（基础数学专业论文）对称函数的组合性质与应用研究.pdf

r e s e a r c ho nc o m b i n a t o r i a lp r o p e r t i e so fs y m m e t r i c f u n c t i o n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s b s t i a n s h u in o r m a lu n i v e r s i t y 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e m a s t e ro fs c i e n c e p u r em a t h e m a t i c s i nt h e l s n z h o uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y p r o f e s s o ry a n gs h e n g l i a n g m a y 2 0 1 1 舢5 6 5 5舢8舢8 圳 肿y 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明 所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果 除了文中特别加以标注引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体 均已在文 中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名 嘘秀壹 日期 驯年乡月髫日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 l i p 学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 同时授权中 国科学技术信息研究所将本学位论文收录到 中国学位论文全文数据库 并通过 网络向社会公众提供信息服务 作者签名 咳毒益 导师签名 身名椎 日日 q口 肘勺 名 年年 砂硼 期期 录 l u 1 u 第一章引言 1 1 1 研究现状 1 1 2 基本概念和基本性质 2 1 3 对称函数与带权路径问题 3 第二章初等对称函数 完全对称函数与幂和对称函数的性质 1 0 2 1 三种特殊对称函数之间的关系 1 0 2 2 行列式表示 1 3 第三章对称函数矩阵与v a n d e r m o n d e 矩阵 1 7 3 1 对称函数矩阵的分解 1 7 3 2v a n d e r m o n d e 矩阵及其逆矩阵的分解 2 3 3 3v a n d e r m o n d e 矩阵的逆矩阵与其转置矩阵的关系 2 7 结论与展望 3 1 参考文献 3 2 致谢 附录a 攻读学位期间所发表的学术论文目录 3 5 3 6 摘要 对称函数理论是代数组合学中的一个重要研究领域 它主要研究对称群和对称 多项式的代数性质和组合性质 本论文主要研究三种特殊对称函数 初等对称函数 完全对称函数 幂和对称函数的一些组合性质 并得到了这些性质的一些应用 具体 内容如下 第一章主要介绍了本文的三个研究对象 初等对称函数 完全对称函数和幂和 对称函数 介绍了它们的定义 基本性质以及研究状况 最后给出了它们的一种组 合解释 第二章给出了三种特殊对称函数的一些性质以及它们之间的关系 同时得到了 一些包含二项式系数和两类s t i f l i n g 数的恒等式 第三章给出了初等对称函数矩阵和完全对称函数矩阵的分解 作为应用得到 t v a n d e r m o n d e 矩阵及其逆矩阵的分解 最后讨论了v a n d e r m o n d e 矩阵的逆矩阵与 其转置矩阵的关系 关键词 对称函数 p a s c a l 矩阵 s t i r l i n g 矩阵 v a n d e r m o n d e 矩阵 初等对称多项式 矩阵 完全对称多项式矩阵 a b s t r a c t s y m m e t r i cf u n c t i o nt h e o r yi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l d si na l g e b r a i cc o m b i n a t o r i c s i tm a i l l l ys t u d i e st h ea l g e b r a i c a la n dc o m b i n a t o r i a lp r o p e r t i e s o fs y m m e t r i cg r o u p sa n ds y m m e t r i cp o l y n o m i a l h e r ew es t u d yt h ec o m b i n a t o r i a lp r o p e r t m sa n da p p l i c a t i o n so ft h r e ep a r t i c u l a rs y m m e t r i cf u n c t i o n s e l e m e n t a