（理论物理专业论文）无穷大统计的相对论性量子场论.pdf

r e l a t i v i s t i ct h e o r yo fi n f i n i t es t a t i s t i c sf i e l d s a u t h o r ss i g n a t u r e s u p e r v i s o r ss i g n a t u r e e x t e r n a lr e v i e w e r s e x a m i n i n gc o m m i t t ec h a i r p e r s o n 垂丛蛋 基丛h 型血墨2 e x a m i n i n gc o m m i t t em e m b e r s 垂毯堡 星坠ih 丛互邋2 芝 鳗 丛逸堑墨箜占竖12 鱼垂越 z f趟芝出2 金i 邀 匦9 亟翌i 坚2 叠二耋丘 监堑丛 叁墨丝2 一 一 d a t eo fo r a ld e f e n c e m a r c h2 01o 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果 除了文中特 3 p m 以标注和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果 也不包含为获得浙江大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意 学位论文作者签名 签字日期 2 0i 夕年弓月罾日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有权保留井向国家有关部门或机构送交 本论文的复印件和磁盘 允许论文被查阅和借阅 本人授权浙江大学可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播 可以采用影印 缩印或扫 描等复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书 学位论文作者签名 暂违量 签字日期 2 0 l a 年3 月苫日 导师签名 f 遗 一铝 签字口期 如i 口年3 月孑日 致谢 致谢 感谢导师陈一新教授对我在博士阶段的教育指导 陈老师治学严谨 对学生高 度负责 无论是工作还是生活都给予了我巨大帮助 陈老师很注重培养学生独立思 考独立研究 并在我们感兴趣的范围内给予悉心指导 为我们今后的研究生涯打下 坚实的基础 感谢曾经教导过我的诸位物理系老师 在这里我不光收获了大量知识 也感受 到了认真的研究态度和独到的科学见解 感谢各位师兄师弟 在与他们的讨论交流中 我开拓了眼界 取得了进步 同时 感谢我的同学好友们 尽管我们大多身处不同的岗位 但偶尔的彼此交流让我感觉 自己不是一个人在战斗 感谢我的父母 我的爷爷奶奶 在我最困难的时候是他们的鼓励使我有了坚持 下去的动力 洽性的要求 我们也分析了无穷大统计相对论性量子场论雕 c p t 守恒性质和费曼规 则 我们发现无穷大统计理论的矢量 旋量耦合相互作用是c p t 破缺的 而费曼规则 有一部分类似于传统定域量子场论 这使得我们可以沿用一些以往的方法来研究这 一新的物理 此外 这篇文章还介绍了本人攻读博士学位阶段的另一项工作 我们证明 了d 维时空中静态球对称黑洞可以与某些特殊物质处于平衡态 并分析了这类黑洞 和特殊物质的性质及其对时空维度的制约 我们将这部分工作列在附录中 n 摘要 关键词 无穷大统计狭义相对论量子场量子非局域性 靛 繇 浙江大学博士学位论文 a b s t r a c t t h eu s u a lq u a n t u mt h e o r yi sb a s e do nb o s e e i n s t e i ns t a t i s t i c so rf e r m i d i r a cs t a t i s t i c s h o w e v e r r e c e n tr e s e a r c hs u g g e s tt h a tt h e r ee x i s tp a r t i c l e so b e y i n go t h e rs t a t i s t i c s s u c ha sp a r a b o s o n sa n dp a r a f e r m i o n s i ng r e a t e rt h a nt w os p a c ed i m e n s i o n s t h e r ei so n e n e wc o n s i s t e n ts t a t i s t i c si nw h i c ha l lr e p r e s e n t a t i o n so ft h es y m m e t r i cg r o u pc a no c c u r t h i si si n f i n i t es t a t i s t i c s w h i c hi sa l s oc a l l e dq u a n t u mb o l t z m a n ns t a t i s t i c s u n l i k et h e u s u a ls t a t i s t i c s t h ei n