（基础数学专业论文）半群的同余及结构.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如 没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名：样 导师签字： 学位论文版权使用授权书 澎办罗 ， 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权遨可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：杏先军 签字日期：2 0 0g 年牛月2 ；日 导师签字： 移a 、萝 | 签字日期：2 0 0 苫年4 肌；日 山东师范大学硕士学位论文 半群的同余及结构 摘 要 本文主要利用同余的核和迹讨论丌正则半群上的完全正则同余对，并把结果 推广到g v 一半群和e 反演半群上全文共分五章，具体内容如下： 第一章给出引言与预备知识 第二章定义了丌一正则半群s 的正规子集和e ( s ) 上的正规等价的概念，构造 了丌- 正则半群上的完全正则同余对主要结论如下： 我们用c r c p ( s ) 表示丌正则半群s 上完全正则同余对的集合，c r e ( s ) 表 示丌正则半群s 上完全正则同余的集合 定义2 1 4 设( k ，) c 兄c 尸( s ) 在卅正则半群s 上定义二元关系p ( k ，) ： 口p ( ，f ) 6 寺( 刍r ( n ) 7 y ( r ( o ) ) ，r ( 6 ) 7 y ( r ( 6 ) ) ) n 竹1 1 r ( n ) 7 n 6 ”一1 r ( 6 ) 7 6 ，n m 一1 r ( n ) 6 k ， 其中7 ( n ) = n m ，7 ( 6 ) = 6 札 定理2 1 1 5 若( k ) c r c p ( s ) ，贝ip ( k ，f ) c r c ( s ) 且k e r p ( k ，f ) = k ? 打p ( k ，f ) = 反之，若p c r c ( s ) ，贝0 ( j f e r p ，7 p ) c r c p ( s ) 且j d = “k 。，加p ) 定理2 1 1 7 设 妒1 ：c r c ( s ) c r c 尸( s ) ，p - 一( k 。e r p ，打p ) ， 妒2 ：c r c p ( s ) 一c r c ( s ) ，( j f ，) p ( k ，f ) 则妒1 妒2 是保序的完全格同构且妒1 = i 1 我们用g v c r c p ( s ) 表示g 1 r 半群s 上完全正则同余对的集合，g v c r c ( s ) 表示g v 半群s 上的完全正则同余的集合 定义2 7 3 设( k ，) g y c r c p ( s ) 在g y 一半群s 上定义二元关系p ( k ，f ) ： 口p ( k ，) 6 争n o 6 0 ，o 1 17 ( n ) 一1 6 k ， 其中r ( 口) = n ” 定理2 7 4 若( k ，) g y c 兄c p ( s ) ，贝4p ( k ，f ) g y c r c ( s ) 且k e 7 p ( k ，f ) = j r ，t r p ( k ，f ) ：反之，若p g v c r c ( s ) ，贝0 ( k e r p ，t r j d ) g y c r c p ( s ) 且p = p ( k e r p ，t r p ) 定理2 7 5 设 妒l ：g y c 兄c ( s ) 一g y c r c 尸( s ) ，p 一( j r e r p ，r d ) ， 妒2 ：g y c r c 尸( s ) 呻g y c r c ( s ) ，( j r ，) p ( k ， ) 则妒l ，妒2 是保序的完全格同构且妒1 = 坷1 第三章主要研究g y 半群s 上的同余与它在上的限制的关系 1 山东师范大学硕士学位论文 定理3 2 1 设p 是s 上的同余且s 加是左群的倒f 扩张的半格则对任意a y ， 记p a = pl & ，& p 。是左群的n 讥扩张 定理3 2 6设对任意q 触是上的同余且& p o 是左群的n 讲扩张则 p = ( u p a ) 孝是s 上的同余且酬p 是左群的n 以扩张的半格 定理3 3 1 0 设t ，= ( e ，厂) e ( s ) e ( s ) ie 秽，) 孝则t ，是s 上的最小的使得酬t ， 为左群的礼i f 一扩张的半格的同余 第四章定义了e 一反演半群s 的正规子半群和 上正规同余的概念， 构造了口反演半群上的矩形群同余对我们用e r c p ( s ) 表示e 一反演半群s 上 矩形群同余对的集合，e r c ( 5 ) 表示d 反演半群s 上矩形群同余的集合 定义4 2 5 设( k ，) e r c p ( s ) 在b 反演半群s 上定义二元关系所，) ： 口p ( k ，f ) 6 = ( j n i 矿( 口) ，6 7 i 矿( 6 ) ) n 6 7 k ，n 7 0 6 7 6 n 口，o o 6 6 7 6 6 定理4 2 6 若( k ，专) e r c p ( s ) ，则j 。