r y s y m m e t r i cf u n c t i o n c o m p l e t es y m m e t r i cf u n c t i o na n dp o w e rs u ms y m m e t r i c f u n c t i o n t h ec o n t e n ti sa sf o l l o w s c h a p t e r1o ft h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt oi n t r o d u c i n gt h et h r e ep r i m a r yr e s e a r c ho b j e c t so ft h i sp a p e r e l e m e n t a r ys y m m e t r i cf u n c t i o n c o m p l e t es y m m e t r i c f u n c t i o na n dp o w e rs u ms y m m e t r i cf u n c t i o n t h e i rd e f i n i t i o n b a s i cp r o p e r t i e sa n d t h er e s e a r c hs i t u a t i o na r ei n t r o d u c e d f i n a l l yt h e i rc o m b i n a t o r i a li n t e r p r e t a t i o n s a r eg i v e n i nc h a p t e r2 s e v e r a ln e wp r o p e r t i e so ft h r e ep a r t i c u l a rs y m m e t r i cf u n c t i o n sa n d r e l a t i o n s h i p sa m o n gt h e ma r eo b t a i n e d m e a n w h i l es o m ei d e n t i t i e sw h i c hi n v o l v i n g b i n o m i a lc o e f f i c i e n t sa n ds t i f l i n gn u m b e r sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 t h ef a c t o r i z a t i o n so ft h ee l e m e n t a r ys y m m e t r i cp o l y n o m i a lm a t r i x a n dc o m p l e t es y m m e t r i cp o l y n o m i a lm a t r i xa r eo b t a i n e db y 璐i n gt h er e c u r r e n c e r e l a t i o n sa m o n gt h e i re l e m e n t s t h ef a c t o r i z a t i o n so fv a n d e r m o n d em a t r i xa n di t s i n v e r s ea r eo b t a i n e db yt h ee l e m e n t a r ys y m m e t r i cp o l y n o m i a lm a t r i xa n dc o m p l e t e s y m m e t r i cp o l y n o m i a lm a t r i x f u r t h e r m o r eac o n n e c t i o nb e t w e e nt h ei n v e r s ea n d t r a n s p o s eo ft h ev a n d e r m o n d em a t r i xi se s t a b l i s h e d k e yw o r d s s y m m e t r i cf u n c t i o n p a s c a lm a t r i x s t i r l i n gm a t r i x v a n d e r m o n d e m a t r i x e l e m e n t a r ys y m m e t r i cp o l y n o m i a lm a t r i x c o m p l e t es y m m e t r i cp o l y n o m i a l m a t r i x 符号说明 下面给出本文中常用符号代表的含义 1 二项式系数 2 s n k 第一类s t i r r i n g 数 3 s n k 第二类s t i r r i n g 数 4 8 q 礼 k 第一类q s t i r r i n g 数 5 岛 佗 k 第二类q s t i r r i n g 数 6 厶 l n 2 3 1 2 3 2 z n 对数多项式 7 k k 0 l z 2 2 3 n 完全b e l