（新课标）高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 第4讲 与函数的零点相关的问题 文.doc

第4讲与函数的零点相关的问题 函数零点的个数问题1.函数f(x)=xcos 2x在区间0,2上的零点的个数为(d)(a)2(b)3(c)4(d)5解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间0,2上,通过观察y=cos 2x的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有4,34,54,74,所以零点的个数为5个.2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=(-x)12,x0,log5x,x0,函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x0,1时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是(b)(a)5(b)6(c)7(d)8解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象:由图可得这两个函数的交点为a,o,b,c,d,e,共6个点.所以原函数共有6个零点.故选b.3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=ax-1,x0,lgx,x0,若关于x的方程ff(x)=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为.解析:依题意,得a0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由ff(x)=0,得f(x)=1,当x0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x0时,函数y=ax-1的图象与直线y=1没有交点,若a0,结论成立;若a0,则函数y=ax-1的图象与y轴交点的纵坐标-a1,得-1a0,则实数a的取值范围为(-1,0)(0,+).答案:(-1,0)(0,+)4.(2015北京卷)设函数f(x)=2x-a,x1,4(x-a)(x-2a),x1.若a=1,则f(x)的最小值为;若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.解析:当a=1时,f(x)=2x-1,x1,4(x-1)(x-2),x1,其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1.当a0时,显然函数f(x)无零点;当0a1时,易知f(x)在(-,1)上有一个零点,要使f(x)恰有2个零点,则当x1时,f(x)有且只有一个零点,结合图象可知,2a1,即a12,则12a1,由二次函数的性质可知,当x1时,f(x)有2个零点,则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-,1)上无零点,则2-a0,即a2.综上可知,满足条件的a的取值范围是12,1)2,+).答案:-112,1)2,+)确定函数零点所在的区间5.(2015四川成都市一诊)方程ln(x+1)-2x=0(x0)的根存在的大致区间是(b)(a)(0,1) (b)(1,2) (c)(2,e) (d)(3,4)解析:设f(x)=ln(x+1)-2x,则f(1)=ln 2-20,得f(1)f(2)0,函数f(x)在区间(1,2)有零点,故选b.6.(2015河南郑州市一模)设函数f(x)=ex+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则(a)(a)g(a)0f(b)(b)0g(a)f(b)(c)f(b)0g(a)(d)f(b)g(a)0解析:考查函数y=ex与y=4-2x的图象,得其交点的横坐标a应满足0a1;考查函数y=ln x与y=5-2x2的图象,得其交点的横坐标b应满足1be+2-40,可排除c,d;0a1,g(a)ln 1+2-50)上的最小值;(3)若存在两不等实根x1,x21e,e,使方程g(x)=2exf(x)成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=5时g(x)=(-x2+5x-3)ex,g(1)=e.g(x)=(-x2+3x+2)ex,故切线的斜率为g(1)=4e.所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)f(x)=ln x+1,x(0,1e )1e(1e,+)f(x)-0+f(x)单调递减极小值(最小值)单调递增当t1e时,在区间(t,t+2)上f(x)为增函数,所以f(x)min=f(t)=tln t,当0t1e时,在区间(t,1e )上f(x)为减函数,在区间(1e,t+2)上f(x)为增函数,所以f(x)min=f(1e)=-1e.