（应用数学专业论文）多重分形原理及其若干应用.pdfVIP

北京交通大学硕士学位论文中文摘要 中文摘要 摘要 多重分形是非线性科学研究中十分活跃的一个新分支 现在已被广泛应用 于各个学科领域 本文主要利用多重分形的相关原理及方法来研究掌纹纹线信息 图和气温变化时间序列 展现了多重分形理论在二维与一维情况下的应用 首先 对于分布排列不规则的掌纹纹理 利用基于统计矩的多重分形分析法和盒计数法 我们证明了掌纹纹理的分布具有多重分形的特性 进而求得所对应的多重分形谱 的宽度 极大值以及谱曲线的不对称程度 用这三个特征量作为掌纹识别过程中 的匹配因素来索引掌纹数据库 这可能会为多重分形理论在生物特征识别领域中 的应用带来新的思路与方法 其次 利用基于统计矩的多重分形分析法和多重分 形消除趋势波动分析法对北京某地区3 2 年内的气温变化时间序列进行处理 结果 发现此气温时间序列具有良好的多重分形性 这为多重分形在气象学领域内的研 究提供了一些有益的结果 并为气象预测奠定了良好的基础 关键词 多重分形 时间序列 多重分形消除趋势波动分析 盒计数法 掌纹识 别 掌纹特征 分类号 0 2 1 2 a b s t ra c t a b s t r a c t m n l t i f i a c t a l i t yi sa n e wb r a n c ho f n o n l i n e a rs c i e n c ea n d h a sb e e nu s e di n t h eo t h e rf i e l d so fs c i e n c em o r ea n dm o r ew i d e l y i nt h i sp a p e r w es t u d yt h es i m u l a t e d p a l m p r i n ti m a g e t h ea p p l i c a t i o ni nt w o d i m a n dt h et e m p e r a t u r et i m es e r i e s t h e a p p l i c a t i o ni no n e d i m w i t ht h eh e l po f r e l a t e dm u l t i f r a c t a lt h e o r ya n dm e t h o d f i r s t l y f o rt h ei r r e g u l a rp a l m p r i n tv e i n w i t hu s i n gt h es t a n d a r dp a r t i t i o nf u n c t i o n b a s e d m u l t i f r a c t a lf o r m a l i s ma n db o x c o u n t i n gm e t h o d w es h o wt h a tt h ep a l m p r i n t sp o s s e s s m u l t i f i a c t a l p r o p e r t y a n de x t r a c t p a l m p r i n t s m u l t i f r a c t a l c h a r a c t e r i s t i c s t h e s e c h a r a c t e r i s t i c st h a ti n c l u d et h ew i d t hs p r e a da a dm a x i n l t l 血lo f m u l t i f r a c t a ls p e c t r u m a n d ap a r a m e t e rw h i c hd e s c r i b e st h ea s y m m e t r yo ft h es p e c t r u mc u r v ea r ep r o p o s e da st h e d i s t i n g u i s h i n gp a l m p r i n tf e a t u r e st h a tp r o v i d eaf o u n d a t i o nf o rf l l r t h e rp a t t e r nm a t c h i n g w i t hu s i n gm u i t i f r a c t a la p p r o a c h i tm i g h ts h e ds o l u el i g h to nt h et h e o r yo fb i o m e t r i c r e c o g n i t i o n s e c o n d l y w i t hu s i n gt h es t a n d a r dp a r t i t i o nf u n c t i o n b a s e dm u l t i f r a c t a l f o r m a l i s ma n dm u l t i f r a c t a ld e t r e n d c df l u c t u a t i o na n a l y s i s w ea n a l y s et h et e m p e r a t u r e t i m es