（生物医学工程专业论文）反应扩散系统模拟与应用研究.pdf

a b s t r a c t r e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e mi so n eo ft h em o s ti n t e r e s t i n gi n t e r d i s c i p l i n a r yf i e l d s i n v o l v e di n t h ef i e l d so f p h y s i c s c h e m i s t r y b i o l o g y a n ds oo n m o s to f p r e v i o u sw o r k sw e r ef o c u s e do nt h e m e c h a n i s m sa n dc o n t r o lm e t h o d so f t h er e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m si nc e r t a i nf i e l d i nr e c e n ty e a r s r e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e mi sa t t r a c t i n gm o r ea n dm o r ea t t e n t i o na san e wm e t h o da p p l i e dt ot h e f i e l do f e n g i n e e r i n ga n d t e c h n i q u e sw i t ht h ed e v e l o p m e n t o f t h ei n t e r d i s c i p l i n a r ys t u d y i nt h i s d i s s e r t a t i o n w ea n a l y z et h ed y n a m i c so fal i g h t s e n s i t i v eb e l o u s o v z h a b o t i n s k y r e a c t i o n s y s t e m w i t ht h ec l a s s i c a lt w o v a r i a b l e sr e a c t i o nd i f f u s i o n e q u a t i o n s a n d p r e s e n t e v n l v e m e n tr e s u l t so fi m a g ep r o c e s s i n go nt h em e d i u m a n dt h e ns p e c i a lt y p e so fr e a c t i o n d i f f u s i o n e q u a t i o n s n o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o n s a r e d i s c u s s e di nd e t a i lf o r i m a g e p r o c e s s i n g s u c h a s e d g e e n h a n c e m e n ts m o o t h i n g n o i s er e m o v a l s h a r p e n i n g a n di m a g e s e g m e n t a t i o n a c c o r d i n gt o t h eu n d a m p n e s sa n dp a r a l l e l i s mo ft h ep r o p a g a t i n gw a v e so nt h e m e d i u m an o v e la l g o r i t h mw h i c hr e g a r d i n gt h el a b y r i n t ha saw h o l ef o rs h o r t e s tp a t hf e n d i n g p r o b l e mi sa d v a n c e df i n a l l y t h e m a j o r c o n t r i b u t i o n so f t h i sd i s s e r t a t i o na r ep r e s e n t e da sf o l l o w s 1 al i g h t s e n s i t i v eb e l o u s o v z h a b o t i n s k yr e a c t i o n s y s t e m w i t hc l a s s i c a lt w o v a r i a b l e s r e a c t i o nd i f f u s i o ne q u m i o n si sa n a l y z e d b a s e do nf i n i t ed i f f e r e n t i a lm e t h o da n dc e l l u l a