（福建专版）高考数学大一轮复习 高考大题专项练4 文.doc

高考大题专项练4立体几何问题1.(2014福建质检)如图,三棱柱abc-a1b1c1的底面是正三角形,aa1底面abc,m为a1b1的中点.(1)求证:b1c平面amc1;(2)若bb1=5,且沿侧棱bb1展开三棱柱的侧面,得到的侧面展开图的对角线长为13,求三棱锥b1-amc1的体积.2.如图,在四棱台abcd-a1b1c1d1中,d1d平面abcd,底面abcd是平行四边形,ab=2ad,ad=a1b1,bad=60.(1)证明:aa1bd;(2)证明:cc1平面a1bd.3.(2014江西,文19)如图,三棱柱abc-a1b1c1中,aa1bc,a1bbb1.(1)求证:a1ccc1;(2)若ab=2,ac=,bc=,问aa1为何值时,三棱柱abc-a1b1c1体积最大,并求此最大值.4.如图所示,在rtabc中,ac=6,bc=3,abc=90,cd为acb的平分线,点e在线段ac上,ce=4.如图所示,将bcd沿cd折起,使得平面bcd平面acd,连接ab,be,设点f是ab的中点.图图(1)求证:de平面bcd;(2)若ef平面bdg,其中g为直线ac与平面bdg的交点,求三棱锥b-deg的体积.5.如图,在三棱锥p-abc中,pb底面abc,bca=90,pb=bc=ca=4,e为pc的中点,m为ab的中点,点f在pa上,且af=2fp.(1)求证:cm平面bef;(2)求证:be平面pac;(3)求三棱锥b-pae的体积.6.(2014重庆,文20)如图,四棱锥p-abcd中,底面是以o为中心的菱形,po底面abcd,ab=2,bad=,m为bc上一点,且bm=.(1)证明:bc平面pom;(2)若mpap,求四棱锥p-abmo的体积.答案：1.(1)证明:如图,连接a1c,交ac1于点o,连接om.三棱柱abc-a1b1c1的侧面是矩形,o为a1c的中点.又m为a1b1的中点,omb1c.又om平面amc1,b1c平面amc1,b1c平面amc1.(2)解:三棱柱侧面展开图是矩形,且对角线长为13,侧棱bb1=5,三棱柱底面周长为=12.又三棱柱的底面是正三角形,a1c1=4,b1m=2,c1m=2.b1mc1m=22=2,aa1=25=,即三棱锥b1-amc1的体积为.2.证明:(1)方法一:因为d1d平面abcd,且bd平面abcd,所以d1dbd.又因为ab=2ad,bad=60,在abd中,由余弦定理得bd2=ad2+ab2-2adabcos 60=3ad2,所以ad2+bd2=ab2.所以adbd.又add1d=d,所以bd平面add1a1.又aa1平面add1a1,故aa1bd.方法二:因为d1d平面abcd,且bd平面abcd,所以bdd1d.如图,取ab的中点g,连接dg,在abd中,由ab=2ad,得ag=ad.又bad=60,所以adg为等边三角形.因此gd=gb,故dbg=gdb.因为agd=60,所以gdb=30.故adb=adg+gdb=60+30=90,所以bdad.又add1d=d,所以bd平面add1a1.又aa1平面add1a1,故aa1bd.(2)如图,连接ac,a1c1,设acbd=e,连接ea1.因为四边形abcd为平行四边形,所以ec=ac.由棱台定义及ab=2ad=2a1b1知a1c1ec且a1c1=ec,所以四边形a1ecc1为平行四边形,所以cc1a1e.又ea1平面a1bd,cc1平面a1bd,所以cc1平面a1bd.3.(1)证明:由aa1bc知bb1bc,又bb1a1b,故bb1平面bca1,即bb1a1c,又bb1cc1,所以a1ccc1.(2)解法一:设aa1=x,在rta1bb1中,a1b=,同理,a1c=.在a1bc中,cosba1c=-,sinba1c=,所以a1ba1csinba1c=.从而三棱柱abc-a1b1c1的体积v=aa1=.因x=,故当x=时,即aa1=时,体积v取到最大值.解法二:过a1作bc的垂线,垂足为d,连接ad.由aa1bc,a1dbc,故bc平面aa1d,bcad.又bac=90,所以sabc=adbc=abac得ad=.设aa1=x,在rtaa1d中,a1d=,a1dbc=.从而三棱柱abc-a1b1c1的体积v=aa1=.因x=,故当x=时,即aa1=时,体积v取到最大值.4.(1)证明:ac=6,bc=3,abc=90,acb=60.cd为acb的平分线,bcd=acd=30.cd=2.ce=4,dce=30,de2=ce2+cd2-2cecdcos 30=4.de=2,则cd2+de2=ec2.cde=90,dedc.又平面bcd平面acd,平面bcd平面acd=cd,de平面acd,de平面bcd.(2)解:ef平面bdg,ef平面abc,平面abc平面bdg=bg,efbg.点e在线段ac上,ce=4,点f是ab的中点,ae=eg=cg=2.如图,作bhcd于h.平面bcd平面acd,bh平面acd.由条件得bh=,sdeg=sacd=accdsin 30=,三棱锥b-deg的体积v=sdegbh=.5.(1)证明:取af的中点g,连接cg,gm,因为e为pc中点,fa=2fp,所以efcg.又cg平面bef,ef平面bef,所以cg平面bef.同理可证:gm平面bef.又cggm=g,所以平面cmg平面bef.因为cm平面cmg,所以cm平面bef.(2)证明:因为pb底面abc,且ac底面abc,所以pbac.由bca=90,得accb.又因为pbcb=b,所以ac平面pbc.因为be平面pbc,所以acbe.因为pb=bc,e为pc中点,所以bepc.因为pcac=c,所以be平面pac.(3)解:由(2)可知be平面pac,ac平面pbc,pc=4.又由已知可得be=2.因为pe=pc=2,所以sape=spac=acpc=4.所以vb-pae=spaebe=.故三棱锥b-pae的体积为.6.(1)证明:如图,因abcd为菱形,o为菱形中心,连接ob,则aoob.因bad=,故ob=absinoab=2sin=1,又因bm=,且obm=,在obm中,om2=ob2+bm2-2obbmcosobm=12+-21cos.所以ob2=om 2+bm 2,故ombm.又po底面abcd,所以pobc.从而bc与平面pom内两条相交直线om,po都垂直,所以bc平面pom.(2)解:由(1)可得,oa=abcosoab=2cos.设po=a,由po底面abcd知,poa为直角三角形,故pa2=po2+oa2=a2+3.由pom也是直角三角形,故pm2=po2+om2= a2+.连接am,在abm中,am2=ab2+