（基础数学专业论文）几类泛函微分方程正周期解的存在性.pdf

摘要 本文研究了几类泛函微分方程的正周期解 在第二章本文利用重合度理论给出了具有扩散和放养项的时滞 捕食者一食饵系统的正周期解的存在性的充分条件 x g 工 o 1 f 一口 ob f 一 l mjl垒x型l t m2x2 t o g o 一石 o j o x o z g 吃o 一口 o b g 一了 i 丢犏 o g g 一x o s o x o 工 o 一巧o 兰宅丢渊一口 gb f j g 在第三章利用重合度理论中的延拓定理讨论了一类具有偏差变 元的捕食者一食饵系统的全局周期解的存在性 得到了一些新结果 f z o x o 渺 o 一口 f b o f o 一a t x o b o 盯o s f 工 o x 2 0 一b o 一口 o b o f o s o 在第四章 研究了非自治的具有时滞的自食系统的开发模型 f 毫o o 屯o 一y f 五o 一口 o z o 一丁 一哆 o b o s o z g 口 o x o f 一卢 o q 五o k o 叉 f 的正周期解的存在性 在第五章使用锥上不动点定理 讨论了如下差分方程 a x n f n l x n 1 正周期解的存在性 关键词 周期解 泛函微分方程 重合度 不动点定理 i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w es t u d yt h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rs o m e f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e rt w o w es t u d yt h ed e l a yp r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hs t o c k b yu s i n gt h ec o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y 拍 硝o 槲q 而a 1 3 t x 3 t 1 坞眠 柏 蝎o x o 工 o 吃o 一口 o b o 一t i 二 鹅 o g o 一x o s o z o z o 一 o 善穹署渊一口 o b o 屯o s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a tg u r a n t e et h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n so ft h es y s t e ma r eo b t a i n e d i nc h a p t e rt h r e e b yu s i n gt h ec o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y w es t u d y t h eg l o b a le x i s t e n c eo f p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so fp r e d a t o r p r e ys y s t e m a r ew i t h d e v i a t i n ga r g u m e n t si n e d b y i nc h a p t e rf o u r w es t u d yt h ep e r i o d i c i t yo fac l a s so fm a t h e m a t i c a l m o d e l sw i t hc a n n i b a l i s ma r i s i n gb i o e c o n o m i c s i 卜 废 淼h q m 如臻 i nc h a p t e rf i v ew ed i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n t h ei nt h ef o l l o w i n gd i f f e r e n c ee q u a t i o n 川 伽 1 翔 以 1 缸 z x n 1 x n k e y w o r d s p e r i o d i cs o l u t i o n f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n c o i n c i d e n c ed e g r e e f i x e d p o i n tt h e o r e m i v 眈足蚺概 如q拍联八力嬲 吃 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下 独立进行研究工作所取得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果 对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明 