f i n i t es t a t i s t i c sh a san o n l o c a l i t yp r o p e r t y w h i c hi sa ni m p o r t a n tc h a r a c t e ro f q u a n t u mg r a v i t y s oi tm a yh e l pu st os t u d yn e wp h y s i c s r e c e n t l y i n f i n i t es t a t i s t i c s h a sb e e na p p l i e dt om a n ys u b j e c t s s u c ha sb l a c kh o l es t a t i s t i c s d a r ke n e r g yq u a n t a l a r g e nm a t r i xt h e o r ya n dh o l o g r a p h yp r i n c i p l e u n f o r t u n a t e l y t h ev a l i d i t yo fr e l a t i v i s t i cq u a n t u mf i e l dt h e o r yo b e y i n gi n f i n i t es t a t i s t i c si ss t i l li nd o u b t t h i st h e o r yc a na l s oh a v er e l a t i v i s t i ck i n e m a t i c s t h ec p t t h e o r e m a n dc l u s t e rd e c o m p o s i t i o na r es t i l lh o l df o rf r e ef i e l d s h o w e v e rt h e r ea r et w od i f f i c u l t i e s f o ri n f i n i t es t a t i s t i c st oh a v ec o n s i s t e n tr e l a t i v i s t i ct h e o r y f o ro n et h i n g i ti sh a r dt oc h e c k t h el o r e n t zi n v a r i a n c ew i t h o u tl o c a l i t y f o rt h eo t h e rt h i n g b yr e q u i r i n gt h a te n e r g i e so f s y s t e m st h a ta r ew i d e l ys p a c e l i k e s e p a r a t e ds h o u l db ea d d i t i v e t h ec o n s e r v a t i o no fs t a t i s t i c sf o r b i d si n f i n i t es t a t i s t i c s i nt h i sp a p e rw ei n t r o d u c et h eg e n e r a lp r o p e r t yo fi n f i n i t e s t a t i s t i c sa n di t sc u r r e n tr e s e a r c hs i t u a t i o n w ea l s op r o v et h ee x i s t e n c eo fi n t e r a c t i o nr e l a t i v i s t i cf i e l dt h e o r yo b e y i n gi n f i n i t es t a t i s t i c sb ys o l v i n gt h et w od i f f i c u l t i e sa b o v e f i r s t w e p r o v et h a tt h ei n t e r a c t i o nd e n s i t ys a t i s f i e saw e a kl o c a l i t yc o n d i t i o n w h i c hi ss u f f i c i e n tf o r l o r e n t zi n v a r i a n c eo ft h es m a t r i x b ya p p l y i n gt h ec o n d i t i o nt h a tt h ee n e r g i e sa r ea d d i t i v e f o rp r o d u c ts t a t e s w es h o w e dt h i st h e o r yo b e y sc o n s e r v a t i o no f s t a t i s t i c sw i t hs e l e c t e df o r m o fi n t e r a c t i o nh a m i l t o n i a n w ea l s og i v