（江苏专用）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.3 直线、平面平行的判定与性质 文.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.3 直线、平面平行的判定与性质 文1直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abp，a，b，a，b，a结论aba【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(5)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(6)空间四边形abcd中，e，f分别是ab，ad的中点，则ef平面bcd.()(7)若，直线a，则a.()1若直线l不平行于平面，且l，则下列说法正确的是_内的所有直线与l异面；内不存在与l平行的直线；内存在唯一的直线与l平行；内的直线与l都相交答案解析由题意知，直线l与平面相交，则直线l与平面内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有是正确的2设，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n；m，n；n，m.可以填入的条件有_答案或解析由面面平行的性质定理可知，正确；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确3(教材改编)下列命题中正确的是_若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面；若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行；平行于同一条直线的两个平面平行；若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b.答案解析中，a可以在过b的平面内；中，a与内的直线可能异面；中，两平面可相交；中，由直线与平面平行的判定定理知，b，正确4(教材改编)如图，正方体abcda1b1c1d1中，e为dd1的中点，则bd1与平面aec的位置关系为_答案平行解析如图，连结bd，设bdaco，连结eo，在bdd1中，o为bd的中点，所以eo为bdd1的中位线，则bd1eo，而bd1平面ace，eo平面ace，所以bd1平面ace.5过三棱柱abca1b1c1任意两条棱的中点作直线，其中与平面abb1a1平行的直线共有_条答案6解析各中点连线如图，只有面efgh与面abb1a1平行，在四边形efgh中有6条符合题意题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1如图，四棱锥pabcd中，adbc，abbcad，e，f，h分别为线段ad，pc，cd的中点，ac与be交于o点，g是线段of上一点(1)求证：ap平面bef；(2)求证：gh平面pad.证明(1)如图，连结ec，adbc，bcad，bc綊ae，四边形abce是平行四边形，o为ac的中点又f是pc的中点，foap，fo平面bef，ap平面bef，ap平面bef.(2)连结fh，oh，f，h分别是pc，cd的中点，fhpd，fh平面pad.又o是be的中点，h是cd的中点，ohad，oh平面pad.又fhohh，平面ohf平面pad.又gh平面ohf，gh平面pad.命题点2直线与平面平行性质定理的应用例2(2014安徽)如图，四棱锥pabcd的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点g，e，f，h分别是棱pb，ab，cd，pc上共面的四点，平面gefh平面abcd，bc平面gefh.(1)证明：ghef；(2)若eb2，求四边形gefh的面积(1)证明因为bc平面gefh，bc平面pbc，且平面pbc平面gefhgh，所以ghbc.同理可证efbc，因此ghef.(2)解如图，连结ac，bd交于点o，bd交ef于点k，连结op，gk.因为papc，o是ac的中点，所以poac，同理可得pobd.又bdaco，且ac，bd都在底面内，所以po底面abcd.又因为平面gefh平面abcd，且po平面gefh，所以po平面gefh.因为平面pbd平面gefhgk，所以pogk，且gk底面abcd，从而gkef.所以gk是梯形gefh的高由ab8，eb2得ebabkbdb14，从而kbdbob，即k为ob的中点再由pogk得gkpo，即g是pb的中点，且ghbc4.由已知可得ob4，po6，所以gk3.故四边形gefh的面积sgk318.思维升华判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)(1)如图所示，在四棱锥pabcd中，abcacd90，baccad60，e为pd的中点，ab1，求证：ce平面pab；(2)如图所示，cd，ab均与平面efgh平行，e，f，g，h分别在bd，bc，ac，ad上，且cdab.求证：四边形efgh是矩形证明(1)由已知条件有ac2ab2，ad2ac4，cd2.如图所示，延长dc，ab，设其交于点n，连结pn，nacdac60，accd，c为nd的中点，又e为pd的中点，ecpn，ec平面pab，pn平面pab，ce平面pab.(2)cd平面efgh，而平面efgh平面bcdef，cdef.同理hgcd，heab且gfab，efhg.