本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 毒知垒研年t z 月f 日 i 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口 在 年解密后适用本授权书 2 不保密曰 请在以上相应方框内打 作者签名 蠢雅日期 三呵年协月 f 日 剥醛各狰1嗍 砷引堋y 日 l lf 几类泛函微分方程的正周期解的存在性 1 绪论 周期现在自然界和人们的生活与生产实践中频繁发生 特别是在 一些生态模型中 例如 四季变化 理论物理学 光波的传播规律 经济中的许多发展规律 它们许多变化规律都与周期息息相关 周期 解一直是微分方程理论的一个重要部分 关于微分方程周期解的存 在性与多重性 这方面已有许多学者发表了许多代表性的文章 这对 周期解的研究在理论和实践中具有非常重要的意义 目前主要方法有k a p l a n y o r k 祸合系统法 拓扑度理论 临界点 理论 包括极小极大理论 几何指标理论与m o r s e 理论 分支理论 各种不动点理论等 最近几十年来 这些理论通过一批数学工作者的 努力 取得了巨大的发展 代表人物有张恭庆 郭大均 张正球 刘 正荣 范猛 吴建宏等 对于泛函微分方程周期解的存在性问题的研 究 一直是数学工作者非常重视的理论课题 已有许多学者发表了许 多代表性的文章 取得了非常多的结果 其中x i a o r u a n 张正 球 w e i r u a n 等运用h o p f 分支理论得到了几类生态系统周期解的存 在性的结果 刘志军 f r e e d m a n p e n g 利用周期解的持久性和 l y a p u n o v r a z u m i k h i n 方法得到了几类具有时滞条件的捕食者一食饵 系统的周期解的存在性已及全局吸引性的充分条件 李永昆 文贤章 范猛 张正球 鲁世平 王志诚等利用m a w h i n 重合度理论 讨论了许 多生物竞争模型中具有时滞现象的微分方程 捕食者一食饵模型 具 高校教师在职硕士学位论文 有扩散项的生物竞争系统的周期解的存在性 得到了许多有意的结 论 下面介绍本文的主要工作 一 具有扩散和放养项的时滞捕食者一食饵系统的周期解的 存在性 目前 生态竞争系统周期解的存在性的研究已引起数学工作者的 广泛兴趣 近年来 种群的持续生存是生态竞争系统中捕食者 食饵系 统的一个重要研究的问题 对于标准的l o t k a v o l t e r e a 型捕食者 食饵 系统已有大量的研究工作 x o 啊o x o n o 一b i t x f 一c o y o d o x 名 o 一仃 一工 o x o h 2 0 x o 口 g 一b o 工 o d o g o r 一x o 1 1 x o h 3 0 y 以 o 一6 3 0 o 一p t fk s y o s d s c o 石 o 对捕食者一食饵系统 1 1 的解的有界性 稳定性 震动性及持久 性 周期解的存在性已有许多学者进行深入研究 发表了大量的文 匕 罩 但是 大部分大部分工作集中在对不含放养项的捕食者一食饵系 统的研究 研究带扩散和放养项的捕食者一食饵系统的文章还很少 房辉和王志诚教授讨论了一类具有放养项的捕食者一食饵系统 几类泛函微分方程的正周期解的存在性 统 z o h i o x o 以 o 一b f 工 0 一c i f y f d o j o 一玎 一x o s o z o 矗 f x o 乜 f 一b 2 0 x o d f 烛 o f 一工 f s g 1 2 x o 五 f y o 口 f 一6 o y o 一f l t l 尼 s y o s 西 c o x o 5 o 利用迭合度理论给出了系统 1 2 的正周期解的存在性的充分条 文贤章和陈福来教授讨论了具有扩散和放养项的捕食者一食饵系 x o x f 1 f a l t x f 一6 1 f 畎f a 1 f 后 o x lo s 凼 d f g o 一x o s o z o x f 吃 f a 2 t x f a 2 f 尼 s x f s 出 1 3 d o g o 一x o s o x o y o 吒 f 一盘 o 工 q b o y o j o 利用迭合度理论给出了系统 1 3 的正周期解的存在性的充分条 件 第二章 本文利用迭合度理论讨论了具有扩散和放养项的时滞捕 食者 食饵系统 x i o z o 1 0 一口 o b o 一了 i 妻 d o g o 一工 o s f z 胁工 t l 乞 f 一 o 圳一焉a 2 3 t x 3 t 1 1 4 d o g o 一工 o s 2 0 x o x o 一 o 垩宅署渊一8 o k o s o 高校教师在职硕士学位论文 利用迭合度理论给出了该系统的正周期解的存在性的充分条件 二 一类具有偏差变元的捕食者一食饵系统的周期解的存在性 随着科学技术的发展 人们发现具有偏差变元的微分方程能很好 反映自然界变化过程的某些现象 许多领域如理论物理 生物学 经 济学 机械 动力系统等许多方面的变化规律都可以用偏差变元的微 分方程来刻画和描述 由于偏差变元的微分方程的逐步应用 对该问 题的研究逐渐引起了人们的兴趣 捕食者一食饵系统是非常重要的生态系统 已发表了大量的文 章 多物种生态系统的全局周期解的存在性具有非常重要的实际意 