e r i e sf r o m1 9 7 3t o2 0 0 4i n 8 e i j i n ga n ds h o wt h a tt h et i m es e r i e sp o s s e s s m u l t i f r a c t a lp r o p e r t y t l l i sw i l lp r o v i d ean e wi d e aa n dm e t h o df o rr e s e a r c h i n gi n m e t e o r o l o g y k e y w o r l d s m n l t i f r a c t a l t i m es e r i e s m u l t i f i a c t a ld e t r e n d e df l u c t u a t i o na n a l y s i s b o x c o u n t i n gm e t h o d p a l r o p r i n ti d e n t i f i c a t i o n p a i m p r i n tf e a t u r e s c l a s s n o 0 2 1 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留 使用学位论文的规定 特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 并采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编以供查阅和借阅 同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 保密的学位论文在解密后适用本授权说明 学位论文作者签名 导师签名 签字日期 年 月 日 签字日期 年月日 j e 塞至堑盍堂亟 堂焦论塞独创挂直嘎 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果 除了文中特别加以标注和致谢之处外 论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果 也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名 签字e t 期 年月 日 致谢 经过许多的酸甜苦辣和磨练 终于完成了硕士学位论文 在本文即将结束之 际 谨向所有关心和帮助我的老师和同学致以深深的谢意 首先非常感谢导师商朋见教授 本论文的各项工作都是在商老师的悉心指导 和亲切关怀下顺利完成的 两年多来 无论是在基础课学习过程中 还是在论文 的选题 研究以及成文的过程中 商老师自始至终都给了我大量的支持和帮助 在 此特向商老师表示深深的敬意和感谢 感谢关心我们成长的学校 学院领导 感谢给我以传道授业解惑和在生活学 习上支持帮助我的所有老师们 感谢同门的师兄师姐师弟师妹们 共同的学习 探讨与合作使我收获多多 感谢所有一路走来 互相勉励的同学和朋友 感谢他们在学习和生活中给予我的 关心和帮助 对父母及家人的感激是无法用言语表达的 他们对我的无私支持和鼓励使我 前进的最大源泉和动力 最后 诚谢各位专家和学者在百忙中审阅我的论文 诚恳接受您的宝贵意见 和建议 并期待您的批评和指导 1 1 研究背景及意义 引言 生物认证技术是指通过计算机利用人体所固有的生理特征或者行为特征来进 彳亍身份鉴定的过程 这些特征难于复制 难于窃取 容易使用 故比传统的口令 或密码等认证方式具有更高的安全性和可靠度 2 l 世纪初 美国麻省理工学院 技 术评论 将生物认证技术列为在未来五年将对人类社会带来革命性影响的十大技 术之一 b i l l6 a t e s 也断言生物认证技术将成为今后几年i t 产业的重要革新 生 物认证正逐渐成为当前信息安全技术的研究热点 生物特征指的是那些唯一 可靠而稳定的个人生理特征 如指纹 掌纹 人 脸 虹膜 视网膜以及手形或者个人行为特征 如说话和签字 1 4 在过去的二 三十年里 指纹识别 语音识别 人脸识别 虹膜识别都有不同的研究与发展 其中发展较为成熟的是指纹识别和人脸识别 而掌纹识别是利用人的掌部纹理作 为生物特征进行身份确认的 是生物认证领域的又一新兴技术 相比于其它识别 技术 掌纹识别的优势更为突出和鲜明 掌纹识别的实现一般采用统计模式识别方法 大致可分为 图像采集 图像 预处理 特征提取和选择 分类决策四个部分 其中 能否有效地进行特征的提 取和选择 关系到下一步的分类决策是否能够高效准确的完成 因此在应用统计 模式方法识别掌纹的过程中 特征提取占据着非常关键的位置 按照分析和描述 的方式 掌纹的特征提取方法大致可分为四类 基于结构的特征提取 基于时频 分析的特征提取 基于统计的特征提取和利用子空间方法的特征提取 分形作为一门新兴的非线性数学分支 已经被广泛的应用到其它学科中 但 在生物特征识别中的应用还为数不多 曾有人做过分形理论在虹膜识别中的研究 本文就是结合结构和统计的特征提取方法的特点 运用多重分形相关原理 最终 提取出掌纹多重分形谱的三个特征参量 以期将它们用在分类决策过程中 希望 我们的工作可以抛砖引玉 为分形理论在生物特征识别领域中的研究带来新的思 路与方法 时间序列是指将某一指标在不同时间上的不同数值 