（江苏专版）高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣（要点回扣+易错警示+查缺补漏）第二篇 第3讲 解答题的八个答题模板 文.doc

第3讲解答题的八个答题模板【模板特征概述】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容本节以著名数学家波利亚的怎样解题为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化模板1三角函数的周期性、单调性及最值问题已知函数f(x)2cos xsinsin2xsin xcos x1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及最小值；(3)写出函数f(x)的单调递增区间审题路线图不同角化同角降幂扩角化f(x)asin(x)h结合性质求解.规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解f(x)2cos xsin2xsin xcos x12sin xcos x(cos2xsin2x)1sin 2xcos 2x12sin1.(1)函数f(x)的最小正周期为.(2)1sin1，12sin13.当2x2k，kz，即xk，kz时，f(x)取得最大值3；当2x2k，kz，即xk，kz时，f(x)取得最小值1.(3)由2k2x2k，kz，得kxk，kz.函数f(x)的单调递增区间为 (kz).第一步：三角函数式的化简，一般化成yasin(x)h的形式或yacos(x)h的形式如：f(x)2sin1.第二步：根据f(x)的表达式求其周期、最值第三步：由sin x、cos x的单调性，将“x”看作一个整体，转化为解不等式问题第四步：明确规范表述结论第五步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范.模板2三角变换与解三角形问题在abc中，若acos2ccos2b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)求角b的取值范围审题路线图(1)(2)规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板(1)证明因为acos2ccos2acb，所以ac(acos cccos a)3b，故ac3b，整理，得ac2b，故a，b，c成等差数列(2)解cos b，因为0b，所以00 (nn*)，且b1b2b315，又a1b1、a2b2、a3b3成等比数列(1)求数列an、bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和tn.审题路线图(1)规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解(1)a11，an12sn1 (nn*)，an2sn11 (nn*，n2)，an1an2(snsn1)，即an1an2an，an13an (nn*，n2)而a22a113，a23a1.数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，an3n1 (nn*)a11，a23，a39，在等差数列bn中，b1b2b315，b25.又a1b1、a2b2、a3b3成等比数列，设等差数列bn的公差为d，则有(a1b1)(a3b3)(a2b2)2.(15d)(95d)64，解得d10或d2，bn0 (nn*)，舍去d10，取d2，b13，bn2n1 (nn*)(2)由(1)知tn3153732(2n1)3n2(2n1)3n1，3tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n，得2tn312323223323n1(2n1)3n32(332333n1)(2n1)3n32(2n1)3n3n(2n1)3n2n3n，tnn3n.第一步：令n1，由snf(an)求出a1.第二步：令n2，构造ansnsn1，用an代换snsn1(或用snsn1代换an，这要结合题目特点)，由递推关系求通项第三步：验证当n1时的结论是否适合当n2时的结论如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示第四步：写出明确规范的答案第五步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范本题的易错点，易忽略对n1和n2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并.模板4空间线、面位置关系的证明及空间角的计算问题如图，在七面体abcdmn中，四边形abcd是边长为2的正方形，md平面abcd，nb平面abcd，且md2，nb1，mb与nd交于p点(1)在棱ab上找一点q，使qp平面amd，并给出证明；(2)求平面bnc与平面mnc所成锐二面角的余弦值审题路线图(1)p是abm的一边bm上的点在另一边ab上一定存在一点q使pqam.(2)建立坐标系构造法向量求夹角.规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解(1)当bqab时，有qp平面amd.证明：md平面abcd，nb平面abcd，mdnb.又.在mab中，qpam.又qp平面amd，am平面amd，qp平面amd.(2)以da、dc、dm所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则d(0,0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，m(0,0,2)，n(2,2,1)(0，2,2)，(2,0,1)，(0,2,0)设平面mnc的法向量为n1(x，y，z)，则取x1，n1(1，2，2)又nb平面abcd，nbdc，又dcbc.dc平面bnc.平面bnc的法向量n2(0,2,0)，cosn1，n2.设所求的锐二面角大小为，则cos |cosn1，n2|.故平面bnc与平面mnc所成锐二面角的余弦值为.第一步：作出(或找出)具有公共交点的三条相互垂直的直线第二步：建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标第三步：求(或找)两个半平面的法向量第四步：求法向量n1，n2的夹角或cosn1，n2(若为锐二面角则求|cosn1，n2|)第五步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角第六步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范如本题求得cosn1，n2后易答二面角的余弦值为而出错，一定要注意这一点.