（新课标）高考数学大一轮复习精品讲义 坐标系与参数方程（含解析）.DOC

坐标系与参数方程第一节坐_标_系对应学生用书p166基础盘查一平面直角坐标系中的伸缩变换(一)循纲忆知理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况(二)小题查验1判断正误(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆()(2)在伸缩变换下，椭圆可变为圆，圆可变为椭圆()答案：(1)(2)2设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线ysin x的方程变为_解析：由知代入ysin x中得y3sin 2x.答案：y3sin 2x基础盘查二极坐标系的概念及极坐标和直角坐标的互化(一)循纲忆知能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(二)小题查验1点p的直角坐标为(1，)，则点p的极坐标为_解析：因为点p(1，)在第四象限，与原点的距离为2，且op与x轴所成的角为，所以点p的极坐标为.答案：2曲线4sin 与2的交点坐标是_解析：由sin ，或.答案：或基础盘查三简单曲线的极坐标方程(一)循纲忆知能在极坐标系中给出简单的图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义(二)小题查验1判断正误(1)过极点，做斜角为的直线的极坐标方程可表示为或 ()(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点o的圆的极坐标方程为2asin ()答案：(1)(2)2在极坐标系中，圆心在(，)且过极点的圆的方程为_解析：如图，o为极点，ob为直径，a(，)，则abo90，ob2，化简得2cos .答案：2cos 3在极坐标系中，曲线c1：1与曲线c2：a(a0)的一个交点在极轴上，则a_.解析：曲线c1的直角坐标方程为xy1，曲线c2的直角坐标方程为x2y2a2，曲线c1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线c2上，代入解得a.答案：对应学生用书p166|(基础送分型考点自主练透)必备知识设点p(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点p(x，y)对应到点p(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换题组练透1在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换：求点a经过变换所得的点a的坐标解：设a(x，y)，由伸缩变换：得到由于点a的坐标为，于是x31，y(2)1，a(1，1)为所求2求直线l：y6x经过：变换后所得到的直线l的方程解：设直线l上任意一点p(x，y)，由上述可知，将代入y6x得2y6，yx，即yx为所求3求双曲线c：x21经过：变换后所得曲线c的焦点坐标解：设曲线c上任意一点p(x，y)，由上述可知，将代入x21得1，化简得1，即1为曲线c的方程，可见仍是双曲线，则焦点f1(5,0)，f2(5,0)为所求类题通法平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆|(重点保分型考点师生共研)必备知识设m为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由图可知下面的关系式成立：或(与(x，y)所在象限一致)提醒(1)在将直角坐标化为极坐标求极角时，易忽视判断点所在的象限(即角的终边的位置)(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视注意极坐标(，)(，2k)，(，2k)(kz)表示同一点的坐标典题例析在极坐标系下，已知圆o：cos sin 和直线l：sin.(1)求圆o和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆o公共点的一个极坐标解：(1)圆o：cos sin ，即2cos sin ，圆o的直角坐标方程为：x2y2xy，即x2y2xy0，直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为：yx1，即xy10.(2)由得故直线l与圆o公共点的一个极坐标为.类题通法极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ，sin ，2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程(2)巧借两角和差公式，转化sin()或cos()的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程(3)将直角坐标方程中的x转化为cos ，将y换成sin ，即可得到其极坐标方程演练冲关(2014广东高考改编)在极坐标系中，曲线c1和c2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线c1和c2的交点的直角坐标解析：由sin2cos 2sin2cos y2x，又由sin 1y1，联立故曲线c1和c2交点的直角坐标为(1,1)|(重点保分型考点师生共研)必备知识1圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为r.(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点o的圆的极坐标方程为2acos .(3)圆心在点处，且过极点o的圆的极坐标方程为2asin .2直线的极坐标方程(1)过点(a,0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为cos a.(2)过点与极轴平行的直线的极坐标方程为sin a.提醒(1)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可(2)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便典题例析(2015唐山模拟)已知圆c：x2y24，直线l：xy2.以o为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系(1)将圆c和直线l的方程化为极坐标方程；(2)p是l上的点，射线op交圆c于点r，又点q在op上且满足|oq|op|or|2，当点p在l上移动时，求点q轨迹的极坐标方程解：(1)将xcos ，ysin 代入圆c和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为c：2，l：(cos sin )2.(2)设p，q，r的极坐标分别为(1，)，(，)，(2，)，则由|oq|op|or|2得1.又22，1，所以4，故点q轨迹的极坐标方程为2(cos sin )(0)类题通法求曲线方程，常设曲线上任意一点p(，)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正、余弦定理用的较多求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设p(，)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程演练冲关(2014江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()a，0b，0ccos sin ，0dcos sin ，0解析：选a因为xcos ，ysin ，且y1x，所以sin 1cos ，所以(sin cos )1，.