按照时间的先后顺序捧 列而成的数列 时间序列挖掘是通过对过去历史客观记录的分析 揭示其内在规 律 如波动周期 趋势等 进而完成预测未来行为的决策性工作 气象时间序列 如降水量序列 气温序列等是指导国民经济建设钓基本资料之一 对其进行有效 预测 可为各种气象资源的合理开发利用和对气象灾害的预防提供重要的理论依 据和参考数据 这些序列受众多因素影响 一般具有准周期性 突变性 相依性 和随机性等复杂的非平稳特征 本文利用多重分形中的有关方法 配分函数分析 法 多重分形消除趋势波动分析法 分析了北京某地区3 2 年的气温变化时间序列 得到一些结论和数据 这也为将来的预测工作打下了一定基础 1 2 论文体系框架和主要内容 本文共分五章 第一章 绪论部分 简要介绍了多重分形在生物特征识别及时间序列研究中 的背景及意义 列出了论文的大致体系框架和主要内容 第二章 回顾分形理论的创立 发展 意义及分形的性质 并介绍多重分形 的一般理论及性质 第三章 利用基于统计矩的多重分形分析法和盒计数法处理掌纹纹线信息图 通过分析配分函数和质量指数函数 证明了掌纹分布具有多重分形特性 并提取 了相应多重分形谱的三个特征参数 第四章 利用基于统计矩的多重分形分析法和多重分形消除趋势波动分析法 处理气温变化时间序列 得到此气温时问序列具有多重分形的特征 第五章 结论部分 总结了本文的主要内容 简要给出以后本文需要继续研 究的内容 2 2 1 分形理论 多重分形理论 2 1 1 分形理论创立 发展及意义 1 9 7 3 年 美籍法国数学家曼德勃罗特 b b m a n d e l b r o t 在法兰西学院讲课时 首次提出了分形几何的概念 1 9 7 7 年 曼德勃罗特出版第一本著作 f r a c t a l f o r m c h a n c ea n dd i m e n s i o n 标志着分形理论的正式诞生 1 9 8 2 年 t h ef r a c t a l g e o m e t r yo fn a t u r e 出版 标志着分形理论的初步形成 自诞生之后 分形理论得到迅速的发展和广泛的应用 已涉及自然科学 社 会科学 经济科学 思维科学等各种领域 如今 分形和分维的概念早已从最初 的形态上具有自相似的几何对象这种狭义分形 扩展到了结构 功能 信息 时 间等具有自相似的广义分形 在此基础上进一步提出了分形方法论 其内容主要 包括如下两点 第一 以分形客体的部分和整体之间的自相似性为锐利的武器 通过认识部分来映像 即反映和认识 整体 以及通过认识整体来把握和深化对部 分的认识 第二 运用分形理论的思想和方法 从无序中发现有序 揭示复杂 破碎 混沌等极不规则的复杂现象内部所蕴含的规律 分形理论及分形方法论的提出有着极其重要的科学方法论意义 它导致了科 学思想 科学思维方式和科学方法论的深刻变革 为人们认识世界提供了新的视 角和新的思路 它打破了整体与部分 混乱与规则 有序与无序 简单与复杂 有限与无限 连续与间断的隔膜 找到了它们之问相互过渡的媒介和桥梁 即整体 与部分之间的相似性 为人们从混沌与无序中认识规律和有序 从部分中认识整 体和从整体中认识部分 从有限中认识无限和通过无限深化和认识有限等提供了 可能和根据 它同系统理论 自组织理论 混沌理论等研究复杂性的科学理论一 起 共同揭示了整体与部分 混乱与规则 有序与无序 简单与复杂 有限与无 限 连续与间断之间多层面 多视角 多维度的联系方式 使人们对它们之间关 系认识的思维方式由线性发展到了非线性阶段 现在 分形理论及其方法作为一个有力的工具正在被人们用于各个领域的研 究 如金融时间序列分析 5 地质学科 6 气象预报 7 生物学科 8 3 等等 其原理均是一种基于配分函数下的多重分形形式体系 对于那些非均匀 不规则 的现象 当一个维数无法描述其全都的细致特征时 就需要用多重分形的连续谱 来表示 9 2 1 2 什么是分形 什么是分形 到目前为止我们还无法给出一个确切的定义 分形是一种粗糙 的或破碎的几何图形 它的组成部分可以被无限细分 而且它的局部的形状一般 与整体相似 分形 般是自相似的和标度不变的 曼德勃罗特在解释 分形 一 词时说 我由拉丁语形容词f r a c t u s 创造了词 分形 f r a c t a l 相应的拉丁 语动词f r a g e r e 意味着 打破 和产生不规则的碎块 从而可见 对我们的需要是 何等地合适 除了 破碎的 如像碎片或曲折 f r a c t u s 也应当具有 不规则 的含义 这两个含义都被保存在碎片 f r a g m e n t 中 许多数学结构是分形 例如 谢尔宾斯基三角形 科赫雪花 皮亚诺曲线 曼德勃罗特集 洛仑兹吸引子等 分形同样可以描述许多真实世界的对象 如云彩 山脉 湍流和海岸线等 当然 它们不是单纯的分形形状 曼德勃罗特曾给出了一个分形的数学定义 一个几何 对象 它的豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数 这不仅有些抽象 而且也不是一 个令人满意的定义 因为还有好多分形对象没有被该定义涵盖 后来曼德勃罗特 又给出了一个比较通俗的定义 部分与整体以某种形式相似的形 该定义仍然不 能表达分形的全部意思 但会使很多初学者开始理解分形了 虽然还不能全部理 解 现在一般用法尔科内 1 0 对分形集合f 