l 多项式 8 r p a s c a l 矩阵 9 q q p a s c a l 矩阵 1 0 厶 第一类s t i r r i n g 矩阵 1 1 第二类s t i r r i n g 矩阵 1 2 厶 z l t n 初等对称多项式矩阵 1 3 孕厶k o z 1 z n 完全对称多项式矩阵 1 4 k v a n d e r m o n d e 矩阵 一章引言 1 研究现状 在组合数学领域 对称函数理论是一门交叉性非常强的数学分支 在有限群表 示论 代数几何 李代数 多项式方程理论 特殊函数和理论物理等方面有着广泛 的应用 组合方法对揭示对称函数的本质和性质有着重要的作用 利用组合方法研 究对称函数理论是目前组合数学的研究热点之一 早在1 6 2 9 年 g i r a r da l b e r t 1 6 在其著作 i n v e n t i o nn o u v e u ee nl a l g e b r e 一 书中给出了初等对称函数 与幂和对称函数m 之间的显式关系式 1 9 7 9 年 m a c d o n a l di a ng r a n t 2 2 在其著作 s y m m e t r i cf u n c t i o n sa n dh a l lp o l y n o m i a l s 中系统地阐 述了对称函数的一些性质 s t a n l e yr p f 3 4 在 e n u m e r a t i v ec o m b i n a t o r i c s 中从划 分的角度研究了对称函数的一些性质 最近 文献f 1 4 1 从偏导数的角度给出了初等对 称函数 完全对称函数以及幂和对称函数的一些性质 并且得到了这些性质的一些应 用 文献 5 9 2 1 2 7 详细地讨论了初等对称函数和完全对称函数的性质 文献f 3 6 1 利 用对称函数的行发生函数和列发生函数得到了初等对称函数矩阵与完全对称函数矩 阵的分解 更多有关对称函数矩阵与p a s c a l 矩阵 s t i r l i n g 矩阵以及v a n d e r m o n d e 矩 阵之间关系的文章参见文献 1 1 1 3 2 8 3 0 3 3 有关对称函数与对称群之间联系的文 章可参见 1 9 2 0 3 4 1 1 9 世纪8 0 年代以来 人们对v a l i l d e r m o n d e 矩阵及其各种推广矩阵做了大量的研 究 例如 寻求它的行列式值 求逆 求位移结构 推导各种分解形式等 同时 也在 努力地寻求和证明它在各种领域里的应用价值 其实 矩阵的应用是多方面的 不仅 在数学领域里 而且在力学 物理 科技 网络等方面都有十分广泛的应用 甚至在 经济管理 金融 保险 社会科学等领域 矩阵理论和方法也有着十分重要的应用 电子计算机及计算数学的迅速发展更是为结构矩阵的应用开辟了广阔的前景 t 矩阵理论中有许多结构特殊 性质优美且应用广泛的特殊矩阵 v a n d e r m o n d e 矩 阵就是其中的一个重要类型 它具有独特的造型 简洁的形式 更具有广泛的应用 例如 v a n d e r m o n d e 矩阵在插值问题中的应用 研究v a n d e r m o n d e 矩阵的分解有助 于研究v a n d e r m o n d e 方程组的数值解的快速算法 v a n d e r m o n d e 行列式在计算行列 式方面的大量应用以及与多项式 线性方程组之间的相互应用等 近年来 v a n d e r m o n d e 矩阵的各种推广形式及其逆矩阵的分解得到了广泛而深 入的研究 文献 2 1 得到t v a n d e r m o n d e 矩阵及其逆矩阵的下三角分解 文献 17 1 得 到t c a u c h y v a n d e r m o n d e 矩阵及其逆矩阵的下三角分解 文献f 2 5 2 6 进一步研究了 该矩阵的双对角分解 从而为求解以该矩阵为系数矩阵的线性方程组提供了快速而 简洁的算法 文献 1 0 1 3 3 1 3 2 讨论t v a n d e r m o n d e 矩阵及其逆矩阵的l u 分解 文 1 对称函数的组合性质与应用研究 献 4 0 利用对称函数的理论进一步得至l j t v a n d e r m o n d e 矩阵的带状分解的显示表达 式 1 2 基本概念和基本性质 定义1 2 1 1 8 一个对称函数简记为s f 是一个有礼个变量2 1 z 2 z n 和系数 在域k 通常为 r 或c 中的多项式p z 1 z 2 x n 并且关于变元的任何一个置换 都不变化 即对于任意盯 s 佗 都有 p x l t 2 z n p x 叮 1 z 盯 2 z 叮 帕 定义1 2 2 1 2 4 3 7 1 设礼为正整数 对正整数r n 关于未定元z 1 勋 的r 次 初等对称函数定义为 e 钆 z n g k 2 z k l k l c c k 2 l z m 磊 1 萎孙舻2 磊 n l 或由下式定义 k 玩 七 y o l 其中玩 七为 指数型的 部分b e l l 多项式 定义2 1 2 1 8 对数多项式l 定义为 l o g 鲰磊 l o g 1 9 1 汁仍三 厶荔 n 0n 1 其中卯 1 它是1 0 9 g 0 在z 口点的礼阶导数的展开式 