es o m ec o n s i s t e n c ya n a l y s i so ft h i st h e o r ys u c ha s c p tc o n s e r v a t i o na n df e y n m a nr u l e s w ef i n dt h a tt h ev e c t o r s p i n o ri n t e r a c t i o ns h o u l d p r o d u c ec p tv i o l a t i o n w h i l et h ef e y n m a nr u l e so f i n f i n i t es t a t i s t i c sf i e l da r ep a r t l ys i m i v 摘要 i l a rt oc o n v e n t i o n a lf e y n m a nr u l e s s os o m et r a d i t i o n a lm e t h o d ss u c ha sr e n o r m a l i z a t i o n a n a l y s i sc a nb ee x t e n d e dt oo u rn e wt h e o r y i nt h i sp a p e lw ea l s oi n t r o d u c ea n o t h e rw o r kt h a tas t a t i c s p h e r i c a l l ys y m m e t r i cb l a c k h o l ei nd d i m e n s i o n a ls p a c e t i m ec a nb ei ne q u i l i b r i u mw i t hs o m es p e c i a lk i n do fm a t t e r w es t u d yt h ep r o p e r t yo fs u c hb l a c kh o l e sa n dm a t t e r w ef i n dt h a tt h e s eh a i r yb l a c kh o l e s c a nl i v eo n l yi ns o m es p e c i a ld i m e n s i o n a ls p a c e t i m e t h i sw o r ki sl i s t e di nt h ea p p e n d i x k e y w o r d s i n f i n i t es t a t i s t i c s s p e c i a lr e l a t i v i t y q u a n t i z e df i e l d s q u a n t u mn o n l o c a l i t y v 弘4 浙江大学博士学位论文 日次 致谢 摘要 目次 1 绪论 2 无穷大统计 2 1 q u o n 代数 2 2 无穷大统计 3无穷大统计的研究现状 7 1 0 3 1 无穷大统计与黑洞统计 1 0 3 2 无穷大统计与大 矩阵模型 1 1 3 3 无穷大统计与全息原理 1 5 3 4 无穷大统计与暗能量 2 0 4 无穷大统计 矩阵的洛仑兹不变性 2 4 4 1 量子洛仑兹变换 2 4 4 2 单粒子态 2 9 4 3 i s 矩阵与散射理论 3 3 4 4 无穷大统计自由场 3 8 4 5无穷大统计相互作用哈密顿密度的类空非对易性 4 9 4 6 s 矩阵的洛仑兹变换性质暨弱局域性条件 5 2 4 7 无穷大统计一一矩阵的相对论不变性 5 5 5 无穷大统计相对论性量子场论的自洽性分析 5 8 5 1 能量可加性条件暨统计守 恒要求 5 8 5 2 团簇分解定理 6 0 5 3 c p t c r 恒 6 2 v i i f l 次 6无穷大统计的费曼规则 6 8 6 1 w i c k 定理及费曼规则 6 8 6 2 树图举例 7 2 6 3 一般性重整化分析 7 6 6 4 无穷大统计的非徼扰分析 8 0 7 结论与展望 8 7 参考文献 8 9 附录 d 维情形下的带毛黑洞 9 8 1 简介 9 8 2 d 维时空下的带毛黑洞 9 9 3 黑洞毛的物质模型 1 0 2 4 带毛黑洞的举例 1 0 5 5 小结 1 0 8 攻读博士学位期间主要研究成果 1 1 0 v i i 浙江大学博士学位论文 v i i i 绪论 1绪论 我们已知的量子理论都是基于玻色统计和费米统计的 根据自旋 统计定理 自然界中微观粒子可分为两类 自旋量子数为半整数的 如电子 子 质子 中子等自旋量子数都是 是费米子 其产生湮灭算符满足代数关系 o k t 兰 a k a j 口j 吼 巧孙 a k o f q o o 自旋量子数是整数的 例如光子自旋量子 数为1 丌介子自旋量子数为零 是玻色子 满足代数关系 t k 一三 j t l j t k 以 a k o f 一 n 口j 一 0 然而 量子力学的一般性原理并不要求所有的粒子 都由波色子和费米子构成 传统的自旋一统计定理实际上包含了一个 对称性假 定 l 1 包含 个全同粒子的系统必然是这n 个粒子的全对称态或全反对称态 换 而言之 全同粒子所构成的态必须是对称群的一维表示 