(3)由g(x)=2exf(x),可得2xln x=-x2+ax-3,a=x+2ln x+3x,令h(x)=x+2ln x+3x,h(x)=1+2x-3x2=(x+3)(x-1)x2.x(1e,1)1(1,e)h(x)-0+h(x)单调递减极小值(最小值)单调递增h(1e)=1e+3e-2,h(1)=4,h(e)=3e+e+2.h(e)-h(1e)=4-2e+2e0,于是(x)在(0,1)上单调递增;当x(1,2)时,(x)0,(2)=ln(1+2)-4+3-b0,解得ln 3-1b1,0b=log320f(-1)=log32-1-log32=-10,所以根据函数的零点存在性定理得出函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是(-1,0),故选b.2.(2015凉山州模拟)设函数f(x)=|ln x|-1x+1的两个零点为x1,x2,则有(a)(a)x1x21 (b)x1x2=1(c)1x1x22(d)x1x22解析:由f(x)=|ln x|-1x+1=0,得|ln x|=1x+1,作函数y=|ln x|与y=1x+1的图象如图.不妨设x1x2,由图可知,x11x2,则ln x1|ln x2|,所以-ln x1ln x2,则ln x1+ln x20,即ln (x1x2)0,所以x1x20,-2x+a,x0有且只有一个零点时,a的取值范围是(d)(a)(-,0(b)(0,12 )(c)(12,1) (d)(-,0(1,+)解析:因为f(1)=ln 1=0,所以当x0时,函数f(x)没有零点,故-2x+a0或-2x+a2x,或a1或a0.故选d.4.(2014重庆卷)已知函数f(x)=1x+1-3,x(-1,0,x,x(0,1,且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是(a)(a) (-94,-2(0,12 (b) (-114,-2(0,12 (c) (-94,-2(0,23 (d) (-114,-2(0,23 解析:g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1内有且仅有两个不同的零点就是函数y=f(x)的图象与函数y=m(x+1)的图象有两个交点,在同一直角坐标系内作出函数f(x)=1x+1-3,x(-1,0,x,x(0,1和函数y=m(x+1)的图象,如图, 当直线y=m(x+1)与y=1x+1-3,x(-1,0和y=x,x(0,1都相交时,0m12;当直线y=m(x+1)与y=1x+1-3,x(-1,0有两个交点时,由方程组y=m(x+1),y=1x+1-3消元得1x+1-3=m(x+1),即m(x+1)2+3(x+1)-1=0,化简得mx2+(2m+3)x+m+2=0,当=9+4m=0,即m=-94时,直线y=m(x+1)与y=1x+1-3相切,当直线y=m(x+1)过点(0,-2)时,m=-2,所以m(-94,-2.综上,实数m的取值范围是(-94,-2(0,12 ,故选a.5.(2014湖北卷)已知f(x)是定义在r上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为(d)(a)1,3 (b)-3,-1,1,3(c)2-7,1,3(d)-2-7,1,3解析:当x0时,函数g(x)的零点即方程f(x)=x-3的根,由x2-3x=x-3,解得x=1或3;当x0时,由f(x)是奇函数得-f(x)=f(-x)=x2-3(-x),即f(x)=-x2-3x.由f(x)=x-3得x=-2-7(正根舍去).故选d.6.已知x0是函数f(x)=2x+11-x的一个零点,若x1(1,x0),x2(x0,+),则(b)(a)f(x1)0,f(x2)0(b)f(x1)0(c)f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0解析:函数y=2x,y=11-x在(1,+)都为单调增函数,所以f(x)=2x+11-x在(1,+)上为单调增函数.因为f(x0)=0,所以x1(1,x0),x2(x0,+)时,f(x1)f(x0)=0,从而答案b正确.7.(2015山东模拟)已知函数f(x)=ex-2(x0),lnx(x0),则下列关于函数y=ff(kx)+1+1(k0)的零点个数的判断正确的是(c)(a)当k0时,有3个零点;当k0时,有4个零点;当k0,lnf(kx)+1+1=0,解得f(kx)+1=0或f(kx)+1=1e;由f(kx)+1=0得,kx0,ekx-2+1=0或kx0ln(kx)+1=0,即x=0或kx=1e;由f(kx)+1=1e得,kx0,ekx-2+1=1e或kx0,ln(kx)+1=1e,即ekx=1+1e(无解)或kx=e1e-1;综上所述,x=0或kx=1e或kx=e1e-1;故无论k为何值,均有3个解.故选c.8.(2015怀化二模)定义域为r的函数f(x)=1|x-2|,x2,1,x=2,若关于x的函数h(x)=f2(x)+af(x)+12有5个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5,则x12+x22+x32+x42+x52等于(c)(a)15 (b)20 (c)30 (d)35解析:作函数f(x)=1|x-2|,x2,1,x=2,的图象如图,则由函数h(x)=f2(x)+af(x)+12有5个不同的零点知,1+a+12=0,解得a=-32,则解f2(x)-32f(x)+12=0得,f(x)=1或f(x)=12;故若f(x)=1,则x=2或x=3或x=1;若f(x)=12,则x=0或x=4;故x12+x22+x32+x42+x52=1+4+9+16=30.