（全国通用）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第二章 函数与导数第4课时 函数的奇偶性及周期性.doc

第二章 函数与导数第4课时函数的奇偶性及周期性第三章 (对应学生用书(文)、(理)1314页)考点分析考点新知 函数奇偶性的考查一直是近几年江苏命题的热点，命题时主要是考查函数的概念、图象、性质等. 能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期性分析和解决有关问题 了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性. 掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题. 了解周期函数的意义，并能利用函数的周期性解决一些问题.1. (必修1p45习题8改编)函数f(x)mx2(2m1)x1是偶函数，则实数m_答案：解析：由f(x)f(x)，知m.2. (必修1p43练习5改编)函数f(x)x3x的图象关于_对称. 答案：原点解析：由f(x)(x)3(x)x3xf(x)，知f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称3. (原创)设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)1，则f(2 015)_答案：1解析：由条件，f(2 015)f(67132)f(2)f(1)f(1)1.4. (必修1p43练习4)对于定义在r上的函数f(x)，给出下列说法： 若f(x)是偶函数，则f(2)f(2)； 若f(2)f(2)，则函数f(x)是偶函数； 若f(2)f(2)，则函数f(x)不是偶函数； 若f(2)f(2)，则函数f(x)不是奇函数其中，正确的说法是_(填序号)答案：解析：根据偶函数的定义，正确，而与互为逆否命题，故也正确，若举例奇函数f(x)由于f(2)f(2)，所以都错误5. (必修1p54练习测试10)已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)x3x1，则当x0时，f(x)_答案：x3x1解析：若x0，f(x)x3x1，由于f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)x3x1.1. 奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数2. 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1) 考查定义域是否关于原点对称(2) 根据定义域考查表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数若存在x使f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数3. 函数的图象与性质奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称4. 函数奇偶性和单调性的相关关系(1) 注意函数yf(x)与ykf(x)的单调性与k(k0)有关(2) 注意函数yf(x)与y的单调性之间的关系(3) 奇函数在a，b和b，a上有相同的单调性(4) 偶函数在a，b和b，a上有相反的单调性5. 函数的周期性设函数yf(x)，xd，如果存在非零常数t，使得对任意xd，都有f(xt)f(x)，则称函数f(x)为周期函数，t为函数f(x)的一个周期(d为定义域)题型1判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性：(1) f(x)x3；(2) f(x)；(3) f(x)(x1)；(4) f(x).解：(1) 定义域是(，0)(0，)，关于原点对称，由f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(2) 去掉绝对值符号，根据定义判断由得故f(x)的定义域为1，0)(0，1，关于原点对称，且有x20.从而有f(x)，这时有f(x)f(x)，故f(x)为奇函数(3) 因为f(x)定义域为1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数(4) 因为f(x)定义域为，所以f(x)0，则f(x)既是奇函数也是偶函数判断下列函数的奇偶性：(1) f(x)x4x；(2) f(x)(3) f(x)lg(x)解：(1) 定义域为r，f(1)0，f(1)2，由于f(1)f(1)，f(1)f(1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2) 因为函数f(x)的定义域是(，0)(0，)，并且当x0时，x0，所以f(x)(x)2(x)(x2x)f(x)(x0)当x0时，x0，所以f(x)(x)2(x)(x2x)f(x)(x0)故函数f(x)为奇函数(3) 由x0，得xr，由f(x)f(x)lg(x)lg(x)lg10，所以f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数题型2函数奇偶性的应用例2(1) 设ar，f(x)(xr)，试确定a的值，使f(x)为奇函数；(2) 设函数f(x)是定义在(1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a2)f(4a2)0，求实数a的取值范围解：(1) 要使f(x)为奇函数， xr， 需f(x)f(x)0. f(x)a， f(x)aa.由0，得2a0， a1.(2) 由f(x)的定义域是，知解得a.由f(a2)f(4a2)0，得f(a2)f(4a2)因为函数f(x)是偶函数，所以f(|a2|)f(|4a2|)由于f(x)在(0，1)上是增函数，所以|a2|4a2|，解得a1且a2.综上，实数a的取值范围是a且a2.(1) 已知函数f(x)是奇函数，求ab的值；(2) 已知奇函数f(x)的定义域为2，2，且在区间2，0内递减，若f(1m)f(1m2)0时，x0，由题意得f(x)f(x)，所以x2xax2bx.从而a1，b1，所以ab0.(2) 由f(x)的定义域是2，2，知解得1m.因为函数f(x)是奇函数，所以f(1m)f(1m2)，即f(1m)m21，解得2m1.综上，实数m的取值范围是1m0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_答案：(5，0)(5，)解析：作出f(x)x24x(x0)的图象，如图所示由于f(x)是定义在r上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出xx表示函数yf(x)的图象在yx的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(5，0)(5，)3. (2013天津)已知函数f(x)是定义在r上的偶函数，且在区间0，)内单调递增若实数a满足f(log2a)f(loga)2f(1)，则a的取值范围是_答案：解析：因为f(loga)f(log2a)f(log2a)，所以原不等式可化为f(log2a)f(1)又f(x)在区间0，)上单调递增，所以|log2a|1，解得a2.4. (2013盐城二模)设函数yf(x)满足对任意的xr，f(x)0且f2(x1)f2(x)9.已知当x0，1)时，有f(x)2|4x2|，则f_答案：解析：由题知f2，因为f(x)0且f2(x1)f2(x)9，故f，f2，f，如此循环得ff，即f.1. 定义在r上的函数f(x)满足f(x)则f(2 014)_答案：1解析：由已知得f(1)log221，f(0)0，f(1)f(0)f(1)1，f(2)f(1)f(0)1，f(3)f(2)f(1)1(1)0，f(4)f(3)f(2)0(1)1，f(5)f(4)f(3)1，f(6)f(5)f(4)0，所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2 014)f(4)1.2. 已知f(x)是r上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为_答案：7解析：由条件，当0x2时，f(x)x(x1)(x1)，即当0x2时，f(x)0有两个根0，1，又由周期性，当2x4时，f(x)0有两个根2，3，当4x6时，f(x)0有两个根4，5，而6也是f(x)0的根，故yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为7.3. 设函数f(x)是定义在r上的奇函数，且当x0时，f(x)x2，若对任意的xt，t2，不等式f(xt)2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是_答案：，)解析： 当x0时，f(x)x2且f(x)是定义在r上的奇函数，又f(xt)2f(x)f()，易知f(x)在r上是增函数， xtx， t(1)x. xt，t2， t(1)(t2)， t.4. 已知f(x)是偶函数，且f(x)在0，)上是增函数，若x时，不等式f(1xlog2a)f(x2)恒成立，求实数a的取值范围解： f(x)是偶函数，当x时，不等式f(1xlog2a)f(x2)等价于f(|1xlog2a|)f(2x)又f(x)在0，)上是增函数， |1xlog2a|2x， x21xlog2a2x， 1log2a1，上述不等式在x上恒成立， log2a， 2log2a0，