( k ，f ) e r c ( s ) 且k e r p ( k ，f ) = k ，九t r p ( k ，f ) = f 反之，若p e r c ( s ) ，则( k e r p ，耽r p ) e r c p ( s ) 且p = p ( 。m 栅p ) 定理4 2 1 9 设 妒1 ：j e 7 r c ( s ) 一e r c p ( s ) ，ph ( f r e r p ， 打p ) ， 妒2 ：j e 7 r c p ( s ) 一e r c ( s ) ，( k ，f ) 一以k f ) 则妒1 ：妒2 是保序的完全格同构且9 1 ：妒i 1 第五章利用构造偏序关系研究了b 纯半群的结构主要结论如下： 定理5 2 5 下列情形关于半群s 是等价的： ( 1 ) s 是g v 一逆半群且s 2 r e 9 s ； ( 2 ) s 是j e 7 + 一纯半群； ( 3 ) s 是开群的强半格且s 2 r e 夕s 关键词：丌一正则半群，g 弘半群，完全正则，同余，b 反演半群， b 4 纯半 群 分类号： 0 1 5 2 7 2 山东师范大学硕士学位论文 c o n g r u e n c e sa n ds t r u c t u r e so fs e m i g r o u p s a b s t r a c t i nt m sd i s s e r t a t i o n w em a j i l l ys t u d yt h ec o n g r u e l l c e so n 丌_ r e g l l l a r8 e m i g r o u p sw i t h t h ek e r n e la n dt h et r a c eo fc o n g r u e n c e s f u t h e rw e 印p l vo u rr e s u l t st og v - s e m i g r o u p s a i l db i n v e r s i v es e m i g r o u p s t h e r ( 、甜ef i v ec h 印t e r s i nt h ef i r s tc h 印t e r ，w e 西v et h ei n t r o d u c t i o n sa n dp r e u m i n 甜i e s i nt h es e c o n dc h 印t e r ，w e 酉v et h ed e f i n i t i o no ft h en o r m a ls u b s e to fa7 r r e g u l a rs e i i l i g r o u ps ，t h en o r m a l le q u i v 以e n c eo ne ( s ) a n dt h e n 、eg i v et h ed e s c r i p t i o no fc o m p l e t e l y r e “1 盯c o n g r u e n c ep a i r so fs t h em a i nr e s u l t s 盯eg i v e ni nf o l l o w ： w br e p r e s e n tt h es e to fc o m p l e t e l yr e g u l a rc o n g r u e n c e so na 丌- r e g l l l a rs e i n i g r o u ps b yc r c ( s ) a n dt h es e to fc o m p l e t e l yr e g u l a rc o n g r u e n c ep a i r so na 丌一r e g u l a rs e m i g r o u p sb yc r c p ( s ) d e f i n i t i o n2 1 4l e t ( k ，) c r c p ( s ) a n dd e 矗n eab i i l a r yr e l a t i o np ( k ，f ) o ns b y 口p ( k ，) 6 铮( j r ( 口) 7 y ( r ( 口) ) ，r ( 6 ) 7 y ( r ( 6 ) ) ) n m l r ( 口) 7 n 6 n 一1 7 - ( 6 ) 7 6 ，口m 一1 r ( 口) 7 6 w h e r er ( o ) = n ”，r ( 6 ) = 6 “ t h e o r e m2 1 1 5l e t ( k ，专) c r c p ( s ) t h e np ( k ，f ) c r c ( s ) a n dk e r p ( k ，f ) = k ，打p ( k f ) = c o i l v e r s e l y ，i fp c r c ( s ) t h e n ( j ( e r p ，打，) ) c r c p ( s ) a l l l dp = ，) ( k e r p t r p ) t h e o r e m2 1 1 7t h em a p p i n g sd e 矗n e db y 妒1 ：c r c ( s ) ，c r c p ( s ) ，ph ( j r e r p ，t r p ) ， 妒2 ：c r c p ( s ) 一g r c ( s ) ，( k ，) 卜一p ( k ，) a r eo r d e rp r e s e r v i n gc o m p l e t el a t t i c ei s o m o r p l l i s m sa n d 1 = 妒i 上 w 色r e p r e s e n tt h es e to fc o m p l e t e l yr e g u l a rc o n g r u e n c e so nag v s e m i g r o u psb y g y c r c ( s ) a n dt h es e to fc o m p l e t e l yr e g u l 耶c o n g r u e n c ep a i r so nag v - s e m i 铲o u ps b yg y c r c p ( s ) 3 山东师范大学硕士学位论文 d e f l n i t i o n2 7 3l e t ( k ，) g y c r c p ( s ) a n dd e 丘n eab i n 触yr e l a t i o np ( k ，f ) o n sb y n p ( k ，f ) 6 铮n o 曲o ，口一17 ( n ) 一1 6 k ， w h e r er ( n ) = 口 t h e o r e m2 7 4l e t ( k ，专) g y c r c p ( s ) t h e np ( ，e ) g y c r c ( s ) a n dk e r p ( k ，) = k ，r p ( k ，f ) = c o n v e r s e l y i fp g y c r c ( s ) ，t h e n ( k e r n 打p ) g y c r c p ( s ) a n dp = p ( k e r n t r p ) t h e o r e m2 7 5t h cm a p p i n g sd e 矗1 l e db y 妒1 ：g y c r c ( s ) 一g y c r c p ( s ) ，p ( k e r p ，打p ) ， 妒2 ：g y c r c p ( s ) 一g y c r c ( s ) ，( k ，) hp ( k ，) a r eo r d e rp r e s e r v i n gc o m p l e t e1 a t t i c ei s o m o r p l l i s m sa n d l = 妒i 1 i nt h et h i r dc h a p t e r ，w em 缸l ys t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e nac o n g r u e n c eo nag v s e m i g r o u psa n di t st r a c eo ns 口 t h e o r e m3 2 1l e tpb eac o n g r u e n c eo nsa n d 纠p e 殖e n s i o i l so fl c 代g r o u p s t h e nf o r 觚b i t r a u r ya y ，ai s g r o u p ，w h e r epa=pi s 台 b eas e m i l a 七t i c eo fi l i l - an i l - e x t e l l s i o i lo fal e r t h e o r e m3 2 6 l e t 儿b eac o n g r u e n c eo n & f o r 砒i t r a r yq ya n d & p 口 i san i l - e x t e n s i o no fal e f tg r o u p t h e np = ( u p q ) 群i sac o n g r u e n c eo nsa n d 酬pi sa s e m i l a t t i c eo fn i l 一e x t e n s i o n so fl e f t ：g r o u p s t h e o r e m3 3 1 0l