同理hegf，四边形efgh为平行四边形cdef，heab，hef为异面直线cd和ab所成的角又cdab，heef.平行四边形efgh为矩形题型二平面与平面平行的判定与性质例3如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，e，f，g，h分别是ab，ac，a1b1，a1c1的中点，求证：(1)b，c，h，g四点共面；(2)平面efa1平面bchg.证明(1)g，h分别是a1b1，a1c1的中点，gh是a1b1c1的中位线，ghb1c1.又b1c1bc，ghbc，b，c，h，g四点共面(2)e，f分别是ab，ac的中点，efbc.ef平面bchg，bc平面bchg，ef平面bchg.a1g綊eb，四边形a1ebg是平行四边形，a1egb.a1e平面bchg，gb平面bchg，a1e平面bchg.a1eefe，平面efa1平面bchg.引申探究1在本例条件下，若d为bc1的中点，求证：hd平面a1b1ba.证明如图所示，连结hd，a1b，d为bc1的中点，h为a1c1的中点，hda1b，又hd平面a1b1ba，a1b平面a1b1ba，hd平面a1b1ba.2在本例条件下，若d1，d分别为b1c1，bc的中点，求证：平面a1bd1平面ac1d.证明如图所示，连结a1c交ac1于点m，四边形a1acc1是平行四边形，m是a1c的中点，连结md，d为bc的中点，a1bdm.a1b平面a1bd1，dm平面a1bd1，dm平面a1bd1.又由三棱柱的性质知，d1c1綊bd，四边形bdc1d1为平行四边形，dc1bd1.又dc1平面a1bd1，bd1平面a1bd1，dc1平面a1bd1，又dc1dmd，dc1，dm平面ac1d，平面a1bd1平面ac1d.思维升华证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化如图，在三棱锥sabc中，asab.过a作afsb，垂足为f.点e，g分别是棱sa、sc的中点求证：平面efg平面abc.证明因为asab，afsb，所以f是sb的中点又因为e是sa的中点，所以efab，又ef平面abc，ab平面abc，所以ef平面abc，同理eg平面abc，又efege，所以平面efg平面abc.题型三平行关系的综合应用例4如图所示，在四面体abcd中，截面efgh平行于对棱ab和cd，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解ab平面efgh，平面efgh与平面abc和平面abd分别交于fg、eh.abfg，abeh，fgeh，同理可证efgh，截面efgh是平行四边形设aba，cdb，fgh (即为异面直线ab和cd所成的角或其补角)又设fgx，ghy，则由平面几何知识可得，两式相加得1，即y(ax)，sefghfgghsin x(ax)sin x(ax)x0，ax0且x(ax)a为定值，当且仅当xax时，x(ax)，此时x，y.即当截面efgh的顶点e、f、g、h为棱ad、ac、bc、bd的中点时截面面积最大思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决如图所示，四棱锥pabcd的底面是边长为a的正方形，侧棱pa底面abcd，在侧面pbc内，有bepc于e，且bea，试在ab上找一点f，使ef平面pad.解如图所示，在平面pcd内，过e作egcd交pd于g，连结ag，在ab上取点f，使afeg，egcdaf，egaf，四边形fega为平行四边形，feag.又ag平面pad，fe平面pad，ef平面pad.f即为所求的点又pa面abcd，pabc，又bcab，bc面pab.pbbc.pc2bc2pb2bc2ab2pa2.设pax则pc，由pbbcbepc得：aa，xa，即paa，pca.又ce a，即gecda，afa.即afab.故点f是ab上靠近b点的一个三等分点5立体几何中的探索性问题典例(14分)如图，在四棱锥sabcd中，已知底面abcd为直角梯形，其中adbc，bad90，sa底面abcd，saabbc2.tansda.(1)求四棱锥sabcd的体积；(2)在棱sd上找一点e，使ce平面sab，并证明规范解答解(1)sa底面abcd，tansda，sa2，ad3.2分由题意知四棱锥sabcd的底面为直角梯形，且saabbc2，vsabcdsa(bcad)ab2(23)2.6分(2)当点e位于棱sd上靠近d的三等分点处时，可使ce平面sab.8分证明如下：取sd上靠近d的三等分点为e，取sa上靠近a的三等分点为f，连结ce，ef，bf，则ef綊ad，bc綊ad，bc綊ef，cebf.12分又bf平面sab，ce平面sab，ce平面sab.14分解决立体几何中的探索性问题的步骤第一步：写出探求的最后结论第二步：证明探求结论的正确性第三步：给出明确答案第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾的结论就否定假设(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”，“只需使成立”方法与技巧1平行问题的转化关系线线线面面性质判定面2直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质3平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.