又0x1，所以0y1，所以点(x，y)都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0.对应b本课时跟踪检测（六十四）1在极坐标系中，求直线(cos sin )2与圆4sin 的交点的极坐标解：(cos sin )2化为直角坐标方程为xy2，即yx2.4sin 可化为x2y24y，把yx2代入x2y24y，得4x28x120，即x22x30，所以x，y1.所以直线与圆的交点坐标(，1)，化为极坐标为.2在极坐标系中，求曲线4cos上任意两点间的距离的最大值解：由4cos可得242cos 2sin ，即得x2y22x2y，配方可得(x1)2(y)24，该圆的半径为2，则圆上任意两点间距离的最大值为4.3若直线3x4ym0与曲线22cos 4sin 40没有公共点，求实数m的取值范围解：曲线22cos 4sin 40的直角坐标方程是x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21.要使直线3x4ym0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，2)到直线3x4ym0的距离大于圆的半径即可，即1，|m5|5，解得，m0或m10.4求函数ysin经伸缩变换后的解析式解：由得将其代入ysin，得2ysin，即ysin.5已知圆o1和圆o2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)将圆o1和圆o2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解：(1)由2知24，所以x2y24.因为22cos2，所以222.所以x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.6在极坐标系中，曲线c1，c2的极坐标方程分别为2cos ，cos1.(1)求曲线c1和c2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线c2相交于点q，在oq上取一点p，使|op|oq|2，求点p的轨迹，并指出轨迹是什么图形解：(1)c1的直角坐标方程为(x1)2y21，它表示圆心为(1,0)，半径为1的圆，c2的直角坐标方程为xy20，所以曲线c2为直线，由于圆心到直线的距离为d1，所以直线与圆相离，即曲线c1和c2没有公共点(2)设q(0，0)，p(，)，则即因为点q(0，0)在曲线c2上，所以0cos1，将代入，得cos1，即2cos为点p的轨迹方程，化为直角坐标方程为221，因此点p的轨迹是以为圆心，1为半径的圆7(2015济宁模拟)已知直线l：sin4和圆c：2kcos(k0)，若直线l上的点到圆c上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心c的直角坐标解：kcos ksin ，2kcos ksin ，圆c的直角坐标方程为x2y2kxky0，即22k2，圆心的直角坐标为.sin cos 4，直线l的直角坐标方程为xy40，|k|2.即|k4|2|k|，两边平方，得|k|2k3，或解得k1，故圆心c的直角坐标为.8在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线c的极坐标方程为cos1，m，n分别为c与x轴、y轴的交点(1)写出c的直角坐标方程，并求m，n的极坐标；(2)设mn的中点为p，求直线op的极坐标方程解：(1)由cos1得1.从而c的直角坐标方程为xy1，即xy2.当0时，2，所以m(2,0)当时，所以n.(2)因为m点的直角坐标为(2,0)，n点的直角坐标为.所以p点的直角坐标为，则p点的极坐标为，所以直线op的极坐标方程为(r)第二节参数方程对应学生用书p168基础盘查一参数方程与普通方程的互化(一)循纲忆知了解参数方程，了解参数的意义，会进行参数方程与普通方程的互化.(二)小题查验1判断正误(1)参数方程(t1)表示的曲线为直线()(2)参数方程当m为参数时表示直线，当为参数时表示的曲线为圆()答案：(1)(2)2参数方程(t为参数)化为普通方程为_解析：x，y4343x.又x20,2)，x0,2)所求的普通方程为3xy40(x0,2)答案：3xy40基础盘查二常见曲线的参数方程(一)循纲忆知1能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程2掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题过点p(x0，y0)且倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)(二)小题查验1判断正误(1)直线(t为参数)的倾斜角为30.()(2)参数方程表示的曲线为椭圆()答案：(1)(2)2在平面直角坐标系xoy中，曲线c1和c2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线c1与c2的交点坐标为_解析：由c1得x2y25，且由c2得x1y, 由联立解得答案：(2,1)3直线(t为参数)与圆(为参数)相切，则切线的倾斜角为_解析：直线的普通方程为bxay4b0，圆的普通方程为(x2)2y23，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有 ，即3a23b24b2，所以ba，而直线的倾斜角的正切值tan ，所以tan ，因此切线的倾斜角或.答案：或 对应学生用书p169|(基础送分型考点自主练透)必备知识1参考方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式将参数方程化为普通方程需消去参数(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程提醒在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致2几种常见的参数方程(1)圆的参数方程若圆心在点m0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为(为参数)(2)椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)(3)双曲线1(a0，b0)的参数方程为(为参数)(4)抛物线y22px(p0)的参数方程为(t为参数)题组练透1将下列参数方程化为普通方程(1)(2)解：(1)两式相除，得k，将其代入得x，化简得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程为y22x，x0,22求曲线(为参数)中两焦点间的距离解：曲线化为普通方程为1，c，故焦距为2.3已知曲线c的参数方程为(t为参数，t0)，求曲线c的普通方程解：因为x2t2，所以x22t，故曲线c的普通方程为3x2y60.类题通法参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形|(重点保分型考点师生共研)必备知识利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点p(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)若a，b为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段ab的中点为m，点m所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0；(2)|pm|t0|；(3)|ab|t2t1|；(4)|pa|pb|t1t2|.