r a u t o m a t a t h r e en u m e r i c a lm e t h o d sa r ep r o p o s e dt os i m u l a t et h ed y n a m i c so ft h i s r e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m t h e nt h ei m a g ep r o c e s s i n go p e r a t i o n so nt h eb zr e a c t i o n m e d i u ma r ep r e s e n t e d s u c ha st h ee v o l v i n g 印a yi m a g e e d g ed e t e c t i o n o b j e c tc o n t o u r s e l e c t i o n a n dt e x t u r ei m a g es e g m e n t a t i o n 2 t h r o u g ht h o r o u g h l yd i s c u s s i o no f t h es p e c i a lt y p e so fr e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m t h e n o n l i n e a rd i f f u s i o n e q u a t i o n s t w o n e w a l g o r i t h m s a r ea d v a n c e df o rt h e e d g e e n h a n c e m e n ts m o o t h i n g t h e s e a l g o r i t h m sa r ed e r i v e df r o ml a l v a r e zm o d e lw i t h c o m b i n a t i o no ft h ea u t o m a t i cc o n t r a s tt h r e s h o l ds e l e c t i o nm e t h o db yc a n n ya n dt h e o p t i m a ls e l e c t i o nc r i t e r i ao f s t o p p i n gt i m eb yj o a c h i mw e i c k e r ta n dp a v e lm r d z e ki nt h e w a y so fs p e e da n dd i r e c t i o no f d i f f u s i o n 3 t h en e w c o n c e p to fn o n l i n e a rr e v e r s e d i f f u s i o nm e t h o di sd i s c u s s e dw h i c hi n s p i r e db y t h e n o n l i n e a rd i f f u s i o n p r o c e s s e s t h ea l g o r i t h m i s d e r i v e df r o mt h en o n l i n e a r r e v e r s e d i f f u s i o n e q u a t i o n s f o rn o i s er e m o v a l s h a r p e n i n g i n i m a g ep r o c e s s i n g e x p e r i m e n t s a r em a d ew i t hh i 曲e f f i c i e n tr e s u l t s 电c o m b i n i n g t h en o n l i n e a rd i f f u s i o nm e t h o da n dc l a s s i c a li m a g ep r o c e s s i n g t e c h n i q u e s a h y b r i dm e t h o di sa d v a n c e dt oo v e r c o m et h ei m a g eo v e r s e g m e n t a t i o n p r o b l e m 5 a c c o r d i n g t ot h e u n d a m p n e s s a n d p a r a l l e l i s mo f t h ep r o p a g a t i n gw a v e so nt h em e d i u m a 百 东南大学博上学位论文 n o v e la l g o r i t h mi sp r o p o s e dw h i c hi n s p i r e db yt h e l a b y r i n t hf u l lo fr e a c t i o nd i f f u s i o n m e d i af o rs h o r t e s tp a t hf i n d i n gp r o