失误与防范1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”3解题中注意符号语言的规范应用a组专项基础训练(时间：40分钟)1平面平面，点a，c，b，d，则直线ac直线bd的充要条件是_abcd; adcb；ab与cd相交； a，b，c，d四点共面答案解析充分性：a，b，c，d四点共面，由平面与平面平行的性质知acbd.必要性显然成立2(2015安徽改编)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是_若，垂直于同一平面，则与平行；若m，n平行于同一平面，则m与n平行；若，不平行，则在内不存在与平行的直线；若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案解析对于，垂直于同一平面，关系不确定，故错；对于，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故错；对于，不平行，但内能找出平行于的直线，如中平行于，交线的直线平行于，故错；对于，若假设m，n垂直于同一平面，则mn，其逆否命题即为，故正确3设l为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是_若l，l，则；若l，l，则；若l，l，则；若，l，则l.答案解析l，l，则与可能平行，也可能相交，故项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知项正确；由l，l可知，故项错；由，l可知l与可能平行，也可能l，也可能相交，故项错4给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面、的三个命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m.n，l，则mn.其中真命题的个数为_答案1解析中当与不平行时，也可能存在符合题意的l、m；中l与m也可能异面；中ln，同理，lm，则mn，正确5下列四个正方体图形中，a，b为正方体的两个顶点，m，n，p分别为其所在棱的中点，能得出ab平面mnp的图形的序号是_答案解析中易知npaa，mnab，平面mnp平面aab可得出ab平面mnp(如图)中，npab，能得出ab平面mnp.6在四面体abcd中，m，n分别是acd，bcd的重心，则四面体的四个面中与mn平行的是_答案平面abd与平面abc解析如图，取cd的中点e，连结ae，be.则emma12，enbn12，所以mnab.所以mn平面abd，mn平面abc.7.如图所示，abcda1b1c1d1是棱长为a的正方体，m、n分别是下底面的棱a1b1、b1c1的中点，p是上底面的棱ad上的一点，ap，过p、m、n的平面交上底面于pq，q在cd上，则pq_.答案a解析平面abcd平面a1b1c1d1，mnpq.m、n分别是a1b1、b1c1的中点，ap，cq，从而dpdq，pqa.8.如图，在正四棱柱abcda1b1c1d1中，e、f、g、h分别是棱cc1、c1d1、d1d、cd的中点，n是bc的中点，动点m在四边形efgh上及其内部运动，则m满足条件_时，有mn平面b1bdd1.答案m线段fh解析因为hnbd，hfdd1，所以平面nhf平面b1bdd1，故线段fh上任意点m与n相连，都有mn平面b1bdd1.(答案不唯一)9.如图，abcd与adef为平行四边形，m，n，g分别是ab，ad，ef的中点求证：(1)be平面dmf；(2)平面bde平面mng.证明(1)如图，连结ae，则ae必过df与gn的交点o，连结mo，则mo为abe的中位线，所以bemo，又be平面dmf，mo平面dmf，所以be平面dmf.(2)因为n，g分别为平行四边形adef的边ad，ef的中点，所以degn，又de平面mng，gn平面mng，所以de平面mng.又m为ab中点，所以mn为abd的中位线，所以bdmn，又bd平面mng，mn平面mng，所以bd平面mng，又de与bd为平面bde内的两条相交直线，所以平面bde平面mng.10.如图，e、f、g、h分别是正方体abcda1b1c1d1的棱bc、cc1、c1d1、aa1的中点求证：(1)eg平面bb1d1d；(2)平面bdf平面b1d1h.证明(1)取b1d1的中点o，连结go，ob，易证四边形bego为平行四边形，故obge，由线面平行的判定定理即可证eg平面bb1d1d.(2)由题意可知bdb1d1.如图，连结hb、d1f，易证四边形hbfd1是平行四边形，故hd1bf.又b1d1hd1d1，bdbfb，所以平面bdf平面b1d1h.b组专项能力提升(时间：30分钟)11已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中错误的是_若m，m，则；若，则；若m，n，mn，则；若m，n是异面直线，m，m，n，n，则.答案解析由线面垂直的性质可知正确；由面面平行的性质可知正确；m，n，mn，可能平行，也可能相交，故错误；由线面平行的性质和面面平行的判定定理可知正确12如图，空间四边形abcd的两条对棱ac、bd的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形efgh在平移过程中，周长的取值范围是_答案(8,10)解析设k，1k，gh5k，eh4(1k)，周长82k.又0k1，周长的范围为(8,10)13在正四棱柱abcda1b1c1d1中，o为底面abcd的中心，p是dd1的中点，设q是cc1上的点，则点q满足条件_时，有平面d1bq平面pa