（计算数学专业论文）两类无搅拌chemostat模型解的性质.pdf

两类无搅拌c h e m o s t a t 模型解的性质 王利娟? 摘要自从偏微分方程( p d e ) 被用来描述生物学中许多生物规律和现象以 来，一直吸引着大量的专家和学者的注意力，并形成了许多具有很强实际背景的 新模型，c h e m o s t a t 模型就是其中之一 本文主要研究两类无搅拌的c h e m o s t a t 模型，其中一类是具有双营养物的 c h e m o s t a t 模型，这个系统中包含了两个有限增长的营养物和一个依赖于营养物 生长的微生物，在t 时刻，。点处的浓度分别用s ( x ，t ) ，r ( 卫，t ) ，让( 。，f ) 来表示， 模型由一组反应扩散方程来描述： & = d o 最。一m u f ( s , r ) r = d l 忍。一n u g ( s ，r ) ，0 t t q q q z z z 正解存在的充分条件，并且运用线性算子的扰动理论和分歧解的稳定性理论证明 了共存解在适当条件下是稳定的 第三章讨论了( 2 ) 的周期系统运用抛物型方程比较原理和稳定性理论讨论 了该系统半平凡周期解的存在性和稳定性，同时利用l e r a y - s c h a u d e r 度理论得到 了( 2 ) 正周期解存在的充分条件 关键词c h e m o s t a t 极值原理分歧稳定周期解 i i p r o p e r t i e so fs o l u t i o n st ot w o k i n d so fu n s t i r r e d c h e m o s t a tm o d e l w a n gl i - j u a n a b s t r a c ts i n c ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e ) w e r eu s e dt od e s c r i b eb i o - l o g i c a lr e g u l a t i o n sa n dp h e n o m e n a ，m a n ys c h o l a r sa n ds p e c i a l i s t sh a v eb e e np a y i n g m o r ea t t e n t i o nt op d ea n dm a n yn e ws u b j e c t sh a v eb e e ne s t a b l i s h e dw h i c hh a v e m o r er e a l i t yb a c k g r o u n d s ，o n eo fw h i c hi sc h e m o s t a tm o d e l i nt h i sp a p e r ，t w ok i n d so fu n s t i r r e dc h e m o s t a tm o d e l sa r ed i s c u s s e d o n ei sa n u u s t i r r e dc h e m o s t a tm o d e lw i t ht w on u t r i e n t s t h e r ea r et w og r o w t h l i m i t i n gn u t r i e n t sa n da m i c r o o r g a n i s md e p e n d i n gn u t r i e n t sw h o s ec o n c e n t r a t i o n sa r ed e n o t e d b y 最ra n du t h es y s t e mt a k e st h ef o r m ： & = d o 足。一m u f ( s ，r ) 兄= d l 如。一n u g ( s ，r ) ，0 0 u l t = d l a u l4 - u l ( f f f s ) 一1 ) ，z q ，t 0( 2 ) u 2 t = d 2 a u 2 + 珏2 ( ，2 ( s ) 一南2 ) ，z q ，t 0 w h e r ed oi st h ed i f f u s i v ec o e f f i c i e n tf o rt h en u t r i e n ts ，d l ，d 2a r et h er a n d o mm o t i l i t y c o e f f i c i e n to fm i c r o b i a lp o p u l a t i o n s 也l ，乱2w i t hd e a t hr a t ek 1a n d 女2 ，r e s p e c t i v e l y ，2a r et h eg r o w t hr a t e so fu i ，u 2 ，r e s p e c t i