并且满足 k l n 夕1 9 2 鲰 一1 扣1 七一1 风 k g l 夕2 l 0 o 1 k oe c t r 1 e 1r e r 鲁 比较两个等式中等前的系数即证 注1 令黾 1 i 1 2 n 则有k 佗 一l l n 21 扎 一31 扎 r 注2 令毛 i i 1 2 n 则有 k z 1 l z n 2 21 z n 3 r s n 1 n r 1 定理2 1 3 完全对称函数h r 与幂和对称函数阱有下面关系 1 办2 矗奇厶 1 2 h 1 21 h 2 31 h 3 其中厶 厶 z l x 2 为对数多项式 证明m z 2 式及对数多项式的定义有 l o g h t l o ge 函k 护 l o g 1 h z t h 2 t 2 h a p i o g 1 l h l 击 2 1 h 2 翕 3 1 h 33 鲁 el 11 h a 21 h 2 31 h 3 导 r 1 m 1 2 式和对数函数的运算性质得 l o g h t l o g n 1 1 一毛矿 1 e 1l o g 1 一甄圹1 一 罢 一1 卜1 生竽 墨 e x r t r r e 墨 肼譬 墨1 r 一1 肼等 比较上面两式中等前的系数可得p 一1 l p r 厶 11 九1 21 2 31 九3 从而定理得证 1 1 对称函数的组合性质与应用研究 注1 令孔 1 i 1 2 n 则有l 11 2 1 妄1 31 n 2 r 一1 n 注2 令戤 i i 1 2 n 则有 厶 11 s 佗 1 n 2 s n 2 n 31 s n 3 n p 一1 z n r 定理2 1 4 完全对称函数h r 与幂和对称函数办有下面关系 7 l r kp l 1 慨 2 概 其中k k 扛1 z 2 z 竹 为完全b e l l 多项式 证明由 1 2 式及对数函数的运算性质有 h t e x p l nh t e x p l nn 1 1 一 t 一1 e 叩 一 竺1i n 1 一黾t e x p n i 象 警 e 印 黧 加等 唧 1 一1 等 1 k p 1 11 p 2 21 p a 鲁 x c i t 于h t ok 矿 1 e 1r k 鲁 比较两个等式中务前的系数即证 注1 令 l i 1 2 佗 则有k n l n 21 几 31 n r n 1 注2 令筑 i i 1 2 n 则有 成立 即 k z m 1 l z n 2 21 z n 3 r s n ln 定理2 1 5 对于整数几 1 初等对称函数e r 与完全对称函数k 有下面关系式 证明m 1 1 和 1 2 式有 妻r 0e c z z 2 z h 5 一 r 1 e r 一t r e t h t 1 妻r 0 k c z z 2 z n 矿 i 2 1 比较最后一个等式两端护前的系数得 当扎 1 时 有 一1 re r k r 0 同理可证 当佗 1 时 一1 a t e n 一 0 注在 2 1 式中令毛 1 i q i 1 0 1 2 佗 分别得到一些正交关系式 娄 r 撒几 r 1 娄 扎二r 一 r 1 o o 叶 kd n 脚 r k d n 脚 1 n 越 一k 巴 厂 1一 脚 栅 硕士学位论文 娄c 砒 私n 1 口 塞 n n 7 乙礁 口 o 定理2 1 6 对于整数礼 1 初等对称函数e r 与幂和对称函狲有下面关系式 成立 嗡 一1 卜1 肼e l 一 2 2 证明由 1 1 和 1 3 式有 即 删 扣邵 鬻 t p 一t e t 类似于定理2 1 5 的方法即得结论 定理2 1 7 对于整数扎 1 完全对称函数k 与幂和对称函数肼有下面关系式 成立 佗k 肼k 一 2 3 r i 证明a 1 2 和 1 3 式有 t d l o g h 归鬻 即 t h t p t 日 t 类似于定理2 1 5 的方法即得结论 2 2 行列式表示 设f t 1 一x a t 1 一x 2 t 1 一z n t 则有 f t 1 一z l t 1 一x 2 t 1 一x n t 1 一e l t e 2 亡2 一1 ne n t n 又由于面石丽鬲b 而 1 l 2 亡2 k 护 故 1 h a t h 2 t 2 h t n 0 i l 1 rl ns佗 n nc 厂 1一 n 脚 n n n2c r l十 n1 ns 厂 l n 咖 对称函数的组合性质与应用研究 由多项式定理展开等式左端得 k 钳 一1 b e 卜 e 船 e k j e 幽 m d e t 1 1 e me r a 1 e 2e 1 同理可得 e m 一 垡捌 一1 硒九 1 静 k j e j k j m d e t 1 1 2 k 一1 1 kk 一1 九1 2 4 2 5 由 2 4 2 5 式可得初等对称函数 与完全对称函数h 2 n 的f f n 式关系式 e l2 1 10 0 九2 l 1 0 kk 一1k 一2 九1 k e l 1 e 2e 1 0 1 0 0 e n e n 1p n 2 e l 设g t t z 1 一z 2 t z 几 俨 c l t n 1 一i t 根据牛 顿 格林公式有 p r z z 1 r c l 2 c 2 i 1 c 1 0 0 l 0 r 一1 白一1c r 一2 白一3 1 1 4 r 岛 白一1c r 一2 c 1 2 6 硕士学位论文 