（江苏专用）高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.4 二次函数与幂函数 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2.4 二次函数与幂函数 理1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；当0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(2)二次函数yax2bxc，xr，不可能是偶函数()(3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()(4)函数是幂函数()(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(6)当n0，即m21，解得m1.2已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是_答案解析由题意知即得a.3函数的图象是_(填序号)答案解析显然f(x)f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0x1时，当x1时，.故只有符合4已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_答案1,2解析如图，由图象可知m的取值范围是1,25(教材改编)已知幂函数yf(x)的图象过点，则此函数的解析式为_；在区间_上递减题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解方法一(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7.方法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的图象的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.方法三(利用零点式)：由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数的最大值是8，即8.解得a4，所求函数的解析式为f(x)4x24x7.思维升华求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，所用所给出的条件，根据二次函数的性质进行求解(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式是_(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，br)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.答案(1)f(x)x22x1(2)2x24解析(1)依题意可设f(x)a(x2)21，又其图象过点(0,1)，4a11，a.f(x)(x2)21.f(x)x22x1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，2a24，故f(x)2x24.题型二二次函数的图象与性质命题点1二次函数的单调性例2已知函数f(x)x22ax3，x4,6，(1)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(2)当a1时，求f(|x|)的单调区间解(1)函数f(x)x22ax3的图象的对称轴为xa，要使f(x)在4,6上为单调函数，只需a4或a6，解得a4或a6.故a的取值范围是(，64，)(2)当a1时，f(|x|)x22|x|3其图象如图所示又x4,6，f(|x|)在区间4，1)和0,1)上为减函数，在区间1,0)和1,6上为增函数命题点2二次函数的最值例3已知函数f(x)x22x，若x2,3，则函数f(x)的最大值为_. 答案8解析f(x)(x1)21，2x3(如图)，f(x)maxf(2)8.引申探究已知函数f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值解函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，x1不一定在区间2，a内，应进行讨论，当21时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，y取得最小值，即ymin1.综上，当21时，ymin1.命题点3二次函数中的恒成立问题例4(1)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_答案(1)(2)解析(1)由题意得a对1x4恒成立，又22，.(2)2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，适合；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以am2m1，得1m2，综上所述，m2.思维升华(1)幂函数的形式是yx(r)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(1)已知幂函数f(x)(m2m1)x5m3在(0，)上是增函数，则m_.(2)若则实数a的取值范围是_答案(1)1(2)1，)解析(1)函数f(x)(m2m1)x5m3是幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，5m313，函数yx13在(0，)上是减函数；当m1时，5m32，函数yx2在(0，)上是增函数m1.(2)易知函数的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解之得1a0时，f(x)ax22x图象的开口方向向上，且对称轴为x.4分当1，即a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1内，f(x)在0，上递减，在，1上递增f(x)minf().7分当1，即0a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.10分(3)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x0)，且f(m)解析f(x)的对称轴为x，f(0)a0，f(x)的大致图象如图所示由f(m)0，得1m0，f(m1)f(0)0.4若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a_.答案1解析函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得，f(0)a，f(2)43a，或解得a1.5二次函数f(x)的图象经过点，且f(x)x1，则不等式f(10x)0的解集为_答案(，0)解析由题意设f(x)ax2bx (a0)，则f(x)2axb，f(x)x1，f(x)x2x，令f(x)0，得3x0，不等式f(10x)0可化为010x1，x0)，若x11,2，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_答案3，)解析由函数f(x)x22x(x1)21，当x1,2时，f(x)minf(1)1，f(x)maxf(1)3，即函数f(x)的值域为1,3，当x1,2时，函数g(x)ming(1)a2，g(x)maxg(2)2a2，若满足题意则解得a3.7当0xg(x)f(x)解析如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知，h(x)g(x)f(x)8已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为r，值域为1，)，则a的值为_答案1或3解析由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4，当xr时，f(x)minf(a)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.9已知函数f(x)ax2bx1(a，b为实数，a0，xr)(1)若函数f(x)的图象过点(2,1)，且方程f(x)0有且只有一个根，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x1,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围解(1)因为f(2)1，即4a2b11，所以b2a.因为方程f(x)0有且只有一个根，所以b24a0.所以4a24a0，所以a1，所以b2.所以f(x)x22x1.(2)g(x)f(x)kxx22x1kxx2(k2)x121.由g(x)的图象知：要满足题意，则2或1，即k6或k0，所以所求实数k的取值范围为(，06，)10已知函数f(x)x2ax3a，若x2,2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围解要使f(x)0恒成立，则函数在区间2,2上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)(1)当4时，g(a)f(2)73a0，得a，故此时a不存在(2)当2,2，即4a4时，g(a)f3a0，得6a2.又4a4，故4a2.(3)当2，即a4时，g(a)f(2)7a0，得a7，又a4，故7a1时，恒有f(x)1时，恒有f(x)1时，函数f(x)x的图象在yx的图象的下方，作出幂函数f(x)x在第一象限的图象，由图象可知0)，当1x1时，|f(x)|1恒成立，则f_.答案解析由题意得：|f(0)|1|n|11n1；|f(1)|1|2n|13n1，因此n1，f(0)1，f(1)1.由f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x0，2m0，m2，f(x)2x21，f.14若函数f(x)cos 2xasin x在区间是减函数，则a的取值范围是_答案(，2解析f(x)cos 2xasin x12sin2xasin x，令tsin x，x，则t，原函数化为y2t2at1，由题意及复合函数单调性的判定可知y2t2at1在上是减函数，结合二次函数图象可知，所以a2.15已知函数f(x)ax2bxc(a0，br，cr)(1)若函数f(x)的最小值是f(