v e l y t h et h e s i si sm a d eu po ft h r e ec h a p t e r sa n dt h ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n st ot w o k i n d so fu n s t i r r e dc h e m o s t a tm o d e l sa r ei n v e s t i g a t e d i nc h a p t e r1 ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o r ( 1 ) w i t hs a m ed i f - f n s i v ec o e f f i c i e n ti si n v e s t i g a t e d b yu s i n gt h em a x i m u mp r i n c i p l e ，t h em o n o t o n e i i i m e t h o da n dt h e o r yo fp e r i o d i cp a r a b o l i co p e r a t o r s ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rc o e x - i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n si so b t a i n e d i nc h a p t e r2 ，w ef o c u so nt h es t e a d y - s t a t eo f ( 1 ) t h ep r i o rb o u n df o rp o s i t i v es o l u t i o n so fs t e a d ys t a t es y s t e mi so b t a i n e db yt h em a x i m u mp r i n c i p l ea n d t h em o n o t o n em e t h o d f u r t h e r ，w ed i s c u s st h eg l o b a ls t r u c t u r eo ft h ec o e x i s t e n c e s o l u t i o n st ot h es y s t e mb yu s i n gb i f u r c a t i o nt h e o r y t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h ec o e x i s t e n c es o l u t i o n so ft h ec h e m o s t a tm o d e la x ee s t a b l i s h e d t h el o c a ls t a b i l - i t yf o rt h ec o e x i s t e n c es o l u t i o n si so b t a i n e db yt h ep e r t u r b a t i o nt h e o r e mf o rl i n e a r o p e r a t o r sa n dt h es t a b i l i t yt h e o r e mf o rb i f u r c a t i o ns o l u t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ec o e x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o r ( 2 ) b ym e a n so fc o m p a r i s o nt h e o r e m sf o rp a r a b o l i ce q u a t i o na n ds t a b i l i t yt h e o r y , t h e e x i s t e n c ea n ds t a t ) i l i t yo fs e m i t r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o n st ot h es y s t e ma r ed i s c u s s e d m e a n w h i l e as n 箍c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ec o e x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s f o r ( 2 ) i so b t a i n e db yt h et h e