辽宁省沈阳市高三数学一模试卷 理（含解析）.doc

2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2015商丘一模）设复数z满足（1i）z=2i，则z的共轭复数（） a 1+i b 1i c 1+i d 1i【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则其共轭复数可求【解析】： 解：由（1i）z=2i，得=，故选：b【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（5分）（2015汕头一模）若全集u=1，2，3，4，5，6，m=1，4，n=2，3，则集合5，6等于（） a mn b mn c （um）（un） d （um）（un）【考点】： 交、并、补集的混合运算【专题】： 集合【分析】： 由题意可得5um，且5un；6um，且6un，从而得出结论【解析】： 解：5m，5n，故5um，且5un同理可得，6um，且6un，5，6=（um）（un），故选：d【点评】： 本题主要考查元素与集合的关系，求集合的补集，两个集合的交集的定义，属于基础题3（5分）（2014安徽）“x0”是“ln（x+1）0”的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件【考点】： 充要条件【专题】： 计算题；简易逻辑【分析】： 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解析】： 解：x0，x+11，当x+10时，ln（x+1）0；ln（x+1）0，0x+11，1x0，x0，“x0”是ln（x+1）0的必要不充分条件故选：b【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础4（5分）（2015沈阳一模）抛物线y=4ax2（a0）的焦点坐标是（） a （0，a） b （a，0） c （0，） d （，0）【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标【解析】： 解：由题意知，y=4ax2（a0），则x2=，所以抛物线y=4ax2（a0）的焦点坐标是（0，），故选：c【点评】： 本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题5（5分）（2015沈阳一模）设sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，sn+2sn=36，则n=（） a 5 b 6 c 7 d 8【考点】： 等差数列的性质【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由sn+2sn=36，得an+1+an+2=36，代入等差数列的通项公式求解n【解析】： 解：由sn+2sn=36，得：an+1+an+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，2+2n+2（n+1）=36解得：n=8故选：d【点评】： 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题6（5分）（2015沈阳一模）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是（） a b c 2cm3 d 4cm3【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解【解析】： 解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选b【点评】： 本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题7（5分）（2015沈阳一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（） a 3 b 3 c 1 d 【考点】： 简单线性规划【专题】： 计算题【分析】： 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解析】： 解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点a（2，1）时，z最大是3，故选a【点评】： 本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题8（5分）（2015沈阳一模）若执行如图的程序框图，则输出的k值是（） a 4 b 5 c 6 d 7【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 执行程序框图，写出每次循环得到的n，k的值，当n=8，k=4时，满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4【解析】： 解：执行程序框图，有n=3，k=0不满足条件n为偶数，n=10，k=1不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=5，k=2不满足条件n=8，不满足条件n为偶数，n=16，k=3不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=8，k=4满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4故选：a【点评】： 本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查9（5分）（2015沈阳一模）由曲线y=x2，y=围成的封闭图形的面积为（） a b c d 1【考点】： 定积分在求面积中的应用【专题】： 计算题；导数的概念及应用【分析】： 联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x2，y=围成的封闭图形的面积【解析】： 解：由曲线y=x2，y=，联立，因为x0，所以解得x=0或x=1所以曲线y=x2与y=所围成的图形的面积s=01（x2）dx=x3|01=故选：b【点评】： 本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积，属于基础题10（5分）（2015沈阳一模）在abc中，若|+|=|，ab=2，ac=1，e，f为bc边的三等分点，则=（） a b c d 【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 计算题；平面向量及应用【分析】： 运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求【解析】： 解：若|+|=|，则=，即有=0，e，f为bc边的三等分点，则=（+）（+）=（）（）=（+）（+）=+=（1+4）+0=故选b【点评】： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题11（5分）（2015沈阳一模）函数y=的图象按向量=（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y=2sinx（2x4）的图象所有交点的橫坐标之和等于（） a 