畅优新课堂八年级数学下册 18.1 勾股定理教学案 （新版）沪科版.doc

勾股定理1勾股定理(1)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方(2)勾股定理的表达式：如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表示为：.(3)勾股定理的变形：(已知两边，求第三边的方法)已知条件未知条件求解方法a、bcc2a2b2ca、cbb2c2a2bb、caa2c2b2a注意：勾股定理应用的前提条件必须是在直角三角形中，已知其中的任意两边的长，根据勾股定理可求出第三边的长在求解时要先画图，标上已知量，如图，分清要求的边是直角边还是斜边，然后再运用勾股定理或其变形进行解答【例1】在abc中，c90，a，b，c的对边分别是a，b，c.(1)若a3，b4，则c_；(2)若a6，c10，则b_；(3)若c34，ab815，则a_，b_；(4)若b5，b30，则c_.解析：(1)c2a2b225，则c5.(2)b2c2a264，则b8.(3)ab815，设a8x(x0)，b15x.又c90，c34，c2a2b2(8x)2(15x)2，c17x，17x34，x2，a16，b30.(4)c90，b30，c2b10.答案：(1)5(2)8(3)1630(4)10点拨：在直角三角形中，运用勾股定理求某一边的长时，先分清直角边和斜边，然后再利用勾股定理，可设未知数，通过建立方程(组)来解决2勾股定理的证明(1)方法：勾股定理的证明方法较多，仅选取一种加以说明如图所示网格图形中，每一个小方格的边长为1.根据图示填写表格，比较得出结论a的面积b的面积c的面积图116925图24913(2)结论：两直角边上的正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积，即sasbsc；勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和因为勾股定理既重要又简单，所以很容易吸引人，才使它成百次地被人反复论证.1940年出版过一本名为毕达哥拉斯命题的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种【例2】如图所示，在abc中，a90，p是ac的中点，pdbc，d为垂足，bc9，dc3，求ab的长分析：由题可知bacpdc90，因此可以利用勾股定理进行计算解：连接pb.bc9，dc3，bd6.在rtbdp中，由勾股定理，得pb2pd2bd2，即pd2pb2bd2.在rtpdc中，由勾股定理，得pc2cd2pd2，pb2bd2pc2cd2.pb236pc29，pb2pc227.又p为ac的中点，pb2pc2pb2ap2ab227，ab3.3运用勾股定理求边长(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么a2b2c2.(2)意义：勾股定理是直角三角形特有的定理，反映了直角三角形三边之间的数量关系(3)延伸：在直角三角形中，若两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a；b；c.在直角三角形中，知道其中任意两边，根据勾股定理就能求出第三边.运用勾股定理求边长，一定要注意弄清是求直角边还是斜边，注意是加还是减【例3】小林是开发区中学升旗队的一名旗手，在升旗时发现从旗杆ab的顶端a处垂下的绳子比旗杆ab长1米，他拿着绳子的下端拉开至c处，绳子恰好完全伸直，测得点c距旗杆底部b的距离是5米请问：能根据这些条件求出旗杆的高度吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由解：能求出旗杆的高度如图所示，bc5米设abx米，则ac(x1)米在rtabc中，b90，由勾股定理得：ab2bc2ac2，即：x252(x1)2，解得：x12.即ab12米答：旗杆ab的高度为12米4勾股定理在等腰三角形中的应用等腰三角形两腰相等；等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线相互重合，因此在等腰三角形中，通过作高可以将等腰三角形分成两个直角三角形，特别是底边上的高，将等腰三角形分解成两个全等的直角三角形在等腰三角形中，底、腰、高三者之间知道任意两者都能求第三者如图(1)、图(2)分两种情况：情况一：图(1)中，在ab(或ac)，bc，ad三个量中，已知两个量，根据勾股定理，可以直接求第三个量；情况二：图(2)中，已知ab，bd求bc，可以先求ad，再求dc，再求出bc；已知ab，bc求bd，可借助于bd2相等，列方程求出ad或dc，再求出bd；已知bc，bd，可以列方程求ab.作为等腰三角形中的特殊三角形“等边三角形”，它的任一条高都具备“三线合一”性质，都能将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，并且这些直角三角形还是含30角的直角三角形，因此，根据勾股定理，在边长、高、周长、面积四个量中，知道任何一个量都能求出其他三个量【例41】如图所示，在等腰abc中，ab13，bc10，则底边上的高ad的长是()a11 b12 c13 d14解析：因为abc是等腰三角形，ad是高，所以bdbc5.