b l e mw h i c h r e g a r d i n gt h el a b y r i n t ha 5am a t r i x w i t h t h eb a c k w a r dt r a c em e t h o d t h es h o r t e s tp a t hc a nb ef o u n d e a s i l y k e yw o r d s r e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d c e l l u l a ra u t o m a t a i m a g e p r o c e s s i n g a n dl a b y r i n t h 专业术语注释表 专业术语注释表 术语或符号涵义 q v v2 或 西v 扣联加专善x v a t x e l x i 2 j c o v x y e x 一王 y 一夕 c r r w 2 而c 霸o v x 葛 y 丽 v a r x v a r y 二维有界闭区域 一阶导数 l a p l a c i a n 算子 散度 均值 方差 协方差 相关系数 一v i 第一章绪 论 第一章绪论 反应扩散计算 r e a c t i o n d i f f u s i o nc o m p u t i n g 与传统 或常规 的计算 c o n v e n t i o n a l c o m p u t i n g 方法不同 属于非常规计算 u n c o n v e n t i o n a lc o m p u t i n g 方法范畴 因此我们 首先对非常规计算方法进行简要地讨论 而后 从非线性化学动力学 n o n l i n e a rc h e m i c a l d y n a m i c s 角度出发 推导出反应扩散系统 r e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m 的数学模型 最后 确定了本文的研究重点 并给出了论文的写作思路和结构安排 1 1 非常规计算方法 现代社会许多高新技术的发展都依赖计算机科学的进步 人工智能 虚拟现实 人工生 命等许多领域都是计算技术的直接延伸 而计算技术本身正处于变革的前夜 在计算机科学 发展过程中 硬件方面不断的追求微型化发展 以便经济地制造存储器和效率处理器 而软 件方面则一直寻求更为先进高效的计算方法 在这过程中 计算机与社会科学 自然科学和 思维科学中的许多学科相互渗透和交叉 形成了许多新的边缘学科和新学科群 而非常规计 算方法就是其中的一个研究热点 多年来 非常规 这个词常常使人产生误解 很难给出一个明确地定义 t o f f o l i 6 1 给 出一个定义方法 在某种程度上具有一定的代表性 ac o m p u t i n gs c h e m et h a tt o d a yi sv i e w e da su n c o n v e n t i o n a lm a yw e l lb es ob e c a u s ei t s t i m eh a s n l tc m r l ey e t o ri sa l r e a d yg o n e 2 0 0 1 年 a n d r e w a d a m a t z k y 6 在c o m p u t i n g i n n o n l i n e a r m e d i a a n d a u t o m a t a 一书中将 非常规计算方法归纳为以下几个方面 基于化学反应的计算方法 基于装配机制的计算方法 例如d n a 计算 d n a c o m p u t i n g 神经网络方法 n e u r a ln e t w o r k s 细胞自动机方法 c e l l u l a r a u t o m a t a 量子计算 q u a n t u mc o m p u t i n g 进化计算 e v o l u t i o n a r yc o m p u t a t i o n 以生物智能为基础的仿生算法 如蚁群优化 a n tc o l o n yo p t i m i z a t i o n 等 此种分类方法比较粗糙 只将一些新颖的计算方法进行了罗列 不具有指导意义 因此 由算法提出的出发点不同 我们将非常规计算方法进行如下分类 生物计算 仿生计算 从微观动力学出发 分子计算 m o l e c u l a rc o m p u t i n g 阱6 7 2 6 8 2 6 其中对d n a 计算 1 4 15 1 6 1 7 15 i 的研究尤为兴盛 从微观与宏观动力学之间的联系出发 进化计算 a 6 4 7 州 8 4 9 5 0 l 包括遗传算法 m 4 3 进化规划与进化策 略三个方面 神经网络 1 9 0 0 2 1 2 2 2 3 1 从生物体宏观动力学出发 蚁群算法n 5 2 s s 5 4 5 5 s 0 s t l 等 化学反应计算 一 基于搅动式化学反应 c o n t i n u o u ss t i r r e d r a n kr e a c t o r c s t r 动力学的 计算 7 0 0 l 基于薄层化学反应 t h i n l a y e rr e a c