如果抛开这一先验假 定 则可能出现新的统计 并以之建立新的量子力学1 2 1 这一方面最早的尝试由g g e n t i l e 在1 9 4 0 年提出的 中间统计 i n t e r m e d i as t a t i s t i c s 1 3 1 在这一统计中 最多 可以有礼个全同粒子处于同一个量子态 可以看出 当n 1 时中间统计退化为费米 统计 而当n 时退化为玻色统计 因此g e n t i l e 统计是位于玻色与费米统计之 间的一种统计 然而这并不是一个好的量子统计 这是因为一个态上只能有n 个全 同粒子这个条件会随着基的改变而变化 比如说 n 2 时 态 l k k 七 是 不存在的 然而态i 魄 l 魄 z u k z i l l 1 2 1 3 却是允许的 但实际上i 入 正是由 态i 砂 作基矢的幺正变换i 后 u k f i f 得到的 在此基础上g r e e n 在1 9 5 3 年提出了类 统计 p a r a s t a t i s t i c 1 4 l 将自旋统计推广到整数阶类玻色统计 p a r a b o s e 和类费米 统计 p a r a f e r m i 对于p 阶类玻色统计 对称群的杨图表示最多允许存在p 行 也就 是说最多有p 个粒子构成一个反对称态 而对于p 阶费米统计 其对称群的杨图表示 最多允许存在j 列 即最多有p 个粒子构成一个对称态 可以看出 当p 1 时 类玻 色 费米 统计就分别退化为玻色 费米 统计 类统计不受基矢变换的影响 由 此我们可以构造出定域场论1 5 6 1 然而在这种理论中必然包含一些负模方 s q u a r e d n o r m 的态 而且不同于量子电动力学 这些负模态很难从物理态 正模态 中分离 出来 因此类玻色 费米 统计很难从物理上被接受1 7 m l 浙江大学博士学位论文 到目前为止 自旋统计关系的最佳替代方案是q u o n 代数 j2 1 通过一个参 数q 一1 q 1 q u o n 代数可由玻色费米统计代数的凸性组合 c o n v e xs u m 来表 示字f 讯 口 一 字a k a l l 以f 层 1 a k a j q a j a k 以f 可以证q u o n t 弋数下 态 的模方是正定的1 1 3 1 4 1 当q 士1 时 q u o n 统计退化为玻色 费米 统计 此外还有一 种特殊的情况 当q 0 时 q u o n 代数正好是玻色费米统计的代数平均 我们称之为 无穷大统计 i n f i n i t es t a t i s t i c s 在无穷大统计中 对称群杨图表示的行列数不受限 制 即对称群的所有不可约表示均可出现 无穷大统计首次出现在s d o p l i c h e r 等人 在1 9 7 1 年的工作中 1 5 l 随后0 w g r e e n b e r g 发现其满足c u n t z 代数1 1 6 并给出具体 的二次量子化方案 1 7 1 由此建立起基于无穷大统计的量子体系 除了允许群的任 意表示外 无穷大统计的理论还具有明显的非局域性 这为我们研究定域场论之外 的新物理提供了一种新的思路 我们知道 类似黑洞这样的引力系统同样具有显著 的非局域性 而传统的量子场论在描述量子引力时是失效的 因此非局域场论的构 造是建立大统一理论中极为重要的一环 近年来 无穷大统计被广泛应用到各个领 域的研究中 比如黑洞统计d 8 2 0 1 暗能量模型1 2 卜2 5 1 大 矩阵模型1 2 9 以及全息原 理 3 0 3 1 这些应用大多涉及到了相对论情形 然而 无穷大统计的相对论性量子场论的建立却遇到了困难 虽然可以证明无 穷大统计自由场满足电荷 宇称 时间反演 c p t 对称性和团簇分解定理1 1 2 1 7 但 仍存在两个关键问题无法解决 一方面 由于缺少产生湮灭算符的对易 反对易 关 系 其相互作用哈密顿密度在类空情况下通常是不对易的这就很难证明物理散射过 程的洛仑兹不变性 s 矩阵的时序表达式要求相互作用哈密顿密度类空对易 另一 方面 从物理上我们要求两个类空无穷远系统的能量是可加的 这在传统场论中要 求任何相互作用类型都必须包含偶数个费米子 或偶数个类粒子1 5 1 即要求统计守 恒 而如何将这一理论应用到无穷大统计目前也缺少有效的手段 3 2 1 在这篇文章中 我们介绍了无穷大统计的一般性质和研究现状 并从上述两个 问题入手 建立了一个包含无穷大统计的相对论性量子场论 本学位论文共分为七 章 第一章为引言 介绍本文总的工作背景和组织结构 第二章详细介绍无穷大统 计量子力学的基本知识 第三章概述无穷大统计在各个领域的应用 第四章到第六 章集中介绍我在博士期间的原创性工作 是本文的主体部分 最后一章为总结与展 2 绪论 望 总结全文的内容并提出将来可能的后续工作 本文采用洛仑兹时空度规钆 其 中7 7 l l 啦2 7 3 3 1 7 0 0 1 从第二章到第六章的总体结构和内容简介如下 在第二章 我们详细介绍了q u o n 统计的基本代数关系 q u o n 代数下量子态模方 的正定性以及粒子数算符的定义 可以看出当q 0 时 无穷大统计所具有的特殊性 质 比如允许对称群的任意不可约表示 态的归一化性 以及明显且对称的非局域 性 我们也分析了无穷大统计的配分函数 并与经典的玻尔兹曼统计作比较 