高考数学一轮复习 第6章 不等式 6.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案 文.doc

6.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识梳理1二元一次不等式(组)表示的平面区域2线性规划相关概念3重要结论(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于axbyc0或axbyc0时，区域为直线axbyc0的上方；当b(axbyc)0表示的平面区域一定在直线axbyc0的上方()(2)不等式x2y20表示的平面区域是一、三象限角平分线和二、四象限角平分线围成的含有y轴的两块区域()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(4)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修a5p86t3)不等式组表示的平面区域是()答案b解析x3y60表示直线x3y60及其右下方部分，xy20表示直线xy20左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项b.故选b.(2)(必修a5p93b组t1)若实数x，y满足则不等式组表示区域的面积为_，z的取值范围是_答案(，21，)解析如下图所示，不等式组表示区域面积为13，z理解为区域上的点p(x，y)与点q(1，2)连线所在直线斜率的变化范围，kaq1，koq2，结合图形分析知z的取值范围为(，21，)3小题热身(1)(2017河北衡水中学五调)若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是()aa b0a1c1a d0a1或a答案d解析作出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分)由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：xya在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)故选d.(2)(2017天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数zxy的最大值为()a. b1 c. d3答案d解析画出可行域，如图中阴影所示又目标函数zxy，结合图象易知yxz过(0,3)点时z取得最大值，即zmax033.故选d.题型1二元一次不等式(组)表示的平面区域(2016浙江高考)在平面上，过点p作直线l的垂线所得的垂足称为点p在直线l上的投影由区域中的点在直线xy20上的投影构成的线段记为ab，则|ab|()a2 b4 c3 d6画出直线xy20，观察线间的位置关系，然后用转化法解之答案c解析由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示因为直线xy20与直线xy0平行，所以可行域内的点在直线xy20上的投影构成的线段的长|ab|即为|cd|.易得c(2，2)，d(1,1)，所以|ab|cd|3.故选c.结论探究若典例条件不变，则平面区域的面积是_答案6解析由得其交点坐标为(2,2)，交点到直线xy0的距离为d，故面积为36.方法技巧与平面区域有关的计算方法1画出不等式组表示的平面区域，并计算端点的坐标2根据平面区域的形状特点，选择合适的公式计算线段的长度、图形的面积，不规则的图形可用分割法求其面积见典例的解法3注意转化思想方法的应用，如把面积最大、最小问题转化为两点间的距离、点到直线的距离等冲关针对训练(2015重庆高考)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()a3 b1 c. d3答案b解析如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则2m2，则m1，由解得即a(1m,1m)由解得即b，所围成的区域为abc，则sabcsadcsbdc(22m)(1m)(22m)(1m)(1m)2，解得m3(舍去)或m1.故选b.题型2线性规划中的最值问题角度1求线性目标函数的最值(2017全国卷)设x，y满足约束条件则z2xy的最小值是()a15 b9 c1 d9本题可采用平移y2x的方法答案a解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示将目标函数z2xy化为y2xz，作出直线y2x，并平移该直线，知当直线y2xz经过点a(6，3)时，z有最小值，且zmin2(6)315.故选a.角度2由目标函数最值求参数(2013全国卷)已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()a. b. c1 d2本典例采用代点法列出方程求解答案b解析由约束条件画出可行域(如图所示的abc及其内部)，由得a(1，2a)，当直线2xyz0过点a时，z2xy取得最小值，所以1212a，解得a，故选b.角度3非线性目标函数的最值问题已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的范围本典例(1)可化为求x2(y5)2的最小值它的几何意义是点(x，y)与(0,5)的距离的平方典例(2)目标函数的几何意义是两点连线的斜率解作出可行域，如图阴影部分所示通过联立方程，解得a(1,3)，b(3,1)，c(7,9)(1)zx2(y5)2表示可行域内点(x，y)到点m(0,5)的距离的平方过点m作ac的垂线，垂足为点n，故|mn|，|mn|22.故z的最小值为.(2)z2表示可行域内点(x，y)与定点q连线斜率的2倍因为kqa，kqb，所以z的范围是.