e tu = ( e ，) e ( s ) e ( s ) ie 冗+ ，) 舞t h e nui st h es m a u e s t c o n g r u e n c eo nss u c ht h a ts 加i sas e m i l a t t i c eo fn i l e 妣e n s i o n so fl e 代g r o u p s i nc h 印t e rf o u r ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h en o r m a ls u b s e m i g r o u po fas e m i g r o u p s ，t h en o r m a lc o n g r u e n c eo n a n dt h e nw eg i v et h ed e s c r i p t i o no fr e c t a n g u l a r g r o u pc o n g r u e n c ep a i r so ns t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o u o w ： w 色r e p r e s e n tt h es e to fr e c t a n g u l a rg r o u pc o n g r u e n c e so n a nb i n v e r s i v es e m i g r o u p sb ye r c p ( s ) a n dt h es e to fr e c t a n g u l a rg r o u pc o n g r u e n c ep a l i r so na nd i n v e r s i v e s e m i g r o u psb ye r c ( s ) d e f l n i t i o n4 2 5l e t ( k ，善) e r c p ( s ) a n dd e 丘n eab i n 龇yr e l a t i o np ( k ，) o ns b y 口p ( k ，f ) 6 兮( j n ( 口) ，6 7 ( 6 ) ) n 6 ，k0 7 口6 6 专口d ，n o 6 6 6 6 7 4 山东师范大学硕士学位论文 t h e o r e m4 2 6 l e t ( k ，) e r c p ( s ) t h e np ( k ，f ) e r c ( s ) a n dk e r p ( k ，) = k ， 打p ( k ，f ) = c o n v e r s e l y ，i fp e r c ( s ) ，t h e n ( k e r p ，h t r p ) e r c 尸( s ) a n dp = p ( j f e r “h 打p ) t h e o r e m4 2 7t h em 印p i n g sd e 矗n e db y 妒1 ：e r c ( s ) ，e r c p ( s ) ，j d 一( j r e r p ， 打p ) ， 妒2 ：e r c p ( s ) ，e r c ( s ) ，( j l ) - p ( k ，) 盯eo r d e rp r e s e n r i n gc o m p l e t el a t t i c ei s o m o r p m s m sa n d 1 = 妒i1 i nc h a p t e r 丘v e j w es t u d yt h es t r u c t u r eo fb + - p u r es e m i g r o u p sb yd e f l n i n gap a r t i a l o r d e r t h e o r e m5 2 5t h ef o l l o w i n gc d n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) si sag v i n v e r s es e m i g r o u pa n ds 2 r 叼s ； ( 2 ) si sab 4 一p u r es e m i g r o u p ； ( 3 ) si sas t r o n gs e m i l a t t i c eo fn g r o u p sa n ds 2 r 叼s k e y w o r d s ：7 r r e g u l a rs e i n i g r o u p g v s e m i g r o u p ，c o m p l e t e l yr e g l l l 觚，c o i l g r u e n c e ， b i n v e r s i v es e m i g r o u p ： b + _ p u r es e m i g r o u