（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十章 第56课 圆的方程要点导学.doc

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习 第十章 第56课 圆的方程要点导学要点导学各个击破求动点的轨迹方程如图,圆o1与圆o2的半径都是1,o1o2=4,过动点p分别作圆o1,圆o2的切线pm,pn(点m,n分别为切点),使得pm=pn.试建立适当的坐标系,并求动点p的轨迹方程.(例1)思维引导首先建立适当的坐标系,找到线段之间的关系,利用已知条件很容易找到动点满足圆的条件,动点的轨迹应该是圆.解答以o1o2的中点o为原点,o1o2所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则o1(-2,0),o2(2,0).因为pm=pn,所以pm2=2pn2.因为两圆的半径都为1,所以p-1=2(p-1).设p(x,y),则(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1,即(x-6)2+y2=33.故动点p的轨迹方程为(x-6)2+y2=33(或写成x2+y2-12x+3=0).精要点评建立的坐标系不同,则得到的结果可能不同,但是动点的轨迹仍是圆,只是解析式不同而已,但是运算难易也会有所不同,所以建立适当的坐标系会给解决问题带来不同的效果.设 a(-3,0),b(3,0)为两定点,动点p到a点的距离与到b点的距离之比为12,则点p的轨迹图形所围成的面积是.答案16解析设p(x,y),则由题意有=,所以x2+y2+10x+9=0,所以(x+5)2+y2=16,所以点p在半径为4的圆上,故其面积为16.求圆的方程(2014江苏模拟)求圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程.思维引导可以利用“待定系数法”求出圆的方程.解答设圆为(0,b),由题设知圆的方程为x2+(y-b)2=1.因为过点(1,2),所以代入得b=2.故所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.精要点评求圆的方程时,要根据已知条件选择合适的形式,一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都是确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式.另外,充分利用圆的有关几何性质,也可以求得圆的方程中的三个参数.常用的性质有:圆心在过切点且与切点垂直的直线上;圆心在任意弦的中垂线上;两圆相切时,切点与两圆心三点共线.(2014南安模拟)以(-1,2)为圆心、为半径的圆的一般方程为.答案x2+y2+2x-4y=0解析由圆心坐标为(-1,2),半径r=,则圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,化简可得x2+y2+2x-4y=0.圆中的定值(定点)问题已知圆c:x2+y2=9,点a(-5,0),在直线oa上(o为坐标原点),存在定点b(不同于点a),满足:对于圆c上任一点p,都有为一常数.试求所有满足条件的点b的坐标.思维引导由题意知点p为过a,b两点的阿波罗尼斯圆,但其定比未知,故可以用特例求出定点b,然后再验证是否为常数或先假设点b存在,再由恒等性确定b的坐标.解答方法一:假设存在这样的点b(t,0),当点p为圆c与x轴的左交点(-3,0)时,=,当点p为圆c与x轴的右交点(3,0)时,=.依题意知=,解得t=-5(舍去)或t=-.下面证明点b对于圆c上任一点p,都有为一常数.设p(x,y),则y2=9-x2,所以=,从而=为常数.方法二:假设存在这样的点b(t,0),使得为常数,则pb2=2pa2,所以(x-t)2+y2=2(x+5)2+y2,将y2=9-x2代入得x2-2xt+t2+9-x2=2(x2+10x+25+9-x2),即2(52+t)x+342-t2-9=0对x-3,3恒成立,所以解得或(舍去).所以存在点b对于圆c上任一点p,都有为常数.精要点评一般地,我们把“平面内到两个定点距离之比为常数(1)的点的轨迹是圆”叫作圆的第二定义,此圆被叫作“阿波罗尼斯圆”. 本题以阿波罗尼斯圆为背景构建定点问题,体现了阿波罗尼斯圆在解析几何中的重要位置.(2014淮安模拟)已知圆m的方程为x2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-2y=0,点p在直线l上,过点p作圆m的切线pa,pb,切点为a,b.经过a,p,m三点的圆是否经过异于点m的定点?若经过,请求出此定点的坐标;若不经过,请说明理由.解答因为点p在直线l:x-2y=0上,设p(2m,m),mp的中点q,因为pa是圆m的切线,所以经过a,p,m三点的圆是以点q为圆心、mq为半径的圆,故其方程为(x-m)2+=m2+.化简,得x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于m的恒等式,故解得或所以经过a,p,m三点的圆必过异于点m的定点.已知圆o的方程为x2+y2=1,直线l1过点a(3,0),且与圆o相切.(1) 求直线l1的方程;(2) 设圆o与x轴交于p,q两点,点m是圆o上异于点p,q的任意一点,过点a且与x轴垂直的直线为l2,直线pm交直线l2于点p,直线qm交直线l2于点q.证明:以pq为直径的圆c总经过定点,并求出定点坐标.思维引导动点m是问题之源.设m点坐标为(s,t),且s2+t2=1,然后求出动圆方程.令含参数s,t的代数式的系数为0,余下部分为0,解方程组便得定点坐标.规范答题(1) 因为直线l1过点a(3,0),且与圆o:x2+y2=1相切,所以可设直线l1的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0.(2分)则圆心o(0,0)到直线l1的距离为d=1,解得k=.所以直线l1的方程为y=(x-3). (4分)(2) 对于圆o:x2+y2=1,令y=0,得x=1,即p(-1,0),q(1,0).又直线l2过点a且与x轴垂直,所以直线l2的方程为x=3.设m(s,t),则直线pm的方程为y=(x+1).由方程组解得p.同理可得q. (10分)所以以pq为直径的圆c的方程为(x-3)(x-3)+=0.又s2+t2=1,所以整理得(x2+y2-6x+1)+y=0. (12分)若圆c经过定点,则只需令y=0,从而有x2-6x+1=0,解得x=32.所以以pq为直径的圆c总经过定点(32,0). (14分)精要点评 (1) 对于以pq为直径的圆c的方程而言,本题解答选用了直径式,若选用标准式,则运算较繁.(2) 证明动曲线经过定点的一般方法是:将整理好的方程中含有参变量的代数式的系数令为0,余下部分也令为0,然后解方程组即可求得定点坐标.如:动圆(x2+y2-6x+1)+(x2+y2-5)=0恒过定点(1,2),(1,-2).1. (2014江苏模拟)若圆心在直线x=2上的圆c与y轴交于两点a(0,-4),b(0,-2),则圆c的方程为 .答案(x-2)2+(y+3)2=5解析由圆的几何意义知圆心坐标为(2,-3),半径r=,所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.2. 经过三点a(0,0),b(4,0),c(0,6)的圆的方程是 .答案(x-2)2+(y-3)2=133. 圆心为c(3,-5),且与直线x-7y+2=0相切的圆的方程为.答案(x-3)2+(y+5)2=324. 已知点p(2,1)在圆c:x2+y2+ax-2y+b=0上,点p关于直线x+y-1=0的对称点也在圆c上,那么圆c的圆心坐标为,半径为.答案(0,1)2解析因为点p(2,1)在圆c:x2+y2+ax-2y+b=0上,所以2a+b=-3,点p关于直线x+y-1=0的对称点(0,-1)也在圆c上,所以b=-3,a=0,故圆的方程为x