曼曼曼曼曼曼量曼曼曼曼曼 曼蔓 曼曼曼 曼i 曼i i 曼曼曼蔓曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼 曼曼曼曼 曼曼曼曼曼曼曼 曼曼皇 曼曼 曼笪皇曼 曼 由西与白的对偶性可得 r 臼 p l 10 0 仇p l 2 0 p r 一1 办一2 肼一3 一1 肼肼一1p r 一2 p l 2 7 由 2 6 2 7 式可得到初等对称函数e l 完全对称函数k 与幂和对称函数p n 之 间的行列式关系式 n e n e l 2 e 2 一1 e l 一1 n e n 一1 加1 p n n k 10 0 e 1 1 0 e n 一2e n 一3 1 e n 一1e n 一2 e 1 p l 10 0 沈p l 2 0 p n 一1 尹h 一2p n 一3 n 一1 一1 一2 功 1 2 h 2 n 一1 h n 一1 n h n l 1 k 一2 h n 一1 p 1 1 0 忱p l 2 p n 一1p n 一22 一3 陬一1p n 一2 1 5 0 0 1 九1 0 0 一扎 1 p l 3 2 0 1 沪 尼无 故有 对称函数的组合性质与应用研究 由h 巧 j 一1 婆出r 业 i 1 且 耳 一1 r r 吉1 肼 q j 一1 1 r 1 6 p 1 r 1 r 二1 i r 二1 i l l 1 o o l卜 f 第三章对称函数矩阵与v a n d e r m o n d e 矩阵 3 1 对称函数矩阵的分解 p a s c a l 矩阵和两类s t i r l i n g 矩阵及其推广矩阵得到了广泛的关注 1 4 3 9 4 1 许多 学者从不同角度研究了这些矩阵的分解 由于把初等对称函数和完全对称函数中 的变量取成特殊值时 可得到二项式系数和两类s t i r l i n g 数 因此 类似于p a s c a l 矩 阵和两类s t i r h n g 矩阵 也可以定义初等对称函数矩阵和完全对称函数矩阵 s p i v e y m i c h a e lz 和y a n gy o n g z h i 汞j 用行发生函数和列发生函数得到了这两类矩阵的分解 本段中我们根据初等对称函数和完全对称函数所满足的递推关系式给出初等对称函 数矩阵和完全对称函数矩阵的分解 把有关p a s c a l 矩阵和两类s t i r l i n g 矩阵的分解作 为其特殊情况 p a s c a l 矩阵z 乙定义为 2 删 r c z 歹 薯 霎善亍 歹 o q p a s c a l 矩阵q 定义y j t 3 0 l 叫 一 狲刭 j 邳 1 1 0 兵它 其中 当t j 1 时 g 口 倒赢蝌 当歹 o 时 g 口 1 当j i 时 吼一o 愕纂 注 当g l 时 即南普通的p 嬲c a l l 矩阵r 第一类s t i r l i n g 矩阵厶和第二类s t i f l i n g 矩阵 分别定义为 4 3 9 厶c i j s i j 0l 霎善 i 歹 0 其它 又 j s 0 l 霎罢 i 歹 0 i 兵它 类似于这几类矩阵 初等对称函数矩阵厶x o x l z n 和完全对称函数矩阵咒n 陋o x l z n 分别定义为 k z t z n t j 1 时 矗七 和砖 分别定义为 z擎 ct 歹 一 雾三i 1 t 七 咒譬 ci 歹 z 圣三 j 1 t 七 由递推关系 3 1 3 2 可得初等对称多项式矩阵厶 x l z n 和完全对称多 项式矩阵 x o x l x n 的另外两种分解 定理3 1 3 初等对称多项式矩阵品 x l x n 和完全对称多项式矩阵他 2 7 1 x n 可分解为 厶x o x l z n m n 一1 陋o x l 一1 t o x l 从 一1x o x l z n 其中朋n 从分别定义如下 朋nct 歹 c一1 t 门 篙昂 雾三 主人厶ct 歹 毒 蓁 3 3 3 4 证明首先证明 3 3 由于两个下三角矩阵的乘积任为下三角矩阵 因此 只 对i 歹的情形证明等式两端矩阵的 t 歹 元相等 m 3 1 式 当i 1 时有 e x o x l x i k rp i 七 1 2 r x l a e k t x o z 1 t i k 一2 r 1 即 3 3 式右端矩阵 一1 x o x l x n 1 的 i 歹 元为 jm n t 七 一1 x o z 1 z n 一1 歹 一1 扣七l i p i 1 免 一1 扣s e k j 知 x l x k 一2 1 歹 兀 z p e k j x l 钆一2 1 j i 竺刮n 仁i 2 1 州 kx t e r i j x o 忍 x 2 j i k 一2 1 扛j e i j z o x l x i 一1 即等于 3 3 式左端矩阵的 t 歹 元 由 3 2 式 当i 歹时 3 4 式右端矩阵m 一l x l x 2 z 的 i 歹 元为 f 从 i k n n 一1 k x 2 x n 七 j jx 0 后 一j x l x 2 旭一j z o 2 7 1 即为 3 4 式左端矩阵的 i 歹 元 从而定理得证 1 9 打 对称函数的组合性质与应用研究 反复应用定理3 可得下面结论 定理3 1 4 初等对称多项式矩阵晶 g g l z n 和完全对称多项式矩阵他 