2 b 4 c 6 d 8【考点】： 函数y=asin（x+）的图象变换【专题】： 压轴题；数形结合【分析】： y1=的图象由奇函数y=的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2由此不难得到正确答案【解析】： 解：函数y=的图象按向量=（1，0）平移之后得到函数y1=，y2=2sinx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图：当1x4时，y10，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点e、f、g、h，相应地，y1在（2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点a、b、c、d，且：xa+xh=xb+xgxc+xf=xd+xe=2，故所求的横坐标之和为8，故选：d【点评】： 发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在12（5分）（2015沈阳一模）若定义在r上的函数f（x）满足f（x）+f（x）1，f（0）=4，则不等式f（x）+1（e为自然对数的底数）的解集为（） a （0，+） b （，0）（3，+） c （，0）（0，+） d （3，+）【考点】： 利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法【专题】： 计算题；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】： 不等式f（x）+1可化为exf（x）ex30；令f（x）=exf（x）ex3，从而利用导数确定函数的单调性，再由单调性求解【解析】： 解：不等式f（x）+1可化为exf（x）ex30；令f（x）=exf（x）ex3，则f（x）=exf（x）+exf（x）ex=ex（f（x）+f（x）1）；f（x）+f（x）1，ex（f（x）+f（x）1）0；故f（x）=exf（x）ex3在r上是增函数，又f（0）=1413=0；故当x0时，f（x）f（0）=0；故exf（x）ex30的解集为（0，+）；即不等式f（x）+1（e为自然对数的底数）的解集为（0，+）；故选a【点评】： 本题考查了不等式的解法及构造函数的能力，同时考查了导数的综合应用，属于中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题纸上.）13（5分）（2015沈阳一模）若双曲线e的标准方程是，则双曲线e的渐进线的方程是y=x【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到所求方程【解析】： 解：双曲线e的标准方程是，则a=2，b=1，即有渐近线方程为y=x，即为y=x故答案为：y=x【点评】： 本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题14（5分）（2015沈阳一模）已知an是等比数列，则a1a2+a2a3+anan+1=【考点】： 数列的求和；等比数列的通项公式【专题】： 计算题【分析】： 首先根据a2和a5求出公比q，根据数列anan+1每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案【解析】： 解：由 ，解得 数列anan+1仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为【点评】： 本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息15（5分）（2015沈阳一模）若直线l：（a0，b0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2【考点】： 直线的截距式方程【专题】： 直线与圆【分析】： 把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值【解析】： 解：直线l：（a0，b0）经过点（1，2）=1，a+b=（a+b）（）=3+3+2，当且仅当b=a时上式等号成立直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2故答案为：3+2【点评】： 本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题16（5分）（2015沈阳一模）在直三棱柱abca1b1c1中，若bcac，a=，ac=4，aa1=4，m为aa1的中点，点p为bm中点，q在线段ca1上，且a1q=3qc则异面直线pq与ac所成角的正弦值【考点】： 异面直线及其所成的角【专题】： 空间角【分析】： 以c为原点，cb为x轴，ca为y轴，cc1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线pq与ac所成角的正弦值【解析】： 解：以c为原点，cb为x轴，ca为y轴，cc1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得a（0，4，0），c（0，0，0），b（4，0，0），m（0，4，2），a1（0，4，4），p（2，2，1），=（0，4，4）=（0，1，1），q（0，1，1），=（0，4，0），=（2，1，0），设异面直线pq与ac所成角为，cos=|cos|=|=，sin=故答案为：【点评】： 本题考查异面直线pq与ac所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用三、解答题：（满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17（12分）（2015沈阳一模）已知函数f（x）=2sinxsin（x+）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x0，时，求f（x）的值域【考点】： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【专题】： 计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】： （1）运用两角和差公式和二倍角公式，化简整理，再由周期公式和正弦函数的单调增区间，即可得到；（2）由x的范围，可得2x的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域【解析】： 解：（1）f（x）=2sinxsin（x+）=2sinx（sinx+cosx）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x）则函数f（x）的最小正周期t=，由2k2k+，kz，解得，kxk+，kz，则f（x）的单调递增区间为k，k+，kz；（2）当x0，时，2x，sin（2x），1，则f（x）的值域为0，1+【点评】： 