p c i a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 2 7 5 山东师范大学硕士学位论文 第一章引言及预备知识 本文主要研究卅正则半群上的完全正则同余对和b 反演半群上的矩形群同 余对 下面介绍一些基本概念： 定义1 1 【1 】称半群s 是正则的，若对任意n s ，存在z s 使得o = o z 口称半群 s 是完全正则的，若对任意n s ，存在z s 使得口= 口z a ，z 口= n z 由f 1 1 ，若s 是完全正则半群，则等价关系歹是s 上的半格同余且s 的每个歹一 类是完全单半群，所以s 是完全单半群的半格记s = ( y ；& ) ，其中& ( “y ) 是 完全单半群，y 为半格；称s 是a ，厂d r d 半群，若对任意a y ，& 是群 定义1 2 1 3 称半群s 为7 r 正则的，若对任意s ：存在n z + 使得口n 凸“s 扩 称半群s 是g u 半群，若5 是丌正则的且s 的正则元都是完全正则的若s 是 丌正则半群且le ( s ) i = l ，则称s 为丌一群 设s 是丌正则半群，o s 若n 是使扩r e 筘的最小正整数，则称礼是。 的最小正则指数 设s 是丌正则半群，n ，6 s 且m ，礼分别是n ，6 的最小正则指数在s 上定 义： n 7 + 6 亭s n m s = s 6 n s o c 8 6 亭s 口m = s 6 ” n 7 已+ 6 毒口”s = 6 ”s 咒+ = n7 已 显然c + ，冗+ ，咒+ ，歹4 是s 上的等价关系由 3 在g y - 半群s 中，是半格 同余，而每个类是完全单半群的埘2 扩张，所以s 是完全单半群的n 弘扩张 的半格记s = ( y ；& ) ，其中( q y ) 是完全单半群的饿f - 扩张，y 为半格；称 s 是g y 逆半群，若对任意q y ，& 是卅群 以觑9 s 表示半群s 中正则元的集合，e ( s ) 表示s 中幂等元的集合设口 r e 9 s ，记y ( q ) = z so z o = n ，z n z = z ) 定义1 3 1 7 】称半群s 为b 反演半群，若对任意o s ，存在z s 使得n z e ( s ) 6 山东师范大学硕士学位论文 定义1 4 【1 】设触( 口y ) 是半群s 上的一族同余，称( u p a ) 群为由阢( q y ) 生成 的同余 定理1 剞下列情况在正则半群s 上是等价的： ( 1 ) s 是完全单半群； ( 2 ) s 满足o = n z a = z = z n z ： ( 3 ) 对任意o ，6 s 有。冗曲 本文中其它未说明的概念和术语见参考文献 1 3 7 山东师范大学硕士学位论文 第二章丌一正则半群上的同余对 在本章中，我们研究丌正则半群上的完全正则同余对，并进一步给出了丌一正 则半群上的纯正群同余对、纯正密群同余对、矩形群同余对、g 半群同余对、l r - 正则纯正群同余对和g v 半群上的完全正则同余对、纯正群同余对等 称p 是半群s 上的完全正则同余，若s p 是完全正则半群。类似可定义纯正 群同余等 设p 是半群s 上的同余记e r p = 口sf 口p e ( 剐p ) ) ，r p = p 恢s ) ，称 k e r j d 为p 的核，打p 为p 的迹 设s 是7 r 正则半群则对任意n s 亿z + ln ”r e 9 s 且n 3 ) 谚设 ”l = 竹z i n n z + ln ”r e 夕s 且礼3 ) ，记r ( n ) = m 以下如无特别说明，2 1 一2 6s 是开正则半群，2 7 一2 1 1s 是g y 半 群 2 1仃正则半群上的完全正则同余对 定义2 1 1 称k 是s 的正规子集，若k 是s 的满的自反子集 注设k 是s 的子集称k 是满的，若e ( s ) k ；称k 是自反的，若对任意 n 6 5 - 动甘施 定义2 1 2 称f 是e ( s ) 上的正规等价，若是e ( s ) 上的等价关系且满足： 对任意o sr ( o ) 7 ，r ( o ) ”y ( r ( o ) ) 有口m 一。r ( o ) 7 0 。o 仇一r ( n ) ”o2 ，其中r ( o ) = 口”，1 t ，f m 一1 定义2 1 3 称( k ，) 是s 的完全正则同余对，若k 是s 的正规子集，是e ( s ) 上的正规等价，且满足： ( 1 ) 设口z 6 c k ，其中o ：c s 1 ，z k ，6 s 若军事在d s ，r ( b ) 7 y ( r ( b ) ) ，7 ( d ) y ( r ( d ) ) 使得6 m 一1 r ( 6 ) 7 蜒扩一1 r ( d ) d 且。具有分解z = 札l 乱2 “。