（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十章 第57课 直线与圆的位置关系要点导学.doc

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习 第十章 第57课 直线与圆的位置关系要点导学要点导学各个击破直线与圆的位置关系(2014重庆七校联考)已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,直线l的方程为3x+4y+m=0.若圆与直线相切,则实数m=.答案2或-8解析因为直线与圆相切,所以=1m=-8或2.精要点评圆与直线的位置关系的判定方法主要两种:(1) 利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系;(2) 利用一元二次方程根的判别式的符号.(2014重庆卷)已知直线ax+y-2=0与圆c:(x-1)2+(y-a)2=4相交于a,b两点,且abc为等边三角形,那么实数a=.答案4解析由题设知圆心c到直线ax+y-2=0的距离为,所以=,解得a=4.圆的切线问题(2014张家港模拟)已知圆c:(x-2)2+y2=1.(1) 求过点p(3,m)与圆c相切的切线方程;(2) 若点q是直线x+y-6=0上的动点,过点q作圆c的切线qa,qb,其中a,b为切点,求四边形qacb面积的最小值及此时点q的坐标.解答(1) 当m=0时,切线方程为x=3.当m0时,设切线方程为y-m=k(x-3),所以=1,k=.故切线方程为x=3或y-m=(x-3).(2) s四边形qacb=2sqac=acaq=,故当cq最小即cq垂直于直线x+y-6=0时,四边形qacb的面积最小,cqmin=2,所以s四边形qacb的最小值为,此时cq的方程为y=x-2,故q(4,2).若过点p(3,1)作圆c:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为点a,b,则直线ab的方程为.答案2x+y-3=0解析方法一:由点p(3,1),圆心c(1,0)可设过点p的圆c的切线方程为y-1=k(x-3),由题意得=1,解得k=0或,即切线方程为y=1或4x-3y-9=0.联立得一切点为(1,1),又因为kpc=,所以kab=-=-2,即直线ab的方程为y-1=-2(x-1),整理得2x+y-3=0.方法二:点p(3,1),圆心c(1,0),则以pc为直径的圆的方程为(x-3)(x-1)+y(y-1)=0,整理得x2-4x+y2-y+3=0,联立-得ab的方程为2x+y-3=0.圆的弦长、弦心距和半径关系问题(2014衡水中学模拟)已知圆m:x2+y2-2x-4y-11=0被过点n(-1,1)的直线截得的弦长为4,求该直线的方程.解答圆m方程转化为(x-1)2+(y-2)2=16,则m(1,2),r=4.设过点n(-1,1)的所求直线为l.当直线l的斜率k不存在时,l为x=-1,则交点a(-1,2-2),b(-1,2+2),满足ab=4.当直线l的斜率k存在时,设l的方程为y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0,则d=,则d2+=16,即d2=16-12=4,则k=-,此时,直线l的方程为y-1=-(x+1),即3x+4y-1=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或3x+4y-1=0.【题组强化重点突破】1. 在平面直角坐标系xoy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于a,b两点,则弦ab的长为.答案2解析圆心到直线的距离d=1,所以r2-d2=,即ab2=4(r2-d2)=12,所以ab=2.2. 已知圆(x-4)2+(y-1)2=5内一点p(3,0),那么过点p的最短弦所在直线的方程为.答案x+y-3=0解析设圆心为c,因为过点p(3,0)的最短弦垂直于pc,直线pc的斜率k=1,所以所求直线的斜率为-1,从而直线方程为x+y-3=0.3. (2014安徽示范高中联考)在平面直角坐标系xoy中,圆c的方程为x2+y2=-2y+3,直线l经过点(1,0)且与直线x-y+1=0垂直.若直线l与圆c交于a,b两点,则oab的面积为.答案1解析圆c的标准方程为x2+(y+1)2=4,圆心c为(0,-1),半径为2,直线l的斜率为-1,则方程为x+y-1=0,圆心c到直线l的距离d=,弦长ab=2=2,又坐标原点o到弦长ab的距离为,所以oab的面积为2=1.4. 设点o为坐标原点,点c为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点m(x,y)满足=0,则=.答案解析因为=0,所以omcm,所以om是圆的切线,设om的方程为y=kx,由=,得k=,即=.含参数的圆的问题已知以点c(tr,t0)为圆心的圆与x轴交于点o,a,与y轴交于点o,b,其中o为坐标原点.(1) 求证:aob的面积为定值;(2) 设直线2x+y-4=0与圆c交于点m,n,若om=on,求圆c的方程.思维引导(1) 将aob的面积表示为t的函数即可;(2) 将om=on转化为原点o在mn的中垂线上,即设mn的中点为h,则chmn,然后求出t,再求出圆c的方程.解答(1) 由题设知,圆c的方程为(x-t)2+=t2+,化简得x2-2tx+y2-y=0,当y=0时,x=0或2t,则点a(2t,0).当x=0时,y=0或,则点b.所以saob=oaob=|2t|=4为定值.(2) 因为om=on,所以原点o在mn的中垂线上.设mn的中点为h,则chmn,所以c,h,o三点共线,则直线oc的斜率k=,所以t=2或t=-2,则圆心c(2,1)或c(-2,-1),所以圆c的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.由于当圆c的方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离dr,此时不满足直线与圆相交,故舍去.所以圆c的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.已知圆m的圆心m在y轴上,半径为1,直线l:y=2x+2被圆m所截得的弦长为,且圆心m在直线l的下方.(1) 求圆m的方程;(2) 设点a(t,0),b(t+5,0)(-4t-1).若ac,bc是圆m的切线,求abc面积的最小值.规范答题(1) 设m(0,b),由题设知,点m到直线l的距离是 =. (2分)所以=,解得b=1或b=3. (4分)因为圆心m在直线l的下方,所以b=1,即所求圆m的方程为x2+(y-1)2=1.(6分)(2) 当直线ac,bc的斜率都存在,即-4t-1时,直线ac的斜率kac=tan(2mao)=.同理,直线bc的斜率kbc=. (8分)所以直线ac的方程为y=(x-t),直线bc的方程为y=(x-t-5). (10分)联立方程组得x=,y=. (12分)所以yc=2-.因为-4t-1,所以-t2+5t+1-3,所以yc0,b0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心,那么ab的最大值为.答案4. (2014浙江六校联考)若直线y=kx与圆(