t i o n 动力学的计算 j 1 1 2 1 3 1 物理计算 量子计算 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 2 3 3 9 1 细胞自动机 2 4 0 i z 7 2 9 z g l 一反应扩散计算 2 5 8 什么是反应扩散计算 反应扩散计算属于物理计算领域 不仅包括先进的计算方法 反 应扩散模型 而且拥有新颖的计算材料 激发介质 e x c i t a b l em e d i a 6 9 7 0 1 因此成为近 年来非常规计算方法中研究的热点 a n d r e wa d a m a t z k y 6 在c o m p u t i n gi nn o n l i n e a rm e d i a a n d a u t o m a t a 一书中曾给出了 个较好的定义 ar e a c t i o n d i f f u s i o n p r o c e s s o r i s m e r e l y a c o n t a i n e r o r ar e a c t o r f i l l e dw i t h c h e m i c a l s o rr e a g e n t s t h er e a c t o rt r a n s f o r m si n p u td a t at oo u t p u td a t ai nas e n s i b l ea n d c o n t r o l l a b l ew a yv i as p a t i a ls p r e a d i n ga n di n t e r a c t i o no ft h er e a c t a n t s am e d i u mo ft h e r e a c t o ri sa tr e s t a tt h e b e g i n n i n g o fa c o m p u t a t i o n d a t a a r et r a n s f o r m e di n t ot h e c o n f i g u r a t i o no fag e o m e t r i c a lo b j e c t t h i sc o n f i g u r a t i o n i sc a s to n t ot h em e d i u m a f t e r p r o j e c t i o n t h ee l e m e n t so f t h ed a t ac o n f i g u r a t i o nf o r map a t t e r no fl o c a ld i s t u r b a n c e si nt h e m e d i u m s c h a r a c t e r i s t i c s d r o p s o fa r e a g e n t o ra ne x c i t a t i o n p a t t e m t h e s e l o c a l d i s t u r b a n c e sg e n e r a t ew a v e s t h ew a v e ss p r e a di nt h e m e d i u m e v e n t u a l l y t h ew a v e s o r i g i n a t i n gf r o md i f f e r e n td a t as o u r c e s m e e t t h e ys o m e h o wi n t e r a c ta n dp r o d u c ee i t h e ia c o n c e n t r a t i o np r o f i l eo fap r e c i p i t a t eo ras t a t i o n a r yp a t t e r no f a c t i v i t y t h i se m e r g i n gp a t t e r n r e p r e s e n t st h er e s u l to ft h ec o m p u t a t i o n w ew o u l dr a t h e rt r a ns f r o r mo u rp r o b l e m st om a k e t h e ms o l v a b l ei nan o n l i n e a rm e d i ai n s t e mo ft r y i n gt o m o d i f yt h em e d i at os o l v et h e p r o b l e m s m o s tp r o b l e m sw i t hn a t u r a ls p a t i a lp a r a l l e l i s m i ti s h o p e d c a nb es o l v e di na c o m p u t a t i o n e f f i c i e n tm a n n e r h an o n l i n e a ra c t i v em e d i a 并讨论了相关激发介质的实例 如 c o m p u t a t i