方法技巧求线性目标函数最值问题及线性规划应用题的解题策略1求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以我们可以直接解出可行域的顶点，然后代入目标函数以确定目标函数的最值如角度1典例2由目标函数的最值求参数的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数如角度2典例3求非线性目标函数最值问题的解题策略解决此类问题时需充分把握好目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义有：(1)对形如z(xa)2(yb)2型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的平方的最值问题如角度3典例(2)对形如z(ac0)型的目标函数，可先变形为z的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等如角度3典例(3)对形如z|axbyc|型的目标，可先变形为z的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线axbyc0的距离的倍的最值冲关针对训练(2017全国卷)若x，y满足约束条件则z3x4y的最小值为_答案1解析不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由z3x4y得yxz.平移直线yx，易知经过点a时，z有最小值由得a(1,1)zmin341.题型3线性规划的实际应用(2016全国卷)某高科技企业生产产品a和产品b需要甲、乙两种新型材料生产一件产品a需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品b需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品a的利润为2100元，生产一件产品b的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品a、产品b的利润之和的最大值为_元设元，写出约束条件和目标函数，将实际问题转化为数学的线性规划问题答案216000解析设生产产品a x件，产品b y件，依题意，得设生产产品a，产品b的利润之和为e元，则e2100x900y.画出可行域(如图)，易知最优解为则emax216000.方法技巧线性规划解决实际问题的一般步骤1能建立线性规划模型的实际问题(1)给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少2解决线性规划实际问题的一般步骤(1)转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；(2)求解：解决这个纯数学的线性规划问题；(3)作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答冲关针对训练(2015陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用a，b两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()a12万元 b16万元 c17万元 d18万元答案d解析设该企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨，每天获得的利润为z万元，则有z3x4y，由题意得，x，y满足该不等式组表示的可行域是以o(0,0)，a(4,0)，b(2,3)，c(0,4)为顶点的四边形及其内部(如图)，根据线性规划的有关知识，知当直线3x4yz0过点b(2,3)时，z取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元故选d.1.(2017浙江高考)若x，y满足约束条件则zx2y的取值范围是()a0,6 b0,4 c6，) d4，)答案d解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示由题意可知，当直线yx过点a(2,1)时，z取得最小值，即zmin2214.所以zx2y的取值范围是4，)故选d.2(2018武昌调研)设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()a5 b3 c5或3 d5或3答案b解析根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示：可知可行域为开口向上的v字型在顶点处z有最小值，顶点为，则a7，解得a3或a5.当a5时，如图2.图1图2虚线向上移动时z减小，故z，没有最小值，故只有a3满足题意故选b.3(2017全国卷)设x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为_答案5解析作出可行域如图阴影部分所示由z3x2y，得yx.作出直线l0：yx，并平移l0，知当直线yx过点a时，z取得最小值由得a(1,1)，zmin3(1)215.4(2018福州五校二联)已知实数x，y满足若目标函数zxay取得最小值的最优解有无数多个，则zxay的最大值为_答案解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得a(3,2)，b(1,4)，c.当a0时，yxz，作直线l0：yx，平移l0，易知当直线yxz与4xy80重合时，z取得最小值的最优解有无数多个，此时a，当直线过点a时，z取得最大值，且zmax3；当a0时，数形结合知，目标函数zxay取得最小值的最优解不可能有无数多个综上所述zmax.基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018唐山模拟)已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为()a(24,7)b(7,24)c(，7)(24，)d(，24)(7，)答案b解析根据题意知(92a)(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.故选b.2设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点p(x0，y0)，满足x02y02，则m的取值范围是()a. b.c. d.