福建省四地六校高二数学下学期第二次月考试卷 理（含解析）.doc

福建省四地六校2014-2015学年 高二下学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.）1=（）abcidi23名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有（）a3b12c34d433已知xn（0，2），且p（2x0）=0.4，则p（x2）=（）a0.2b0.1c3d0.44展开式中x4的系数是（）a16b70c560d11205在4次独立试验中，事件a出现的概率相同，若事件a至少发生1次的概率是，则事件a 在一次试验中出现的概率是（）abcd6利用数学归纳法证明不等式时，由k递推到k+1时，左边应添加的因式为（）abcd7在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是（）abcd8已知a、br+，则下列不等式不一定成立的是（）aa+b+bcd9在曲线上的点是（）abcd10设函数f（x）=ex+x2，g（x）=lnx+x23若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）ag（a）0f（b）bf（b）0g（a）c0g（a）f（b）df（b）g（a）0二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11已知回归方程为=1.5x+4.5，x1，5，7，13，19，则=12观察下表：1 2 3 4第一行2 3 4 5第二行3 4 5 6第三行4 5 6 7第四行第一列 第二列 第三列 第四列根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为13已知点p（x，y）是椭圆=1上的动点，则x+y的取值范围是14函数的最小值为15函数y=f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，给出下列命题：3是函数y=f（x）的极值点；1是函数y=f（x）的最小值点；y=f（x）在区间（3，1）上单调递增；y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零以上正确命题的序号是三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16设有关于x的不等式|x+3|+|x7|a（1）当a=12时，解此不等式；（2）当a为何值时，此不等式的解集是r17以直角坐标系的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴已知点p的直角坐标为（1，5），点m的极坐标为（4，）若直线l过点p，且倾斜角为，圆c以m为圆心，半径为4（）求直线l的参数方程和圆c的极坐标方程；（）试判定直线l和圆c的位置关系18气象部门提供了某地区今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：日最高气温t（单位：）t2222t2828t32t32天数612yz由于工作疏忽，统计表被墨水污染，y和z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32的频率为0.9某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t（单位：）对西瓜的销售影响如下表：日最高气温t（单位：）t2222t2828t32t32日销售额x（千元）2568（）求y，z的值；（）若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；（）在日最高气温不高于32时，求日销售额不低于5千元的概率19在三棱锥sabc中，abc是边长为4的正三角形，平面sac平面abc，sa=sc=，m，n分别为ab，sb的中点（）证明：acsb；（）求二面角ncmb的余弦值20已知椭圆c：+=1（ab0）过点m（0，1），四个顶点所围成的图形面积为2直线l：y=kx+t与椭圆相交于a、b两点，且amb=90（1）求椭圆c的方程；（2）试判断直线l是否恒过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由21已知函数f（x）=lnx+（a0）（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）如果p（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以p（x0，y0）为切点的切线的斜率k恒成立，求实数a的最小值；（3）讨论关于x的方程f（x）=的实根的个数情况福建省四地六校2014-2015学年高二下学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.）1=（）abcidi考点：复数代数形式的混合运算 分析：化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可解答：解：故选a点评：本题考查的知识点复数的运算，（乘法和除法），比较简单23名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有（）a3b12c34d43考点：计数原理的应用 