（江苏专用）高考数学大一轮复习 第七章 数列、推理与证明 第39课 等差数列 文.doc

第39课 等差数列(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5p38习题3改编)在等差数列an中，若a1=-1，d=2，则a8=.【答案】132.(必修5p37习题6改编)若a1，a2，a3，an，an+1，a2n是公差为d的等差数列，则数列a2n的公差为.【答案】2d3.(必修5p40习题7改编)在等差数列an中，若a4=10，a10=4，则a7=.【答案】7【解析】由a4+a10=2a7，得a7=7.4.(必修5p44练习5改编)在等差数列an中，已知a5=8，那么s9=.【答案】72【解析】s9=9a5=72.5.(必修5p44练习6改编)在等差数列an中，已知s8=24，s16=32，那么s24=.【答案】24【解析】因为是等差数列，又=3，=2，所以=1，即s24=24.1. 等差数列的定义及通项2.如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列.这个常数叫作等差数列的公差.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d=nd+a1-d(nn*)；推广：an=am+(n-m)d.2.等差数列求和公式sn=na1+d=n2+n.3.等差数列的其他性质(1)若a，b，c，成等差数列，则称b为a，c的等差中项，且b=.(2)在等差数列an中，若m+n=p+q(m，n，p，qn*)，则am+an=ap+aq.(3)s2n-1=(2n-1)an.(4)=a1+(n-1)，所以也是等差数列，首项为a1，公差为.【要点导学】要点导学各个击破等差数列的基本量运算例1已知等差数列an中的前三项和为12，且2a1，a2，a3+1依次成等比数列，求数列an的公差.【思维引导】求得a2的值，设公差为d，构造关于d的方程，然后求之.【解答】设等差数列an的公差为d，由数列的前3项和为12，得3a2=12，所以a2=4.因为2a1，a2，a3+1成等比数列，所以2a1(a3+1)=，即2(a2-d)(a2+d+1)=，即d2+d-12=0，解得d=-4或3.【精要点评】在等差数列的运算中，常见常用的有五个基本量，它们分别是a1，d，n，an，sn.掌握这五个基本量之间的各种关系，结合熟练的运算，即可解决等差数列的常见问题.例2(2015太原期末)设an为等差数列，sn为数列an的前n项和，已知a2+a5=1，s15=75，tn为数列的前n项和(nn*).(1)求sn；(2)求tn及tn的最小值.【思维引导】(1)本题是基本量的运算，由a2+a5=1与s15=75联立方程组，求出a1=-2，d=1，再由等差数列前n项和公式求出sn.(2)先证明bn=也是等差数列，确定首项b1=a1=-2，公差为，再次由等差数列前n项和公式求出tn，利用二次函数的知识求出最小值.【解答】(1)因为an为等差数列，所以设首项为a1，公差设为d，依题意得解得所以sn=na1+d=-2n+=.(2)由(1)知sn=，所以=，设bn=，则bn+1-bn=-=，所以数列bn是公差为的等差数列，首项为b1=a1=-2.又tn为数列的前n项和，所以tn=-2n+=.又因为函数y=的图象开口向上，对称轴方程为x=，且nn*.所以当n=4或n=5时，(tn)min=-5.【精要点评】(1)考查了等差数列前n项和的基本量的运算；(2)考查了也是等差数列的性质.【高频考点题组强化】1.(2015宿迁一模)已知an是等差数列，若2a7-a5-3=0，则a9的值为.【答案】3【解析】方法一：设公差为d，则 2(a1+6d)-(a1+4d)-3=0，即a1+8d=3，所以a9=3.方法二：由等差数列的性质得a5+a9=2a7，所以(a5+a9)-a5-3=0，即a9=3.2.(2015苏州期末)在等差数列an中，已知a4+a6=10，若前5项和s5=5，则其公差为.【答案】2【解析】在等差数列an中，由s5=5a3=5，得a3=1.设公差为d，则a4+a6=(1+d)+(1+3d)=10，解得d=2.3.(2014福建卷)已知等差数列an的前n项和为sn，若a1=2，s3=12，则a6=.【答案】12【解析】设等差数列an的公差为d，由题意得s3=3a1+3d=6+3d=12，所以d=2，a6=a1+5d=12.4.(2015南通、扬州、泰州、淮安三调)在等差数列an中，若an+an+2=4n+6(nn*)，则该数列的通项公式an=.【答案】2n+1【解析】方法一：在等差数列中，an+an+2=4n+6，所以an+1=2n+3，从而an=2n+1.方法二：令n=1，可得a1+a3=10，令n=2，可得a2+a4=14，从而d=2，a1=3，所以an=2n+1.5.(2015南京三模)设等差数列an的前n项和为sn.若sk-1=8，sk=0，sk+1=-10，则正整数k=.【答案】9【解析】由等差数列的性质得为等差数列，所以，(k，0)，三点共线，从而有=，解得k=9.等差数列的通项公式例3设各项均为正数的数列an的前n项和为sn，已知4sn=-4n-1，nn*，且a2，a5，a14构成等比数列.