，雩昙称为欧拉应力，公式( 2 - 1 5 ) 在后面 还会用到。 上海海警大学硕士学位论文 加筋板稳定性承戴能力的研究 第三章能量法的理论与应用 3 1 小挠度板的功与能 前面一章从静力法的角度讨论了薄板的问题，对于复杂的问题，能量法更为适 合些。下面我们将从能量的角度来研究薄板的小挠度问题。 当任意支承的薄板承受任意的载荷而挠曲时，薄板的内力伴随着薄板的变形而 产生。按柯克霍夫假设，在薄板的任一点处将有吒，d ，- 百，一百， 应变g ；，- y ，y 与位移“，v ，w 。这些应力与应变的数值，将随着载 荷的增长而由零迅速至其各自的最大值。同时根据假设，我们还可以用薄板的中面 来代替薄板本身，于是上述各应力分量将分别形成内力索m ，m ，m 矽一m 声， 幺，岛，而应变分量可以通过几何关系用曲率与扭率的改变以，以，一z 声来 表示。至于中面上的各点的位移，根据假设将只有z 向w ，而没有x ，y 方向的位 移“，v 。 在薄板屈曲的过程中，薄板的内力做内力功a 。内力功永远是一个负值，薄板 某一微分单元体姗出的内力功增量应该是： 正4 - 一l 以e ，+ 盯，fv + 可 澉( 3 - 1 ) 这里我