专题：计算题；排列组合分析：根据题意，易得3名同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理计算可得答案解答：解：根据题意，每个学生可以在艺术体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组中任选1个，有4种选法，则3名学生一共有444=43种不同的报名情况；故选d点评：本题考查分步计数原理的运用，解题时注意题干条件中“每人限报一项”的限制3已知xn（0，2），且p（2x0）=0.4，则p（x2）=（）a0.2b0.1c3d0.4考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：本题考查正态分布曲线的性质，随机变量服从正态分布n（0，2），由此知曲线的对称轴为y轴，可得p（0x2）=0.4，即可得出结论解答：解：随机变量服从正态分布n（0，2），且p（2x0）=0.4，p（0x2）=0.4，p（x2）=0.50.4=0.1故选：b点评：本题考查正态分布曲线所表示的意义，解题的关键是正确正态分布曲线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率4展开式中x4的系数是（）a16b70c560d1120考点：二项式定理 专题：计算题分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为4求得r，再代入系数求出结果解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项， tr+1=，要求x4的项的系数163r=4，r=4，x4的项的系数是c8424=1120故选d点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题5在4次独立试验中，事件a出现的概率相同，若事件a至少发生1次的概率是，则事件a 在一次试验中出现的概率是（）abcd考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 专题：计算题分析：根据n次独立重复试验事件a恰好发生k次的概率公式p（x=k）=cnkpk（1p）nk，“事件a至少发生1次的对立事件”为“在4次独立试验中，事件a一次也没有发生”，解方程即可求得结果解答：解事件a在一次试验中发生的概率为p，事件a在一次试验中不发生的概率为1p，事件a至少发生1次的概率是，它的对立事件是“在4次独立试验中，事件a一次也没有发生”由条件知c44（1p）4=1=，解得p=，故选a点评：本题考查的是独立重复试验的知识，对于至少或至多等方面的问题，采取对立事件求解，可以简化运算，属基础题6利用数学归纳法证明不等式时，由k递推到k+1时，左边应添加的因式为（）abcd考点：数学归纳法 专题：计算题分析：只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果解答：解：当n=k时，左边的代数式为 ， 当n=k+1时，左边的代数式为 +，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：=，故选：c点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集n相关的性质，其步骤为：设p（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） p（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在p（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出p（k+1）成立，则p（n）对一切自然数n都成立7在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是（）abcd考点：函数y=asin（x+）的图象变换；参数方程化成普通方程 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx（写成：y=sinx），横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，故可得伸缩变换解答：解：将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx即y=sinx，横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是：，故选b点评：本题主要考查了伸缩变换的有关知识，以及图象之间的联系，主要考查函数y=asin（x+）的图象变换，判断横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，是解题的关键属于基础题8已知a、br+，则下列不等式不一定成立的是（）aa+b+bcd考点：基本不等式 分析：因为a、br+，所以=2，a+b，由此可知d不一定成立解答：解：a、a、br+，=2，a成立b、a、br+，b成立c、a、br+，a+b，c成立d、a、br+，d不一定成立故选d点评：本题考查不等式的基本性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用9在曲线上的点是（）abcd考点：参数方程化成普通方程 专题：计算题分析：先找曲线的普通方程y2=1+x，结合选项可找出符合条件的点解答：解：曲线的普通方程为y2=1+xx=sin21结合选项可得时，满足条件故选：b点评：本题目主要考查了参数方程化为普通方程，解题的关键是灵活利用三角函数的二倍角公式及同角平方关系，属于基础试题10设函数f（x）=ex+x2，g（x）=lnx+x23若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）ag（a）0f（b）bf（b）0g（a）c0g（a）f（b）df（b）g（a）0考点：函数的值；不等关系与不等式 