（江苏专用）高三数学 必过关题 数列1.doc

高三必过关题4 数列（1）考点一：等差数列的性质例1 ：在等差数列中，若，则 答案：8提示：方法一：回归到基本量、；方法二数列是等差数列，由得，例2 ：等差数列前n项和为，已知+-=0，=38,则_答：10提示：等差数列的性质. 由+-=0得到或，例3 已知命题：“在等差数列中，若，则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为 答：18提示：由知为定值，将用表示成，所以，得.例4 ：设是等差数列的前n项和，若，则 答：提示：得，.例5 ：等差数列an的公差为d，关于x的不等式 的解集为0,22，则使数列an的前n项和sn最大的正整数n的值是 答：11提示：由已知得d0，得n1，a99a10010，得,又.得，所以成立，所以成立，是tn中最大的，所以错误，所以成立考点三：等差、等比数列的性质例16 ：设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则 .答：提示：当时，成等差，不成立，当时利用计算求解例17 ：设数列前项和为（），关于数列有下列命题：（1）若则既是等差数列又是等比数列；（2）若，则为等差数列；（3）若为等比数列，则成等比数列；（4）若则是等比数列；其中正确的命题是 答：（2）（4）提示：（1）中，每项为0时，不是等比数列；（3）中为1，-1,1，-1是反例例18 ：等差数列有如下性质：若数列为等差数列，则当时，数列 也是等差数列；类比上述性质，若为正项等比数列，则当 时，数列也是等比数列答：提示：类比推理.考点四：等差、等比数列的综合例19 ：设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_答：提示：解法一等差数列的前项和为，且 即 ， 故的最大值为解法二：利用线性规划例20 ：已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为_答：提示：，得到，从而，再用导数法求出最小值（可先换元）二、解答题 例21 ：已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（1）求等差数列的通项公式;（2）若,成等比数列，求数列的前项和.解析:(1)设等差数列的公差为,则, 由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得,或. (2)当时,分别为,不成等比数列; 当时,分别为,成等比数列,满足条件. 故,记数列的前项和为. 当时,;当时,; 当时, . 当时,满足此式. 综上,例22 ：设等差数列的前项和为且 （1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.解答：（1）设等差数列的公差为d. 由已知得即解得故. （2）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，； 当时，.故存在正整数t，使得成等差数列. 例23 ：已知数列和满足, , .(1) 当时,求证: 对于任意的实数,一定不是等差数列；(2) 当时,试判断是否为等比数列；(3) 设为数列的前项和,在()的条件下,是否存在实数,使得对任意的正整数,都有?若存在,请求出的取值范围；若不存在,请说明理由.解答：（1）当时,假设是等差数列,由得,即,1-4-30,方程无解。故对于任意的实数,一定不是等差数列（2）当时,.而,所以又故当时, 不是等比数列.当时, 是以为首项,为公比的等比数列.（3）由()知,当时,不合要求.所以,于是,要使成立,则令,当n正奇数时,；当n正偶数时,.故的最大值为,最小值为欲对任意的正整数n都成立,则,即,所以.综上所述,存在唯一的实数=,使得对任意的正整数,都有。例24 ：已知数列的前项和为（1）若数列是等比数列，满足， 是，的等差中项，求数列的通项公式；（2）是否存在等差数列，使对任意都有？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由解答：（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有即由 得 ，解得或.当时，不合题意舍；当时，代入(2)得，所以， . （2）假设存在满足条件的数列，设此数列的公差为，则方法1：，得对恒成立，则 解得或此时，或故存在等差数列，使对任意都有其中，或 方法2：令，得，令，得， 当时，得或，若，则，对任意都有；若，则，不满足当时，得或，若，则，对任意都有；若，则，不满足综上所述，存在等差数列，使对任意都有其中，或 例25 ：一位幼儿园老师给班上个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为,就先从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第二个小朋友;,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中,然后把盒内糖果的分给第个小朋友.如果设分给第个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为.(1)当,时,分别求;(2)请用表示;令,求数列的通项公式;(3)是否存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列,如果存在,请求出所有的和,如果不存在,请说明理由.解答:(1)当,时, , , (2)由题意知: , 即, , 累加得, 又, (3)由,得, 若存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列, 则, 即, 当时, ,对任意正整数,有成等差数列 例26 ：设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；等差数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2) 若对任意，有成立，求实数的取值范围;（3）对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.解答： （1）由题意，则，解得或因为为正整数，所以， 又，所以（2