提醒直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点m(x，y)到m0(x0，y0)的距离，即|m0m|t|.典题例析设直线l的参数方程为(t为参数，为倾斜角)，圆c的参数方程为(为参数)(1)若直线l经过圆c的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆c交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围解：(1)由已知得直线l经过的定点是p(3,4)，而圆c的圆心是c(1，1)，所以，当直线l经过圆c的圆心时，直线l的斜率为k.(2)法一：由圆c的参数方程得圆c的圆心是c(1，1)，半径为2.由直线l的参数方程为(t为参数，为倾斜角)，知直线l的普通方程为y4k(x3)(斜率存在)，即kxy43k0.当直线l与圆c交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即2，由此解得k.即直线l的斜率的取值范围为.法二：将圆c的参数方程为化成普通方程为(x1)2(y1)24，将直线l的参数方程代入式，得t22(2cos 5sin )t250.当直线l与圆c交于两个不同的点时，方程有两个不相等的实根，即4(2cos 5sin )21000，即20sin cos 21cos2 ，两边同除以cos2 ，由此解得tan ，即直线l的斜率的取值范围为.类题通法1解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题2对于形如(t为参数)当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题演练冲关已知直线l：xy10与抛物线yx2相交于a，b两点，求线段ab的长度和点m(1,2)到a，b两点的距离之积解：因为直线l过定点m，且l的倾斜角为，所以它的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)，把它代入抛物线的方程，得t2t20，解得t1，t2.由参数t的几何意义可知|ab|t1t2|，|ma|mb|t1t2|2.|(重点保分型考点师生共研)必备知识极坐标与参数方程的综合应用规律1化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的典题例析(2014辽宁高考)将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线c.(1)写出c的参数方程；(2)设直线l：2xy20与c的交点为p1，p2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段p1p2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为c上点(x，y)，依题意，得由xy1得x221，即曲线c的方程为x21.故c的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设p1(1,0)，p2(0,2)，则线段p1p2的中点坐标为，所求直线斜率为k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，即.类题通法涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程演练冲关1(2015大同调研)在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为cos.(1)求直线l被曲线c所截得的弦长；(2)若m(x，y)是曲线c上的动点，求xy的最大值解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，消去t，可得3x4y10.由于 cos ，即有2cossin ，则有x2y2xy0，其圆心为，半径为r，圆心到直线的距离d，故弦长为22 .(2)可设圆的参数方程为(为参数)，即m，则xycos sin sin，由于 r，则xy的最大值为1.2在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线c：sin22acos (a0)，过点p(2，4)的直线l：(t为参数)与曲线c相交于m，n两点(1)求曲线c的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若|pm|，|mn|，|pn|成等比数列，求实数a的值解：(1)把代入sin22acos ，得y22ax(a0)，(t为参数)，消去t得xy20，曲线c的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y22ax(a0)，xy20.(2)将(t为参数)代入y22ax，整理得t22(4a)t8(4a)0.设t1，t2是该方程的两根，则t1t22(4a)，t1t28(4a)，|mn|2|pm|pn|，(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2，8(4a)248(4a)8(4a)，a1.对应a本课时跟踪检测（六十五）1在平面直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为(t为参数)以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线c2的方程为4sin ，曲线c1与c2交于m，n两点，求线段mn的长解析：由题意得，c1的参数方程转化为直角坐标方程为xy40，c2的极坐标方程4sin 转化为直角坐标方程为x2y24y，即x2(y2)222，圆心(0,2)到直线xy40的距离为d，所以|mn|22.2在直角坐标系xoy中，直线l的方程为xy40，曲线c的参数方程为(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点p的极坐标为，判断点p与直线l的位置关系；(2)设点q是曲线c上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值解：(1)把极坐标系下的点p化为直角坐标得p(0,4)，p(0,4)满足方程xy40，点p在直线l上(2)法一：因为点q是曲线c上的点，故可设点q的坐标为(cos ，sin )，所以点q到直线l的距离d(r)所以当cos1时，d取得最小值.3(2015河南实验中学模拟)直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为：(为参数)，m是c1上的动点，p点满足2，p点的轨迹为曲线c2.(1)求c2的方程；(2)在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与c1的异于极点的交点为a，与c2的异于极点的交点为b，求|ab|.解：(1)设p(x，y)，则由条件知m.由于m点在曲线c1上，所以从而曲线c2的参数方程为(为参数)(2)曲线c1的极坐标方程为4sin ，曲线c2的极坐标方程为8sin .射线与c1的交点a的极径为14sin ，射线与c2的交点b的极径为28sin .所以|ab|21|2.4(2014江苏高考)在平面直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于a，b两点，求线段ab的长解：将直线l的参数方程(t为参数)代入抛物线方程y24x，得24，解得t10，t28.所以ab|t1t2|8