模板5解析几何中的探索性问题已知定点c(1,0)及椭圆x23y25，过点c的动直线与椭圆相交于a，b两点(1)若线段ab中点的横坐标是，求直线ab的方程；(2)在x轴上是否存在点m，使为常数？若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由审题路线图设ab的方程yk(x1)待定系数法求k写出方程；设m存在即为(m,0)求在为常数的条件下求m.规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解(1)依题意，直线ab的斜率存在，设直线ab的方程为yk(x1)，将yk(x1)代入x23y25，消去y整理得(3k21)x26k2x3k250.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则由线段ab中点的横坐标是，得，解得k，适合.所以直线ab的方程为xy10或xy10.(2)假设在x轴上存在点m(m,0)，使为常数()当直线ab与x轴不垂直时，由(1)知x1x2，x1x2. 所以(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2.将代入，整理得m2m2m22m.注意到是与k无关的常数，从而有6m140，m，此时.()当直线ab与x轴垂直时，此时点a、b的坐标分别为、，当m时，也有.综上，在x轴上存在定点m，使为常数.第一步：假设结论存在第二步：以存在为条件，进行推理求解第三步：明确规范表述结论若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设第四步：反思回顾查看关键点，易错点及解题规范如本题中第(1)问容易忽略0这一隐含条件第(2)问易忽略直线ab与x轴垂直的情况.模板6离散型随机变量的分布列、期望与方差已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同(1)每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数的分布列和数学期望e()；(2)每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数的数学期望e()审题路线图取到红球为止取球次数的所有可能1,2,3,4求对应次数的概率列分布列求e()取出后放回，这是条件每次取到红球的概率相同三次独立重复试验利用公式.规 范 解 答 示 例构 建 答 题 模 板解(1)的可能取值为1,2,3,4.p(1)，p(2)，p(3)，p(4).故的分布列为1234p数学期望e()1234.(2)取出后放回，取球3次，可看作3次独立重复试验，所以b(3，)，所以e()3.第一步：确定离散型随机变量的所有可能值第二步：求出每个可能值的概率第三步：画出随机变量的分布列第四步：求期望和方差第五步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范如本题可重点查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否正确.模板7函数的单调性、最值、极值问题已知函数f(x)aln xx (a0)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y0垂直，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)当a(，0)时，记函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)e2.审题路线图(1)f(1)2求a.(2)讨论f(x)0或f(x)0f(x)1 (x0)根据题意，有f(1)2，所以2a2a30，解得a1或a.(2)解f(x)1 (x0)当a0时，因为x0，由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得xa；由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得0xa.所以函数f(x)在(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减当a0，由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得x2a；由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得0x2a.所以函数f(x)在(2a，)上单调递增，在(0，2a)上单调递减(3)证明由(2)知，当a(，0)时，函数f(x)的最小值为f(2a)，即g(a)f(2a)aln(2a)2aaln(2a)3a.g(a)ln(2a)a3ln(2a)2，令g(a)0，得ae2.当a变化时，g(a)，g(a)的变化情况如下表：a(，e2)e2(e2,0)g(a)0g(a)极大值e2是g(a)在(，0)上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是g(a)的最大值点所以g(a)最大值ge2ln3e2ln e2e2e2.所以，当a(，0)时，g(a)e2.第一步：确定函数的定义域如本题函数定义域为(0，)第二步：求函数f(x)的导数f(x)第三步：求方程f(x)0的根第四步：利用f(x)0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格第五步：由f(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性；求极值、最值第六步：明确规范地表述结论第七步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范如本题第(2)问易忽视定义域，对a不能正确分类讨论.模板8含参不等式的恒成立问题已知函数f(x)x3bx2cxd，当x和x1时取得极值(1)求b和c的值；(2)若对于任意x1,2，f(x)2d21恒成立，求d的取值范围审题路线图f(x)f(x)求b，c在1,2上求f(x)的最大值解不等式f(x)max0，即f(x)在1，)上为增函数当x(，1)时，f(x)0，即f(x)在(1,2上为增函数又f()d，f(2)2d，f(2)2df()d，当x1,2时，f(x)max2d，又x1,2时，f(x)2d21恒成立2d2d21，解之得d，故d的取值范围是(，1)(，).第一步：将问题转化为形如不等式f(x)a(或f(x)a)恒成立的问题第二步：求函数f(x)的最小值f(x)min或最大值f(x)max.第三步：解不等式f(x)mina(或f(x)maxa)第四步：明确规范地表述结论第五步：反