福建省厦门市高三数学上学期第四次阶段考试题 理 新人教A版.doc

厦门外国语学校2013届高三年第四次阶段考试数学科（理）试卷 2013年元月一、选择题（每小题5分，共50分）1若，则下列不等式成立的是 ( c ) a. . b. . c. . d. .2.已知向量，如果与垂直，那么实数的值为（ d ）（a） （b） （c） （d）3曲线，与直线，所围成的平面区域的面积为（ d ）a bc d4.把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为( b )a b c d5.已知点（）是圆：内一点，直线的方程为，那么直线与圆的位置关系是 aa相离 b相切 c相交 d不确定6不等式所表示的平面区域为m，若m的面积为s，则的最小值为（ b ） a30 b32 c34 d367. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （ b ）a b c d8设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）da b c d9. 偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)，且在x0，1时,f(x)=x ，则关于x的方程f(x)= ，在x0，4上解的个数是 （ b ）a. 3 b. 4 c. 5 d. 210. 记点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是 （ a ） a. 直线 b. 圆 c. 椭圆 d. 双曲线的一支二、填空题（每小题4分，共20分）11.设为单位向量，的夹角为，则的最大值为_. 12若函数满足且的最小值为，则函数的单调增区间为 . ；13.若函数有且仅有一个极值点，求实数的取值范围 14.若为的各位数字之和，如，则记则= 515. 已知六棱锥的底面是正六边形，平面.则下列结论不正确的序号是 平面平面平面平面三、解答题（本题共6题，80分）16. （12分）已知数列的前项和为，设 （）证明数列是等比数列；（）数列满足，设，求证，对一切不等式恒成立证明：（）由于， 当时， 得 所以 2分又， 所以因为，且， 所以 所以故数列是首项为，公比为的等比数列6分（）由（）可知，则（）8分 10分12分 17（12分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形abcd是矩形，弧cmd是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为,设ab=2x,bc=y.（）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；（）求当x取何值时，凹槽的强度最大. 图1图2abcdm 解：（）易知半圆cmd的半径为x，故半圆cmd的弧长为. 所以 ，得 依题意知：得所以，（）. （）依题意，设凹槽的强度为t，横截面的面积为s，则有 . 因为,所以，当时，凹槽的强度最大. 答:当时，凹槽的强度最大.图518. （14分）如图5所示，在三棱锥中，平面平面，于点， ，（1）证明为直角三角形；（2）求直线与平面所成角的正弦值（1）以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，1分 则，于是，因为，所以所以所以为直角三角形7分（2）由（1）可得，于是，设平面的法向量为，则即取，则，所以平面的一个法向量为12分设直线与平面所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为14分19.（14分）已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于两点（）若，求直线的方程；（）若与的面积相等，求直线的斜率解：（）依题意，直线的斜率存在，因为 直线过点，可设直线： 因为两点在圆上，所以 ，因为 ，所以 .所以 所以 到直线的距离等于所以 ， 得. 所以 直线的方程为或 7分（）因为与的面积相等，所以， 设 ，所以 ，所以 即（*） 因为，两点在圆上，所以 把（*）代入得 所以 故直线的斜率， 即 14分20(14分）已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数.（1） 当时，求的最大值；（2） 若在区间上的最大值为，求的值；（3） 当时，试推断方程=是否有实数解.解：(1) 当a=1时，f（x）=-x+lnx，f(x)=1+1分当0x0；当x1时，f(x)0.f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数3分=f（1）=-14分 (2) f(x)=a+，x(0,e，5分 若a，则f(x)0，从而f(x)在(0,e上增函数 =f（e）=ae+10.不合题意6分 若a00，即0x由f(x)00，即xe.从而f(x)在上增函数,在为减函数=f=-1+ln8分令-1+ln=-3，则ln=-2=，即a=. ,a=为所求9分(3) 由（）知当a=-1时=f（1）=-1，|f（x）|110分又令g（x）=,g（x）=,令g(x)=0，得x=e,当0x0,g(x) 在(0,e)单调递增；当xe时,g(x)0，g(x) 在(e,+)单调递减11分=g（e）= 1, g(x)g(x),即|f(x)| 13分方程|f（x）|=没有实数解.14分21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换变换是将平面上每个点的横坐标乘，纵坐标乘，变到点.（）求变换的矩阵；（）圆在变换的作用下变成了什么图形？（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合若曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程为：（为参数）.（）求曲线的直角坐标方程；（）直线上有一定点，曲线与交于m，n两点，求的值（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知为实数，且（）求证：（）求实数m的取值范围（1）解：（）由已知得t:变化t的矩阵是 3