（江苏专用）高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题 课时3 定点、定值、探索性问题 文.doc

课时3定点、定值、探索性问题题型一定点问题例1已知椭圆1(a0，b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于q、p，与椭圆分别交于点m、n，各点均不重合且满足1，2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点.解(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，所以a23.所以椭圆的方程为y21.(2)由题意设p(0，m)，q(x0,0)，m(x1，y1)，n(x2，y2)，设l方程为xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由题意y10，11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，联立得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0，且有y1y2，y1y2，代入得t2m232m2t20，(mt)21，由题意mtb0)的离心率是，其左，右顶点分别为a1，a2，b为短轴的一个端点，a1ba2的面积为2.(1)求椭圆c的方程；(2)直线l：x2与x轴交于d，p是椭圆c上异于a1，a2的动点，直线a1p，a2p分别交直线l于e，f两点，求证：dedf为定值.(1)解由已知，可得解得a2，b.故所求椭圆方程为1.(2)证明由题意可得a1(2,0)，a2(2,0).设p(x0，y0)，由题意可得2x00).(2)弦长ts为定值.理由如下：取曲线c上点m(x0，y0)，m到y轴的距离为d|x0|x0，圆的半径rma，则ts22，因为点m在曲线c上，所以x0，所以ts22，是定值.题型三探索性问题例3(2015湖北)一种画椭圆的工具如图1所示.o是滑槽ab的中点，短杆on可绕o转动，长杆mn通过n处的铰链与on连结，mn上的栓子d可沿滑槽ab滑动，且dnon1，mn3.当栓子d在滑槽ab内作往复运动时，带动n绕o转动，m处的笔尖画出的椭圆记为c.以o为原点，ab所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1) 求椭圆c的方程；(2) 设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于p，q两点.若直线l总与椭圆c有且只有一个公共点，试探究：opq的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.解(1)因为ommnno314，当m，n在x轴上时，等号成立；同理ommnno312，当d，o重合，即mnx轴时，等号成立.所以椭圆c的中心为原点o，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，都有sopq448.当直线l的斜率存在时，设直线l：ykxm，由消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因为直线l总与椭圆c有且只有一个公共点，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24.(*1)又由可得p；同理可得q.由原点o到直线pq的距离为d和pq|xpxq|，可得sopqpqd|m|xpxq|m|.(*2)将(*1)代入(*2)得，sopq8.当k2时，sopq888；当0k2时，sopq88.因0k2，则0b0)以抛物线y28x的焦点为顶点，且离心率为.(1)求椭圆e的方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆e相交于a，b两点，与直线x4相交于q点，p是椭圆e上一点且满足(其中o为坐标原点)，试问在x轴上是否存在一点t，使得为定值？若存在，求出点t的坐标及的值；若不存在，请说明理由.解(1)抛物线y28x的焦点为椭圆e的顶点，即a2.又，故c1，b.椭圆e的方程为1.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x1x2，y1y2)，联立得(4k23)x28kmx4m2120.由根与系数的关系，得x1x2，y1y2k(x1x2)2m.将p代入椭圆e的方程，得1，整理，得4m24k23.设t(t,0)，q(4，m4k)，(4t，m4k)，.即.4k234m2，.要使为定值，只需2为定值，则1t0，t1，在x轴上存在一点t(1,0)，使得为定值.20.设而不求，整体代换典例(16分)椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别是f1、f2，离心率为，过f1且垂直于x轴的直线被椭圆c截得的线段长为1.(1)求椭圆c的方程；(2)点p是椭圆c上除长轴端点外的任一点，连结pf1，pf2，设f1pf2的角平分线pm交c的长轴于点m(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆c有且只有一个公共点，设直线pf1、pf2的斜率分别为k1、k2，若k20，证明为定值，并求出这个定值.思维点拨第(3)问，可设p点坐标为(x0，y0)，写出直线l的方程；联立方程组消去y得关于x的一元二次方程，则0；变为，把k与均用x0，y0表示后可消去.