o n o f v o r o n o i d i a g r a m e x p e r i m e n t a l c o m p u t a t i o no f s k e l e t o no f p l a n a rs h a p e e x p e r i m e n t a l 第一章绪论 i m p l e m e n t a t i o no f x o rg a t e e x p e r i m e n t a l c o m p u t a t i o no fs h o r t e s tp a t h e x p e r i m e n t a l i m p l e m e n t a t i o no f t a x i s e x p e r i m e n t a l d y n a m i c a ll o g i c a lc o m p u t a t i o n s i m u l a t i o n 且指出激发介质的动力学特征和波的传导等性质是其得以广泛研究的主要原因 近年来 随着各学科交叉研究的深入 反应扩散计算已经不仅仅局限于物理学领域 在 与化学 生物学等领域的交叉研究中产生了很多新的研究亮点 例如 一 与生物学的交叉研究 早在1 9 3 7 年t u r i n g l 就提出了 算法 酶的构想 即个别 酶分子本身就是一个自动机 它们能够结合成系统 去模拟一个非常基本的原生细 胞 而这类细胞可由简单字符串代表的3 0 4 0 个算法酶构成和操作 这也就是反 应扩散系统 2 弗1 最初的的生物学解释 其基本特征是集体计算 在生物系统模拟 模式识别等非数值计算领域有极大潜力 与非线性化学反应的交叉研究 b e l o u s o v z h a b o f i n s k y 反应 简称b z 反应 7 4 是一个典型的薄层化学反应 具有复杂的时空动力学特征 5 9 6 0 6 1 6 2 1 可用典型的 反应扩散方程 r e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n 简称r d e 来描述 近年来 在信息 处理 生物计算 工程技术等领域的应用日益广泛 在诸如生物学 化学 光电子 学等诸多领域的研究中 成为不可或缺的有力工具 与计算机科学的交叉研究 以b z 反应扩散介质为例 反应扩散处理器可以视为 个大规模并行处理设备 因为反应扩散介质可以看作由无数的微体积处理单元元构 成 而且空间分布式排布的微处理器具有良好的容错性 几处的损坏不会影响到其 整体的运算效率 然而 由于信息处理中是采用扩散过程进行信息的交换 化学处 理器运算速度往往很慢 不能与传统的计算机 硅处理器 相比 因为 作为多个 非线性介质处理器的有序集合 化学处理器可以看作是硅处理器的一个有益补充 反应扩散计算的研究极大的促进了各学科的发展 如非线性化学动力学 6 3 1 形态发 生学 数学 5 1 等 使其成为目前国际上的研究热点 近年来 有多篇相关文章在 s c i e n c e 和n a t u r e 等杂志上发表 而目前国内对这个领域的研究还并不多 这也就是本文想 在这方面作些工作的原因 下面我们将从非线性化学动力学角度出发 对反应扩散系统的形 成与发展进行深入的探讨 1 2 非线性化学动力学 非线性化学动力学研究的是一类特殊的化学反应 其在时 空域上会出现周期振荡或混 沌现象 甚至会形成随时间变化的空间图案 早在2 0 世纪 人们就观察到有趣的化学振荡现象 1 9 2 0 年 a l f r e dl o t k a 基于两个 接连发生的自催化反应提出一个数学模型 它与w i l l i a mc b r a y 发现的第一个化学振荡 反应 碘酸盐催化的过氧化氢分解的实验结果相吻合 然而 一些化学家认为这一振荡体 系与热力学第二定律相违背 正如烧杯中的永动机 而随后出现的两个研究上的突破 促 使了非线性化学动力学这一学科形成与发展 2 0 世纪6 0 年代 i l y ap r i g o g i n ep 提出的耗散结构理论消除了这一理论上的障碍 并 证明在远离热力学平衡态的条件下体系的白组织行为是可能的 化学振荡体系正是一个耗散 结构 它具有以下特点 1 反应是敞开体系并远离平衡态 2 反应历程中包含自催化步 骤 3 体系中至少有两个稳定态存在 即多稳性 随后 苏联科学家b o r i sp a v l o v i c hb e l o u s o v 和a n a t o lz h a b o t i n s k y 向世人展示了美丽的 随时间连续变化的化学波图案 如图1 1 所示 这就是著名的b e l o u s o v z h a b o t i n s k y 反应 1 a 在b z 反应中 化学振荡在时空域展现为可见的波的形式 b z 反应的实验结果极大 地推动了非线性化学动力学理论的建立与发展 1 9 7 2 年 f i e l d k 6 r o s 和n o y e s 7 3 1 提出b z 反应的f k n 机理 他们用约2 0 个化学方程 式解释该反应的动力学机制 接着f i e l d 和n o y e s 将f k n 机理化简为含三个变量的 o r e g o n a t o r 模型 计算机模拟结果与实验吻合的很好 