义 历来受到数学工作者的重视 捕食者一食饵系统的解的有界性 稳定性 震动性与持久性 已有许多学者进行深入研究 发表了大 量的文章 但关于全局周期解的存在性的结果尚不多见 尤其是具有偏差变 元的捕食者一食饵系统 一类具有偏差变元的捕食者一食饵系统 这类模型为 f x o x o 移 o a 1 0 b o f o 一a t x 2 0 b o 仃o k o x 2 0 一b o 一口 o b o f o 1 5 范猛 王克利用拓扑度理论研究了该系统周期解的存在性 得到了一 些结果 下面讨论非自治的具有收获率的捕食者一食饵系统的开发模 型 f x o x l o 如 o 一口 o b o f o 一c t t x o b o 涉g s f i x o x 2 0 一b o 一口 o h o f o s o 1 6 几类泛函微分方程的正周期解的存在性 作者运用拓扑度理论得到了 1 6 正周期解的存在性的充分条件 其 中s f 是o 是非负连续的r 一周期函数 三 具有时滞的自食系统生物模型的周期性 自食现象是许多种群共有的自然现象 目前为止 讨论有自食系 统生物模型的文献很少 在大自然中存在这样一种生物群 其成年种群会吃自己的幼年种 群或蛹 这类模型为 f x o 锻 o 一y x o 一纰一r r x o f 一国 o h o k o 船一芦x o f 一腹 f 而 f b f 1 7 本文在第四章 利用重合度理论研究了非自治的具有时滞的自食系统 的开发模型 f x o 口 o x o 一r t x o 一口 o z o r 一 0 2 x o b o s o l x o 9 2 0 z f f 一肛 f z o b o s o 1 8 的正周期解的存在性 四 差分方程周期解的存在性 微分方程的周期解的研究已有许多的结果 迭合度理论是主要的 工具之一 但迭合度理论不适用中立型差分方程 有如下差分方程 一缸 1 f n 1 x n 1 x 嚣 一g n x n f 挖 口g b o 一厂g x n f 0 第五章本文应用不动点定理 锥理论讨论了该方程 周期解存在性 几类泛函微分方程的正周期解的存在性 2 具有放养的时滞捕食扩散系统的正周期解的存在性 2 1 引言 目前 生态系统周期解的存在性得到了广泛的研究 对于标准的 l o t k a v o l t e r e a 型捕食者一食饵系统已有大量的研究工作 毫o h l f 而o 口 o 一岛o f 一q p y 0 q o 融 o 一仃 一x o x f h 2 0 石 f 口 t b o x f d o o f 一x o 2 1 石 o h 3 f y o t b 3 t y t 一 f 尼 s y f s d s c f x o 对捕食者一食饵系统 1 1 的解的稳定性 有界性 震动性 持久 性 周期解的存在性已有许多学者进行深入研究 但关于具放养项的种群模型动力学行为发表的文章还很少 本文 利用迭合度理论给出了具有扩散和放养项的时滞捕食者一食饵系统的 正周期解的存在性 拍 弘o 槲q 蹶m 而a 州1 3 t 舯l c 3 t 础川 d o g o 一x g 屯o x o z o 匕o 一口 o b f 一了 i 丢量三譬 2 1 1 d o g o 一工 o s o x o 工 o 一吩 竺 圣穹署渊一口 ob o s o 高校教师在职硕士学位论文 其中z f x f 分别代表食饵的种群密度 x f 表示捕食者的种群 密度珞 f f 1 2 3 为周期的连续的周期函数 其中 d 1 0 o x 1 0 d 2 0 烛 o x 2 0 为扩散项 反映两物种可以在两地之 间躲避 b 为扩散系数口 0 o k g l m 工 o m 2 工2 0 为功能函数 反映了捕食者对食饵工 i 1 2 的捕食能力 l f 口豇 口妒 f d f 是以国为周期的正周期函数聊 m o s f 1 2 3 代表放养系数 在下文中 作者运用拓扑度理论得到正周期解的存在性的充分条 件 2 2 正周期解的存在性 为了证明正周期解的存在性 下面我们介绍重合度理论中的延拓 定理 设x z 是赋范向量空间 l d o t a lc 7 x z 为线性映射 n x 专z 为连续映射 如果 d i m k e r l c od i m i m l m 一1 n i 巧 一 7 口3 l 口3 2 p m l 一口1 3 扯s 3 水h 塑等t 菩髫e 谛也 1 l i mi 口l ll 吩一口1 3 j 一1 吃7 巧7 一r 2 t 计 p 肘t 一对s 3 碱地盟等茫筹e 幕丝 l i 口2 2 毛一口1 3 j 9 高校教师在职硕士学位论文 p m a x m 聊 定理2 2 1 假定h h h h 成立 q 吩7 口3 l 口3 2 p m 日2 1 7 r 3 7 口3 l 口3 2 e 1 口1 3 邑 i 1 3 r 2 7 巧 r 2 1 口3 1 口3 2 p 1 q 3 s 3 乙 口3 1 7 口3 2 7 p 户 巧 巧 聊1 班2 e 肘1 那么 2 1 1 至少有一个正缈周期解 证明考虑下列系统 o o 一口 o p 唧 一了 焰 d o 始 t u l t 一1 s 1o 哪 f 吃o 一口 o b 叱 f 一了 三络 d 2o 蝴 卜她o o 