x l 可分解为 品k o z 1 z n f 1 4 n u h a n 2 朋9 1 m 乎 x o z 1 一 z n m 1 m 2 膪 膪 m譬 歹 fc一1 t 兀篙一七 圣三 主j 七一1 m 七 t 歹 融 例3 1 1 当死 3 时 初等对称多项式矩阵e 3 x o z 1 x 2 z 3 和完全对称多项式 矩阵他x o x l x 2 z 3 的分解如下 n 3 z o x l x 2 x 3 九h i z x o o h 3 z o r 三2 l 瑶 瑞 0 1 x o x l 硕士学位论文 0 z o z 1 l z o z 1 k 黝 1 磅 x o x l 知 x l 2 2 住 阵 j f 3 x o x l x 2 z 3 还可分解为 岛k o x l x 2 x 3 l 1 l i 一跏 l i 铂现 f x o x l x 2 饨32 0 x l x 2 铂 z o z 1 z 2 九1 z o z 1 z 2 0 h o t ox三l x2 l 0 l 勋 对称多项式矩阵磊 x l x 2 z 3 和完全对称多项式矩 一 z o z 1 o 0 ll i ij l 0 0 1 o o o l l i 0 0 0 1 0 o 1 沈 0 l 研o 1 知0 0 0 0 1勉1j o 1 吼o o 0 0 1 1 知o 0 f 一 0 0 1 钆 o 1 知0 1 0 0 o 嚏 礴 3 0 0 0 l 陀 0 0 1 知 令 0 1 o 0 o 1 0 o 0 j 3 例 liiiiii 0 0 0 1 0 0 l o 1 嘞呐 o o 1 叼 o 1 吨毗 z o 1 l 1 嘞呐呐 o o 1 哪 0 1 0 0 1 0 o o fi 一 l l 0 0 o 1 o 0 1 嘧 一 z o l 锄帆 l 0 0 0 一 l ij 0 o 0 1 o o 1 吨 1 2 o 1 哪 叩 lii ll o 0 1 2 z 0 o 1 1 z o 1 研碹 1 0 a a i i ll iii 1 0 o 0 1 2 o 0 1 0 1 知瑶 l知瑶瑶 一 l oo o 1 oo o 1 o o o 仉2 i 1 1 哥1 0 1 0 i 1 o o o 1 o o o 1 o o o 1 o o o 1 o o o 1 o o o 对2 l 一哥1 0 1 0 l 1 oo o f 主o g 呈g 兰0j l 1 0 三0 三0 三o 1 oo o 1 oo o 注1 令如 z i 0 l n 则完全对称多项式矩阵咒nx o z 1 z n 与初等 对称多项式矩阵厶 z 1 z n 分别对应广义p a s c a l 矩阵r z 及其逆矩阵z 公1 x 1 注2 令孔 t t 0 1 n 则初等对称多项式矩阵晶k o z l x n 与完全 对称名项式钜阵钳 z 一 l 1 分别对应第一类s t 础n g 矩阵l 与第二娄s t 讪n g 矩 硕士学位论文 阵 于是可得到第一类s t i r l i n g 矩阵与第二类s t i r h n g 矩阵的分解 3 5 3 9 4 1 1 注3令x o o 忍 问 1 g q i t 1 2 礼 则初等对称 多项式矩阵厶 x l z 与完全对称多项式矩阵 n z o z 1 分别对应第一 类q s t i r l i n g 矩阵与第二类q s t i r l i n g 矩阵 相应的可得到第一类q s t i r l i n g 矩阵与第二 类q s t i r l i n g 矩阵的分解 3 0 3 2 v a n d e r m o n d e 矩阵及其逆矩阵的分解 v a n d e r m o n d e 矩阵是矩阵理论中的一个重要类型 它具有独特的造型 优美的形 式 在曲线拟合 插值问题和经济数学中有着广泛的应用 近年来 以v a n d e r m o n d e 矩 阵k 为系数矩阵的线性方程组的解法引起了广泛的关注 研究v a n d e r m o n d e 矩阵的 分解有助于研究v a n d e r m o n d e 方程组的数值解的快速算法 因此 许多学者对v a n d e r m o n d e 矩阵的分解产生了很大的兴趣 设风m 为实数域r 上次数不超过n 的关于z 的多项式向量空间 则集合b 1 l z z 2 矿 与b 2 渊o 吲 i x n 为风吲的两组基 其中纠o 1 i x r 扛一z o 扛一z 1 p z r 1 1 r n 考虑这两组基之间的关系 我们有下面 引理 引理3 2 1 对于m 0 1 n 有下面关系式成立 m 仇 一1 一七 一七 如 z 1 一 一1 矿 3 5 k o z m k 一七x o x l z 知 m 七 3 6 k o 证明对m 用数学归纳法来证明 当m 0 或m 1 时 结论显然成立 假 设仇 l 且i x m 1 一七e r i k x o x l 一1 矿 则有 叫m p m z z 仇 z 陋 m z 仇陋 m z 一1 m 一七e m k x o z 1 x m i z 七一 k o z 仇 z m 七 一k x o x l 一1 一 k o 一1 m 一七e m k x o x l x m i z 七 1 一 k o z m 1 m 一七e m k x o z 1 x m