现在这一领域的科学家还常常用 o r e g o n a t o r 模型以及相应的改进模型解释化学振荡体系在某些条件下的动力学行为 在近来的二十多年中 对非线性化学动力学的研究主要集中在以下几个方面 探讨外界因素对化学反应动力学系统的影响 如 光 7 6 7 7 7 8 1 温度 7 t 1 氧含 量 8 0 l 介质粘度 8 l 金属离子 8 2 j 重力吲 溶液配比系数 8 4 1 等 研究化学反应系统中的产生的混沌及其控制方法 8 5 8 6 8 7 8 8 分析化学波及其时空图案的形成 6 0 6 1 6 2 探讨更为合理的机理解释 并进行计 算机模拟 9 9 9 0 9 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 9 8 9 9 1 0 0 1 探索非线性化学动力学系统在各领域的应用 1 0 1 1 0 2 1 9 3 1 0 4 1 0 5 1 1 0 7 t 1 0 9 1 0 9 m o m a 靶形波 b 螺旋波 图11 b z 反应介质中形成的化学波图案 d 1 3b z 反应扩散系统 自从1 9 6 8 年 b z 反应作为一个富含非线性机制的真实的化学反应体系 经提出 由于 其在远离平衡的条件下会表现出复杂的时空自组织特征 立刻成为科学家们的研究热点 b z 反应的机理非常复杂 使得对反应机理的深入研究形成了很大的困难 例如近年来 研究较多的由c e i i i c e i v 催化的b z 反应中 包括8 0 多步反应 要用2 6 个试剂变量来表 示 t i 2 o 1 9 7 2 年 f i e l d n o y e s 和k 6 r 6 s 等人 7 5 1 通过对该反应机理深入细致的研究 提出 了n a b r 0 3 c h 2 c o o h 2 c e h 2 s 0 4 体系催化氧化振荡反应的详细机理 简称f k n 机理 如表ll 所示 给出了简化的数学模型 为其后大量的数学分析及模拟工作奠定了基础 此机制在数学上可以描述为一组反应扩散方程 并且由于b z 反应的易实现性 便于控制和 调整方面等优点 使其成为研究反应扩散系统的一个最佳的手段 表1 1 b z 反应中f k n 机理的简要描述 反应式 反应速率常数 r 1 b r 一 h o b r h 斗吼 h 2 0 l 8 x 1 0 9 m 一2 s r 2 h b r 0 2 肼一 日 寸2 h o b r k 月2 1 0 6 m 一2 s r 3 b r g 西一十2 h 斗h b r 0 2 h o b rk r 3 2 m j r 4 2 h b r 0 2 一b r g r 5 b r 凹 h b r 0 2 h 2 b r 0 2 h 2 0 r 6 b r o z c e i i i h 斗h b r 0 2 十c e i v c 1 c h 2 c o o h 2 肋 2 c c h c o o h k 月4 2 1 0 3 m 一 s k r 5 i o m 一2 s 一1 k r 6 6 x 1 0 5 m 一2 s h o 2 c c h c o o h b r 2 川 j b r c h c o o h 日 b 一 8 2 7 1 2 y c h 2 c o o h 2 b r c h c o o h 2 卜3 j 呻胁 t h e r p r o d u c 括 s 2 71 为了方便 我们采用如下符号 z h b r 0 2 亚溴酸 y l b r 一 溴离子 z a 陋 凹 b 尸 h o b 四价铯离子 溴酸根离子 有机试剂 次溴酸 在硫酸介质中以金属铈离子 c e 4 c e 为催化剂的条件r 丙二酸被溴酸氧化 由 f k n 振荡反应机理可知 引起振荡反应的关键组分是中间化合物h b r 0 2 b r 一和c e c e 3 其中b r 一控制反应过程 h b r 0 2 起转换作用 c e 4 再生b r 与这3 种关键组分浓度相关的5 个步骤如f 表所示 表12f k n 机理图解 反应式 反应速率 0 1 0 2 0 3 0 4 爿 y 斗 p 也 七r 3 h 2 a y x y 斗2 p k 2 k r 2 h x y a z 3 b 2 x 2 z k 5 k r 5 h a x 2 x 寸p a k 4 j i r 4 2 2 0 5 b z 斗 y k o b z 1 3 1 反应过程 在恒温 恒压和充分搅拌的条件下 该反应可忽略扩散过程的作用 并且由于反应过程 遵循质量守恒定律 因此反应 0 1 0 5 的化学反应速率方程可以用非线性微分方程组来表 示 如下所示 公式 料 d t d j 出 以 西 k 3 a y k 2 爿y k 5 删一2 k 4 x 2 l a 一七3 爿y 一七2 鼻y i 1 肛 b z 1 1 b 2 k 5 a x k o b z 为了便于分析 将此方程组置于无量纲情况下考虑 t y s o n 2 7 2 1 提出了如下的变量转换 x x z o j y 2 i f 瓦 6 三乙 z 第一章绪论 其中 x y z 分别表示h b r 2 b r 和c e i v 无量纲化的浓度 甄 筹 k 等 z o 一筹 瓦5 币1 因此系统 11 的无量纲化方程可如下所示 s 譬 x o x y g x 1 盈 j 孚 弦一y