泛函分析答案.doc

泛函分析答案：1、 所有元素均为0的nn矩阵2、 设E为一线性空间，L是E中的一个子集，若对任意的x,yL，以及变数和均有xyL，则L称为线性空间E的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当和均为0时，xy0L，则L必定含零元素。3、 设L是线性空间E的子空间，x0EL,则集合x0+L=x0+l,lL称为E中一个线性流形。4、 设M是线性空间E中一个集合，如果对任何x,yM，以及1，0，0的和，都有xyM，则称M为E中的凸集。5、 设x,y是线性空间E中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：（1） 非负性：d(x,y)0，且d(x,y)0x=y（2） d(x,y)=d(y,x)（3） 三角不等式：d(x,y)d(x,z)+d(y,z) for every x,y,zEn维欧几里德空间常用距离定义：设x=x1,x2,xnT,y=y1y2,ynTd2(x,y)=()1/2 d1(x,y)= dp(x,y) = ( )1/p d(x,y)= 6、距离空间(x,d)中的点列xn收敛到x0是指d(xn,x0)0(n)，这时记作，或简单地记作xnx07、设|x|是线性空间E中的任何一个元素x的范数，其须满足以下条件：（1）|x|0,且|x|0iff x=0 （2）|x|=|x|,为常数（3）|x+y|x|+|y|,for every x,yE8、设E为线性赋范空间，xnn=1是其中的一个无穷列，如果对于任何0,总存在自然数N，使得当nN,mN时，均有|xm-xn|,则称序列xn是E中的基本列。若E的基本列的收敛元仍属于E，则称E为完备的线性赋范空间，即为Banach空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach空间。10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert空间。11、L2（a,b）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)L2（a,b）, 。当L2（a,b）中内积的定义为（f,g）= (其中f(t),g(t)L2（a,b）)时其为Hilbert空间。 12、算子表示一种作用，一种映射。设X和Y是给定的两个线性赋范空间，集合DX，若对D中的每一个x，均有Y中的一个确定的变量y与其对应，则说这种对应关系确定了一个算子T，记为y=T(x)，y为x的像，x为y的原像。13、算子的范数：设T为有界线性算子，则对一切xD(T)，使不等式|Tx|YM|x|X的正数M的下确界称为T的范数，|T|=sup|Tx|/|x|,|x|0。直观的理解就是|x|的最大放大率。14、根据线性算子零空间的定义：对线性算子T：EE1，必有T0=0，则称集合xE|Tx=0为T的零空间，它是E的线性子空间，并不一定是值域E1的子空间。15、如果存在一正常数M，使得对每一个xD(T)，都有|Tx|YM|x|X，则称T为有界算子。无界算子：设算子T：C10,1C0,1定义为：(Tx)(t)=x(t),则T是线性算子，若视C10,1为C0,1的子空间，则T是无界的。16、设Tn=L(X，Y)，TL(X，Y)，如果对任何一个xX，均有|Tnx-Tx|0(n)，则Tn弱收敛于T。17、L(X，Y)是BANACH空间。*18、压缩映像原理又叫BANACH不动点定理，其具体内容如下：设X为BANACH空间，F为XX的算子，且D(F)R(F)，如果x*X，满足F(x*)=x*，称x*为F的不动点。设集合QD(F)，如果存在常数q(0,1)使得对任何x,xQ,有|F(x)-F(x)|q|x-x|,称F为Q上的压缩算子，q为压缩系。压缩映像原理：设算子F映BANACH空间X的闭子集Q为其自身且F为压缩算子，压缩系为q，则算子F在Q内存在唯一的不动点x*，若x0为Q内的任意点，作序列xn+1=F(xn),n=0,1,2,则xnQ，xnx*,而且有估计|xn-x*|q/(1-q)|F(xn)-F(x0)|。简单地说即赋范空间的完备子集上压缩映射存在唯一的不动点，且该不动点可由该完备子集上的任一点作为初始值用迭代法得到。19、设X是实数域上的线性赋范空间，D是X的线性子空间，f:DR，如果f满足：对任何,R，x,yD,f(x+y)=f(x)+f(y),则f是D上的一个线性泛函，或者说由XR的算子为泛函。泛函f的范数定义如下：|f|=|f|=sup|f(x)|(|x|=1)=sup(|f(x)|/|x|)(|x|0)=sup|f(x)|(|x|1)，并且有|f(x)|f|x|。20、定义在整个线性赋范空间X上的所有有界线性泛函的全体构成的空间L(X，R)称为空间X的共轭空间，又叫对偶空间，其是完备的。21、弱收敛：X为线性赋范空间，xnX，x0X，如果对任何一个fx*均有，则称xn弱收敛于x0。弱收敛不一定强收敛，强收敛一定弱收敛。22、泛函的GATEAUR微分：设X为线性赋范空间，x0X，f(x)的x0及其领域内有定义，如果对任意hX，极限：存在，则称f(x)在x0处对方向h存在GATEAUR导数，记为。又称为泛函f(x)在x0处对于方向h的一阶变分。23、称为泛函f(x)在x0处对于方向h的一阶变分。令则。24、25、应变能密度： 应变余能密度：其关系如下图所示： 26、有限元方法的本质是：有限元=瑞兹法+具有局部紧支集的分片插值函数。27、，其中为系统的总势能，为应变能，后两项为外力势能，fi为体积力分量，为给定边界上的外力。最小势能原理：在所有满足边界条件( on Su)和必要的连续性条件的位移场中，系统的总势能最小，即对所有可能的位移，真实位移使得系统势能最小。其基本的未知函数是位移场ui，其应该满足：(1)单值、连续，满足适当的可微性，应该满足小位移应变关系，。(2)必须满足本质边界条件。边界位移连续条件，即： on 。推导与证明过程如下：把取一阶变分：=其中：而 由于在su上为已知，则=0 所以= 由=0得 on on 即极值点满足应力平衡条件，则其是真实的位移。下面证明此极小值是的最小值：设正确解是ui,，其它满足位移边界条件的容许位移是ui*，则ui*=ui,+ui，则ij*=ij+ij，由此得到：*=+2 其中=0，2=0，所以*，则极小值即是最小值。证明完毕。28、系统的总余能，其中第一项为系统的应变余能，第二项与给定位移有关。最小余能原理即对满足 in 和 on 的应力场(满足适当的光滑性)，真实的位移场使系统的总余能最小。其基本未知函数是应力场，对其要求为 in on 证明如下：对取一阶变分：，其中 由高斯定理可知： 在边界面上，是已知的，所以，则同理，由于，其中I是给定的，所以在内，=0。由以上推导可得：，由极值条件=0，得，在上。这就说明了取得极值时的既满足外力已知的边界条件，也满足位移已知的边界条件，所以是正确解，是真实的位移场。下面证明该位移场对应的极小值是最小值：设外力已知边界条件下的应力分量为，其中，所以，所以这个极小值是最小值。证明完毕。29、Hellinger-Reissner混合变分原理：以位移和应力作为独立变分的函数，真实的位移场和应力场使系统的总势或总余能最小。证明：构造余能泛函：变分得：依的对称性，得。则由=0的驻值条件可