说明 无穷大统计满足量子力学关于粒子金同性的基本假定 我们可以称之为 量子玻尔 兹曼统计 在第三章 我们分别就无穷大统计在各领域的应用作了回顾 在黑洞统计中 考虑由一组黑洞构成的系统 将其中的黑洞作为宇宙中的 基本粒子 则其满足 的应该是无穷大统计 而非波色 费米 统计 由此三种自洽的统计在自然界中都 可以出现 面y j n g 也建议 暗能量或暗物质的组分很可能是遵从无穷大统计的 蒙r 目前对我们暗能量和暗物质的组成还很不清楚 有研究表明它们与通常的玻色 费 米 统计下的物质有很大不同 那么它们很有可能遵从另一种自洽的统计 另一方 面s u n 矩阵理论在大 极限下可以等效地由遵从无穷大统计 m a s t e r 场来描述 而从a d s c f t 对偶来看 a n t i d e s i t t e r 空间中的超引力对偶于其边界上的s u n 规 范场 因此无穷大统计研究对a d s c f t 对偶有指导意义 此外 无穷大统计的非局 燎一 域性也体现在遵从无穷大统计体系的熵的非广延性 其系统最大熵为p l a n c k 单位下 系统的边界面积 这与全息原理的描述相吻合 在第四章 我们证明无穷大统计相对论性量子场论中s 矩阵的洛仑兹不变性 我们分绍了量子场论的洛仑兹变换理论 并从洛仑兹群的不可约表示出发构造无 穷大统计的相对论量子场 由于缺少类空对易性的要求 其基本场的形式与传统 场论有所不同 我们演示了s 矩阵的时序积形式在这种情况下无法起到作用 而后 直接从s 一矩阵的无穷小洛仑兹变换入手 通过证明无穷大统计的相互作用满足一 种 弱 局域性条件 进而证明相互作用的相对论不变性 在第五章 我们分析了类空无穷远系统的能量可加性及其在无穷大统计框架下 的具体要求 我们发现当相互作用哈密顿密度的形式满足一定要求时 能量可加性 浙江大学博士学位论文 条件是满足的 当我们将体系由纯无穷大统计的相互作用推广到包含三种自洽统 计的更广泛系统时 可以发现统计守恒的条件也相应得到了满足 这一点充分证明 了无穷大统计在相对论意义下的自洽性 另外 我们在上述框架下分析了新理论中 的c p t 对称性和团簇分解定理 我们发现c p t 对称性此时也对相互作用哈密顿密度 的形式提出了一定的要求 特别是对于矢量场和旋量场耦合的相互作用 其c p t 对 称性是不保持的 在第六章 我们接着分析了新理论框架下的w i c k 定理及费曼规则 我们发现无 穷大统计传播子在具体形式上与传统场论有所不同 其洛仑兹不变性无法在各阶费 曼图上得以体现 而只能是一个整体的性质 另一方面无穷大统计理论的外线形武 和整体的费曼图结构是类似于玻色 费米 统计的 而且各部分的动量量纲与以往 相同 这一点使得我们可以采用传统场论中的一些技术手段来分析新的理论 比如 说重整化的一般性分析等 我们具体画出了两体相互作用在纯无穷大统计和三种自 洽统计并存时的树图并给出了相应的s 一矩阵形式 从中可以看出统计守恒的性质以 及和传统场论费曼规则的相似性 我们也说明了由于非局域性结构的存在 无穷大 统计散射过程的一些特殊之处 我们分析了无穷大统计相对论性场论的重整化的一 般性质 这个理论是可重整的 但是由于非局域性的存在 我们无法给出具体的重 整化计算 除无穷大统计的相对论性场论外 我在攻读博士学位阶段还有另一项工作 我 们证明了d 维时空中静态球对称黑洞可以与某些特殊物质处于平衡态 并分析了这 类黑洞和特殊物质的性质及其对时空维度的制约 为了保证本学位论文的完整性 我们在附录中对这部分工作也进行了详细介绍 4 无穷大统计 2 无穷大统计 2 1 q u o n 代数 q u o n 代数是到目前为止对传统自旋统计关系的最佳替代方案 其代数关系可以 由玻色统计和费米统计代数关系的凸性组合来得到 半 n t 一 字咖m 2 1 或 吼n 一q a l a k 6 胁 2 2 其中七 f 包含动量 轨道角动量以及自旋等7 1 7 数 凸性和要求一1 q 1 当g 处于 这一范围时 量子态具有正定的模方 而 3 q 1 或口 o l a a k o n i 1 0 2 4 6 七 l6 2 f 2 q s k l f 2 6 k 2 l l 一1 q i 6 州 字 民 f 2 一般的 对于粒子数 确定的量子态 其标量积可以用一个儿 x j l 矩阵 来表示 j i 偿q q 兰 j p o a 忱f o i o a l 1 2 a f i o 2 5 籼 静矗 浙江大学博士学位论文 其中只q 表示这n 个粒子的不同排列 d z a g i e r i 3 给出了n q 为任意值时 这一矩阵 的行列式 d e a 瞄q q n 1 一q k 川 喘 2 6 k l 可以看出当一1 吖 1 时 t 的行列式对任意粒子数 均为正值 即态的模方是保持 正定的 直到口超出了 一1 1 的范围时 行列武才为负 这也意味着出现了负模态 类似的 再次利用代数关系 2 2 和真空条件 2 3 我们也可以得到q u o n 统计 下粒子的转移算符 t r a n s i t i o no p e r a t o r 1 3 3 1 帆 击莩 n 蜘制 a t a t q a t a l 一 2 7 可以验证 1 1 n l 一 j 限n 而q u o n 统计的粒子数算符可以直接由转移算符得到 7 k 7 k i 2 8 