（新课标）高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第6讲 数学归纳法(理)习题.doc

2017高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第6讲 数学归纳法(理)习题a组基础巩固一、选择题1用数学归纳法证明2n2n1，n的第一个取值应是 ()a1b.2c3d4答案c解析n1时，212,2113,2n2n1不成立；n2时，224,2215,2n2n1不成立；n3时，238,2317,2n2n1成立n的第一个取值应是3.2用数学归纳法证明“1aa2an1(a1)”，在验证n1时，左端计算所得的项为 ()a1b.1ac1aa2d1aa2a3答案c3设f(n)1(nn*)，那么f(n1)f(n)等于 ()a.b.c.d答案d4如果命题p(n)对nk(kn*)成立，则它对nk2也成立若p(n)对n2也成立，则下列结论正确的是 ()ap(n)对所有正整数n都成立bp(n)对所有正偶数n都成立cp(n)对所有正奇数n都成立dp(n)对所有自然数n都成立答案b解析n2时，nk，nk2成立，n为2,4,6，所有正偶数5对于不等式n1(nn*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kn*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1.当nk1时，不等式成立，则上述证法()a过程全部正确bn1验得不正确c归纳假设不正确d从nk到nk1的推理不正确答案d解析在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法6用数学归纳法证明34n152n1(nn*)能被8整除时，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1可变形为()a5634k125(34k152k1)b3434k15252kc34k152k1d25(34k152k1)答案a二、填空题7凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和为f(k1)f(k)_.答案1808设数列an的前n项和为sn，且对任意的自然数n都有(sn1)2ansn，通过计算s1，s2，s3，猜想sn_.答案解析由(s11)2s1s1，得s1，由(s21)2(s2s1)s2，得s2，依次得s3，s4，猜想sn.9用数学归纳法证明不等式(n2，nn*)的过程中，若设f(n)，则f(k1)与f(k)的关系是_.答案f(k1)f(k)解析f(k1)f(k).10设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示).答案5(n1)(n2)解析f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2)三、解答题11用数学归纳法证明等式12223242(1)n1n2(1)n1.证明(1)当n1时，左边121，右边(1)01，原等式成立(2)假设nk(kn*，k1)时，等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，当nk1时，则有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k.nk1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意nn*有12223242(1)n1n2(1)n1.12已知数列an的各项都是正数，且满足：a01，an1an(4an)，(nn).证明：anan12，(nn)证明方法一：用数学归纳法证明：(1)当n0时，a01，a1a0(4a0)，所以a0a12，命题正确(2)假设nk时命题成立，即ak1ak2.则当nk1时，akak1ak1(4ak1)ak(4ak)2(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(4ak1ak)而ak1ak0,4ak1ak0，所以akak10.又ak1ak(4ak)4(ak2)22.所以nk1时命题成立由(1)(2)可知，对一切nn时有anan12.方法二：用数学归纳法证明：(1)当n0时，a01，a1a0(4a0)，所以0a0a12.(2)假设nk时有ak1ak2成立，令f(x)x(4x)，f(x)在0,2上单调递增，所以由假设有f(ak1)f(ak)f(2)即ak1(4ak1)ak(4ak)2(42)也即当nk1时，akak12成立所以对一切nn，有akak12.b组能力提升1设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()a若f(1)1成立，则f(10)100成立b若f(2)4成立，则f(1)1成立c若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立d若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立答案d解析f(k)k2成立时，f(k1)(k1)2成立，f(4)16时，有f(5)52，f(6)62，f(k)k2成立2用数学归纳法证明不等式1(nn*)成立，其初始值至少应取()a7b.8c9d10答案b解析左边12，代入验证可知n的最小值是8.3在数列an中，a1，且snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()a.b.c.d答案c解析当n2时，a2(23)a2，a2.当n3时，a3(35)a3，a3.故猜想an.4(2015湖北，改编)已知数列an的各项均为正数，bnn(1)nan(nn)，e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)1xex的单调区间，并比较(1)n与e的大小；(2)计算，由此推测计算的公式，并给出证明解析(1)f(x)的定义域为(，)，f (x)1ex.当f (x)0，即x0时，f(x)单调递增；当f (x)0，即x0时，f(x)单调递减故f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，)当x0时，f(x)f(0)0，即1xex.令x，得1e，即(1)ne.(2)1(1)1112；22(1)2(21)232；323(1)3(31)343.由此推测：(n1)n.下面用数学归纳法证明.(1)当n1时，左边右边2，成立(2)假设当nk时，成立，即(k1)k.当nk1时，bk1(k1)(1)k1ak1，由归纳假设可得(k1)k(k1)(1)k1(k2)k1.所以当nk1时，也成立根据(1)(2)，可知对一切正整数n都成立5(2015东城区调研)在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nn*).(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此归纳出an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：.解析(1)由条件得2bnanan1，abnbn1，由此可得：a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立假设当nk时，结论成立，即akk(k1