(1)求证：a2=；(2)求数列an的通项公式.【思维引导】(1)对于4sn=-4n-1，取n=1，可得到a1与a2的关系，即可证得；(2)当n2时，有4an=4sn-4sn-1=-4，可得到an+1与an的关系式，从而可知等差数列an的公差.又由a2，a5，a14构成等比数列，从而可求出基本量a1，即可写出其通项公式.【解答】(1)当n=1时，4a1=-5，=4a1+5，因为an0，所以a2=.(2)当n2时，4sn-1=-4(n-1)-1，则4an=4sn-4sn-1=-4，即=+4an+4=(an+2)2，因为an0，所以an+1=an+2，an+1-an=2，所以当n2时，an是公差d=2的等差数列.因为a2，a5，a14构成等比数列，所以=a2a14，即(a2+6)2=a2(a2+24)，解得a2=3.由(1)可知，4a1=-5=4，所以a1=1.因为a2-a1=3-1=2，所以an是首项a1=1、公差d=2的等差数列.所以数列an的通项公式为an=2n-1.【精要点评】等差数列的判断，主要通过等差数列的定义进行判断：an+1-an为常数d，而不能是关于n变化的函数f(n).变式已知各项均为正数的数列an的前n项和为sn，且4sn=+2an+1，nn*，求数列an的通项公式.【解答】当n=1时，a1=1.因为4sn=+2an+1，所以4sn+1=+2an+1+1，两式相减得4an+1=-+2an+1-2an，即(an+1+an)(an+1-an-2)=0.因为数列an的各项都是正数，所以an+1-an=2，所以an为首项为1、公差为2的等差数列，故an=2n-1.等差数列的求和问题例4(2014湖北卷)已知等差数列an满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)记sn为数列an的前n项和，问：是否存在正整数n，使得sn60n+800?若存在，求出n的最小值；若不存在，请说明理由.【思维引导】(1)设数列an的公差为d，根据a1，a2，a5成等比数列求得d的值，从而求得数列an的通项公式；(2)由(1)中求得的an，根据等差数列的求和公式求出sn，从而解不等式求出满足条件的n.【解答】(1)设数列an的公差为d，依题意得2，2+d，2+4d成等比数列，所以(2+d)2=2(2+4d)，解得d=0或d=4.当d=0时，an=2；当d=4时，an=2+(n-1)4=4n-2，所以数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时，sn=2n，显然2n60n+800.当an=4n-2时，sn=2n2，令2n260n+800，即n2-30n-4000，解得n40或n60n+800成立，n的最小值为41.综上所述，当an=2时，不存在满足题意的正整数n；当an=4n-2时，存在正整数n，使得sn60n+800成立，n的最小值为41.【精要点评】等差数列的求和是数列中考查频率比较高的知识点，通常会与解不等式及求最值等知识点综合考查.变式在公差为d的等差数列an中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列.(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.【解答】(1)由题意，得a15a3=(2a2+2)2，由a1=10，an为公差为d的等差数列，得d2-3d-4=0，解得d=-1或d=4，当d=-1时，an=-n+11；当d=4时，an=4n+6.(2)设数列an的前n项和为sn.因为d0，所以|a1|+|a2|+|a3|+|an|=sn，当n12时，an0，|a1|+|a2|+|a3|+|an|=2s11-sn.1.(2015安徽卷)在数列an中，已知a1=1，an=an-1+(nn*)，则数列an的前9项和为.【答案】27【解析】由an=an-1+(nn*)，得数列an是以1为首项、为公差的等差数列，因此s9=27.2.(2014南京学情调研)在等差数列an中，若a4=7，a8=15，则数列an的前n项和sn=.【答案】n2【解析】设等差数列an的公差为d，则a8-a4=4d=8，解得d=2，因此an=7+2(n-4)=2n-1，故sn=n2.3.在等差数列an中，已知s30=20，s90=80，那么s60=.【答案】【解析】设s60=x，则20，x-20，80-x成等差数列，所以20+(80-x)=2(x-20)，解得x=.4.已知数列an的前n项和sn=n2-6n，那么数列|an|的前6项和t6=.【答案】18【解析】由sn=n2-6n，得an是等差数列，且an=2n-7.当n3时，an0，所以t6=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=s6-2s3=18.5.(2015盐城三模)设sn是等差数列an的前n项和，若数列an满足an+sn=an2+bn+c且a0，则+b-c的最小值为.【答案】2【解析】设数列an的公差为d，则an+sn=a1+(n-1)d+na1+=n2+n+a1-d，所以a=，b=a1+，c=a1-d，又a0，所以d0，所以+b-c=+a1+-a1+d=+d2，当且仅当=d，即d=时等号成立.