一巧 f 1 m l e l m 2 e 2 一口3 3o p 岣 s 3o p 一吻o 2 2 2 很明显 如果 2 2 2 有正缈周期解 f f f r 则 p p f p 翻 r 是 2 2 1 的正周期解 因此 要l i e b f j 2 2 1 有正周期解 只须证明系统 2 2 2 至少有一个i ec o 周期解 及 设 r y o o o rc r r 3 f 缈 o i 1 2 3 o f f r0 m a x l u t i m a x l u t m a x u o i 不难验证 x 是以1 1 1 1 为范数的b a n a c h 空间 p n 弛 弦 屯啪 咖 一 设 及 几类泛函微分方程的正周期解的存在性 l u o f f r f j f r c r r 3 n u 力 1 f a l l 桫n 一旯 精 1 1 9 o 姑帅n 一1 乃 f 弘哪 吃 t a 2 2 0 叱 f 一五了 络 a d o 始州r 删一1 i s o k l 一 o 穹基兰筹一口 o p蚝 f 瓜 o e一吣 三 掣 砌 丢r o a t z 显然 k e r l r 3 i m l z z z t d t 0 是x 的闭子空间 且 i m p k e r l k e r q i m l m a i q 因此 l 是指标为0 的f r e d h o l m 映射 而且印具有下列形式 砀 i m l k e r p n d m l 印 z i z h f 一a 丁 i 丢烁 a d o 始 如 1 l f 一 厶 o p 1 i f 旯 2 0 一口 o x 也 r 一允 岛啦渺沪姒 一 地弦姒f 五 一吩 f 竺 兰穹丢兰筹一口 f pu t dr厶30 1 设 o f f r 是系统 2 3 n n 期解 那么存在磊 仇 o c o 使得 u i 缶 m a x u f f u f 仇 m i n u f f i 1 2 3 显然有 点 o 仇 o i 1 2 3 2 4 由 2 2 3 2 2 4 可得 2 2 3 j 柢 1 鼢 虬名高鳓嘲g 烨h 呐缈 札 叱 嘞鼢 虬允孟蠕知 加 g 舻h 一 啦吣啦 o 2 5 一 g 型 至 毫兰芸芸拶一口 皓 pb 岛 船 g p1 南 1 2 几类泛函微分方程的正周期解的存在性 和 删砜m 删一力高龆啪瓴炒1 曲i 讹抄幽i 吃瓴 一 瓴扣响 一五再i 鲁妫 弛幻 婚州廿幽 一1 知2 瓴k 飞 科 0 2 6 一巧瓴 型 言三兰三拶一心 瓴弦如瓴 瓜 仇x 一如白 下面分别对 孝f 0 7 g 1 2 3 进行讨论 对 2 2 5 分两种情形加以 讨论 情形1 若 孝 f 则甜 参 点 由 缶 0 得 点k t 卣 一口 点蠢2 吨 螽 s 轰 o 8 2 唧 螽 一咯 e 地 卣 一噜 e 蝴 磊 圭咯 丢 o 艇再函 姒劲甄 胚小拶 幅再万 叫 情形2 若 孝 善 则 磊 慨 一a 2 2 g 弘2 h 六 s 售 o 类似与 2 2 7 式的推导 我们有 由 得 姒射 姒釉妯l 喏 3 孝3 0 厄再虿 m 2 2 7 2 2 8 一巧 c毛 型 睾穹三兰芸笔拶一口 皓 q 白 知 g l一均 彘 1 3 高校教师在职硕士学位论文 舷 华誊拶蝎桫旭 r 3 以3 l 扯 口3 2 e 肘1 s 3 e 一妁 岛 p b 慨 再丽s 3 u 3 一 d 3 1 口3 2 j e 瓴 m 再南 m 对 2 2 6 分两种情况讨论 情形1 7 7 1 1 那么 1 1 刁 由 7 7 1 o 得 相 i 一口 e 训 i 7 一c z l 再丽 3 u 一撕 7 1 l 巧7 一巧i 口3 1 口3 2 p 肘l 一口1 3 s 3 p 撕 7 i 垡i 二丛堕二堕兰昙 吐 口1 1 巧 一口1 3 u e 均 口1 1l 巧一口 j u l 1 1 1 i n 17 吩7 一 1 口3 l u 口3 2 e m l 一盘1 3 s 3 口1 l 巧 一以1 3 u e 3 玑 口1 l 也一以1 31 j 聊l 2 2 9 2 2 1 0 情形2 若 缶 1 1 由 1 1 o 得 姒 引 名 黑甓 一删 码瓴炒冉响2 1 地抄 口勉o 屹b 2 吃0 a 2 3 仂 x 蚝b 2 吃7 一口 了i 知 现 厂2 巧7 一r 2 a 3 1 口3 2 p l 一以1 3 s 3 厂2 巧一 口3 2j p 1 一以1 3s 3 u 2 1 1 2 i n a 2 2 吩7 一c z l 3 8 的 仉 厂27 一吒l 口3 1 口3 2 p m l 一口1 3 s 3 由u 1 1 o得 a 2 2 u 巧7 一口1 3 e 伪 2 m 2 2 2 1 1 一 仂 专 孑寺荨三 垮一口 白 p幻 啦 加 白 g一如白 a 3 3 1 1 e 白 一 a 3 1 白 p 玑 口 o 弘 柏 1 4 厶 仂 k 啦 口 o 几类泛函微分方程的正周期解的存在性 cz 白 匕 3 目b i 措 j b 抄如 牿吖 泸 仉 亟兰垃二丛掣型 兰 a 3 3 1 1 朋1 m 2 1 姒 h 鳢等篇熹筹业叫 综上可知 m a x l 形 i m a x 啦斗蚓 置 i 1 2 3 2 2 1 2 很清楚 b i 与兄无关 记 b 圳 i b l i b i i b