答案c解析图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含yx1上的点，只需要可行域的边界点(m，m)在yx1下方，也就是mm1，即m.故选c.3(2017山东日照一模)已知变量x，y满足则z()2xy的最大值为()a. b2 c2 d4答案d解析作出满足不等式组的平面区域，如图所示，令m2xy，则当m取得最大值时，z()2xy取得最大值由图知直线m2xy经过点a(1,2)时，m取得最大值，所以zmax()2124，故选d.4已知实数x，y满足条件则z|2x3y4|的最大值为()a3 b5 c6 d8答案c解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中a(2,1)，b(1,4)设t2x3y，平移直线yx，则直线经过点b时，t2x3y取得最小值10，直线经过点a时，t2x3y取得最大值1，所以6t45，所以0z6.所以z的最大值为6，故选c.5(2018石家庄质检)若x，y满足且z3xy的最大值为2，则实数m的值为()a. b. c1 d2答案d解析若z3xy的最大值为2，则此时目标函数为y3x2，直线y3x2与3x2y20和xy1分别交于a(2,4)，b，mxy0经过其中一点，所以m2或m，当m时，经检验不符合题意，故m2，选d.6若变量x，y满足约束条件则z(x1)2y2的最大值为()a4 b. c17 d16答案c解析z(x1)2y2表示点(x，y)与点p(1,0)间距离的平方画出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知p(1,0)与a(2,4)间的距离最大，因此zmax(21)24217.故选c.7(2017邢台模拟)当x，y满足不等式组时，2kxy2恒成立，则实数k的取值范围是()a1,1 b2,0c. d.答案d解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设zkxy，由得即b(2,2)，由得即c(2,0)，由得即a(5，1)，要使不等式2kxy2恒成立，则即所以k0，故选d.8(2018南昌十校一模)已知不等式组则z的最大值与最小值的比值为()a2 b c d答案c解析如图所示，不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分，易知z表示平面区域内的点与定点p(1,0)连线的斜率由可得故a(2,2)，由可得故b(3，1)，数形结合知ap的斜率最大，此时z最大，故zmax；bp的斜率最小，zmin.故z的最大值与最小值的比值为，故选c.9(2017江西模拟)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()a50,0 b30,20 c20,30 d0,50答案b解析设种植黄瓜x亩，种植韭菜y亩，因此，原问题转化为在条件下，求z0.554x0.36y1.2x0.9yx0.9y的最大值画出可行域如图利用线性规划知识可知，当x，y取的交点b(30,20)时，z取得最大值故选b.10(2018石家庄质检)在平面直角坐标系中，不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为，若x，y满足上述约束条件，则z的最小值为()a1 bc. d答案d解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知r2，解得r2.z1，表示可行域内的点与点p(3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点p的连线与圆相切时斜率最小设切线方程为y2k(x3)，即kxy3k20，则有2，解得k或k0(舍去)，所以zmin1，故选d.二、填空题11(2018银川质检)设x，y满足约束条件则z2xy的最大值为_答案8解析画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，将z2xy化为y2xz，z是直线y2xz的纵截距，由得b的坐标为(5,2)，则y2xz过点b(5,2)时，z2xy有最大值1028.12(2018广州模拟)已知x，y满足约束条件若zxay(a0)的最大值为4，则a_.答案3解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则a(2,0)，b(2，2)显然直线zxay过a时不能取得最大值4，若直线zxay过点b时取得最大值4，则22a4，解得a3，此时，目标函数为zx3y，作出直线x3y0，平移该直线，当直线经过点b时，截距最小，此时，z的最大值为4，满足条件13(2017山西五校3月联考)不等式组表示的平面区域为，直线xa(a1)将平面区域分成面积之比为14的两部分，则目标函数zaxy的最大值为_答案9解析如图，平面区域为abc及其内部，作直线xa(1a4)交bc、ac分别于点e、f.由题意可知sefcsabc，则(4a)51，可得a2，所以目标函数zaxy即为z2xy，易知z2xy在点c(4,1)处取得最大值，则zmax9.14(2017河北衡水中学3月模考)已知点p(x，y)的坐标满足则的取值范围为_答案(，1解析解法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中b(1，1)，c(0,1)设a(1,1)，p(x，y)，向量，的夹角为，xy，|，cos，由图可知aocaob，即45180，1cos，即1，1.解法二：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中b(1，1)，c(0,1)，设p(x，y)，pox，则cos，sin.，cossinsin.，sin.(，1三、解答题15某客运公司用a、b两种型号的车辆承担甲，乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次a、b两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车