i z 奄 k o m 十1 i m 一七十1e m 一七 1 z o x l z m 一1 x k l k 0 z m 七e m k x o x l z m 一1 矿 对称函数的组合性质与应用研究 z m 1 一1 m 1z m e m z o z l x m 1 登 一1 一七 1 e m 一七十1 z o z 1 z m 1 z m e 仇一七 x 0z 1 z m 一1 z 七 一1 m 1 z e t n x 0 z l i 一 一1 登 一1 m k 1e m 一七 l z o z 1 z m 一1 z m z 七 z m 1 k l i 十j 一1 m 一七 1e m k l x 0 z l z m 一1 z m z 七 从而由数学归纳法结论成立 关系式 3 6 也可用数学归纳法来证明 显然m 0 或m 1 时结论成立 假 设仇 l 且z m k k x 0 z l 孤 h 七 则有 七 o z m 1 z z m z 危m 一七 x 0 1 1 1 z p 七 k 0 m 一七 x 0 z 1 z 七 zk 七 k 0 九m 一七 x 0 z l x k k 七 1 z 七 爿七 k 0 危m 一七 z o z 1 x k p 七 1 九m 一知 x 0 z l z 七 z 七陋 七 k 0k 0 rn 1 n h k l x 0 z 1 x k 纠七 x k k 一七 x 0 x l z 毛 吲詹 h o x 0 z 1 z m 1 陋 m 1 z o k x 0 m k l x 0 z l z 七一1 z 七九m k x 0 z l z 七 陋 七 k l k 1 x 0 k 一七十1 x 0 z 1 钆 七 x 0 x l 1 吲仇 l k l t r h 一1 危m 一七 1 x 0 z l z 南 陋 七 即由数学归纳法得证 注在引理3 2 1 中令x i 1 q i i 吲 i 0 1 n 一1 分别得到一些反演关 系 1 扛一1 1 七 一 矿 0 1 七 2 鲰 z 喜 一1 棚 抛七 矿 喜 口9 k z 其中历n z z 一1 z q z g n 一1 3 z n 1 n 一七8 n 七 z 七 z n s 佗 七 z 七 其中 z 仇 z z 一1 z 一2 z m 1 4 砖 1 驴七s q n k x 七 矿 岛 n 七 砖 其中砰 z 一 0 z 一 1 z 一 仇一1 引理3 2 1 说明基b 1 z z 2 矿 到基岛 k o 陋 1 k n 的转移矩 硕士学位论文 阵为初等对称多项式矩阵厶陋o x l z 忆 相应地 基岛到基b 1 的转移矩阵为完全 对称多项式矩阵 x l z n 即有 厶 3 7 3 8 在 3 6 式中 令z 巧 m i 则有弓 o 旭一七 x o x l z 七 b 七 i j 0 1 2 佗 于是有下面定理 定理3 2 1 v 缸d e r m o n d e 矩阵k 霉 可分解为k 厶碥 其中 n 为完全 对称多项式矩阵 p o x l z n 碥为上三角矩阵 其 i 歹 元为碥 t j b 巧一z o 一x 1 q 一毛一1 i j 任意的 z r m 可表示为 n z 巧 乃 z j o 其中缈 2 七 职彩毒裴 歹 o 1 n 为r m 的拉格朗日基 在 3 9 中 令 z i 0 1 n 我们有 g o z g l z 鲰 k g o z g l z g n 卫 c n 簖1 厶 g o z g l z 鲰p 3 9 3 1 0 3 1 1 lillliij 1 z 矿 0 1 n m m 旧 o 1 nm 嘲 l l z 矿 iiiiiilj 1 z 矿 l 1 z 矿 lilillii 1 z 矿 对称函数的组合性质与应用研究 比较 3 7 3 8 3 1 0 和 3 1 1 我们有 o 吲1 吲n g o z g l z 9 np 碥 g o z g l z 鲰扛 即基b 2 与拉格朗日基之间的转移矩阵为巩和嵋1 插值多项式加 可表 示为1 1 2 3 3 3 1 2 3 1 3 z t 0 x o r i x 1 1 fi x 0 x l x 2 i x 2 i x 0 x l x 2 z n i x n 3 1 4 其中k b z z o z x 1 z 一 一 且 f x o x l x 2 幻 兀 一x k k 0 七 l 3 1 5 定理3 2 2v a n d e r m o n d e 矩阵k 的逆矩阵可分解为v z l 珩1 g 1 其中c 二1 为 初等对称多项式矩阵晶k o t 1 z n 蝣1 为上三角矩阵 其 毛j 元为 证明 簖1 t 歹 g ix o x l 由于阢 z 1 i 舞继z i z k 故m 3 1 3 3 1 4 和 3 1 5 我们有 珩1 i j g ix o x l 巧 从而定理得证 例3 2 1 令佗 3 则有协 协 j 兀 甄一孤 k o 幻岛 0 i j 7 1 则当i j 时 g i x i 1 当i 歹时 夕t 0 曼纽 产l l 0 兀 却一2 女 k o k l 奇 酊1 g 1 0 l x o x l 0 0 l 若歹 i 若歹 i 0 0 0 靠 z o z l z z o x l x 21 o 1 n m m m 旧 一 h 玩 i i 幽 i i 儡 引 c 1 瑶遽1勉遽遽1观 靖l 