（浙江通用）高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.1 函数及其表示.doc

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2.1 函数及其表示2.1函数及其表示1函数与映射函数映射两集合a、b设a，b是两个非空数集设a，b是两个非空集合对应关系f：ab如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：ab为从集合a到集合b的一个函数称对应f：ab为从集合a到集合b的一个映射记法yf(x)(xa)对应f：ab是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xa中，其中所有x组成的集合a称为函数yf(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数yf(x)的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数4常见函数定义域的求法类型x满足的条件，nn*f(x)0与f(x)0f(x)0logaf(x)(a0，a1)f(x)0logf(x)g(x)f(x)0，且f(x)1，g(x)0tan f(x)f(x)k，kz【知识拓展】1函数实质上就是数集上的一种映射，即函数是一种特殊的映射，而映射可以看作函数概念的推广2函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象3分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，同时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f：ab，其值域是集合b.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(3)映射是特殊的函数()(4)若ar，bx|x0，f：xy|x|，其对应是从a到b的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()1下列函数中，不满足f(2x)2f(x)的是()af(x)|x| bf(x)x|x|cf(x)x1 df(x)x答案c解析将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等对于a，f(2x)|2x|2|x|2f(x)；对于b，f(2x)2x|2x|2(x|x|)2f(x)；对于c，f(2x)2x12f(x)；对于d，f(2x)2x2f(x)，故只有c不满足f(2x)2f(x)，所以选c.2函数f(x)的定义域为()a. b(2，)c.(2，) d.2，)答案c解析要使函数f(x)有意义，需使解得x2或0x.故f(x)的定义域为(2，)3(2015陕西)设f(x)则f(f(2)等于()a1 b. c. d.答案c解析f(2)220，则f(f(2)f11，故选c.4若函数yf(x)的定义域为mx|2x2，值域为ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()答案b解析a中函数定义域不是2,2，c中图象不表示函数，d中函数值域不是0,2，故选b.5给出下列四个命题：函数是其定义域到值域的映射；f(x)是函数；函数y2x(xn)的图象是一条直线；函数的定义域和值域一定是无限集合其中真命题的序号有_答案解析对于函数是映射，但映射不一定是函数；对于f(x)是定义域为2，值域为0的函数；对于函数y2x(xn)的图象不是一条直线；对于函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一函数的概念例1(1)有以下判断：f(x)与g(x)表示同一函数；函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_(2)设f(x)则ff(ln 22)等于()alog515 b2c5 dlog5(3e21)答案(1)(2)b解析(1)对于，由于函数f(x)的定义域为x|xr且x0，而函数g(x)的定义域是r，所以二者不是同一函数；对于，若x1不是yf(x)定义域内的值，则直线x1与yf(x)的图象没有交点，如果x1是yf(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x1与yf(x)的图象只有一个交点，即yf(x)的图象与直线x1最多有一个交点；对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于，由于f0，所以ff(0)1.综上可知，正确的判断是.(2)由题可知，自变量ln 220时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选b.题型二函数的定义域命题点1求给定函数解析式的定义域例2(1)函数f(x)的定义域为()a(3,0 b(3,1c(，3)(3,0 d(，3)(3,1(2)函数f(x)的定义域是()a(1，) b1，)c(1,1)(1，) d1,1)(1，)答案(1)a(2)c解析(1)由题意知解得30且x10，得x1，且x1，故选c.命题点2求抽象函数的定义域例3(1)若函数yf(x)的定义域是1,2 016，则函数g(x)的定义域是()a0,2 015 b0,1)(1,2 015c(1,2 016 d1,1)(1,2 015(2)若函数f(x)的定义域为(0,1，则函数f的定义域为()a5,4 b5，2)c5，21,4 d5，2)或(1,4答案(1)b(2)d解析(1)令tx1，则由已知函数的定义域为1，2 016，可知1t2 016.要使函数f(x1)有意义，则有1x12 016，解得0x2 015，故函数f(x1)的定义域为0,2 015所以使函数g(x)有意义的条件是解得0x1或1x2 015.故函数g(x)的定义域为0,1)(1,2 015故选b.(2)函数f(x)的定义域为(0,1，0lg 1，即110，则1x4或5x2，故选d.命题点3已知定义域求参数范围例4若函数f(x) 的定义域为r，则a的取值范围为_答案1,0解析因为函数f(x)的定义域为r，所以10对xr恒成立，即20，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.思维升华简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)抽象函数：无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x的取值集合；对应f下的范围一致(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围(1)已知函数f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)f(x)f(x)的定义域是_(2)函数y的定义域为_答案(1)，(2)(1,1)解析(1)因为函数f(x)的定义域是0,2，所以函数g(x)f(x)f(x)中的自变量x需要满足解得：x，所以函数g(x)的定义域是，(2)由得1x1)(2)2x7(3)解析(1)(换元法)令t1(t1)，则x，f(t)lg，即f(x)lg(x1)(2)(待定系数法)设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立，解得f(x)2x7.