g x 12 b 出 x 一 12 c d f 其中 誓导 占 2k4i k07b g 宅型i 例如 当反应中溶液浓度 h o 8mk i 42 缸爿 1 t k p h 00 9 7 反应速率常数为k 2 8 x 1 0 5 m s 屯 1 2 8 m 1 s 丸 2 x 1 0 3 m 一1 j k 5 8 0 m j 而且溶液初始浓度为a l 西o i l 0 0 6 m b d 曙 0 0 0 2 m k d 1 m 1 s 1 时 可知系统 1 2 中的参数为 占 4 x 1 0 占 4 x 1 0 玎 8 x 1 0 4 虽然式 1 2 要比式 1 1 简单的多 但在实际应用中 我们往往可以将式 1 2 再 次简化为两变量方程 由于j 远比s 要小 式 1 2 b 近似为0 可得 y z 竺一 因此 q o 系统 1 2 可以简化为两变量模型 妻 x 1 一x 乒黑 g 舭 13 o z 盯 x 要 z 一2 a 础 1 3 b d f 1 3 2 扩散过程 上面我们主要考虑的是b z 反应中某一空间位置的化学试剂浓度的变化规律 考虑到 b z 反应介质整体时 还要加上其本身的扩散作用 即 署f c 刈 幽 一p 丞 f 厂 咖 1 4 其中 x r c x c l x r c x r 二维情况r s 表示任一区域的边界 v 表 示相对应的区域 三维情况下 s 表示空间中任一闭合曲面 v 表示相对应的三维体积 j 为介质流量 f 是以x c r 为变量的介质动力学函数 东南大学博士学位论文 假设c x 是连续的 则式 14 可写为 f 鲁 v 一 c g x 咖 由于v 的积分值为零 易知 a 西c v j 弛 x f 1 3 3 反应扩散方程及其解 方程 1 5 1 6 考虑到扩散中j 一d v c 以及边界条件和初值问题 我们可以得到一般性的反应扩散 孚 v d v o t i b 2 u 0 o u 0 葫 q 地 1 7 其中x r u x r 1 9 i x f 一 x f f u i d d i a g d 1 d 为正对角矩阵 系统的初值为u o 边界条件为n e u m a n n 条件 亓是m 上的单位外法向矢量 易知 系统 1 7 所示的反应扩散方程的解存在以下几种常见类型 6 5 1 与x 无关的振动解 一 靶形图案解 t a r g e t p a t t e r n s 即u x r u i x l u 关于t 是周期的 旋转螺线图案 r o t a t i n gs p i r a lp a t t e r n s 即x r c o s 0 r s i n o u x t u r 0 一c t u 关于孝 0 一c t 是周期的 c 为速度向量 c c l c n 行波解 t r a v e l i n g w a v e s 即形为u x f u x c t 的解 特别有 定常解 s t a t i o n a r y w a v e s 即c 0 与时间f 无关 定常解又叫平衡解或 稳态解 平面波解 p l a n ew a v e s 即u x f 0 一c t v u x v 一1 4 其中 v v l v 是c 方向的单位向量 其中又有以下几种类型 波串解 w a v e s t r a i n s u 是周期的 波前解 w a v e sf r o n t s u 是单调有界的且不恒为常数 脉冲解 p u l s e s u 一 u u 不是常数 1 3 4 几个例子 由上可知 反应扩散方程中存在着多种类型解的形式 因此也就可以理解为什么在反应 扩散系统中会出现的如此复杂的动力学特征了 l j 3 j 4 j l jt u r i n g 模型t 形态形成过程的搓述 1 9 5 2 年 被后人称为计算机科学之父的著名英国数学家a l a mt u r i n g 2 1 2 把他的目光转 向生物学领域 在他的一篇著名论文 形态形成的化学基础 t h ec h e m i c a lb a s i so f m o r p h o g e n e s i s 中 t u r i n g 用一个反应扩散模型 t u r i n g 方程 如式 1 8 所示 成功地 说明了某些生物躯体表面图纹的形成过程 如斑马身上斑纹图案 掣叫姗心力叫州h2吲x jd a2u x t ot o x 一 o v x t 1 6 一 x f v 圳 一 x r q 旦 掣 o to x 其中 u x f 和v x r 分别表示在r 时刻 位置x 处的激发物和抑制物的浓度 q x 为位置 x 处产物的浓度 d 和d 分别表示激发物和抑制物的扩散系数 在生物胚胎发育的某个阶段 生物体内某些被称为 形态子 的生物大分子与其他反应 物发生生物化学反应 同时在机体内进行随机扩散 t u r i n g 表明在适当的条件下 这些原来 浓度均匀分布的 形态子 会在空间白发的组织成一些周期性的结构 也就是说 形态子 在空间分布变得不均匀 而正是这种 形态子 分布的不均匀性引起了生物表面不同花纹的 形成 在t u r i n g 提出的反应扩散系统中 由体系内在的反应扩散特性所引起的空间均匀态 失稳导致了对称性破缺 空间平移对称破缺 从而使体系自组织出一些空间定态图纹 这 个过程被后人称之为t u r i n g 失稳 或t u r i n g 