在rtadb中，由勾股定理，得ad12，故选b.答案：b【例42】如图(1)，abc和dce都是边长为2的等边三角形，点b，c，e在同一条直线上，连接bd，求bd的长(1)(2)分析：要求bd的长，可构造直角三角形，使bd为该直角三角形中的边，如图(2)，过d作dfbe于f，在rtdfb中运用勾股定理可求bd的长解：过d作dfbe于f.因为dce为等边三角形，所以df也是dce的中线，所以cfce1，所以bfbccf213.在rtdfc中，由勾股定理，得df2dc2cf222123.在rtdfb中，由勾股定理，得bd2bf2df232312，所以bd2.5勾股定理在含30角的直角三角形中的应用在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半所以在含30角的直角三角形中只要知道一边，就可以求出任何一边的长如：根据勾股定理可知，若最短边为1,2,3，那么斜边就是2,4,6，另一直角边就是，2，3，即60角所对的直角边和斜边分别是最短直角边的倍和2倍因此知道任意一边，就可以通过乘以或除以它们之间的倍数计算得出另两边已知30角所对的直角边为a，那么另一直角边为a，斜边为2a；已知斜边为c，那么最短直角边为，较长直角边为c.【例51】在abc中，c90，ab10，a30，则bc_，ac_.解析：根据30角所对的直角边等于斜边的一半可知，bcab5.根据勾股定理可知，ac5.答案：55【例52】等腰三角形一腰上的高为1，这条高与底边夹角为60，则此三角形的面积是_解析：如图所示，因为dbc60，cabc30，所以在直角abd中，bad60，dba30.根据30角所对的直角边等于斜边的一半，所以三边满足adabbd12，所以abbd21ac.s1.答案：6列方程在勾股定理中的应用在勾股定理的应用中，有时并不是已知两边求第三边，而很多时候只是告诉了两边之间的关系，因此常常需要列方程解决方法：一般是设其中一边为x，用含未知数x的式子表示另一边，根据勾股定理构建方程，通过解方程，解决问题如：在锐角abc中，ab15，ac13，bc14，adbc，垂足为d，计算da的长度我们可以通过设dbx，那么cd14x，根据勾股定理，在rtabd和rtadc中，分别用含x的式子表示出ad2152x2和ad2132(14x)2，从而构造方程，通过解方程求出x，即db，然后再求ad的长度【例61】在rtabc中，c90，已知ab34，c10，则abc的面积为()a24 b12 c28 d30解析：ab34，设a3k，b4k(k0)，由勾股定理，得9k216k2100，解得k2，a6，b8，sabcab6824.故选a.答案：a【例62】矩形abcd按如图所示折叠，使点d落在bc边上的点f处，已知ab8，bc10，求折痕ae的长分析：根据已知，将条件转化到rtfce中，求出fe，进而求出de，再求出折痕ae.解：在rtabf中，ab8，afad10，所以bf6，所以cfbcbf4.设dex，那么efx，ce8x，在rtfce中，则有fe2cf2ce2，即x242(8x)2，解得x5，即ef5.在rtaef中，ae5.7勾股定理与面积法面积法是解决几何问题常用的一种方法，它巧妙地利用同一图形的面积的不同求法，通过计算的方式求线段的长度，或用来证明线段之间的数量关系，有时它比运用线段之间的等量关系证明、计算更简捷、更巧妙，因而在特定条件下能出奇制胜，是一种很好的解题方法因为直角三角形的面积等于两直角边积的一半，也等于斜边乘以斜边上的高的一半，所以根据勾股定理求边长，再运用面积法求线段的长是这部分内容中常用的方法如图所示，在rtabc中，ac12，bc5，求ab边上的高cd.可根据勾股定理求出ab13，再根据面积相等得到abcdacbc，即13cd125，得cd.因为直角三角形三边关系的特殊性，所以面积法通常用于直角三角形中求斜边上的高【例71】直角三角形两直角边长分别为8和15，则这个直角三角形斜边上的高为()a8 b15 c17 d解析：已知直角三角形两条直角边求斜边上的高时，采用面积法来求，根据是同一三角形的面积相等先求出斜边等于17，再根据81517斜边上的高，求得斜边上的高为.答案：d【例72】如图所示，cd是rtabc斜边ab上的高，若ab10，acbc31，则cd的长为()a3 b3 c d6解析：acbc31，设bck(k0)，则ac3k.在rtabc中，由勾股定理，得ab2ac2bc2，9k2k2100.k，ac3，bc.sabc315.又sabcabcd10cd5cd.5cd15，cd3.故选b.答案：b8利用勾股定理解决与三角形相关的实际问题勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范利用勾股定理，可以解决直角三角形的有关计算和证明问题，还可以解决生产生活中的一些实际问题在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)在有些问题中，必须构造直角三角形，建立勾股定理模型来解决勾股定理使用的前提条件是三角