的描述来判断某一对象是否是分形 1 f 具有精细的结构 即是说在任意小的尺度之下 它总有复杂的细节 2 f 是如此的不规贝f j 以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述 3 f 通常具有某种自相似性 这种自相似性可以是近似的 也可能是统计意 义上的 4 f 在某种意义下的分形维数通常都大于它的拓扑维数 5 在多数令人感兴趣的情形下 f 以非常简单的方法定义 或许以递归过程 产生 由于难以直接对分形进行精确的定义 因此 往往从分形所具有的主要特征 对其做深入的刻画 分形具有如下性质 1 1 1 自相似性质 2 标度不变性 3 分数维 4 局部随机性和整体确定性共存 2 2 多重分形的一般理论 多重分形也称分形铡度 它研究一种物理量在一个妫l l s u p p o r t 集合上的分 4 布状况 换句话说 是定义在分形上的多个标度指数的奇异测度所组成的集合 它定量刻画了分形测度在支撑集上的分布 然后用广义分形维数或多重分形谱进 行描述 得到的结果包含了许多被单分形忽略的信息 1 0 1 3 2 2 1 多重分形的有关定义 设 是d 维欧式空间或度量空间 f 是 的一个d 维子集 它是测度 的支 集 若在某种划分下 f 产生的分形集可以表成若干分形子集的并 且每一分 形子集有不同的分形维数 贝t j f 们称为多重分形 把研究对象 f 划分为n 个尺度最大为e 的单元墨 f l 2 设 是墨 的线度大小 只为最的测度 例如概率或质量 且 二只 l 对不同的单元只可 能也不同 可用不同的标度指数口 来表征 即 号o c 垆 f i 2 这里称口 为l i p s c h i t z h s l d e r 指数 简称h s l d e r 指数 由于它控制着概率密 度的奇异性 故也称奇异性指数 若线度大小趋于零 则上式化为 q 粤警 珥与所在的区域有关 它反映了该区域概率的大小 若在研究对象上的测度是均 匀的 则h s l d e r 指数只有一个值 得到h d l d e r 指数口后 我们可以把研究对象划分为一系列子集 使得每一个 子集中的小单元都具有相同的口值 然后计算这个子集内的线段数或单元数 以 e 定义虬0 和e 的关系式为 虬 e o c m e 一0 由此可得 厂 一陆坐蛙 f 加 i n e 与分形维数的定义相比可看出 陋 的物理意义是表示有相同口值的子集的分形 维数 一般称为多重分形谱 一个复杂的分形体 它的内部可以分为一系列不同口 值所表示的子集 厂 口 就给出了这一系列子集的分形特征 p 是描述多重分形子集维数的连续谱 如果研究对象是单分形的 贝l j f a 为一定值 如果研究对象是多重分形的 则 陋 一般呈现单峰图像 口一厂p 是描述多重分形局部特征的一套基本语言 另 g q d g 语言是 从信息论角度引入的 我们定义统计矩函数 似g 早 e 其中q e a o o o 叫统计矩的盼 o r d e r 是表征多重分形不均匀程度的量 定义 5 m e q 的目的是显示函数毋 e 值的大小 从上式可以看出 假设己 e e e 当口 l 时 在 华 e 中 显然是焉 e 起主要作用 这时j l f 心口 反映的是概率 高 或稠密 区域酌性质 所以在q 寸0 0 的情况下 可只考虑日托 的最大值而忽略 其它小概率值 这就简化了u e q 的计算 反之 当q 0 在口 a o 处取最大值 即它的最大值丘 f a o 3 l 吏f a 0 h s l d e r 指数口的取值区间记为 口面 口 其中 掣 掣b 性质2 单调性和凸性 1 广义分形维数d 伯 和奇异性指数口 关于g 严格单调递减 6 2 配分函数f g 是关于q 的严格递增的凸函数 3 多重分形谱函数厂缸 是关于口的凸函数 性质3 特殊点的值 1 o 0 是容量维数 d 1 是信息维数 d 2 是关联维数 2 g 0 时 厂 口 取最大值且厶 d o 是容量维数 g l 时 厂 口 1 a 1 是信息维数 7 多重分形在掌纹识别中的应用 观察一幅掌纹图像 可以发现掌纹纹理 通常由主线 脊线 皱纹线组成 是复杂且不规则的 所以我们猜想掌纹分布是否具有多重分形性 利用相关多重 分形原理及分析所得到的配分函数 多重分形谱 最终证明了掌纹分布的确具有 一定的多重分形性 因为每个人的掌纹是不同的 所以每个人都应该有自己的多 重分形谱 主要包括谱的宽度 极大值以及谱曲线的不对称程度 如同文献 1 4 中提到的r 特征 掌纹皱纹线的强度 和护特征 掌纹皱纹线的方向 利用这些谱的 特征量作为掌纹识别过程中的匹配因素 具有好的区分度的特征应该具有较大的 类间差异和较小的类内差异 来索引掌纹数据库是有意义的 2 1 3 1 掌纹图像的预处理 掌纹特征识别系统主要由掌纹采集 掌纹图像预处理和特征匹配三个部分组 成 对掌纹图像的预处理是十分重要的一步 现在基于这方面的方法 结果也已 经很多 首先利用这些已有的掌纹图像处理技术得到所需的掌纹纹线信息图 记 为g 给定一张掌绞图后 它的位置 方向与放置的角度可能随时都会改变 即使 是来自于同一手掌的掌纹图 所以为了将来能够更好的提取特征及进行匹配 调 整所有的掌纹图并规范它们的大小是十分必要的 一般的掌纹图像预处理步骤有 1 对手掌轮廓做边缘跟踪2 选取一个稳定的基准点作为参考坐标系的原点 从 