尽管对于n 个粒子组成的系统 其f o e k 空间最多允许存在n 个线性独立的态矢 然而在这些态下测量到的可观测量个数一般要小于 t 让我们以双粒子系统为例 考虑两个全同q u o n 粒子l 和2 分别带有不同k a k 2 则有两个线性无关的归一化态 矢门 1 a l o 和n n i o 可以构造态 a n n n 毛i o 1 n n l o 2 9 其中 九 为对称态 i 驴口 为反对称态 i 西s 和i o 相互正交 归一化因子 心n2 商 利用 a l o 丢 n 1 a n t a t a n 一n n f o o j n l j o 去 o i a l 十o n 一 n n 一o 0 1 l l o 和武 2 9 2 1 0 我们可以得到 6 2 1 0 2 1 1 钆 k 厚廖 机 虬 廖厚 吨吐也 无穷夫统计 抛去非对角元 我们发现态n i o 和 i o 具有相同的密度矩阵 n 跳i o o l 帆 巩i o o l n 懒 丁l q 川也i 字l 九 九i 2 1 3 由于量子力学可观测量的测量机率由密度矩阵的对角元所唯一决定 4 1 我们可以发 现o o i o 和 l n l o 对于物理观测而言是完全相同的 这意味着我们无法区分这 两个态 2 2 无穷大统计 从2 i 节的分析可以看出 当q 士1 时 只有对称群的全对称 全反对称 表示 可以存在 即玻色 费米 统计 而当f 7 在土l 之间变化时态矢由各种的不可约表示加 权组合而成 其中当q 一士1 时 对称 反对称 表示占较大权重 特别地 如果我们 取q 0 时 对称群的所有表示都可以平权地出现在态矢中 这就是无穷大统计 其 代数关系满足 o 0 2 如z 2 1 4 一个粒子总数为7 7 t 的态可以表示为 l n m 1 n m 2 n 叻l o 2 1 5 其中h 1 1 i n 1 2 叻 i t 这种表示下相邻的产生算符具有不同的量子数n i n l 川 而不相邻的则不受限制 从式 2 1 4 可以看出l 咖 件 归一化因子为l 且不同排 列的态彼此正交 由此可以看出无穷大统计态矢的模方始终保持正定 由式 2 7 和 2 8 无穷大统计的粒子数算符为 h 产n h n 磁叩 十 口 n a i a 郇k 2 1 6 或者写为一个迭代的形式 很容易验证 氟 n k n 汹t 元i n d t n i a n k 阶t 一 一如 死 鸱1 一 d i j a 元z 仇t i i 钾k i l 2 1 7 2 1 8 7 浙江大学博士学位论文 可以看出与q u o n 统计相比 无穷大统计的粒子数算符的表达要简洁对称得多 而且 保持了q u o n 统计的非局域性 根据粒子数算符 总的粒子数算符和能量算符可以写 作 人 纯 2 1 9 e e 疵 2 2 0 t 其中e t 为单粒子能量 现在考虑无穷大统计的统计力学性质 对于一组给定的占据数分布 n p 总 粒子数为n n p 则所有的正交态数目为 p i q 赫 2 引 与通常的玻色 费米 分布相差了一个 的因子 这正是玻尔兹曼分布的结果 因此我们可以称无穷大统计为 量子玻尔兹曼统计 考虑到量子力学的全同性 原理 g o v o r k o v i 建议将量子玻尔兹曼统计看作是拥有无穷多内部自由度 比 如s u 3 c 的全同粒子的量子统计 粒子之间可以借助内部自由度的不同来区 分 从而等价于经典的可分辨粒子系统 同时这也可以避免同种气体混合所带来 i 均g i b b s 佯谬 尽管是同种粒子不发生扩散 其内部自由度的存在仍然使得熵的广延 性被破坏 关于无穷大统计的非广延熵 我们将在下一章更详细的介绍 为了更好的理解全同粒子的无穷多内部自由度 我们可以借助粒子相空间的 膜 b r a n e 表象的描述 将粒子的相空间分割成无数层膜空间 每个膜上联系着一 种真空 从最底层膜开始 每层放带相同指标的若干粒子 逐层放上去 则态矢可以 写作 以 i o i n 毛l o 2 i l i o 1 2 2 2 尽管粒子本身是全同的 由于其相空间位于不同的膜上 而膜之间是可分辨的 从 而可以等价于可分辨粒子系统 更进一步地 我们可以将相空间转到坐标表象 经 过f o u r i e r 变换后 粒子数算符可以写作 必砂 砂 f 诞7 d 砂 f 7 砂 f 砂 f 砂 f 2 2 3 无穷大统计 其中 满足关系 缈 d 七n 七 e i k 北汴 d k a t 妒 f 2 2 4 v 妒 7 6 一 2 2 5 可以看出 粒子作为膜的激发态分布在各个重叠的底空间上 式 2 2 3 中的积分首 先历遍位于f 处的0 膜寻找激发态 然后历遍l 膜 直至发现未激发的膜空间 9 浙江大学博士学位论文 3 无穷大统计的研究现状 3 1 无穷大统计与黑洞统计 在黑洞统计中 为了将一组黑洞组成的系统同量子系统作类比 通常将极端黑 洞 e x t r e m a lb l a c kh o l e 作为研究对象 半经典计算表明一个带荷 电荷 磁荷等 黑洞的质量将会在霍金辐射的作用下不断减小 除非其质量与所带荷之比达到一个 临界值1 3 5 3 7 而极端黑洞正是这种质量达到临界值的黑洞 因此极端黑洞是在给定 荷情形下最小的稳态黑洞 考虑量子效应时 同时黑洞无毛定理告诉我们黑洞性质 由质量 角动量和电荷惟一确定 3 2 1 