l 取陬f 充分大使得 系统有解 亏一a 1 1 e m 0 五一瓦口也 0 一弓一瓦3 e 妁4 3 o 毪 3 o k 14 m l e 1 m 2 e 0 它的解满足忖 o r r r i i i u i o 2 2 1 3 l o i 弦t l b 现在令 q o f f r x 怦 r 肛 o f o f o 所以 d e g j q n u o k e r l r i f 2 o s i g n 一瓦1 a 一2 2 一a 3 3 l 2 3 一1 0 至此可知系统则 3 1 1 至少有一个缈正周期解 定理证毕 1 6 几类泛函微分方程的正周期解的存在性 3 1 引言 3 一类具有偏差变元的捕食者一食饵系统的 正周期解的存在性 多物种生态系统的全局周期解的存在性具有广泛的意义 历来受 到学术界的重视 许多学者对捕食者一食饵系统的解的稳定性 有界 性 震动性与持久性进行了深入研究 发表了大量的文章 但对全局周期解的存在性研究得不多 尤其是对具有偏差变元的 捕食者一食饵系统 一类具有偏差变元的捕食者一食饵系统 这类模型为 f 工i f x o o 一口j o b f f o 一a t x o 一6 o 仃o k o 工 o 一b o 一口 g b f f r 朔 3 1 1 其中bf ff 仃 r r 口 口 r 专 o 是连续的c o 周期函数 且f b t d t 0 对于非自治的具有收获率的捕食者 食饵系统的开发模 型 k o o o 一日 o h f r o 一a t x o b o 妙 f s f k o z o 一b o 一口 f b o f o s f 3 1 2 其中s i f 表示收获率 在下节中 运用拓扑度理论得到y 3 1 2 正周期解的存在性的充分条件 其中墨 f 是 f 是非负连续的丁一周期 函数 高校教师在职硕士学位论文 3 2 正周期解的存在性 为了证明周期解的存在性 我们引入重合度理论中的延拓定理 设x z 是赋范向量空间 l d o m lcx z 为线性映射 n x 专z 为连续映射 如果 d i m k e r l c o d i m i m l 口 e m 鲁 7 2 4 鲁 7 畋鲁 2 j n z 3 1 2 至少有一个正周期解 证明作变换 f e u l o 1 2 则系统 3 1 2 变为 ko 6 lo a iu t q 一a t e 纵卜枷 s l f 8 咱 f k o 一b 2 0 一口 o p o f s o k l 2 f 3 2 1 很明显 如果 3 2 1 有缈周期解 f f 那么 p 棚 p 沁 r 是 3 1 2 的正周期解 因此 要证n f j 3 1 2 有正周期解 只须证明 3 2 1 至少有一个周期解 及 设 x y k o f r c r r2 以 国 u i f i 1 2 l n 甜 r r8 m a x l u 纠 m a x 卜 纠 不难验证 石是以 为范数的b a n a c h 空间 设 及 l u o f r f r c r r 2 仁芝墨 淼篙蒜 趴咖咱 f 三 甜 掣 觑 古r 甜 t d t z 1 9 高校教师在职硕士学位论文 显然 k e r l r 2 i m l z z z t d t 0 是x 的闭子空间 且 因此 l 是指标为0 的f r e d h o l m 映射 而且印具有下列形式 印 i m l 争k e r p n d m l x p z f z s a s 一吉rfz s a s 信盛 川m 馏 凼a s 二嚣麓二篱f s 油 a s j eo一古j r s 凼 皓一去 j e 6 1 0 一勉lt e u l t r 1 一2 a t e u i t o f f o 8 一也 r f 2 t 一6 o 一勉 t e u l t r 2 f 一日 o 弘一 k p z q 孬 对任意有界开集q c z 是紧的 同时 q 匝 是有界的 开集q 对应与算子方程三 z n u 五 旯 0 1 有 酴 旯a 白b 1 紫b2 g a 蒜 t e 1 u t b r u 浅罱蝎 沁叫 3 2 2 k f 2 0 一2 s 2 0 户 o v 一一7 设 o f r 是系统 3 2 2 的周期解 那么存在毒 r o c o 使得 显然有 量 o 7 7 0 i 1 2 儿类泛函微分方程的正周期解的存在性 结合系统 3 2 2 可得 6 1g 一2 a 茧弘州矗吖一编 一2 a 孝1 e u 2 磊一口 磊 墨 参 p u l 磊 0 一b 2 皓 一2 a g x 心z f g s g 1 纠 以及 0 b l 白1 一2 a l 仂1 口 一n 研 一五口 刁1 p 仉一仃 仇 s 1 r 1 1 e 一心 矾 o b 2 白 一a a 0 弘 r s 白 p 一 z o 下面分别对 磊 甜 7 7 g 1 2 进行讨论 首先 对于 候 o 1 2 3 2 7 式或 3 2 8 式必有一个成立 这里 2 岛 l 孝 m m 磊 u s 色 m m 珥乩陋 厢 m 1 i l 专噜 吉厢 m m a x m 斗o 1 2 下面分两种情形进行讨论 情形1 若 孝 磊 贝l j 狂 磊 岛 由 氧 o 由 3 2 3 式可得 b 1g 1 s 1 孝1 e 叫 磊 a lg lx 毗嗡 口 磊弘2 川 磊 