分岔 形成的空间定态分布图纹称为t u r i n g 斑图 其产生的秘密在于一个非线性反应过程 如自催化 自禁阻过程 与一种特殊的扩散 过程的耦合 这个特殊的扩散过程要求活化子的扩散速度远小于禁阻子的扩散速度 也就是 说活化子的扩散系数远小于禁阻子的扩散系数 t r u i n g 讨论了反应扩散系统的动力学方程 并且对方程进行数学分析后指出 系统存在 均匀定态解 但在随机扩散的作用下 均匀定态失稳导致对称性破缺 而且除了可能出现化 学振荡和化学波解外 还可能出现化学浓度按空间周期性变化的静态结构解 从图案形成 的角度来看 t u r i n g 系统通过对方程的数学分析 揭示了复杂图案的形成过程 图1 2 显示 一9 了t u r i n g 结构在二维和三维空间中的模拟结果 a 二维 b 三维 图1 2 t u f i n g 方程在二维和三维空间的模拟 3 4 2 f i t z h u g h n a g u m o 模型f 神经传导模垄 f i t z h u g h n a g u m o 模型 是由h o d g k i n h u x l e y 模型1 1 1 6 1 推导而出用来描述神经 脉冲传导的两变量反应扩散方程 如下所示 a u a a v 西 d v 2 口一 一1 u v d v 2 v 6 b u v 1 9 其中 表示细胞膜电势 具有变化迅速 扩散效应广泛的的特点 即扩散系数见比较大 v 用来表示离子浓度 改变缓慢 扩散能力弱 即扩散系数d 比较小 一般d 0 日 0 b 0 系统的动力学特征如下图所示 a 相位示意图 b 随时间的变化图 图1 3 f i t z h u g h n a g u m o 模型模拟神经脉冲的传导 1 4 研究内容与论文结构安排 从研究反应扩散系统的应用领域与方法而言 主要可以从以下两个途径上入手 如图 1 4 所示 制各激发介质 通过试验模拟的方法研究介质动力学特征 介质势能的空间分布 0n描搿 叫扩 纛捧弱纠翔纠参0瓣 毳簿携糙 爨埘 警惫醒鞋引协 鼷淤引垆 第一章绪 论 及其在图像处理与存储介质方面的应用 通过对反应扩散方程的推导与数值模拟 使用计算机模拟激发介质及其动力学行 为 探讨其在例像处理等领域中的应用 图1 4反应扩散系统研究方法 我们研究组平行地从这两个方面展开研究 本文中我们主要采用后者来探讨反应扩散系 统在图像处理 迷宫最短路径搜索方面的应用 因此 论文结构如下安排 第一章 我们从非线性化学动力学的角度出发 探讨反应扩散系统的形成与发展 指出 本文的工作重点以及论文的结构安排 第二章 首先以两变量光敏o r e g o n a t o r 模型为例 采用相平面分析法探讨了模型的平衡 解 并设计了有限差分法和细胞自动机方法三种数值模拟算法 并在b z 反应的模拟过程中 验证了方法的可行性与正确性 而后模拟了在b z 反应介质中的图像处理效果 如灰度剀像 女孩头像 的演化 图像边缘检测 目标轮廓提取 纹理图像分割等 第三章 通过对非线性扩散方程的详尽讨论 本文探讨了其在图像处理领域中的应用 首先我们对la l v a r e z 提出的非线性扩散模型从扩散速度和扩散方向两个方面提出了改进意 见 并使用c a n n y 方法自动确定对比度闽值 且采用j o a c h i m w e i c k e r t 和p a v e l m r d z e k 两种 迭代终止条件 提出了两个改进算法用于图像的平滑去嗓处理 而后从与物理中热扩散相对 应的非线性扩散方法可用丁 图像平滑去噪问题中得到启发 提出了无实际物理意义的非线性 逆扩散方法用于图像锐化去噪问题 并且设计了相应的算法 实验结果证明了此方法的有效 性 最后我们将非线性扩散方法与传统边缘检测方法相结合 提出了混合算法 用于解决图 像分割中常见的过分割现象 实验结果表明了此方法的可行性 第四章 从在反应扩散介质中波的传导具有不衰减性和并行性的特点中得到启发 提出 将迷宫作为一个整体用二维数组表示 在通路中遍布反应扩散介质的思想 设计了通过波的 并行扩散传导与回溯法来确定迷宫最短路径的反应扩散搜索方法 得到了满意的结果 第五章 我们就全文的工作进行了总结 并对未来的工作进行了展望和设想 第二章b z 反应扩散系统分析 本章中 我们将详细探讨两变量光敏o r e g o n a t o r 模型 6 j 采用相平面法分析模型的参 数选取规则 而后设计有限差分法和细胞自动机方法用于方程的数值求解 并对b z 反应动 力学特征进行数值模拟 以验证方法的可行性与正确性 最后设计试验模拟在b z 反应介质 上出现的图像处理效果 如灰度图像 女孩头像 的演化 图像边缘检测 目标轮廓提取 纹理图像分割等 2 1 两变量光敏b z 反应扩散模型 任b z 反匝j r 质中以光敏物质代替c e i i i c e i v 通过政变光照的强度 在不同部位产 生不同浓度的溴离子流陋r j 从而影响b z 反应的动力学特征 可用如f 无量纲方程描述 5 j d x x 1 x y q x 2 1 a 口f d 妥 f z y q x 2 l b f 出 j 2 x z 7 2 1 c d r 7 其中 表示由光照引起的溴离子流的无量纲化参数 其他参数如式 12 定义 t y s o n 1 1 8 1 1 9 j 2 0 明了如果将 b r j 并