这又使得黑洞非常类似于微观的全同粒子 这两个性质使得极端黑洞经常用于研究黑洞量子力学的理想实验中 特别是于带大 荷 电荷等 的宏观极端黑洞 其量子引力效应可忽略不计的情形下 可以用来模拟 低能粒子散射 而黑洞统计的研究也正是基于这样一个背景 首先考虑2 n 个带电极端黑洞 其中n 个带正电 另j 7 v 个带负电 每一对带正负 电的黑洞由一个虫洞 w o r m h o l e 连接 则电力线从一个黑洞视界内的电荷通过虫 洞连接到另一个黑洞的视界内 好像一根管子的两端连着两个黑洞 这时候 我们 所观察到的只有出现在虫洞一侧的 个黑洞 虫洞连接两片极远的空间 我们交换 不相连接的两个黑洞 就好像我们在场论中交换两个粒子 在传统场论中 经过两次 这样的交换 系统是保持不变的 因此 交换一次只可能出现土1 的因子 其中 1 意 味的交换对称 即为玻色子 一1 则为交换反对称 即为费米子 然而在黑洞模型中 由于连接两个黑洞的是虫洞 这是一种空间拓扑结构 每交换一次都会形成新的几 何拓扑 是不会保持系统不变的 另一方面 当我们用波函数衫 z l x n 来描述 这个黑洞系统的时候 它们背后的拓扑线并不出现 这就好像是黑洞的内部自由 度 当然 事实上我们也观察不到 因为这隐藏在黑洞的视界后 其统计类似予可 分辨粒子系统 我们知道 这不是别的 正是无穷大统计 类似的 尽管没有虫洞连 接 磁力线通常自我闭合 不出现单极子 一个磁性极端黑洞由于视界内磁力线分 布不同 也具有无穷多的内部自由度 同样遵循无穷大统计 1 0 无穷大统计的研究现状 黑洞统计提出后不久 s t r o m i n g e r 和v a f a 4 3 通过d 膜 d b t a n e 近似1 4 4 的方法 计算极端黑洞的熵 并得到与霍金辐射相同的结果 这意味着可以用d 膜来描述 黑洞 事实上 在d 膜近似中 一个用来描述黑洞的量子态包含一组无穷多个d 膜 w i t t e n 4 5 曾证明 个平行共存的d p 膜的有效作用量可以由1 0 维的u 超对称 杨一米尔斯 y a n g m i l l s 场理论约化到p 1 维得到 这就将问题转到了量子色动 力学 q c d 中的大 展开问题 2 7 之9 l 由于q c d 涉及强相互作用 这一方法也可以 用于描述大黑洞 4 6 1 特别是对于0 膜 可以建立一个s a r 超对称规范场模型 也 就是 矩阵模型 在这一理论中1 4 7 5 0 1 矩阵的每个本征值对应一个d o 模的坐标 当n o 时 矩阵理论就可以描述无穷多个d 膜 也就是黑洞 同时 矩阵的非对 角元破坏了置换对称性 使得d o 膜之间也是可分辨的 遵从无穷大统计 我们可以 将d o 膜作为黑洞的无穷多内部自由度 正是黑洞与q c d 的这一联系 使得无穷大统 计可以应用到大 矩阵模型中 3 2 无穷大统计与大 矩阵模型 w i t t e n 曾推测大j 7 v 极限下的s j 7 v 规范场可以由单一的不带矩阵指标f 均m a s t e r 场 来等效描述 而a r e f e v a 和v o l o v i c h 注意到矩阵模型在大n 极限下的等效m a s t e r 场 遵从无穷大统计 1 首先考虑d 维欧氏时空 对于自由的标量矩阵场a i x i 七 z i j 1 2 可以计算其真空期望值 例如 洲打 忡1 m 洲 j 3 m 训 3 1 d z l x 2 d x 3 一x 4 d x l z 4 d x 2 一z 3 寺d z 1 一x 3 d x 2 一z 4 其中d x 一 为二点格林函数 o l i z a 0 y 1 0 瓯t 如j d x 一9 3 2 刊 筹器 3 另一方面 引入q u o n 场 如 z 痧 z 西i z 3 4 其中西士分别表示产生 湮灭 场 有 西i 亨 口咖i y 亨 d x 一可 3 5 浙江大学博士学位论文 则不难验证 o i 咖 z 1 矽q r 2 咖q f 3 咖a z 4 f o 3 6 j 1 一 j 2 z 3 一 e 4 r l 一 c 4 f 2 一 3 叮 n 一 r 3 f 2 一 f 4 可以看出当q 专时 o i z 1 九 z 2 咖a z 3 咖 z 4 i o 素 o a 7 i z i 3 m t 4 j o 3 7 在闵氏时空和相互作用场情形下也可以给出类似的结果 这说明n 矩阵模型下的矩 阵场真空期望值可以用q u o n 场来等效表述 特别是当n x 时g 0 即j o g 矩阵 模型的等效场是遵循无穷大统计的 无穷大统计与矩阵模型的关系也反映在其基本代数关系中 h a l p e m 等人在研 究中发现大 极限下矩阵理论的产生湮灭算符满足的对易关系是对称化i 的c u n t z 代 数1 5 1 5 3 而n 知n 6 削是其中的的一个子代数 考虑b 个玻色子和f 个费米子的正则代 数 妒 丌孑 一 i s a b 5 m 人 d a j 6 6 6 6 口 3 8 妒 好 7 0 7 口 a a 3 9 n 1 v 2 m 1 b q 1 f 3 1 0 规范场s u n 生成元为 g g 厶6 c 咖孑丌 一去丌 b a 3 11 系统的动力学可以由海森堡方程来描述 p i h 纠一 p2 丌 7 a 3 1 2 g h 一 0 其中h 为未取极限时的哈密顿量 例如对于玻色子 