而为每幅掌纹图像提供一个稳定 一致的参考系3 根据特征匹配算法的要求选取 合适的r o i 区域 具体来说 我们先对原始掌纹图像进行低通滤波 然后将其二值化 再对二 值化图像利用线性搜索算法沿着手掌轮廓找到中指根部中点彳与腕关节中点曰 并以线段a b 的中点o 作为原点 以线段a b 所在直线作为y 轴建立直角坐标系 最后根据建立的坐标系 提取出适当大小 这里我们取为1 2 8 x 1 2 8 的掌纹子图作 为r o i r e g i o no fi n t e r e s t 区域以待研究 对由上述过程获得的r o i 区域 我们利用m a t l a b 图像处理工具提取它的纹理 信息 主要是包括掌纹的主线和皱纹线 由于掌纹中脊线的提取需要高分辨率的 原始图像 故此这里不予考虑 再通过一些形态学运算就可得到最后待处理的纹 线信息图g 图3 1 a 原始掌纹图 b 对原始掌纹图二值化 c 提取中心子掌纹图 d 掌纹r o i 区域 a b 图3 2 a 显示了对掌纹r o i 区域进行二值化后的结果 b 对二值化后的结果做形态学运算 c 最后的待处理的纹线信息图g 3 2 盒计数法及概率密度分布函数的确定 用盒计数法处理掌纹纹线信息图 即把g 分割成一些边长等于划分尺度五的正 方形子区域 如果设1 2 8 个像素值代表单位长度 则可以取到的最小尺度2 为 v 1 2 s 但此时只能得到一些孤立的像素点 而非小曲线段 因此尺度2 1 应适 当大以便提取足够多的小曲线段 这里我们取尺度工分别为 l 2 l 3 l 4 l 6 1 7 1 8 1 1 6 l 3 2 此时各尺度五所对应的像素值就为 6 4 4 2 3 2 2 l 1 8 1 6 8 4 图3 3 表示了尺度为l 2 时对g 的分割情况 9 附似 v j 3 熙卜 迫 掌 图3 3 对纹线信息图g 做尺度为1 2 的分钠 3 2 1 由小曲线段倾斜角确定概率密度分布函数 首先给出小曲线段倾斜角的定义 对于每一个待处理的纹线信息图g 当尺度 一定小时 盐线段就可近似为直线段 所以曲线段的倾斜角就可以等价于直线段 的倾斜角 如在图3 4 中 一条曲线段丘昂就近似为一条倾斜角为盯 o 万 的直 线段c d 在每个小正方形区域饼o l 2 内 我们定义y 有 b 曲线段的倾斜角的和为 群 a 它依赖于划分尺度五 对于每一确定的划分尺度五 将所有的6 以 相加 便得到掌纹纹线信息图中所有小曲线段的倾斜角的和 g c x 瞑 2 从而得到 每个小正方形区域g f 所对应的概率密度分布函数n a 它依廒于f 和尺度彳 a 工 q a 1 图3 4 小曲线段倾斜角的定义 我们利用m a t l a b 编写了求取q a 的程序 下面给出算法的简要介绍 首先 对每个小正方形区域伍内所包含的曲线段的情况作分类讨论 1 如果该小正方形区域内只包含一条曲线段 则不论此曲线段单调增或减 都可以科用所编写的 单线倾角函数 求出此曲线段的斜率和倾角 i o 图3 5 只含一条小曲线段的正方形区域 a 单调增 b 单调减 2 如果该小正方形区域内包含两条曲线段 并且具有相同的单调性 则当这 两条曲线段互不相交时 或当这两条曲线段相交 且在均单调增的情况下满足在 交点之前位于上方的曲线段要比下面的曲线段更长以及在均单调减的情况下满足 在交点之前位于下面的曲线段要比上方的曲线段更长时 则可以利用所编写的 双 线倾角函数 求出这两条曲线段的倾斜角之和 园困 a 传 脚 图3 6 含有两条小曲线段的正方形区域 a 两者均单调递增且互不相交 b 两者均单调递减且互不相交 c 两者均单调递增且相交 并满足在交点 之前位于上方的曲线段要长于下面的曲线段 d 两者均单调递减且相交 井满足在交点a 之前位于下面的曲线段要长于上方的曲线段 有了上述基本函数 便可利用w i n d o w s 中的画图板来处理每个小正方形区域内的 任意多条曲线段 计算出这些小曲线段的倾斜角的和曰 五 再取遍所有i 值后就 得到对应于某一翅1 分尺度五的掌纹纹线信息图中所有曲线段的倾斜角的和p a 进而利用公式 3 1 求出每个小正方形区域函的概率密度分布函数岛 丑 这种方 法属于非自动化人工处理 它对掌纹纹线的细度要求不高 并且计算准确度较高 下面再给出 种自动化处理算法 它的优点就是不需要人工介入 计算速度快 但对掌纹纹线的细度要求较高 计算准确度稍逊于上面的方法 在某一区域内 通常为一正方形区域 存在着一些数量 位置任意的小曲线 段 当尺度适当小时 一条小曲线段可以近似为一条直线段 因此可将小曲线段 的倾斜角近似为小直线段的倾斜角 我们的目标就是用计算机自动求出此区域内 这些任意小曲线段的倾斜角之和 待处理的纹线信息图g 以 b m p 格式存储 大小为1 2 8 x 1 2 8 在m a t l a b 中将 生成一个对应于此信息图g 的1 2 8 阶的方阵 此方阵仅包含两种元素 0 和2 5 5 其中2 5 5 代表g 中的空白区域 o 代表g 中小曲线上的像素点 对于每一个使 g f 0 的点以力 我们为此点定义一个属性i n d e x i 歹 它代表以点 i 为中心 的八邻域 j i 一1 o 一1 f l 一f 1 j do a 1 o l 一1 o l do l 十1 f s 8 我们规定1 s f l e n g t h x l s 歹 l e n g t h y 则当j