o r yo fl e r a y - s c h a u d e rd e g r e e k e y w o r d s c h e m o s t a tm a x i m u mp r i n c i p l e b i f u r c a t i o n s t a b i l i t y p e r i o d i cs o l u t i o n i v 学位论文独创性声明 y 9 0 0 g 5 1 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意 作者签名：王垒l 查目 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版 作者签名l 王型堡日期 矾，i 前言 c h e m o s t a t 又称为恒化器，是一个用于连续培养微生物的实验装置实践证 明，对c h e m o s t a t 模型进行数学分析是可行的，模型中的参数是可测的，且有关 实验是合理的，详细的介绍参看文献【1 在这个基本的实验装置中，一种或多种微生物在一个培养器中生长，让微生 物生长的营养物以固定的速率被抽到培养器中，同时以同样的常速率将培养器中 的物质( 营养物和微生物的混合物) 抽出以保持其容量不变其中培养器中的物质 被均匀搅拌当有多种营养物时，可分为两种情况第一种情况是几种营养物在反 应中缺一不可，每一种营养物都为微生物的生长提供不同的需求，例如一种碳和 一种氮气这样的营养物被称为互补的( c o m p l e m e n t a r y ) 2 - 4 第二种情况是几种 营养物中只需其中任意一种营养物，就可使微生物生长，即它们对微生物的生长 起着相同的作用如两种碳或两种氮气，都被称为可替代的( s u b s t i t u t a b l e ) 2 【3 】【5 】， 在文献【2 7 中对上述两种情况都有详细的介绍 本文第一、二章研究第二种情况下无搅拌的c h e m o s t a t 模型解的性质令 s ( t ) ，r ( t ) 表示在时刻t 营养物的浓度，仳( ) 表示在时刻t 微生物的浓度，在均匀 搅拌的情况下，有微分方程组 s ；= ( s o s ) d 一嚣u ，( s ，r ) 风= ( 兄。一r ) d 一；n 。u g ( s ，r ) ( o 1 ) 让t = ( 一d + m f ( s ，r ) + n g ( s ，r ) ) “。 其中m = m s k s ，礼= m n k r ，反应函数是m i c h a e l i s m e n t e n 函数的一个推广 ，( s r ) 5 硐s 帮2 志 g ( s ，r ) 5 南2 赤 m s 0 是无营养物r 时微生物的最大生长率，k s 0 是相应的半饱和常数， 常数m r 0 ，k r 0 的定义类似 在均匀搅拌的假设下，对于上述的c h e m o s t a t 模型已经作了大量的研究 s - x 2 ， 本文将讨论具有双营养物的无搅拌c h e m o s t a t 模型，类似只有一种营养物的无搅 拌c h e m o s t a t 模型【1 3 2 2 】，系统可由一组反应扩散方程来描述： & = d & 一嚣乱，( s ，r ) 忌= d 兄。一蠡“9 ( s ，r ) 0 z 1 ( o 2 ) 虬t = d u x 。+ u ( m f ( s ，r ) + n g ( s ，r ) ) 通过无量纲代换可得到 咒( 1 ，t ) + 7 s ( 1 ，t ) = 0 见( 1 ，t ) + 7 r ( 1 ，t ) = 0 ( 0 3 ) ( 1 ，t ) + 7 u ( i ，t ) = o 雪= s s o ，壶= r r 0 ，霞= u y s s o ，画= a s o 5 = b s o ，伉= m s o ，_ l = n y s s o y r ，c = y r r o y s s o 为了方便，我们仍用s 等代替雪等，则方程组( o 2 ) ( o 3 ) 可以写成如下形式： s t = d s z z m u f ( s , r 、 r = 如。一n u g ( s ，兄) ，0 0 u l t = d i a u l + u l ( i i ( s ) 一七1 ) ，z q ，t 0 让2 t = d 2 a u 2 + u 2 ( 厂2 ( s ) 一) ， z q ，t 0 2 ( 0 7 ) 鹕捌吼 | i = = 砷钟幻她叭崛 为件条界边 边界条件为 初始条件为 篓+ b o ( x ，t ) s = s o ( z ) ， 。