（江苏专用）高考数学大一轮复习 第三章 第18课 利用导数研究函数的单调性要点导学.doc

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习 第三章 第18课 利用导数研究函数的单调性要点导学要点导学各个击破利用导数研究函数的单调性求下列函数的单调区间:(1) y=x3-x2-2x+5;(2) y=2x2-lnx.思维引导多项式的单调区间由多项式的导数的正负决定.解答(1) y=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).令y0,得x(1,+).令y0,得x.所以函数的单调增区间为,(1,+),单调减区间为.(2) 因为y=4x-=,定义域为(0,+),令y0,得x.所以函数的单调增区间为,单调减区间为.(1) 函数f(x)=x3-4x2+5x+2的单调减区间是.(2) (2014孝感模拟)函数y=(3-x2)ex的单调增区间是.答案(1) (2) (-3,1)解析(1) f(x)=3x2-8x+5,令f(x)0,得1x0,得-3x0时,令f(x)0,解得0x2,此时函数f(x)的单调增区间为(0,2).当a0,解得x2,此时函数f(x)的单调增区间为(-,0),(2,+).结合函数的单调性求参数(2014武汉模拟)已知函数f(x)=+aln(x-1)(ar).若f(x)在2,+)上是增函数,求实数a的取值范围.思维引导首先求出函数的导数,然后根据f(x)0(f(x)0)在区间i上恒成立,求出实数a的取值范围.解答由f(x)=-1+aln(x-1),得f(x)=-+.因为f(x)在2,+)上是增函数,所以f(x)0在2,+)上恒成立,即a在2,+)上恒成立,所以a.x2,所以01,所以01,故k的取值范围是1,+).函数单调性的应用已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,br).(1) 若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值;(2) 若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.思维引导由图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,可以列出两个等式,求出a,b的值.解答(1) 由题意得f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).又解得或(2) 由f(x)=0,得x1=a,x2=-.又因为f(x)在(-1,1)上不单调,所以或解得-5a-或-a1.故a的取值范围是.精要点评导函数f(x)在(a,b)上单调递增(递减)的充要条件是:对任意x(a,b),都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a,b)上的任意子区间上都不恒为零,利用此充要条件可以方便解决如本题中的“已知函数的单调性,反过来确定函数解析式中的参数的值域问题”.设函数f(x)=x3+mx2+nx.(1) 如果函数g(x)=f(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求函数f(x)的解析式;(2) 如果m+n10(m,nn*),函数f(x)的单调减区间的长度是正整数,试求m和n的值.(注:区间(a,b)的长度为b-a)解答(1) 已知f(x)=x3+mx2+nx,则f(x)=x2+2mx+n.(1分)又g(x)=f(x)-2x-3=x2+(2m-2)x+n-3在x=-2处取极值,所以g(-2)=2m-6=0,解得m=3.(3分)又g(x)在x=-2处取最小值-5,则g(-2)=(-2)2+(-2)4+n-3=-5,解得n=2.(5分)所以f(x)=x3+3x2+2x. (6分)(2) 要使f(x)=x3+mx2+nx单调递减,则f(x)=x2+2mx+n0. (7分)设f(x)=x2+2mx+n=0的两根为a,b,则b-a为区间长度.因为单调减区间长度是正整数,所以b-a=2(m,nn*).又b-a为正整数,且m+n0,即(x-11)(x+1)0,故函数的单调增区间为(-,-1),(11,+).2. 函数f(x)=x3-6x+5,x0,2的单调减区间为.答案0,)解析f(x)=3x2-6,x0,2,令f(x)0,得0x0,得0xe,此时函数f(x)单调递增;令f(x)e,此时函数f