，其中u 1 ( 6 ，以，u i 6 ，d ) u v ( r ( 6 ) ) u 1 ，( r ( d ) ) ( i = 2 ，3 ，礼) ，7 ( 6 ) = 矿”：r ( d ) = d n ，则o b c k ( 2 ) 设0 6 c k ，矿”一1 r ( d ) 7 蜓b “一1 r ( 6 ) 7 6 ，其中n ，c s 1 ，6 ，d s ，r ( d ) = d “，r ( 6 ) = 铲，r ( 6 ) 7 y ( 7 - ( 6 ) ) ，r ( d ) y ( r ( d ) ) 设z k 且z 具有分解z = u l u 2 u n ，则 ( a ) 若札i 6 ，d ，uy ( r ( 6 ) ) u 矿( r ( 回) 0 = l ，2 ，竹一1 ) ，u n 6 ，d ，贝00 6 z c k ； ( b ) 若u l 6 ，d 】，札t 6 ，d ，uy ( 7 ( 6 ) ) uy ( r ( d ) ) ( i = 2 ，n ) ，贝0n 。6 c k ( 3 ) 设口，6 s ，z k 且存在r ( 口) 矿( r ( n ) ) ，r ( 6 ) y ( r ( 6 ) ) 使得o ”一1 r ( o ) 口6 一一1 r ( 6 ) 7 6 ，其中r ( n ) = d m ，7 ( b ) = 铲设z 具有分解z = t 1 仳2 则 8 山东师范大学硕士学位论文 ( a ) 若钍1 o ，6 ) ，“f o ，6 ) uv ( r ( o ) ) ui 厂( r ( 6 ) ) ( i = 2 ，：扎) ，贝4 对任意： ，z s 1 ，r ( z 6 z ) 。y ( r ( z 6 z ) ) ，r ( 6 ：) y ( r ( h 6 2 ) ) 有( h z 6 2 ) 5 1 r ( z 6 z ) ( h 。6 z ) ( 6 z ) 一1 r ( 九6 ：) ( 九6 z ) ，j 妻中7 ( z 6 。) = ( 九：e 6 z ) 5 ，r ( 6 z ) = ( 6 z ) 。； ( b ) 若u n ，6 ) u v ( r ( 口) ) u 1 ，( r ( 6 ) ) ( i = 1 ，礼一1 ) ，u 。 o b ) ，贝0 对任意： ，z s 1 ，7 ( 6 z z ) i 厂( r ( 6 口：) ) ，r ( 6 ：) 7 y ( 7 ( 允6 ：) ) 有( 6 z ：) p 一17 - ( 6 z ：) ( 6 z 。) ( 6 ：) 一1 r ( 九6 z ) ( 6 z ) ，其中7 ( 忍6 z ：) = ( 忍6 z z ) p ，r ( 6 ：) = ( 危b ：) 我们用c r c 尸( 表示5 的完全正则同余对的集合，c r c ( s ) 表示s 上的完 全正则同余的集合 定义2 1 4 设( k ，) c r c p ( s ) 在s 上定义二元关系以k ，f ) ： n p ( k ，) 6 辛( j r ( n ) y ( r ( o ) ) ，r ( 6 ) 7 y ( r ( 6 ) ) ) n 。一1 r ( o ) 7 n f 6 ”一1 r ( 6 ) 7 6 ，口”。一1 r ( 口) 7 6 k ， 其中r ) = n ，r ( 6 ) = 6 t i 本文的主要结论是：若( k ，亭) c r c p ( s ) ，则p ( k ， ) c r c ( s ) 且k e r p ( k ， ) = k ，t r p ( k ，f ) = 反之，若p e r c ( s ) ，则( k e r p ，打p ) c r c p ( s ) 且j d = j d ( k 。m t ，p ) 引理2 1 5设( k ，) c r c p ( s ) ，o ，j ) s ，r ( n ) = n m ，r ( 6 ) = 6 n 若存在7 ( n ) y ( 7 ( o ) ) ，7 ( 6 ) y ( r ( 6 ) ) 使得o ”。r ( 口) 7 口扩- 1 r ( b ) 6 ，则下列等价： ( 1 ) q m 一1 r ( 口) 7 6 k ； ( 2 ) 6 “一1 r ( b ) 7 0 k ： ( 3 ) 6 n m 1 r ( n ) 7 蟛 ( 4 ) n6 r j 一1 r ( 6 ) 7 k 证明( 1 ) = 争( 2 ) 因为k 是满的，所以r ( ，) r ( 6 ) 7 k 由定义2 1 3 ( 2 ) ( b ) 得 r ( n ) r ( n ) 7 r ( 6 ) r ( 6 ) 7 k 因为a ，是自反的，所以n ”一1r ( o ) 7 r ( b ) r ( 6 ) n k ，即( n m 一1 r ( n ) 7 6 ) ( 6 俨1 r ( 6 ) n ) k 由定义2 1 3 ( 1 ) 得纱叫7 ( 6 ) o k ( 2 ) j ( 1 ) 同( 1 ) 兮( 2 ) 由k 的自反性得( 1 ) 甘( 3 ) ，( 2 ) 铮( 4 ) 引理2 1 6设( k ，) c r c p ( s ) ，n ，b s r ( n ) = n m ，r ( 6 ) = 护若存在r ( a ) 7 v ( r ( n ) ) ，7 ( 6 ) y ( r ( 6 ) ) 使得n ”_ 1 r ( o ) 7 n 9 肛1 r ( 6 ) 7 6 且o ”一1 r ( 口) 7 6 k ，则对任意 r ( o ) ”v ( r ( o ) ) 有口m 一1 r ( 口) ”b k 证明因为o m 一1 r ( o ) 7 6 = ( n m 一1 r ( o ) r ( o ) 7 ( n ) ”) ( r ( 口) 7 ( o ) 7 ) 6 k ，所以由定义2 1 3 ( 1 ) 口m 一1 r ( n ) 7 r ( n ) r ( n ) ”6 k 因为o m 一1 r ( 口) 7 r ( n ) r ( n ) ”6 = ( n ”一1 r ( o ) 7 口) ( n ”一17 ( 口) “6 ) 且口m 一1 r ( o ) 7 n e ( s ) k ，所 以由定义2 1 3 ( 1 ) 得 口m 一1 r ( n ) ”6 k 9 山东师范大学硕士学位论文 引理2 1 7 设( k ，荨) c r c p ( s ) ，r ( 口) = n m ，r ( 6 ) = 铲贝0 n p ( k ，f ) 6 争( v r ( n ) 7 y ( r ( n ) ) ，r ( 6 ) 7 y ( r ( 6 ) ) ) a 一1 r ( o ) o 6 “一1 r ( 6 ) 7 6 ，。”一1 r ( o ) 7 6 j 0 证明设对任意r ( 口) y ( ? ( n ) ) ，r ( b ) 7 y ( r ( 6 ) ) 有口m 一1 r ( 口) 7 口f 铲一1 7 _ ( 6 ) 7 6 且 口m 一17 ( o ) 7 6 k 则由定义2 1 4 显然有口p ( e f ) 6 设n p ( k ，神则存在r ( 口) 7 y ( r ( o ) ) ，r ( 6 ) 7 y ( r ( 6 ) ) 使得n ”一1 r ( n ) o f 6 竹1 r ( 6 ) 7 6 且 n ”一1 r ( o ) 7 6 k 由定义2 1 2 得对任意r ( o ) ”y ( r ( 口) ) ，r ( 6 ) ，y ( r ( 6 ) ) 有 n m 一17 ( n ) ”n 口7 n 一17 ( 口) 口 6 n 一1 r ( 6 ) 7 6 善酽一1 r ( 6 ) ”b 由引理2 1 6 知n ”一1 r ( n ) “6 下面我们将分步证明本文的主要结论 定理2 1 8 设( k ，专) c r c p ( s ) 则p ( k ，f ) 是s 上的同余 证明由k 正规和引理2 1 5 分别得p ( k ，f ) 是自反和对称的下证p ( k ，) 具有传 递性设n p ( k ) 6 ，印( k ， ) c d ，6 ，c s 则由引理2 1 7 ，对任意r ( n ) 7 y ( r ( n ) ) ，r ( b ) 7 y ( r ( 6 ) ) ，r ( c ) 7 y ( r ( c ) ) 有口m 一17 ( 口) 7 n 6 ”一1 r ( 6 ) 7 6 c 一1 r ( c ) 7 c 且n m 一1 r ( o ) 7 6 k ，6 n 一1 r ( 6 ) 7 c k ，其中r ( n ) = o m ，r ( 6 ) = 铲，r ( c ) = c 由口一1 r ( n ) 7 b k ，妒一1 r ( 6 ) 7 c k 和定义 2 1 3 ( 2 ) ( o ) 得仇一1 r ( n ) 6 6 ”一1 7 ( 6 ) 7 c 。k ，且口n m 一1 r ( n ) ( r ( b ) r ( 6 ) ) c 由定义2 1 3 ( 1 ) 得o m 一1 r ( o ) 7 c k 所以n p ( k ， ) c ，即p ( k ， ) 是传递的 豸 以，6 ；c s p ( k ，e ) 6 ，r ( 。) = 口”。，r ( 6 ) = 6 “，r ( c ) = c h ，r ( 。口) = ( c 。) p ，r ( c 6 ) = ( c 6 ) 。，r ( n c ) = ( 口c ) 8 ，r ( 6 c ) = ( 6 c ) 由定义2 1 3 ( 3 ) ( 6 ) 得对任意r ( c 6 ) 7 y ( r ( c 6 ) ) ，r ( o ) 7 y ( r ( n ) ) ，r ( c 6 口”一1 r ( n ) 口) 7 y ( r ( c 6 n m 一1 r ( n ) n ) ) 有 ( c b ) 口一1 r ( c 6 ) c 6 ( c b n m l r ( 口) n ) g l7 ( c b o m 一1 r ( o ) 7 0 ) 7 ( c b d 7 n l r ( o ) 7 n ) ， 其中r ( 凸坛”一1 r ( 口) 7 口) = ( c 施一1 r ( 口) 7 0 严因为口p ( k ，) 6 ，所以由引理2 1 5 得沈。