m o ( 0 8 ) 等警+ b i ( x ，t ) u i = 0 ( i = 1 ，2 ) ，z a q ，t 0 、 s ( x ，0 ) = 岛( z ) o ，札t 扛，0 ) = 让t o ( z ) 0 ，0 ，茁q 其中n 是r 中具有光滑边界a q 的有界区域，s 表示营养物的浓度，u 1 ，u 2 分 别表示两种微生物的浓度对于这个模型，在扩散系数相等且忽略死亡率的情况 下，许多学者已经进行了大量的研究，取得了一系列非常好的结果如文献【1 3 给出系统( o 7 ) 一( o 8 ) 在一维空间的方程和适当的边界条件，利用分歧理论讨论了 其方程在给定边界条件下的局部分歧文献【1 5 】研究了方程( o 7 ) ( 扩散系数相等 且忽略死亡率) 和给定的边界条件在一维空间解的渐近行为，并得到解的稳定性 ，主要运用的是极值原理、无限维动力系统的一致持续理论文献f 2 2 首先利用 单调方法和广义极值原理将文献【1 3 】中的一些结果推广到维空间，然后运用 分歧理论讨论了文献【1 3 中所研究的系统在维空间平衡态解的全局分歧及其 解的稳定性在本文第三章，我们将运用抛物型方程比较原理和稳定性理论讨论 ( 0 7 ) 一( 0 8 ) 半平凡周期解的存在性和稳定性，同时利用l e r a y - s c h a u d e r 度理论得 到其正周期解存在的充分条件 3 第一章双营养物的c h e m o s t a t 模型正周期解的存在性 1 1 引言及预备知识 c h e m o s t a t 模型的研究对污水处理，微生物培养，生物制药，食品加工及其它 领域都有重要的作用因此人们对其进行了广泛地研究目前关于只有一种营养 物的c h e m o s t a t 模型的研究很多，而对于双营养物的c h e m o s t a t 模型并不多见 对于本文研究的一类双营养物的c h e m o s t a t 模型( o 4 ) 一( o 6 ) ，本章我们主要考虑方 程( o 4 ) ( o 6 ) 的周期问题 s t = d & 。一m 珏，( s ，r ) ， r t = d 忌。一n u g ( s ，r ) ，0 x 0 ( 1 1 1 ) 毗= d u 。+ 牡( m ，( 鼠r ) + c n g ( s ，r ) ) ， 边界条件为 ( o ) = 一1 ，& ( 1 ) + 7 s 0 ) = 0 ， 兄( o ) = 1 ，兄( 1 ) + 7 r ( 1 ) = 0 ( o ) = o ，u 。( 1 ) + 7 u ( 1 ) = 0 ， ( 1 1 2 ) 并满足 s ( x ，t ) = s ( x ，t + t ) ，r ( x ，t ) = r ( x ，t + t ) ，u ( x ，t ) = u ( x ，t + t ) ，0 z l ，( 1 1 3 ) 其中 f ( s ，r ) = s ( 1 + a s + b r ) ，g ( s ，r ) = r ( 1 + a s + b r ) 令( 1 + c ) z = s + c r + u ，则g 满足方程 施= d z 衄，0 $ 0 ( o ) 一1 ，( 1 ) + 7 z ( 1 ) = 0 ， ( 1 1 4 ) z ( 。，t ) = z ( z ，t + t ) ，0 z 0 显然，方程( 1 1 4 ) 有惟一正周期解，记为z ( x ，t ) a 是l a p l a c e 算子 记q t ：= ( 0 ，1 ) 【0 ，t 】，令0 p 1 ，记 x = 叫g m 2 ( o ，l 】r ) ：w ( x ，t ) = w ( x , t + t ) y ：= a 2 + “，1 + p 2 ( 【0 ，1 1 r ) ：w 。( o ) = o ，伽。( 1 ) + 1 叫( 1 1 = 0 ，训( z ，t ) = 叫扛，t + t ) ) 又记l 为空间x 上的线性算子，值域d ( l ) = e 使得 l ：= 侥一d a + q ( x ，t ) 4 其中口x 是t 一周期的记三的主特征值为a l ( g ) ，它对应的特征函数是正的 引理1 1 1 【2 4 假设g l ，q 2 x ，且q l 9 2 ，那么有a 1 ( 9 1 ) a 1 ( 9 2 ) 考虑下列抛物型系统 t 1 1 i t 一王，w 缸$ = ( z ，t ，w ) ，0 z 0 t o i 。( o ) = 0 ，w i 。( 1 ) + 7 w t ( 1 ) = 0( 1 1 5 ) w i ( x ，t ) = t 7 i ( z ，t + t ) ，0 z 1 ，t 0 ，i = 1 ，2 ，p 其中”，y 是正常数，m 是光滑函数，且关于t 是t 一周期的假设h = ( 九，) 是拟单调不减的，即对于固定的伽t ，矗关于所有的，j i 是不减的， _ i = 1 ，2 ，p 定义若函数膏= ( 西1 ，奶) 满足 西扎一面i 。