(3)(消去法)在f(x)2f()1中，用代替x，得f()2f(x)1，将f()1代入f(x)2f()1中，可求得f(x).思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x)f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)(1)已知f(1)x2，则f(x)_.(2)定义在r上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.(3)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，则f(x)_.答案(1)x21(x1)(2)x(x1)(3)lg(x1)lg(1x) (1x1)解析(1)设1t(t1)，则t1.代入f(1)x2，得f(t)t21(t1)，f(x)x21(x1)(2)当1x0时，0x11，由已知f(x)f(x1)x(x1)(3)当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代替x得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)2分类讨论思想在函数中的应用典例(1)设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_(2)(2015山东)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()a. b0,1c. d1, )解析(1)当x1时，ex12，解得x1ln 2，x1.当x1时，2，解得x8，1x8.综上可知x(，8(2)由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11，a，a1.当a1时，有2a1，a0，a1.综上，a，故选c.答案(1)(，8(2)c温馨提醒(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围(3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论方法与技巧1在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同2定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行3函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法4分段函数问题要分段求解失误与防范1复合函数fg(x)的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混2分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论a组专项基础训练 (时间：30分钟)1下列各组函数中，表示同一函数的是()af(x)x，g(x)()2bf(x)x2，g(x)(x1)2cf(x)，g(x)|x|df(x)0，g(x)答案c解析在a中，定义域不同，在b中，解析式不同，在d中，定义域不同2已知函数f(x)的定义域为m，g(x)ln(1x)的定义域为n，则m(rn)等于()ax|x1 bx|x1c dx|1x1答案a解析m(1,1)，n(1，)，故m(rn)x|x0，所以f()log2x，则f(x)log2log2x.6已知函数f(x)log2，f(a)3，则a_.答案解析由题意可得log23，所以23，解得a.7设函数f(x)则使f(x)的x的集合为_答案解析由题意知，若x0，则2x，解得x1；若x0，则|log2x|，解得x 或x .故x的集合为.8(2015浙江)已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的最小值是_答案023解析f(3)lg(3)21lg 101，f(f(3)f(1)0，当x1时，f(x)x323，当且仅当x时，取等号，此时f(x)min230；当x1时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当x0时，取等号，此时f(x)min0.f(x)的最小值为23.9已知f(x)是二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，求函数f(x)的解析式解设f(x)ax2bxc (a0)，又f(0)0，c0，即f(x)ax2bx.又f(x1)f(x)x1.a(x1)2b(x1)ax2bxx1.(2ab)xab(b1)x1，解得f(x)x2x.10根据如图所示的函数yf(x)的图象，写出函数的解析式解当3x1时，函数yf(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设f(x)axb(a0)，将点(3,1)，(1，2)代入，可得f(x)x；当1x1时，同理可设f(x)cxd(c0)，将点(1，2)，(1,1)代入，可得f(x)x；当1xf(m)，则实数m的取值范围是()a(1,0)(0,1) b(，1)(1，)c(1,0)(1，) d(，1)(0,1)答案c解析当m0时，由f(m)f(m)，得log3m (m)，得2log3m0，解得m1；当mf(m)，得 (m)log3(m)，得2log3(m)0，解得1m0；综上，实数m的取值范围是(1,0)(1，)故选c.12已知函数f(x)，则fff_.答案4 028解析f(x)2，f(1x)22，f(x)f(1x)4.ff4，ff4，ffff41 0074 028.13已知函数f(x)1的定义域是a，b，(a，bz)，值域是0,1，则满足条件的整数数对(a，b)共有_个答案5解析由011，即12，得0|x|2，满足条件的整数数对有(2,0)，(2,1)，(2,2)，(0,2)，(1,2)，共5个14具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：yx；yx；y其中满足“倒负”变换的函数是_答案解析对于，f(x)x，fxf(x)，满足；对于，fxf(x)，不满足；对于，f即f故ff(x)，满足综上可知，满足“倒负”变换的函数是.15.某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量q(单位：吨)与销售价