一岛 弘州钔 s 点 0 p 卸嘀 吉噜 号 2 1 3 2 3 3 2 4 3 2 5 3 2 6 3 2 7 3 2 8 高校教师在职硕士学位论文 吲彘 她 轰 卟 等 m 情形2 若 f 孝 则 彘 色 由u 2 彘 o 由 3 2 4 可得 s g k 1 嘞 6 皓 口 g 弘州勤 a 2 g 2 x 2 嗡 一b 2 吹 e u 2 劲 p 叱喝 噜 一s 皖 0 姒舌 彘 1 士噜 j 啦 3 2 9 3 2 1 0 再者 对于 砌f f 1 2 3 2 1 1 式或 3 2 1 2 式必有一个成立 m l m u 1 r 1 u 20 7 2 m 1 m u 2 7 7 1 u 1 刁2 下面分两种情形进行讨论 3 2 1 1 3 2 1 2 情形1 ul r 1 u2 r 2 n z u l 7 7 1 2 7 由 l 叩1 o 得 b l o 口 白 p 细 a r 8 屹仰 岛0 1 口1 0 1 p 训 a r 8 m 8 u t r h u 1 r 1 1 6 f 一1 2 e 机 m 以 b 一口 e m 口 2 m i 3 2 1 3 情形2 若 缶 7 7 由 7 7 o 得 s o k 一 z 6 白 口2 0 b 蛳 啦 f 刁 s o e i t 2 协 6 仂 口 白 e 玎 口 白 b 2 现 6 仂 e 玑 一s 0 0 几类泛函微分方程的正周期解的存在性 p 叱锄 一号 鲁 7 7 1 n 一号 鲁 圭 综上可知 m a x 吩 f i 2 m a x m i h a m i i h a m 1 m h i v k 1 v f是系统 0 的唯一解 显然引理 4 2 1 满足引理条件 a 成立 当 3 2 1 4 3 2 1 5 r k e r ln o f 2 o f 2n r 2 时 r 是个常值向量 且川 l u i m 那么 袤二霉 砌叱 o 这样引理条件 b 满足 根据拓扑度知识有 d e g j q n u o k e r lnq 0 d e g b l 一瓦p 唧一f i e b 2 一瓦p 2 k e r l n q 0 由于方程 lb l 一瓦e 铂一f f e 也 0 6 2 一瓦e 屹 0 有唯一正解u l o f r 且满足 所以 o o v o 0 3 2 1 6 也 而卸 矿矿 一 一 一轨一也 r 高校教师在职硕士学位论文 d e g j q n u o k e r lnq o s i g n 一1 2 嚣瓦面 瓦一瓦 l 2 一1 0 至此可知系统 3 1 2 至少有一个缈正周期解 定理证毕 几类泛函微分方程的正周期解的存在性 4 具有时滞的自食系统生物模型的周期性 4 1 引言及引理 自然界中许多生物种群都有自食现象 例如鱼类 在生物圈中存 在这样一种生物种群 它的成年种群会吃自己的幼年种群或蛹 其模 型为 f x i 锨 o 一弦 o 一t t e x o z 一c o 工 o b o k o 僦叩x o 一彳 一p x t c o x g b t 4 1 1 其中x i o 工 f 分别表示幼虫和成虫的密度 国 x o c f 表示在单位时 间内被吃掉的幼虫数量 q 而o k o 表示的是成虫吃掉了幼虫后所减少 的死亡率 下面讨论一类非自治的具有时滞的自食系统的开发模型 f x o 口 o x o 一y x o 一口 f 工 o f 一国 x o b o s o 工 o 口 o x f 一彳 一肛 o 国 x o b f s o 4 1 2 其中s f s o 表示放养系数 在下文中 作者运用拓扑度理论得到 t 4 1 2 e 周期解的存在性的充分条件 其中墨 f s 2 t 是非负连续 的丁一周期函数 下面 我们先介绍两条引理 设x z 是赋范向量空间 l d o m lcx z 为线性映射 n x 专z 为连续映射 如果 d i m k e r l c o d i m i m l 0 s 7 一口 m on 系统 4 1 2 至少存在一 个c o 周期正解 证明作变换鼍 f e u a o f 1 2 则系统 4 1 2 变为 o 口1o g 一 n y o 一口2o p 卜f 一h 1 2 f p 2 墨 f e 叫 o 口 f e 卜f 卜h n f l t e 4 2 1 国1o p 唧 s 2o e 一 2 很显然 如果 4 2 1 有正缈周期解 f f r 那么 p e 如 r 是 几类泛函微分方程的正周期解的存在性 5 1 2 的正周期解 因此 若要证明 5 1 2 有正周期解 只须证明 5 2 1 至少有一个正c o 周期解 及 x 采 f o r c r r 2 o 国 u i o i 1 2 0 o f l m a x l u o m a x u o i 容易验证 x 是以i 为范数的b a n a c h 空间 设 及 l u o o r f f r c r r 2 镪搿i 茹嚣三 搿蝎 哪 三 掣 砌 吉r t d t z 显然 k e r l r 2 i m l z z f z t d t o 是x 的闭子空间 且 i m p k e r l k e r q i m l i m i q 因此 l 是指标为0 的f r e d h o l m 映射 而且印具有下列形式 勋 i n l 三一 炉r d m l k