h i ( x ，t ，膏) ，0 o 0 西缸( o ) 0 ，如( 1 ) + ，y 面 ( 1 ) o( 1 1 6 ) 西i ( z ，t ) 戗( z ，亡+ t ) ，0 岱 1 ，t 0 ，i = 1 ，2 ，p 则函数膏= ( 西1 ，奶) 是系统( 1 1 5 ) 的上解类似地，若亩= ( 西l ，奶) 满足 西计一t 妃z 也( 卫，t ，前) ，0 z 0 曲妇( o ) 兰0 ，国珏( 1 ) + 7 曲l ( 1 ) 0( 1 _ 1 7 ) 曲l 扛，t ) 墨觑( o ，亡- l t ) ，0 0 ， 且满足或者0 s z ，0 r = 或者s = 冗亍z 引理1 i 3 的证明参看文献 2 3 】 令s = z s ，r = z r ，由引理1 1 3 知，0 s z ，0 r 。或者s = r = 0 ， 且8 ，r 满足方程 s t = d s z + m ( s + c r ) f ( z s ，z r ) ， r t = d r 。z + n ( s + c r ) 9 0 一s ，z r ) ， 如( o ) = 0 ，岛( 1 ) + 7 s ( 1 ) = 0 ， 疋( o ) = 0 ，艮( 1 ) + 7 r ( 1 ) = 0 ， s ，t ) = s ，t + t ) ，r ( x ，t ) = r 扛，t + t ) 5 0 z 0 0 z 0 0 z 1 ，t 0 ( 1 1 8 ) 1 2 特殊情形 在这一部分，我们令m = 礼，s ( z ，0 ) = r ( z ，0 ) 来考虑系统( 1 1 8 ) 令w = s r ，那么叫满足方程 l i t = d w z $ 一g ( 。) 叫，0 0 w ( x ，t ) = w ( x ，t + t ) ，0 ? n o = a o ( i + c ) ，则方程( 1 2 1 ) 存在一个正周期解 证明令i = z ，s = o ，则i ，量分别是方程( 1 2 1 ) 的上下解事实上， 魂一d 。一m ( 1 + c ) z ，( z z ，z z ) = 0 舞( o ) = 1 0 ，。o z 、1 ) + 7 z ( 1 ) = 0 ， z ( x ，t ) = z ( x ，t + t ) o 一出九。一m ( 1 + c ) e ，( z 一西o ，z e o ) = a o c 庐o f ( z ，z ) 一m ( 1 + c ) 咖o 厂0 一o ，。一e 咖o ) 由于m m o = i o ( i + c ) 即仇( 1 + c ) 入o ，所以对于充分小的，上式墨0 根据 引理1 1 2 知，方程( 1 2 1 ) 存在一个正周期解s 且满足o s z 6 q 2l ，l o 0 一 1 1 一 ! l 1 a o ( 1 - f c ) ，只要6 充分小，则鱼一d 岛。一m ( 苎+ 岫，p 一量，z - 曲 一 t 1 1 z 0 茁 0 0 第二章双营养物的c h e m o s t a t 模型正解的 存在性和稳定性 2 1 引言 第一章我们研究了双营养物的c h e m o s t & t 模型周期解的性质 般的扩散系数不同且带有死亡率的平衡态系统， d 0 。一m u f ( s ，r ) = 0 ， d 1 如。一n u g ( s ，冗) = 0 ，0 o 1 d 2 u 。+ u ( m ，( s ，r ) + c n g ( s ，r ) 一k ) = o ， 边界条件为 本章考虑更一 ( 2 1 1 ) ( o ) = - 1 ，( 1 ) + 7 0 s ( 1 ) = 0 ， 忍( o ) = 一1 ，风( 1 ) + 7 t r ( 1 ) = 0 ， ( 2 1 2 ) 乱。( o ) = 0 ，让。( 1 ) + 7 2 u ( 1 ) = 0 ， 讨论其正解的存在性和稳定性其中 ，( s r ) = 影( 1 + a s + b r ) ，g ( s ，r ) = r ( 1 + a s + b r ) 当r = 0 ，= 0 时，s ( z ) 满足 d 0 & = 0 ，0 z o ，z 1 0 ，1 】 当s = 0 ，仳= 0 时，冗( 。) 满足 d 1 甩。= 0 ，0 口 0 ，t 【0 ，1 j 若方程组( 2 1 1 ) 一( 2 1 2 ) 有非负解( s ( z ) ，冗( 。) ，( 。) ) ，由椭圆型方程极值原理 知，0 s ( 。) 之s + ( z ) ，0 r ( z ) r + ( z ) 令咖( 霉) = s ( z ) 一s ( 。) ，u l ( x ) = r + ( z ) 一r ( z ) ，u 2 ( x ) = u ( g ) ，于是方程组 ( 2 1 1 ) 可变换为如下形式 一d o 札o = m , l l , 2 ( s + 一让o ，r + 一u 1 ) ， 一d l u l 。= n t l , 2 9 ( s + 一札o ，r 一1 ) ，0 z o 满足特征值问题 + a g ( z ) 妒= 0 ，茹q 纂+ 7 ( z ) = o ，$ a q ， 则( 2 2 1 ) 的所有特征值可排列为 0 a l ( q ) 0 ，l i 1 ( z ) lj = 1 ，茁西且比较原理成立：若吼( z ) q z ( x ) ，则( 吼) ( 啦) 特别地，如果 q l ( 。) 