专题：函数的性质及应用分析：先判断函数f（x），g（x）在r上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可解答：解：由于y=ex及y=x2关于x是单调递增函数，函数f（x）=ex+x2在r上单调递增，分别作出y=ex，y=2x的图象，f（0）=1+020，f（1）=e10，f（a）=0，0a1同理g（x）=lnx+x23在r+上单调递增，g（1）=ln1+13=20，g（）=，g（b）=0，g（a）=lna+a23g（1）=ln1+13=20，f（b）=eb+b2f（1）=e+12=e10g（a）0f（b）故选a点评：熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11已知回归方程为=1.5x+4.5，x1，5，7，13，19，则=18考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：根据线性回归方程一定过这组数据的样本中心点，可得结论解答：解：由题意，=（1+5+7+13+19）=9线性回归方程一定过这组数据的样本中心点，=1.59+4.5=18故答案为：18点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是理解线性回归方程过这组数据的样本中心点，是基础题12观察下表：1 2 3 4第一行2 3 4 5第二行3 4 5 6第三行4 5 6 7第四行第一列 第二列 第三列 第四列根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为2n1考点：归纳推理 专题：推理和证明分析：根据表中的数据归纳出：在第n行第n列交叉点上的数构成一个等差数列，由条件和等差数列的通项公式求出答案解答：解：由题意知，1 2 3 4第一行2 3 4 5第二行3 4 5 6第三行4 5 6 7第四行观察可得，在第n行第n列交叉点上的数分别为1、3、5、7、，这些数恰构成一个等差数列，且公差为2，首项为1，第n行第n列交叉点上的数应为：2n1，故答案为：2n1点评：本题考查归纳推理，以及等差数列的通项公式，难点是根据已知的式子找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题13已知点p（x，y）是椭圆=1上的动点，则x+y的取值范围是2，2考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过设x+y=z并与椭圆方程联立，令=0计算即得结论解答：解：设x+y=z，联立，消去y、整理得：x2zx+z23=0，令=（z）24（z23）=0，解得：z2=4，2z2，2x+y2，故答案为：2，2点评：本题以椭圆为载体，考查线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题14函数的最小值为9考点：平均值不等式 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：将函数式的两项拆成3项，再利用平均值不等式，即可得到当且仅当=时即x=2时，函数的最小值为9解答：解：x0=+3=9当且仅当=时，即x=2时，等号成立由此可得，函数的最小值为9故选：9点评：本题给出分式函数，求函数在正数范围内的最小值，着重考查了利用平均值不等式求函数最值的知识，属于中档题15函数y=f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，给出下列命题：3是函数y=f（x）的极值点；1是函数y=f（x）的最小值点；y=f（x）在区间（3，1）上单调递增；y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零以上正确命题的序号是考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的概念及应用分析：根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率解答：解：根据导函数图象可知当x（，3）时，f（x）0，在x（3，1）时，f（x）0函数y=f（x）在（，3）上单调递减，在（3，1）上单调递增，故正确则3是函数y=f（x）的极小值点，故正确在（3，1）上单调递增，1不是函数y=f（x）的最小值点，故不正确；函数y=f（x）在x=0处的导数大于0，切线的斜率大于零，故不正确故答案为：点评：本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值、和切线的斜率等有关知识，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16设有关于x的不等式|x+3|+|x7|a（1）当a=12时，解此不等式；（2）当a为何值时，此不等式的解集是r考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用；不等式分析：（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求得各个不等式组的解集，再取并集，即得所求（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）=|x+3|+|x7|的最小值，可得a的范围解答：解：（1）当a=12时，化为|x+3|+|x7|12，x8或x2，不等式的解集为x|x2或x8（2）设f（x）=|x+3|+|x7|，则f（x）|（x+3）（x7）|=10，当且仅当3x7时，f（x）取得最小值10，要使|x+3|+|x7|a的解集为r，只要a10点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题17以直角坐标系的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴已知点p的直角坐标为（1，5），点m的极坐标为（4，）若直线l过点p，且倾斜角为，圆c以m为圆心，半径为4（）求直线l的参数方程和圆c的极坐标方程；（）试判定直线l和圆c的位置关系考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：（1）设直线l上动点坐标为q（x，y），利用倾斜角与斜率的公式建立关系式得到x、y关于t的方程组，即可得到直线l的参数方程；由圆的性质和极坐标的定义，利用题中数据可得圆c的极坐标方程；（2）将直线l与圆c都化成直角坐标方程，利用点到直线的距离公式