p z f z s 出一丢ff z s d s 定义 及 卜f 鼻 s 凼 q n u 五 2 怙j e s 凼 高校教师在职硕士学位论文 其中 川m 2 般二嚣篡篇f s a slj e s 幽一去点 e o 出 一去 f eo a 口1 f e 2 卜q r t 丑a 2o p 2 一7 卜q n 一旯c d 2o e z s l f e 一 e f 2 a 2 f p 2 h h f l t e 国1 f e 胚2 咖心 显然 q n 和坪啕都是连续的 运用a r e z e i a a s c o l i 定理容易验证 k p z q 竭是紧的 同时 q 西 是有界的 这样 在孬是三一紧 的下面需要找到一个满足引理4 1 1 条件的有界开集q 对应与算子方 程l u 删 兄 五 0 1 有 一舻兄妊啪 矿 巾 口z 咖屹 1 h 一五彩 加以o 洲e 1 4 2 2 2 f 见协a 2o p 心o f 卜吡o f l t e 叱o l f e 地o a s 20 p 1 o 7 设 o f r 是系统 5 2 2 的周期解 那么存在专 7 7 0c o 使得 f 善f m a x u f f f 刁f m i n u f o i 1 2 显然有 参 o f r l 0 i 1 2 结合系统 4 2 2 p i 得 屁 蝶 黧 j 您 a c t t 泸倘1 卜q 锔 4 2 3 2 一0 2 2 缶 8 2 磊 s 1 0 p 一唧 矗 0 7 旯口2 孝2 e 一 一 善2 e z i f 2 p l 2 彳5 2 孝2 p 一 2 2 0 兄口1 7 7 1 p 2 仉 一 l 仇 r o t l 一h a 2 可1 p 研 l u i 仉 一允缈2 刁1 e 协 s l 7 7 1 e 一蚝 仇 0 五 7 7 2 p 仉一7 一 刁2 f l v 2 e 啦 q 7 7 2 e 嘶 野 兄 叉 刁2 e 一 0 下面分别对 彤f 7 7 从f 1 2 进行讨论 下面分两种情形进行讨论 4 2 4 4 2 5 4 2 6 儿类泛函微分方程的正周期解的存在性 情形1若u1 善1 u2 孝2 n u 螽 石 由 磊 0 f l 了 4 2 3 式可得 7 夤 p 砘 磊 口i 六 e 五 s l o 7 手1 g t 最 口l 磊 p t 最 s l f 77 一口1 u e 磊 s l 删 删鬲s 1 u m 厂一q 情形2 若 善 善 则 彘 彘 由 磊 o 由 5 2 4 可得 色 p 2 磊 口2 色 p 2 玉 国l 邑 e 2 2 磊 s 2 彘 夕 一国l e 2 2 2 一口2 1 4 e 2 2 一s 2 0 e 蝴 岛 磊 2 m a x m i n m l i i h a m 2 1 m h h 这里 v v r 是系统 f 一歹 瓦p 叫 0 一 瓦e 0 的唯一解 显然引理 5 2 1 满足条件 口 当 r 儿r 硷 o f 2nr 2 时 r 是个常值向量 且卜 i l u l m 那么 二z 嚣 o 这样条件 b 满足 根据重合度知识有 d e g j q n u o k e r l 厂 q o d e g 历一e l e 一现 b 一2 一瓦p k e r l c 3f 2 o 由于方程 ib 1 一瓦eq 一砒吡 0 1 6 2 一瓦e 0 有唯一正解 o f r 且满足 o o f 0 所以 d e g j q n u o k e r lc f 2 o s i g n 一1 2 廨7 h 1 0 至此可知系统 4 1 2 至少有一个c o 正周期解 定理证毕 几类泛函微分方程的正周期解的存在性 5 1 引言及引理 差分方程的正周期解 在本章中 运用锥上不动点定理讨论差分方程 一缸 玎 f n 1 x n 1 5 1 1 其中缸 z 工 1 一x z f z 尺一r 是连续的 得到了正周期解存 在的充分条件 将 5 1 1 变形为 2 砘 1 厂 肼1 肼1 1 以沁o 胀 5 1 2 x o x c o 其中 0 1 2 功一1 名 o 1 显然 系统 5 1 2 的解就是 5 1 1 的解 引理5 1 1 设兄 o 1 则方程 有唯一的解 其中 竺 柏 纵 1 川 5 1 3 x o x c o 7 x 玎 g n s 6 s 1 g 加南1 z 鉴主c 挖o 二1 1 5 7 7 一无 l 力1 玎 s 一 7 证明 显然 5 1 3 的解是唯一的且 高校教师在职硕士学位论文 于是 羽 萎寺 1 一 矾 砌 s o 哥a n s i 琊 委a j 1 甜s n 1 1 h 砌 一触 咒 1 而1 坳 1 一啬坳 1 坳 1 定义算子t x 专x 和锥p a 1 g n s f s 1 x o 1 由引理5 1 1 知t 的不动点是 5 1 2 的解 引理5 1 2t pjp 是全连续的 证明由厂是连续函数可知t 是连续的 且是相对紧的 所以r 是 全连续的 由f n x f n 工 1 一旯 x 0 矢 当z p 时 a 咒 0 注意至f j a 甩 a n s f s 1 x s 1 鲁窆 砸 1 1一 鲁 7 荆 南薹f s 1 x 1 所以 a z 0 20 a z 1 1 引理5 1 3 若p 是空间e 的一个锥 q q 是开集且 o q 五 cq t p