故选c.9.(2015郑州二模)已知函数f(x)=x+3,xa,x2+6x+3,xa,函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是(a)(a)-1,3)(b)-3,-1(c)-3,3)(d)-1,1)解析:因为f(x)=x+3,xa,x2+6x+3,xa,所以g(x)=f(x)-2x=-x+3,xa,x2+4x+3,xa,而方程-x+3=0的解为3,方程x2+4x+3=0的解为-1,-3;若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则3a,-1a,-3a,解得,-1a3.实数a的取值范围是-1,3).故选a.10.(2015呼和浩特一模)若函数f(x)=ln x+kx-1有两个零点,则实数k的取值范围是(a)(a) (-1e2,0) (b) (-,-1e2 )(c) (-1e2,+)(d) (-e2,-1e2 )解析:作函数y=ln x-1与y=-kx的图象如图,当直线与y=ln x-1相切时,设切点(x,ln x-1),y=1x,lnx-1x=1x,解得,x=e2,故0-k1e2,故-1e2k0.故选a.11.(2013安徽卷)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同实根个数是(a)(a)3(b)4(c)5(d)6解析:先求函数的导函数,由极值点的性质及题意,得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数. 因为f(x)=3x2+2ax+b,函数f(x)的两个极值点为x1,x2,所以f(x1)=0,f(x2)=0,所以x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的两根.所以解关于x的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0得f(x)=x1或f(x)=x2.不妨设x1x2,由题意知函数f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x10),函数y=ff(x)-1的零点个数为.解析:因为函数f(x)=2x(x0),log2x(x0),当x0时,y=ff(x)-1=f(2x)-1=log22x-1=x-1,令y=ff(x)-1=0,x=1(舍去).当01时,y=ff(x)-1=f(log2x)-1=log2(log2x)-1,令y=ff(x)-1=0,log2(log2x)=1,则log2x=2,x=4,故函数y=ff(x)-1的零点个数为2个.答案:213.(2015潍坊模拟)已知f(x)是定义在(0,+)上的单调函数,f(x)是f(x)的导函数,若对x(0,+),都有ff(x)-2x=3,则方程f(x)-4x=0的解所在的区间是.(区间长度不大于1)解析:由题意,可知f(x)-2x是定值,令t=f(x)-2x,则f(x)=2x+t,又f(t)=2t+t=3,解得t=1,所以有f(x)=2x+1,所以f(x)=2xln 2,令f(x)=f(x)-4x=2xln 2-4x,可得f(1)=21ln 2-40,即f(x)=2xln 2-4x零点在区间(1,2)内,所以f(x)-4x=0的解所在的区间是(1,2).答案:(1,2)14.(2011山东卷)已知函数f(x)=1ogax+x-b(a0,且a1).当2a3b4时,函数f(x)的零点x0(n,n+1),nn*,则n=.解析:对函数f(x),因为2a3b4,所以f(2)=loga2+2-b1+2-b=3-b1+3-b=4-b0.即f(2)f(3)0时,解不等式f(x)0;(2)当a=0时,求整数t的所有值,使方程f(x)=x+2在t,t+1上有解.解:(1)因为ex0,所以不等式f(x)0,即为ax2+x0,又因为a0,所以不等式可化为x(x+1a)0,所以不等式f(x)0的解集为-1a,0.(2)当a=0时,方程即为xex=x+2,由于ex0,所以x=0不是方程的解,所以原方程等价于ex-2x-1=0,令h(x)=ex-2x-1,因为h(x)=ex+2x20对于x0恒成立,所以h(x)在(-,0)和(0,+)内是单调增函数,又h(1)=e-30,h(-3)=e-3-130,所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间1,2和-3,-2上,所以整数t的所有值为-3,1.2.(2015广东江门市3月模拟)设函数f(x)=ex(ln x-a),e是自然对数的底数,ar为常数.(1)若y=f(x)在x=1处的切线l的斜率为2e,求a的值;(2)在(1)的条件下,证明切线l与曲线y=f(x)在区间(0,12 )至少有1个公共点.