本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角和差的正弦公式，考查正弦函数的单调性和值域，考查运算能力，属于基础题18（12分）（2015沈阳一模）如图，四棱锥sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd=ad=a，点e是sd上的点，且de=a（01）（）求证：对任意的=（0，1，都有acbe；（）若二面角cbea的大小为120，求实数的值【考点】： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；向量的数量积判断向量的共线与垂直【专题】： 空间位置关系与距离；空间角【分析】： （i）以d为原点，da，dc，ds为x，y，z轴，建立空间直角坐标系dxyz，利用向量法能证明acbe恒成立（ii）求出平面abe的一个法向量和平面bce的一个法向量，利用向量法能求出=1【解析】： （i）证明：以d为原点，da，dc，ds为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系dxyz，则a（a，0，0），b（a，a，0），c（0，a，0），d（0，0，0），e（0，0，a），（3分）对任意（0，1都成立，即acbe恒成立（5分）（ii）解：设平面abe的一个法向量为，取z1=1，则x1=，（7分）设平面bce的一个法向量为，n=3n+1，取z2=1，则y2=，（9分）二面角caed的大小为120，=1为所求（12分）【点评】： 本题考查异面直线垂直的证明，考查使得二面角为120的实数值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用19（12分）（2015衡阳二模）某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖（1）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；（2）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和x的分布列及数学期望【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】： 概率与统计【分析】： （1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件a，则事件a包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，由此能求出某节目的投票结果是最终获一等奖的概率（2）所含“获奖”和“待定”票数之和x的值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列及数学期望【解析】： 解：（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件a，则事件a包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，某节目的投票结果是最终获一等奖的概率：p（a）=（2）所含“获奖”和“待定”票数之和x的值为0，1，2，3，p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=，p（x=3）=，x的分布列为： x 0 1 2 3 p e（x）=2【点评】： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题20（12分）（2015沈阳一模）如图所示，椭圆c：+=1（ab0），其中e=，焦距为2，过点m（4，0）的直线l与椭圆c交于点a、b，点b在am之间又点a，b的中点横坐标为，且=（）求椭圆c的标准方程； （）求实数的值【考点】： 椭圆的简单性质【专题】： 计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （i）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（ii）运用向量共线的知识，设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得到a，b的横坐标，即可得到所求值【解析】： 解：（i）由条件可知，c=1，a=2，故b2=a2c2=3，椭圆的标准方程是（ii）由，可知a，b，m三点共线，设点a（x1，y1），点b（x2，y2）若直线abx轴，则x1=x2=4，不合题意当ab所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x4）由消去y得，（3+4k2）x232k2x+64k212=0由的判别式=322k44（4k2+3）（64k212）=144（14k2）0，解得，.，由=，可得，即有将代入方程，得7x28x8=0，则x1=，x2=又因为，所以【点评】： 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题21（12分）（2015沈阳一模）已知函数f（x）=alnx（a0），e为自然对数的底数（）过点a（2，f（2）的切线斜率为2，求实数a的值；（）当x0时，求证：f（x）a（1）；（）在区间（1，e）上ee0恒成立，求实数a的取值范围【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 导数的综合应用【分析】： （）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求实数a的值；（）求函数的导数，利用导数法即可证明表达式；（）利用导数和函数最值之间的关系即可求解【解析】： 解：（i） ，a=4（2分）（）令（4分）令g（x）0，即，解得x1，所以g（x）在（0，1）上递减，在（1，+）上递增所以g（x）最小值为g（1）=0，所以（6分）（） 由题意可知，化简得，a（8分）令h（x）=，则h（x）=，（9分）由（）知，在x（1，e）上，lnx1+0，h（x）0，即函数h（x）在（1，e）上单调递增，h（x）h（e）=e1（11分），ae1（12分）【点评】： 本题主要考查导数的综合应用，考查导数的几何意义以及导数和不等式之间的关系，考查学生的运算和推理能力请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并用2b铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）（2015沈阳一模）如图，已知ab是圆o的直径，c、d是圆o上的两个点，ceab于e，bd交ac于g，交ce于f，cf=fg（）求证：c是劣弧bd的中点；（）求证：bf=fg【考点】： 与圆有关的比例线段【专题】： 计算题【分析】： （i）要证明c是劣弧bd的中点，即证明弧bc与弧cd相等，即证明cab=dac，根据已知中cf=fg，ab是圆o的直径，ceab于e，我们易根据同角的余角相等，得到结论（ii）由已知及（i）的结论，我们易证明bfc及gfc均为等腰三角形，即cf=bf，cf=gf，进而得到结论【解析】： 解：（i）cf=fgcgf=fcgab圆o的直径ceabcba=acecgf=dgacab=dacc为劣弧bd的中点（5分）（ii）gbc=fcbcf=fb同理可证：cf=gfbf=fg（10分）【点评】： 本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据ab是圆o的直径，cea