l 或l e n g t h x j l 或l e n g t h y 时 说 明点 f 位于区域的边界上 g i 2 5 5 下面对图g 中的点做一些简单的分类 空白区域 孤立点 曲线交叉点 曲线的端点或内点 我们用m a t l a b 编写了一些函数 利用这些函数就可以求出岛 丑 下面简要 介绍几个重要函数的功能及其伪代码 1 函数p i c k u p c u r v e m 对纹线信息图g 做一些预处理 如消除图像中的孤立点 并将g 中曲线上的 点的行标数f 列标数 及i n d e x 值存储于矩阵c u r v e 中 此函数的输入参数为纹线 信息图g 及其长l e n g t h x 和宽l e n g t h y p i c k u p c u r v e 1 e n g t h x l e n g t h j g i j i n d e x k l 序数组i j i n d e x 分别存储曲线上的点的行标数 列标数及其i e x 值 f o ri l l e n g t h ix f o rj l l e n g t h y i fg i j o i k 2 i j k 2 j i n d e x k i n d e x i 力 k k l e n d e n d e n d a 以上提取出了图g 中的使g i j o 的所有点 包括孤立点 f o ri l l e n g t h i n d e x i fi n d e x i o g i i j i 2 5 5 i i o j i o e n d e n d 经过上述操作便消除了图g 中的孤立点 再去掉数组i j i n d e x 中的0 便得到所有属于曲线上的点 并将这三个数组存放在一个矩阵中 c u r v e 1 j i n d e x 2 函数t u r n r o w s e a r e h m 当提取过程遇到曲线的交叉点时 可用此函数来确定某条曲线的正确走向 它的输入参数为之前被提取的点的行标值x t e m p 列标值y t e m p 以及由函数 o 4 墙 i i d 力州篡 p i c k u p c u r v e 所得的数组i j 和当前所检测到的数组的位置i t u r n r o w s e a r c h x t e m p y t e m p i j i 1 令i t e m p i 将i 值增大到使i i x t e m p 如果存在的话 首次成立的位置 并赋给j l 将i 值继续增大到使i i x t e m p l 如果存在的话 最后成立的位置 并赋给j 2 在j j l j 2 内 步长为i 做如下检测 i f j j y t e m p 返回j 的值 并退出此函数 e l s e i f a b s j j 一y t e m p l 返回j 的值 并退出此函数 e l s e i f a b s j j y t e m p 2 返回j 的值 并退出此函数 e l s e i fa b s j j 一y t e m p 3 返回j 的值 并退出此函数 e l s e i fa b s j j 一y t e m p 4 返回j 的值 并退出此函数 e l s e 程序转到2 e n d e n d e n d e n d e n d 2 令i i t e m p 将i 值减小到使i i x t e m p 1 如果存在的话 首次成立的位置 并赋给j 3 将i 值继续减小到使i i x t e m p l 如果存在的话 最后成立的位置 并赋给j 4 在j j 4 j 3 内 步长为1 做如下检测 i fj j y t e m p 返回j 的值 并退出此函数 e l s e i fa b s j j 一y t e m p l 返回j 的值 并退出此函数 e n d e n d 如果通过1 和2 都没有给出j 的值 则令j o 并退出此函数 3 函数s l o p e a n g l e f l l 用于计算被提取出来的小曲线段的倾斜角 此函数的输入参数为存储该小曲 线段上的点的行标数和列标数的数组 s l o p e a n g l e 1i n e x li n e y i f 数组l i n e x 中的数值全部相同 a n g l e o e l s e i f 数组l i n e y 中的数值全部相同 a n g l e 9 0 e l s e p p o l y f i t 1 i n e y l i n e x 1 s l o p e 一p 1 i f s l o p e 0 a n g l e 1 8 0 a t a n s l o p e 1 8 0 p i e l s e a n g l e a t a n s l o p e 1 8 0 p i e n d e n d 4 函数p r o g r a m m i n g m 本函数调用上面三个基本函数 以某一待处理的纹线信息图g 为输入参数 从g 中提取一条小曲线段 计算出它的倾斜角 然后再将此曲线段从g 中删除 但 要将曲线之间的交叉点复原 p r o g r a m m i n g g 1 检测数组i n d e x 中的首个i 所在位置i 则i i 和j i 就是被提取的曲线的首端点的行标数与列标致 2 检测属于该曲线上的点 直到检测到此曲线的末端点 并将曲线上的点的行标数与列标数存放在数组l