加以计算，得到圆心到直线的距离比圆c半径大，从而得到直线l和圆c的位置关系解答：解：（1）直线l过点p（1，5），倾斜角为，设l上动点坐标为q（x，y），则=tan=，因此，设y5=tsin=，x+1=tcos=t，得直线l的参数方程为（t为参数）圆c以m（4，）为圆心，4为半径，圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x2+（y4）2=16，圆c的极坐标方程为=8sin（2）将直线l化成普通方程，得，点c到直线l的距离d=4=r，直线l和圆c相离点评：本题考查直线的参数方程，圆的极坐标方程，和普通方程的互化，直线与圆的位置关系，是中档题18气象部门提供了某地区今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：日最高气温t（单位：）t2222t2828t32t32天数612yz由于工作疏忽，统计表被墨水污染，y和z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32的频率为0.9某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t（单位：）对西瓜的销售影响如下表：日最高气温t（单位：）t2222t2828t32t32日销售额x（千元）2568（）求y，z的值；（）若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；（）在日最高气温不高于32时，求日销售额不低于5千元的概率考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率 专题：计算题；概率与统计分析：（）由p（t32c）=0.9，求出p（t32c），即可求得y，z的值；（）求出相应概率，即可得到六月份西瓜日销售额的期望和方差；（）求出p（t32c）=0.9，p（22ct32c）=0.4+0.3=0.7，由条件概率可得结论解答：解：（）由题意，p（t32c）=0.9，p（t32c）=1p（t32c）=0.1z=300.1=3，y=30（6+12+3）=9；（）p（28ct32c）=六月份西瓜日销售额的分布列为x 2 5 6 8 p 0.2 0.4 0.3 0.1ex=20.2+50.4+60.3+80.1=5dx=（25）20.2+（52）20.4+（62）20.3+（82）20.1=3；（）p（t32c）=0.9，p（22ct32c）=0.4+0.3=0.7由条件概率得p（x5|t32c）=p（22ct32c|t32c）=点评：本题考查概率知识，考查概率的计算，考查学生利用概率知识解决实际问题，属于中档题19在三棱锥sabc中，abc是边长为4的正三角形，平面sac平面abc，sa=sc=，m，n分别为ab，sb的中点（）证明：acsb；（）求二面角ncmb的余弦值考点：直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：解法一：几何法（i）取ac中点d，连结sd，bd，根据等腰三角形三线合一，可得acsd且acbd，结合线面垂直的判定定理得到ac平面sbd，再由线面垂直的性质得到acsb；（）过n作nebd于e，则ne平面abc，过e作efcm于f，连结nf，则nfcm则nfe为二面角ncmb的平面角，解rtnef可得二面角ncmb的余弦值解法二：向量法（i）取ac中点o，连结os、ob，建立空间坐标系，求出各点的坐标后，进而求出直线ac和sb方向向量的坐标，进而根据向量垂直的充要条件，证得acsb（ii）分别求出平面cmn的一个法向量和平面bcm（即平面abc）的一个法向量，代入向量夹角公式，可得二面角ncmb的余弦值解答：解法一：几何法证明：（）取ac中点d，连结sd，bdsa=sc，ab=bcacsd且acbd，又sdbd=d，sd，bd平面sbdac平面sbd，又sb平面sbd，acsb；（）ac平面sbd，ac平面abc，平面abc平面sbd，过n作nebd于e，则ne平面abc，过e作efcm于f，连结nf，则nfcmnfe为二面角ncmb的平面角平面abc平面sac，sdacsd平面abc又ne平面abc，nesdsn=nb，ne=sd=，且ed=eb在正abc中，由平面几何知识可求得ef=mb=，在rtnef中，tannfe=2cosnfe=二面角ncmb的余弦值为解法二：（）取ac中点o，连结os、obsa=sc，ab=bc，acso且acbo平面sac平面abc，平面sac平面abc=acso面abc，sobo如图所示建立空间直角坐标系oxyz则a（2，0，0），b（0，2，0），c（2，0，0），s（0，0，2），m（1，0），n（0，）=（4，0，0），=（0，2，2），=（4，0，0）（0，2，2）=0，acsb（）由（）得=（3，0），=（1，0，）设=（x，y，z）为平面cmn的一个法向量，即，取z=1，则=（，1）又=（0，0，2）为平面abc的一个法向量，cos，=二面角ncmb的余弦值为点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，解法一的关键是（1）熟练掌握线线垂直，线面垂直，面面垂直之间的相互转化，（2）将异面直线夹角转化为解三角形问题，解法二的关键是建立空间坐标系，将问题转化为向量夹角问题20已知椭圆c：+=1（ab0）过点m（0，1），四个顶点所围成的图形面积为2直线l：y=kx+t与椭圆相交于a、b两点，且amb=90（1）求椭圆c的方程；（2）试判断直线l是否恒过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意得，由此能求出椭圆c的方程（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），联立椭圆与直线方程：，得（1+2k2）x2+4ktx+2t22=0，由此能推导出直线l恒过定点（0，）解答：解：（1）由题意得，解得，椭圆c的方程为（2）设a（x1，y1），b（x2，y2