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第7778页.【检测与评估】第39课等差数列一、 填空题1.已知数列an是等差数列，a3=1，a4+a10=18，那么首项a1=.2.(2015全国卷改编)设sn是等差数列an的前n项和.若a1+a3+a5=3，则s5=.3.在等差数列an中，a2=6，a5=15，若bn=a2n，则数列bn的第5项是.4.设等差数列an的前n项和为sn，若a2=-9，a3+a7=-6，则当sn取最小值时，n=.5.设an是公差不为零的等差数列，a1=2，且a1，a3，a6成等比数列，则a2 017=.6.(2014泰州期末)设等差数列an的前n项和为sn，若a2a4a6a8=120，且+=，则s9的值为.7.(2015南通期末)在等差数列an中，已知首项a10，公差d0.若a1+a260，a2+a3100，则5a1+a5的最大值为.8.(2015南京、盐城、徐州二模)记等差数列an的前n项和为sn.已知a1=2，且数列也为等差数列，则a13=.二、 解答题 9.设递减的等差数列an的前n项和为sn，若a3a5=63，a2+a6=16.(1)求数列an的通项公式.(2)当n为多少时，sn取得最大值?并求出其最大值.(3)求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.10.设sn为数列an的前n项和，且sn=kn2+n，nn*，其中k是常数.(1)求a1及an；(2)若对于任意的mn*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值.11.(2014苏锡常镇连徐一调)设各项均为正数的数列an的前n项和为sn，已知a1=1，且(sn+1+)an=(sn+1)an+1对一切的nn*都成立.(1)若=1，求数列an的通项公式；(2)求的值，使数列an是等差数列.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015南通二调)已知等差数列an的首项为4，公差为2，前n项和为sn.若sk-ak+5=44(kn*)，则k的值为.13.(2015福建卷)若a，b是函数f(x)=x2-px+q(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值为.【检测与评估答案】第39课等差数列1.-3【解析】设等差数列an的公差为d，则有a3=a1+2d=1，a4+a10=(a1+3d)+(a1+9d)=2a1+12d=18，解得a1=-3，d=2.2.5 【解析】因为an为等差数列，所以a1+a3+a5=3a3=3，所以a3=1，于是s5=5a3=5.3.30 【解析】设等差数列an的公差为d，由题意得解得所以an=3+3(n-1)=3n.因为bn=a2n，所以b5=a10=30.4. 6【解析】因为a3+a7=2a5=-6，所以a5=-3，所以d=2，an=-9+2(n-2)=2n-13，所以a6=-1，a7=1，所以s6最小.5.1 010【解析】设等差数列an的公差为d，d0.由题意得=a1a6，即(2+2d)2=2(2+5d)，解得d=，所以a2 017=2+2 016=1 010.6.【解析】由题意得+=+=，则2(a2+a8)=14，即a2+a8=7，所以s9=(a2+a8)=.7.200【解析】由题意得所以设x(2a1+d)+y(2a1+3d)=6a1+4d，所以解得于是两式相加得5a1+a5200.8.50【解析】方法一：设数列an的公差为d.因为为等差数列，所以成等差数列，从而2=+，解得d=4，所以a13=2+12d=50.方法二：因为数列为等差数列，所以设它的公差为d，则=+(n-1)d，因此sn=(n-1)d+2，从而当n2时，有an=sn-sn-1=(2n-3)d2+2d.由于数列an为等差数列，所以a1=-d2+2d=2，解得d=，从而an=2(2n-3)+4=4n-2，故a13=50.方法三：设数列an的公差为d，则sn=2n+d=+n.由于为等差数列，所以sn=+n应为以n为元的一个完全平方式，所以2-=0，所以d=4，从而a13=2+124=50.9.(1)由题意知a2+a6=a3+a5=16，又a3a5=63，所以a3与a5是方程x2-16x+63=0的两根，解得或又因为an是递减的等差数列，所以则公差d=-1，a1=11，所以an=a1+(n-1)d=11+(n-1)(-1)=12-n.(2)由得解得11n12.又nn*，所以当n=11或n=12时，sn取得最大值，且最大值为s11=s12=1211+(-1)=66.(3)由(2)知，当n12时，an0，当n12时，an12时，|a1|+|a2|+|a3|+|an|=a1+a2+a3+a12-(a13+a14+a15+an)=-sn+2s12=n2-n+132.所以|a1|+|a2|+|a3|+|an|=10. (1) 当n=1时，a1=s1=k+1.当n2时，an=sn-sn-1=kn2+n-k(n-1)2+(n-1)=2kn-k+1.经检验，当n=1时，式也成立，所以an=2kn-k+1.(2) 因为am，a2m，a4m成等比数列，所以=ama4