（浙江专用）高考数学二轮复习 专题规范练2 立体几何问题 理.doc

规范练二立体几何问题1如图，在等腰梯形abcd中，adbc，adbc，abc60，n是bc的中点，将梯形abcd绕ab旋转90，得到梯形abcd.(1)求证：ac平面abc；(2)求证：cn平面add；(3)求二面角acnc的余弦值(1)证明adbc，n是bc的中点，adnc，又adbc，四边形ancd是平行四边形，andc，又abc60，四边形abcd为等腰梯形，abbnad，四边形ancd是菱形，acbdcb30，bac90，即acab，又平面cba平面abc，平面cba平面abcab，ac平面abc.(2)证明adbc，adbc，adada，bcbcb，平面add平面bcc，又cn平面bcc，cn平面add.(3)解ac平面abc，ac平面abc.如图建立空间直角坐标系，设ab1，则b(1,0,0)，c(0，0)，c(0,0，)，n，(1,0，)，(0，)，设平面cnc的法向量为n(x，y，z)，则即取z1，则x，y1，n(，1,1)ac平面abc，平面can平面abc，又bdan，平面can平面abcan，bd平面can，bd与an交于点o，则o为an的中点，o，平面can的法向量.cos n，由图形可知二面角acnc为钝角，所以二面角acnc的余弦值为.2如图，四边形abcd为矩形，pd平面abcd，pdqa，qaadpd.(1)求证：平面pqc平面dcq；(2)若二面角qbpc的余弦值为，求的值(1)证明设ad1，则dq，dp2，又pdqa，pdqaqd45，在dpq中，由余弦定理可得pq.dq2pq2dp2，pqdq，又pd平面abcd，pddc，cdda，dapdd，cd平面adpq.pq平面adpq，cdpq，又cddqd，pq平面dcq.又pq平面pqc，所以平面pqc平面dcq.(2)解如图，以d为坐标原点，da，dp，dc所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系dxyz.设ad1，abm(m0)依题意有d(0,0,0)，c(0,0，m)，p(0，2,0)，q(1,1,0)，b(1,0，m)，则(1,0,0)，(1,2，m)，(1，1,0)，设n1(x1，y1，z1)是平面pbc的法向量，则即因此可取n1(0，m,2)设n2(x2，y2，z2)是平面pbq的法向量，则即可取n2(m，m,1)又二面角qbpc的余弦值为，|cos n1，n2|.整理得m47m280.又m0，解得m1.因此，所求的值为1.3已知四棱锥pabcd的底面abcd是等腰梯形，abcd，且acbd，ac与bd交于o，po底面abcd，po2，ab2cd2，e，f分别是ab，ap的中点(1)求证：acef；(2)求二面角foea的余弦值(1)证明e，f分别是ab，ap的中点ef是apb的中位线，efpb，由已知可知po平面abcd，poac，又acbd，又bdopo，ac面pob.又pb平面pob，acpb，acef.(2)解如图建立空间直角坐标系依题意知，oaob2，ocod1，则a(0，2,0)，b(2,0,0)，c(0,1,0)，d(1,0,0)，p(0,0,2)，(1，1,0)，(0，1,1)，设平面oef的法向量为m(x，y，z)，则可取m(1,1,1)平面oae的法向量为n(0,0,1)，cos m，n.故二面角foea的余弦值为.4在正三棱柱abca1b1c1中，ab2，aa1，点d为ac的中点，点e在线段aa1上(1)当aeea112时，求证debc1；(2)是否存在点e，使二面角dbea等于60，若存在求ae的长；若不存在，请说明理由(1)证明连接dc1，因为abca1b1c1为正三棱柱，所以abc为正三角形，又因为d为ac的中点，所以bdac，又平面abc平面acc1a1，所以bd平面acc1a1，所以bdde.因为aeea112，ab2，aa1，所以ae，ad1，所以在rtade中，ade30，在rtdcc1中，cc1，cd1，所以c1dc60，所以edc190，即eddc1，又bddc1d，所以ed平面bdc1，bc1面bdc1，所以edbc1.(2)解假设存在点e满足条件，设aeh.取a1c1的中点d1，连接dd1，则dd1平面abc，所以dd1ad，dd1bd，分别以da，db，dd1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系dxyz，则a(1,0,0)，b(0，0)，e(1,0，h)，所以(0，0)，(1,0，h)，(1，0)，(0,0，h)，设平面dbe的一个法向量为n1(x1，y1，z1)