i n e x 与1 i n e y 中 3 将该曲线上的点的g i j 值设置为2 5 5 但要将交叉点处的g i j 值还原为0 4 利用函数s l o p e a n g l e 求出该曲线段的倾斜角 5 将做完上述处理的图像作为新的纹线信息图g 以待后续处理 3 2 2 由小曲线段像素点确定概率密度分布函数 这种求概率密度分布函数的思想比较简单 以上面所给的纹线信息图g 和划 分尺度a 1 2 时的分割情况为例 首先求出对应于整幅纹线信息图g 的全体纹线 像素点的数目总和s 对于每一个确定的图g s 是一个常数 在每个小正方形区 域g f f 1 2 内 定义包含在此区域内的纹线像素点的数目总和为墨 2 它依 赖于划分尺度a 以及i 从而得到每个小正方形区域g f 所对应的概率密度分布函数 且 a p f 五 蜀 3 2 3 3 基于统计矩的多重分形分析法 首先由3 2 节中所得的概率密度分布函数只以 确定配分函数 即统计矩 磊 a z a 名 一 g 1 时 配分函数石 a 反映的是稠密区域的性质 反之 当g 0 时 谱曲线的峰值偏右 当b 0 时 谱曲线的峰值偏左 一般而言 当 忙 的最大值 叫越大 区间 口孟 口 1 的宽 度矿越大及谱曲线j r 缸 的对称性越好时 对象所呈现的多重分形性就越强 l e g e n d r e 变换提供了多重分形谱的理论计算公式 但在实际中一般要用公式 忙 r a i n a a r g 来计算谱函数 3 4 掌纹多重分形性的存在性及三个特征参数 对于3 2 节中所得的纹线信息图g 及由小曲线段倾斜角确定的概率密度分布 函数只 设计算配分函数二 五 时所用到的阶数g 的取值范围为 4 4 4 5 利 用由m a t l a b 所编写的求取双对数函数 配分函数 质量指数函数 广义维数函数 以及多重分形谱函数的程序 经计算可得如下结果 图3 7 显示了q 4 2 3 2 一2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 这9 组值时的双对数关系 图 可以看出当q 1 时 在整个尺 度范围内 l o g x q a 与l o g a 之间都呈现了很好的线性关系 因此磊 a 与五满足 幂律关系 即说明在规定的尺度变化范围内掌纹纹理具有无标度性 也就是说掌 纹纹理具有分形的特性 i o g k 图3 7l o g z q 兄 l 0 9 2 由方程 3 4 对r 托 的定义 可得质量指数函数的关系图 可以看出f g 是一个 上凸的函数 即f 与g 之间存在着非线性关系 这表明了掌纹纹理的确具有多重 分形的特性 如图3 8 所示 利用方程 3 5 可以得到广义分形维数d q 1 的关系 图 特别地 当q o 所对应的容量维数d o 等于1 1 8 3 2 即为多重分形谱的 极大值 如图3 9 所示 1 7 q 图3 8f g 一q 图3 9o q l q 考虑掌纹纹理的多重分形谱厂p 二娶执 口孽一f q 且 其中 掣b 掣1 一 经计算可得 口t 1 1 2 9 4 口 l 7 0 3 7 所以谱函数的宽度矿 口 一a 山 o 5 7 4 3 谱函数f a 的极大值在 1 2 1 9 4 处取到 为丘 f r x o 1 1 8 3 2 这与容量维数d o 的值 是相同的 多重分形谱的图像如图3 1 0 中单峰蓝色粗曲线所示 在 处 用最小 二次拟合 可得谱曲线厂向 的二次拟合函数为 厂 口l 一5 5 9 9 t r 1 2 1 9 4 2 1 1 1 7 2 口一1 2 1 9 4 1 0 2 3 5 它是一开口向下的 抛物线 如图3 1 0 中红色细抛物线所示 从而我们得到掌纹多重分形谱的三个特征参数 奇异谱的极大值 1 1 8 3 2 奇异谱的宽度 o 5 7 4 3 以及谱曲线的不对称程度b 1 1 1 7 2 也 说明了对应于g 的掌纹纹线的确具有一定的多重分形性 图3 1 0 a 一口 p e m p r i a t 3 a l i p 图3 1 1 四幅掌纹的r o i 区域 1 9 脚i a t 3 图3 1 2 四幅掌纹的多重分形谐 人的掌纹是一种唯一 可靠又稳定的生理特征 并且每个人的掌纹都不相同 所以在理论上每个人所具有的掌纹多重分形特征也应该是互不相同的 这就使我 们产生了以多重分形谱的三个特征量作为区分不同掌纹的判别参数的想法 下面 通过实验来比较几幅不同的掌纹的多重分形特征量 图3 1 l 显示了四幅不同人的掌纹图经过预处理后所得的r o i 区域 图3 1 2 显示了这四幅掌纹图所对应的多重分形谱的图像 表3 1 显示了这四幅掌纹图的 多重分形特征量 袁3 1 四幅掌纹图所对应的多重分形特征量 p a l m p r i n t lp m m p r i n t 2p a l m p r i n t 3 p a l m p r i n t 4 奇异谱的极大值丘 1 1 8 3 21 0 6 5 31 3 4 2 41 3 4 1 9 奇异谱的宽度形0 5 7 4 3 o 2 1 1 io 8 2 7 9 20 7 2 1 9 3 谱曲线的不对称程度曰1 1 1 7 20 9 7 2 40 2 2 4 7 6 1 5 8 0 3 b 应窑坦叁堂亟 坐僮论塞玺重盆形查茎煞识捌主鲍厘团 3 5 小结 本章主要介绍了多重分形在掌纹识别中的应用 