9 2 ( z ) ，则a j ( q 1 ) ( 啦) ，j = 1 ，2 9 单重特征值的局部分歧定理 定理2 2 2 2 z l 令x ，y 是b a n a c h 空间，u 是r x 的一个开子集，f c 2 ( 以y ) 假设对于任意的a r ，方程f ( a ，钍) = 0 满足f ( a ，0 ) = 0 记 l o = 仇f ( a o ，o ) ，l 1 = d _ ) , d j ( a o ，0 ) 若下列条件成立； ( i ) n ( l o ) 是由i t 0 张成的一维空间，即n ( l o ) = s p a n u o ； ( i i ) r ( l o ) 的余维是1 ，即c o d i m r ( l o ) = d i m ( y r ( l o ) ) = 1 ； ( i i i ) 工l 咖隹r ( l o ) 则存在一个正常数6 和一个g 1 曲线( a ，妒) ：( 一6 ，6 ) _ r z ，使得a ( o ) = a o ，妒( o ) = 0 ，对i8i 0 ，b o 满足当0 lb - b oi 时，一k ( b ) 可逆假 如i ( t ( b ，) ，0 ) 在( b o g ，b 0 ) 和( b o ，b a + e ) 上为常数，且当b o 一 b l b o b 2 0 且 目l ( ) l i = 1 d 2 翼+ ( m ，黑，舻) + ? ( 矿，彤) ) q 2 却，o $ 1 ， ( 2 3 1 ) 仉( o ) = 0 ，( 1 ) + 7 2 叩( 1 ) = 0 ， 、 令豇是下述特征值问题的主特征值 吼。+ m ( s + ，r 4 ) q = 0 ，0 0 引理2 3 1 若k m i ( s + ，口) + c n g ( s + ，彤) ，0 z 0 ，使得0 k 豇d 2 ，则( ”，0 ，0 ，0 ) 是方程组( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 的一个分歧 点，且在( ”，o ，0 ，o ) 的某个邻域内该方程组存在正解 证明 令l ( ”，o ，0 ，0 ) = d g ( 。) ( a + ，0 ，0 ，o ) ，则 由三( ”，0 ，0 ，o ) ( u ，骼田) = 0 可知 d o c o 。+ m ，( s + ，r + ) 町= 0 ， d 1 ) b 。+ n g ( s + ，r + ) 町= 0 ，0 z o 及一个c 1 函数( 自( s ) ，妒( s ) ，砂( s ) ，p ( s ) ) ： ( 一6 ，6 ) _ r x 满足k ( 0 ) = ，( o ) = 0 ，币( o ) = 0 ，o ( o ) = 0 ，且咖( s ) ，妒( s ) ，p ( s ) z 其中x = z0n ( l ( a + ，0 ，0 ，o ) ) ，即( 七( s ) ，让o ( s ) ，札1 ( s ) ，u 2 ( s ) ) = ( ( s ) ，s ( w l + 曲( s ) ) ，s ( x t + 砂( s ) ) ，s ( 田- + p ( s ) ) ) 满足g ( 七( s ) ，乱o ( s ) ，札- ( s ) ，也。( s ) ) = 0 因此 ( 七( s ) ，u o ( s ) ，札1 ( s ) ， 2 ( s ) ) ( i si 6 ) 是( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 的解 由定理2 3 2 知，方程组( 2 1 i ) ( 2 1 2 ) 有正解陋( s ) ，r ( 8 ) ，让( s ) ) ，( o 0 ，0 0 ，。【o ，01 令f ( k ) = d ( 。o m m ) t ( ，o ，0 ，o ) = ( f l ，毋，f 3 ) ，其中 f 1 ( u ，) ( ，叼) = m ( ，( s + ，r + ) 叩) ， f 2 ( u ，) ( ，叼) = n 硷( 9 ( s + ，r + ) 叼) ， 忍( u ，x ，7 ) = 恐( ( m ，( s 4 ，冗+ ) + c n g ( s 4 ，r + ) 一后) 7 7 ) ， 假设a 1 是f ( k ) 的特征值，对应的特征函数为( u ，x ，叩) ，则 m k o ( ，( ，彤) 叩) = a u ， n k l ( 9 ( s + ，r + ) 叩) = a x ，0 石 1 k 2 ( ( m f ( s + ，r + ) + c n g ( s + ，r + ) 一自) 叩) = a 叩 】3 边界条件 o , j 。( o ) = 0 ，c o = ( 1 ) + 加u ( 1 ) = 0 ( o ) = o ，( 1 ) + 7 1 x ( 1 ) = 0 ( o