n 一f 2 q 专p 是全连续的 如果满足下述条件之 i i r u h l l u l i pn 讹 i i r u l i l l u l pn a f 2 3 2 几类泛函微分方程的正周期解的存在性 i i i l t u 啡u p n 孢 t u u p a o 2 则丁在p n 五 q 内有不动点 5 2 正周期解的存在性 记 定义 7 0 l i m s u pm a x 等堕 l i m i n f 嘶m 如i n f l i m i n fm i n 一o 工 0 0 s s 埘一1 f n x 定理5 2 1 如果方程 5 1 1 满足 f n z 7 l i r a s u p 嘶m i n g p o 掣 i f 1 兄 1 一 i i 1 五 1 一x o z 厂 o r 使 f n x f n 工 1 一x x 1 一x x v o 刀 c o 一1 v o 1 一a x 2 4 v o z g o 一1 v x r xe x q 仁 x 0 x 是 方程 5 1 1 的国正周期解 定义 设 f f 成立 则存在r o r 刀口 使得 f n x 1 一五 x 兄埘 v o 咒 c o 1 v o z f n x 1 一五 x v o n 缈 1 v x 允口r q x e x r q x x i i x 0 r 丁满足引理5 1 3 能j i i 假设z pno n 则 r x n 1 r t o i 陬勋 g g s f s i x s 1 j 0 一l g n s x l 2 x n 1 2 口 5 0 v g 以v x p n 讹 时 黔忙0 x 1 1 一1 r z g n s x l 2 s o 假设x pn o n 则 r x 1 x l 5 2 3 5 2 4 几类泛函微分方程的正周期解的存在性 m l 勋 s o 国一l g n s 扩0 1 x s 1 g n s x l 2 x n 1 0 所以坛 p no t 2 时 ia 1 1 1 x l l 由引理5 1 2 臃pn 每 q 内有不动点x 且 1 1 2 1 0 x 是方程 5 1 1 的c o 的正周期解 定理5 2 2 假设下列条件成立 of 1 一兄 一 f 1 一旯 1 一 i i 存在常数口 o 使得 m a x 厂 o 玎 c o 一1 x 兄 口 口 0 则方程 5 1 1 至少有二个不同的缈正周期解五 而 o 五 口 屯 定义 证明 由 f 知 存在正常数 口使得 f n z 1 2 x 2 v 0 n c o 1 v 0 1 2 x 2 w v o 刀 彩 1 v x r q x x l k 0 q 工 x l i x t i 口 q z x l 卜0 r 可知坛 pna q 和觇 p n o t a 时 l r x x 1 1 由 i i 知 f n 工 f n x 1 一z x 1 一五 工 v o n 1 口 工 口 假设工 pn o f 2 则舻口 x g 1 口 国一1 z g n s f s 1 戈 s 1 a o c o 1 g n s 1 a x n 1 j 皇o 3 5 5 2 5 5 2 6 5 2 7 允一 l v 八 s g g 纠 础 x 高校教师在职硕士学位论文 r o i ix 1 1 由引理5 1 3 丁在p n f i z q 和p n 五 q 内各有一个正的不动 点葺 屯 显然口不是 3 1 1 周期解 所以0 x 口 x 证毕 3 6 参考文献 1 r a r d i t i h s a i a h f m p i r i c a le v i d e n c eo f t h e r o l eo f h e t e r o g e n e i t yi n r a t i o d e p e n d e n tc o n s u m p t i o n e c o l o g y 1 9 9 2 7 3 1 5 4 4 1 5 5 1 2 陈兰荪著 数学生态学模型与研究方法 m 北京 科学出版社 1 9 8 5 3 陈兰荪 陈键 非线性生物动力系统m 北京 科学出版社 1 9 9 3 4 刘正荣 李继彬 哈密顿系统与时滞微分方程的周期解 m 北京 科学出版社 1 9 9 6 5 y 1 i p e r i o d i cs o l u t i o n so fap e r i o d i cd e l a yp r e d a t o r p r e ys y s t e r m p r o c a m e r m a t h s o c 1 9 9 9 1 2 7 1 3 31 1 3 3 5 6 张恭庆 临界点理论及其应用 m 上海 上海科学技术出版社 1 9 8 6 7 郑祖休 泛函微分方程理论 m 第一版 合肥 安徽教育出版社 1 9 9 4 8 e b e r e t t a y k u a n g g l o b a la n a l y s i s i ns o m e d e l a y p r e d a t o r p r e y s y s t e r m s n o n l i n e a r a n a l t m a 1 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