规范解答解(1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程1，得y.2分由题意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以椭圆c的方程为y21.4分(2)设p(x0，y0) (y00)，又f1(，0)，f2(，0)，所以直线pf1，pf2的方程分别为lpf1：y0x(x0)yy00，lpf2：y0x(x0)yy00.6分由题意知.由于点p在椭圆上，所以y1.所以.8分因为m，2x02，可得，所以mx0.因此m0或说明中点在曲线内部.3.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.(时间：80分钟)1.已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点a(2,3)，且点f(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆c的方程；(2)是否存在平行于oa的直线l，使得直线l与椭圆c有公共点，且直线oa与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解(1)依题意，可设椭圆c的方程为1(ab0)，且可知其左焦点为f(2,0).从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆c的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆c有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线oa与l的距离d4，得4，解得t2.由于24，4 ，所以不存在符合题意的直线l.2.(2015四川)如图，椭圆e：1(ab0)的离心率是，点p(0，1)在短轴cd上，且1.(1)求椭圆e的方程；(2)设o为坐标原点，过点p的动直线与椭圆交于a，b两点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解(1)由已知，点c、d的坐标分别为(0，b)，(0，b)，又点p的坐标为(0,1)，且1，于是解得a2，b，所以椭圆e的方程为1.(2)当直线ab的斜率存在时，设直线ab的方程为ykx1，a，b的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立得(2k21)x24kx20，其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以当1时，23，此时3为定值.当直线ab斜率不存在时，直线ab即为直线cd，此时，213.故存在常数1，使得为定值3.3.已知椭圆c：1 (ab0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)过点s的动直线l交椭圆c于a，b两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点q，使得以线段ab为直径的圆恒过点q？若存在，求出点q的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，bc.又斜边长为2，即2c2，故cb1，a，椭圆方程为y21.(2)当l与x轴平行时，以线段ab为直径的圆的方程为x22；当l与y轴平行时，以线段ab为直径的圆的方程为x2y21.由得故若存在定点q，则q的坐标只可能为q(0,1).下面证明q(0,1)为所求：若直线l的斜率不存在，上述已经证明.若直线l的斜率存在，设直线l：ykx，a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得(918k2)x212kx160，144k264(918k2)0，x1x2，x1x2，(x1，y11)，(x2，y21)，x1x2(y11)(y21)(1k2)x1x2(x1x2)(1k2)0，即以线段ab为直径的圆恒过点q(0,1).4.已知直线l：yx，圆o：x2y25，椭圆e：1(ab0)的离心率e，直线l被圆o截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(1)求椭圆e的方程；(2)过圆o上任意一点p作椭圆e的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值.(1)解设椭圆半焦距为c，圆心o到l的距离d，则l被圆o截得的弦长为2，所以b.由题意得又b，a23，b22.椭圆e的方程为1.(2)证明设点p(x0，y0)，过点p的椭圆e的切线l0的方程为yy0k(xx0)整理得ykxy0kx0，联立直线l0与椭圆e的方程消去y，得2kx(y0kx0)23x260，整理得(32k2)x24k(y0kx0)x2(kx0y0)260，l0与椭圆e相切，4k(y0kx0)24(32k2)2(kx0y0)260，整理得(2x)k22x0y0k(y3)0，设满足题意的椭圆e的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1k2.点p在圆o上，xy5，k1k21.两条切线斜率之积为常数1.5.(2014福建)已知曲线上的点到点f(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线的方程；(2)曲线在点p处的切线l与x轴交于点a，直线y3分别与直线l及y轴交于点m，n.以mn为直径作圆c，过点a作圆c的切线，切点为b.试探究：当点p在曲线上运动(点p与原点不重合)时，线段ab的长度是否发生变化？证明你的结论.解方法一(1)设s(x，y)为曲线上任意一点，依题意，点s到f(0,1)的距离与它到直线y1的距离相等，所以曲线是以点f(0,1)为焦点、直线y1为准线的抛物线，所以曲线的方程为x24y.(2)当点p在曲线上运动时，线段ab的长度不变.证明如下：由(1)知抛物线的方程为yx2，设p(x0，y0)(x0