对于分布复杂的掌纹纹线 我们利用盒计数法和基于统计矩的多重分形分析法 通过分析配分函数 质量指 数函数 多重分形谱函数 证明了掌纹纹线的分布的确具有 定的多重分形性 迸而求取掌纹多重分形谱所对应的三个特征参数 谱曲线的宽度 极大值及谱曲 线的不对称程度 这种提取过程结合了结构特征提取与统计特征提取的特点 希 望这会为掌纹识别带来新的思路与方法 我们接下来的工作就是利用这三个特征 参数来索引掌纹数据库 进行样本训练 分类决策 达到特征匹配的目的 以期 提出一种新的方法 扩展多重分形原理在生物特征识别领域中的应用 气温变化时间序列的分形性质研究 基于标准配分函数的多重分形分析法常用来分析一维平稳时间序列 多重分 形消除趋势波动分析法常被用来分析非平稳时间序列的多重分形特征以及有噪菲 平稳时间序列的长相关性 例如在论文 1 7 中研究了交通时间序列的多重分形性 本章我们将利用这两种方法对北京某地区3 2 年内的气温变化时间序列进行分析处 理 结果证明此气温时间序列具有良好的多重分形性 所得的结论与数据也为将 来的预测工作打下基础 4 1 数据描述 我们选取了北京某气温观测站 区站号为 5 4 5 1 1 关于1 9 7 3 年1 月1 日至 2 0 0 4 年1 2 月3 1 日共1 1 6 8 8 天的气温数据 依据摄氏温度与华氏温度的换算公式 f c 9 5 3 2 式中f 华氏温度 c 一摄氏温度 先将摄氏温度转化为华氏 温度 为的是避免在后面的计算中出现负值的情形 图4 1 显示了温度波动图 其中横坐标表示天 纵坐标表示气温 华氏温度 容易看出气温的波动呈现明显 的周期性 粗略地讲 最小周期可以是一年 图4 i 北京1 9 7 3 年到2 0 0 4 年的气温波动图 4 2 多重分形消除趋势波动分析法介绍 消除趋势波动分析 d e t r e n d e df l u c t u a t i o na n a l y s i s 简记眦 具有比常规 的方法 如谱分析 h u r s t 分析 更大的优越性 它能够给出陷入在表面看似非平稳 时 白j 序列中的长相关性 同时可免除人造的非平稳时间序列中的伪相关性现象 近几年来 由p e n ge ta l 发明的消除趋势涨落分析方法m f d f a m u l t i f r a c t a l d e t r e n d e df l u c t u a t i o na n a l y s i s 已经成为探测非平稳时 自j 序列的标度性和长 相关性的重要工具 它能精确的量化非平稳时间序列的长相关性 8 1 9 这种方 法已经成功应用到许多领域 如d n a 序列 心率跳动动力学 长时问天气预测 云层结构 经济时间序列及固态物理学等 由于该方法基于随机步行理论陋i 对 时间序列有一个求和的过程 因此 它可以避免人为引起的时间序列的不稳定性 设时间序列 孔 是紧支集 用多重分形消除趋势分析方法进行多重分形分析 的步骤如下 第一 求序列对于均值的累积离差 y f o s l 七 一o i 1 2 n 4 1 其中 d 专 黾 第二 分割序列 y f 成等长小区间 将序列 f 分成 e i n t n s 个互 不相交的小区间 每个小区间均含有s 个数据 由于n 不一定是子区间长度j 的倍 数 所以为了不忽略因分割而余留的 4 部分序列 我们需要从序列 f l 的后面 向前再做一次同样的分割 这样便获得了2 n 个小区间 第三 用最小二次拟合法求均方误差f 2 s v 设以 f 是第v 个小区间的拟合 多项式 当v l m 时 有 f 2 州 z y v 一1 川 儿 哪 4 2 当v m 1 2 n 时 有 f 2 妒 m 一 v 一 州 一只 i 锚 这里拟合多项式几 i 可以做线性拟合 二次拟合 三次拟合或更高阶的拟合 一般记为m f d f a m m 是拟合多项式的阶数 第四 对于2 m 个区问 求f 2 j v 的平均值 得g 阶波动函数 聃 z 岛争似v 4 t 当q o 对 波动函数可以由下式确定 砰 唧 击誓一n v 4 s 当g 2 时 d f 就退化成d f a 当g 0 时 s 大小主要取决于大波动偏差f 2 s v 的 大小 这样 不同的g 就描述了不同程度的波动对c 5 的影响 第五 分析c s 与一的双对数函数 确定波动函数的标度性t o 是碍与s 的函数 且对于较大的s 0 以幂律形式增加 即 c j j 计 4 6 这里h q 称为广义赫斯特 h u r s t 指数 当序列是平稳时间序列时 h 2 称为h u r s t 指数 通常 波动函数值 o 是j 的增函数 做出l o g s x c l o s s 的 函数关系图 求出l o g g j 相对于l o g s 的变化率 其斜率即为所得的标度指数 h q 为了使c j 有较高的稳定程度 通常s 的取值不超过 i 4 当序列 t l 为一单分形时一偏差f 2 j v 在所有区间的标度行为是一致的 从而 独立于g 为一常数 特别的 当序列 不相关或短程相关时 h q l 2 当是 譬 依赖 于叮并且是关于g 的函数时 序列 圪 为多重分形 然而 盯一d f a 方法仅能确定正的广义h u r s t 指数 的信号性质 当 趋 近于0 时 信号表现出强的逆相关 此时g f d f a 方法不能准确地确定信号的性质 这就需要修正盱一d f a 过程