州三7 r m t f m 1 j 7 r y 杀 3 1 3 引入规范群的n n 矩阵表示 阢 死 一 i 厶 丘疋 巧 死 t r 兄死 如 3 1 4 z7 瓦 以 l 死 以 品 7 s 1 无穷大统计的研究现状 并给出矩阵场的定义 西 砂孑瓦 7 r 仇 丌孑 t o a a 瓦 西嚣 筹 丌嚣 7 r s r a t a 3 15 f 嚣 7 巴 一 i 5 以 4 a 人口 d a 口6 西 作大 极限 并用不带矩阵指标m a s t e r 场来替代描述矩阵场真空期望值 此时约化 的场算符作用在约化的相空间上 并满足以下几条规则 1 约化后的场算符作用在如下完备基上 面原先的完备基为 2 场量约化为 1 i o o l i a a i 3 1 6 a 1 0 o i i s a r s a 1 3 1 7 t 8 a 堡 萼 訾 7 r m 函撕 天n 3 i s v f n0nj n j 注意约化后出了现两套算符 带 一 的和不带 一 的 这是因为规范群的相应表示 乘起来会有对称和反对称的部分 这些约化后的场算符满足关系 p i p 矿 卢 p 妒 丌 a 3 1 9 声1 0 p l o o i 卢 o l p 9 之对应 矩阵场的对易关系约化为不带矩阵指标m a s t e r 场的等时对易关系 同 样也是写为两组 例如 9 嚣 7 r 易 一 i 6 以u 矗 可写作 讣 o m l r n 一 i o o l o m n a m l 3 2 9 n o 原因在于由关系 a k 五毫 n 毫 f z l i o 3 3 0 a t 生成的态总可以变换成a t g 成的态 注意虽然带 一 的产生湮灭算符对完备性不 产生作用 但它们带来了很多有趣的性质 比如由方程 3 2 6 传统场论的对易关 系在真空期望值的水平上仍可以重现 3 3 无穷大统计与全息原理 全息原理的提出最早来源于黑洞热力学 j m b a r d e e n 等人曾经指出1 5 4 1 对于黑 洞有b e k e n s t e i n s m a r r 公式 d m k d a q d j v d q 3 3 1 其中a a k q j 1 7 q 分别是黑洞的质量 视界面积 表面引力 角速度 角动 量 静电势和电荷 另一方面霍金 3 5 在1 9 7 5 年用弯曲时空中的量子场论的分析方法 考察了坍缩中的黑洞 发现具有温度为丁 去的黑体辐射 将公式 3 3 1 与热力学 第一定律 d u t d s p d v 3 3 2 作简单的类比 可以发现黑洞具有面积熵s a 4 我们称之 b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵 黑洞的面积熵率不仅影响黑洞本身 也影响到普通物质系统 当一个熵为s 1 普 通系统掉入熵为 的黑洞中后 系统的能量转化为黑洞的质量也就是视界面积 而 根据热力学第二定律 这一过程中末态的熵只能大于或等于s l 岛 系统的能量已 知 黑洞的初末态质量已知 由此可以得出系统的熵界 也就是b e k e n s t e i n 熵界 ss2 7 r e r 3 3 3 浙江大学博士学位论文 其中e 为系统能量 r 为系统最小外接球的半径 可以看出黑洞也满足b e k e n s t e i n 熵 界 因此这可以看作是一般系统的熵界 更进一步的 系统的能量总是满足关 系esf i d 3 d 为时空维度 否则将会坍缩成黑洞 所i b e k e n s t e i n 熵界最终导致 的是一个面积熵界 我们知道熵是系统自由度的度量 则由上述熵界 我们可以得 到全息原理 5 5 5 6 一个边界为a 的系统 有不超过鲁个自由度 p l a n c k 单位下 换而 言之即每一p l a n c k 面积上带有不超过l b i t 的信息 尽管全息原理已被普遍认可为一个基本原理 如何在场论的框架下实现全息原 理却是个困难 普通体系下熵的性质总是广延的 即正比于系统的体积 即使考虑 引力约束es 疗d 对于玻色场和费米场都遵从同样的熵界1 5 5 5 7 删 s 焉a 州 3 3 4 这自然地引出了一个问题 从a 3 4 到面积熵界之间缺失的那部分自由度去哪了 这 个问题可以在多粒子种类问题或额外维度的框架下得到解决 6 1 6 3 然而在四维情况 下 最自然的满足面积熵界的物质场是量子玻尔兹曼场1 3 q 这是由于无穷大统计中 粒子的任意置换表示都是允许的 不需要对交换对称性和反对称性有额外的限制 这相比定域场可以提供更多的自由度 下面让我们来看这一点 首先我们从经典热力学方法来分析 考虑 个无质量粒子 其相应的玻尔兹曼 统计配分函数为 孙 p 诎l 1 3 7 1 3 3 3 5 其中丁 p 七 七为玻尔兹曼常数 可以把它取作i f 为系统半径 系统自由能可由配 分函数给出 f 一t l n z r 一n t l n 1 3 t 3 3 3 6 系统的能量和熵为 e 一 o l 矿n z j 一 丁 3 3 7 s 筹 一n l 州 3 3 8 从上两式出发 有 s f n 1 1 3 万e 3 s e 7 3 3 9 1 6 无穷大统计的研究现状 正好与b e k e n s t e i n 熵界 3 3 3 一致 当考虑带有质量的粒子系统时 情况稍微有一些复杂 对于遵从无穷