m 一1 r ( n ) 7 k ，从而由定义2 1 3 ( 3 ) ( n ) 得对任意r ( ) y ( r ( ) ) 有 ( c 0 ) p 一1 r ( ) 7 ( c ( 6 n m 。r ( 口) ) 口) 9 1 r ( c ( k m 一1 r ( o ) 7 ) n ) 7 ( c ( k m 一1 r ( o ) 7 ) o ) 毒( c 6 ) 口一1 r ( 曲) 7 c 6 同理可证对任意r ( o c ) 7 y ( r ( n c ) ) ，r ( b c ) 7 y ( r ( b c ) ) 有 ( n c ) s 一1 r ( 口c ) 口c 亭( 6 c ) 。一1 r ( 6 c ) 6 c 由( ) p 一1 r ( c 0 ) c 0 e ( s ) k ，o m 一1 r ( n ) 7 6 k 和定义2 1 3 ( 2 ) ( o ) 得 ( 户一1 r ( ) c 0 口m 一1 r ( o ) 7 b k ， 1 0 山东师范大学硕士学位论文 即( c 0 ) p 一1 r ( ) c r ( o ) r ( o ) 7 6 k 由定义2 1 3 ( 1 ) 得 ( c 0 尸一1 r ( ) c 6 k ， 因此p ( k ，) c 6 ，即p ( k ， ) 是左同余因为( n c ) 8 1 r ( n c ) o c e ( s ) k ，所以由定义 2 1 3 ( 2 ) ( n ) 得 ( 口c ) 5 1 r ( o c ) n ( 口”一1 r ( n ) 6 ) c k ， 且p ( o c ) 8 1 r ( n c ) 7 ( r ( n ) r ( o ) ) 6 c k 由定义2 1 3 ( 1 ) 得 ( o c ) 8 1 r ( n c ) 沈j f ， 所以p ( f ) 是右同余从而我们证明了p ( k ， ) 是s 上的同余 定理2 1 9 设( k ，专) c r c p ( s ) 则p ( k ，) 是s 上的完全正则同余 证明 由定理2 1 8 知p ( k ，) 是s 上的同余设n s7 ( o ) = o ”，r ( n ) y ( r ( o ) ) ，瓦= n ”一2 r ( o ) 7 0 则 n 瓦n = n n m 一2 r ( n ) n n = o m l r ( a ) 7 n n 下证n 孤p ( k ， ) n 设r ( 口勋) = ( n - 血) “由定义2 1 3 ( 3 ) ( 。) 得对任意r ( n 仇一1 r ( 口) 7 n 口) y ( r ( 口m 一1 r ( n ) o o ) ) ，r ( o ) ”v ( r ( 口) ) 有 ( 口仇一17 ( 口) 7 n n ) n l r ( n m 一1 _ r ( n ) o n ) 7 m l r ( o ) 7 。口 。r n 一1 r ( n ) o 由定义2 1 3 ( 2 ) ( n ) 得 o m 一1 7 ( n ) ”( n m l r ( o ) 7 0 0 ) = ( a m 一1 r ( 口) n ) ( n m 一2 r ( n ) 7 口o ) k ， 所以n 孔p ( k ，f ) n 因为 瓦o = 口m 一2 r ( n ) 7 n 口，o 瓦= 口m 一1 r ( n ) n ， 所以由定义2 1 2 得勋“瓦，从而易证勋p ( k ，f ) 口万，所以纠( k ，o 是完全正则半群 引理2 1 1 0设p 是s 上的完全正则同余，n s ，r ( n ) = n ”则对任意r ( o ) 矿( 7 ( 。) ) ，1s2 7 儿一1 扎z + 有( r ( 。) p ) 歹s p ( n ”j d ) ，( n p ) m 纠p ( a ”1 一。7 。( n ) 7 。p ) 证明因为p 是s 上的完全正则同余，所以s p 的每个歹彤p 一类是完全单半 群，每个h s p 类是群设n sr ( n ) = n ”则对任意n z + 有( n p ) 何跏( n ”p ) ，所 以( n p ) 咒s p ( r ( n ) p ) 对任意r ( n ) y ( r ( n ) ) 有 r ( 口) r ( n ) 7 r ( 口) = r ( o ) ，r ( o ) r ( 口) 7 ( n ) = 7 ( 口) 7 ， 所以( 扩j d ) 7 剐p ( r ( n ) p ) 歹剐p ( r ( n ) p ) ，因此( o p ) ”，r ( n ) 7 p 在s p 的同一，彤p 一类中，从 而( 口j 口) 何别p ( n ”一2 r ( o ) d o p ) ( 1 f r n 1 ) 1 1 山东师范大学硕士学位论文 定理2 1 1 1