解:(1)f(x)=ex(ln x-a+1x),依题意,k=f(1)=e(ln 1-a+1)=2e,解得a=-1,(2)由(1)f(1)=e,直线l的方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e,令g(x)=f(x)-(2ex-e)=ex(ln x+1)-2ex+e,则g(12)=e(1-ln 2)0,g(e-4)=-3ee-4-2e-3+e-3+e0(用其他适当的数替代e-4亦可)因为y=g(x)在(e-4,12 )上是连续不断的曲线,g(e-4)g(12)0,y=g(x)在(e-4,12 )内有零点,而(e-4,12 ) (0,12 ),从而切线l与曲线y=f(x)在区间(0,12 )至少有1个公共点.3.(2015菏泽市一模)设函数f(x)=ln x-12ax2-bx.(1)当a=b=12时,求函数f(x)的单调区间;(2)令f(x)=f(x)+12ax2+bx+ax(0x3),其图象上任意一点p(x0,y0)处切线的斜率k12恒成立,求实数a的取值范围;(3)当a=0,b=-1时,方程f(x)=mx在区间1,e2内有唯一实数解,求实数m的取值范围.解:(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+),当a=b=12时,f(x)=ln x-14x2-12x,f(x)=1x-12x-12=-(x+2)(x-1)2x.令f(x)=0,解得x=1或x=-2(舍去),当0x0;当x1时,f(x)0,所以m=1+lnxx,要使方程f(x)=mx在区间1,e2上有唯一实数解,只需m=1+lnxx有唯一实数解,令g(x)=1+lnxx(x0),所以g(x)=1-lnxx2,由g(x)0得0xe;g(x)e,所以g(x)在区间1,e上是增函数,在区间e,e2上是减函数.g(1)=1,g(e2)=1+2e2,g(e)=1+1e,故1m1.(1)若f(x)在(1,+)上单调递减,求实数a的取值范围;(2)若a=2,求函数f(x)的极小值;(3)若方程(2x-m)ln x+x=0在(1,e上有两个不等实根,求实数m的取值范围.解:(1)f(x)=lnx-1ln2x+a,由题意可得f(x)0在x(1,+)上恒成立;所以a1ln2x-1lnx=(1lnx-12)2-14,因为x(1,+),所以ln x(0,+),所以1lnx-12=0时函数t=(1lnx-12)2-14的最小值为-14,所以a-14.(2)当a=2时,f(x)=xlnx+2x,f(x)=lnx-1+2ln2xln2x,令f(x)=0得2ln2x+ln x-1=0,解得ln x=12或ln x=-1(舍去),即x=e12.当1xe12时,f(x)e12时,f(x)0,所以f(x)的极小值为f(e12)=e1212+2e12=4e12.(3)将方程(2x-m)ln x+x=0两边同除ln x得(2x-m)+xlnx=0,整理得xlnx+2x=m,即函数f(x)与函数y=m在(1,e上有两个不同的交点.由(2)可知,f(x)在(1,e12)上单调递减,在(e12,e上单调递增f(e12)=4e12,f(e)=3e,当x1时,xlnx+,所以4e120,(x)=2x+12x30,所以(x)在(0,+)单调递增,即f(x)x在(0,+)单调递增.(2)因为(1)=-10,又(x)在(0,+)单调递增,故(x)在(1,2)内有唯一零点.又f(x)=x3-x-x=x(x),显然x=0为f(x)一个零点,因此y=f(x)在0,+)有且仅有2个零点.2.设ar,函数f(x)=ln x-ax.(1)讨论函数f(x)的单调区间和极值;(2)已知x1=e(e为自然对数的底数)和x2是函数f(x)的两个不同的零点,求a的值并证明:x2e32.(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+).求导数,得f(x)=1x-a=1-axx.若a0,则f(x)0,f(x)是(0,+)上的增函数,无极值;若a0,令f(x)=0,得x=1a.当x(0,1a )时,f(x)0,f(x)是增函数;当x(1a,+)时,f(x)0时,f(x)的递增区间为(0,1a ),递减区间为(1a,+),极大值为-ln a-1.(2)证明:因为x1=e是函数f(x)的零点,所以f(e)=0,即12-ae=0,解得a=12e=e2e.所以f(x)=ln x-12ex.因为f(e32)=32-e20,f(e52)=52-e220,所以f(e32)f(e52)e32.3.(2015郑州质量预测)已知函数f(x)=(x2-2x)ln x+ax2+2.(1)当a=-1时,求f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当a0时,设函数g(x)=f(x)-x-2,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e-2xe,g(x)m,求m的取值范围.解:(1)当a=-1时,f(x)=(x2-2x)ln x-x2+2,定义域为(0,+),f(x)=(2x-2)ln x+(x-2)-2x.所以f(1)=-3,又f(1)=1,f(x)在(1,f(1)处的切线方程为3x+y-4=0.(2)令g(