瑶磊 j i l i ii 3 3v a n d e r m o n d e 矩阵的逆矩阵与其转置矩阵的关系 本节中给出v 抽d e m l o n d e 矩阵的逆矩阵k 1 的另外一种分解 建立 y v 9 1 与其转 置矩阵 嵋的联系 由于 驮 z k 骢ok i 舞 一 因此矩阵k 1 的 毛j 元为 1 崤1 i j 1 住一 e n j x o 2 7 1 z i 一1 z i 1 1 n 一 e n j x o x l z i 一1 x i 1 z 定义佗 l 阶矩阵w n 如下 z j c i j 0 1 佗 巩 i j 1 驴 e n j x o 2 7 1 x i 一1 x i 1 x n i j 0 1 n 由 3 1 6 我们有 k 1 砺1 比 舯d d i a g f i 一瓢 l r g 刀 疆 z 一z 七 七 瓢 nx n zkk o 七 l 七 o 七 n 3 1 6 3 1 7 3 1 8 z 聱 n 嘶 七 对称函数的组合性质与应用研究 引入n l 阶h a n k e l 矩阵 如下 一1 ne n 一1 n 一1e n l 一1 n 一2e n 一2 一1 n 一1e n l 一1 n 一2 e n 一2 一1 n 一3e n 一3 其中 的 i 歹 元为 嚣 i j 一卜 一 一e 1 l 1 n 叫一 e l i j 知 2 1 z n 若0 i n 0 j n i 0 其它 3 1 9 定理3 3 1 v a n d e r m o n d e 矩阵k 与其逆矩阵k 1 及其转置矩阵嵋有以下关系 式成立 懈 而k k 1 巧1 w t n t 其中比 分别为 3 1 7 3 1 9 所定义的矩阵 证明要证 3 2 0 只需证明下面等式成立 e l i x 0 x l 一1 x j i n 首先证明当j 几时上式成立 即证 3 2 0 3 2 1 一1 七e n 一 一七 z o z 1 z n 巧k i j 0 1 n 3 2 2 i i 一 知 z 1 一 z n 1 一1 七 牛七 z 1 一 z n z n k 江o 1 n 3 2 3 k 0 对i 用数学归纳法 由于 z o 一亡 x l t z n t 在上式中令t x n n l 一1 七e n l 一七 x 0 z 1 z n 护 e n 1 一知 z o z 1 z n z n k 0 llilllliij 1 0 0 0 1 吧 0 0 0 0 1 0 脚 脚 一 有州 脚 呵n 铷 x l 一1 一1 七e l 一七 z o z l z n z 罢 3 2 4 k o 即当i 0 时 结论成立 假设当i m 时 结论成立 即有 p t 竹i e n m z o x l 一1 一1 七 一m 一七 知 2 3 1 z k 0 则当i m 1 时 有 3 2 5 n 一仇 e n m z o z 1 z n 一1 芝二 一1 七e n m 一七 z o 2 1 z n z 妻 e n 一仇 z o z l z n k l 由 一m x o x l x n 1 一e t l m 知 x l z n 一z n e i m 一1 t o z l z n 一1 得 一z n 一m 一1 知 z l 一1 一1 七e l m 一知 z o x l 茁 z k l 等式两边消去x n 得 一e l 一一1 x 0 x l 一1 一1 南 一m 一七 x 0 x l 砖 k l 上式等价于 e n 一 l 一1 x o x l 2 3 n 一1 n m 一1 一1 七e n 一 n 一1 一七 知 z 1 z n z n k 3 2 6 即当i m 1 时结论也成立 从而由数学归纳法得证 定理3 3 2 设矗为 3 1 9 所定义的h a n k e l 矩阵 则有 商1 k 砺1 w a 1 g j 鬼 j n z o z 1 因此矩阵衙1 为h a n k e l 矩阵 其元素为完全对称函数 证明由 3 2 1 很容易得到 3 2 7 由 3 2 7 可得 3 2 7 3 2 8 脚 对称函数的组合性质与应用研究 筋 喜话厩南 喜砸翻 钆 其中 z x i j 因此当i 歹 扎时 有街1 i 歹 0 当i 歹 佗时 有衙1 i 歹 旭钾一nx o x l x n l 11 1 例3 3 1 令佗 3 则有协2 l 瑶x o z x i lz x 2 蟋x 3 i 现 d l 00 0 其中 1 x o x l 4 x 2 4 x 3 h 2 z 3 4 z i 4 建 霹 4 x o x l x o x 2 x o x 3 z l z 2 x l x 3 4 x 2 x 3 h a 葡 4 z i 4 z 4 z 2 z 2 0 x l z 3 2 2 z 3 2 3 z z o 4 z z 2 4 z z 3 4 z z o 4 z z 1 4 z a 1 3 4 z z o z z 1 z z 2 4 x o z l x 2 4 x o x l x 3 x o z 2 x 3 4 x l x 2 x 3 容易验证增 撼协 酊1 协巧1 w 功 现 如 研 1 1 1 1 z 玩 如 孙 钇 研 沈 钇 研 研 廊 幻 1 0 o o 斗 h 计 七七七 奄 嬲 嬲 嬲 砌 十 砌 宓 研 m 嬲 托托 知 知 她 孙现 研 知 知 知