（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 二次函数教案 新人教A版.doc

二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义 形如：f(x)ax2bxc (a0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)_ ax2bxc (a0)_ _. 顶点式：f(x)_ a(xm)2n(a0)_ _.零点式：f(x)_ a(xx1)(xx2) (a0)_ _.点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.已知三个点的坐标时，宜用一般式.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.2.二次函数的图象和性质图象函数性质a0定义域xr(个别题目有限制的，由解析式确定)值域a0a0y，)y(，a0时，图象与x轴有两个交点m1(x1,0)、m2(x2,0)，|m1m2|x1x2|.知识点2 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当的图像与x轴无交点无实根的解集为或者是r; 当的图像与x轴相切有两个相等的实根的解集为或者是r;当的图像与x轴有两个不同的交点有两个不等的实根 的解集为或者是。知识点3 一元二次方程实根分布的充要条件一般地对于含有字母的一元二次方程的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令（）（同理讨论的结论）(1) x1, x2, x2,则(3) x1b, x2b,则 (4) x1b (b),则(5）若f(x)=0在区间( ,b)内只有一个实根，则有点评：（1）讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：判别式； 区间端点的函数值的符号； 对称轴与区间的相对位置在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.知识点4 二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上的最值一般分为三种情况讨论：（1）若对称轴在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值；（或利用函数的单调性直接决定函数的最大（小）值）（2）若对称轴在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值；（3）若对称轴在区间内，则是函数的最小值（）或最大值（），再比较的大小决定函数的最大（小）值。点评：（1）两个重要的结论：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值；单调连续函数在闭区间的两个端点处取得最值。（2）二次函数在闭区间上的最值的讨论的基点是对称轴与区间的相对位置的讨论，尤其当顶点横坐标是字母时，则应抓住讨论的基点进行讨论。特别要注意二次项系数的符号对抛物线开口及结论的影响。题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.解方法一设f(x)ax2bxc (a0)，依题意有解之，得所求二次函数为y4x24x7.方法二设f(x)a(xm)2n，a0.f(2)f(1)， 抛物线对称轴为x. m.又根据题意函数有最大值为n8，yf(x)a28.f(2)1，a281， 解之，得a4.f(x)4284x24x7.方法三依题意知：f(x)10的两根为x12，x21， 故可设f(x)1a(x2)(x1)，a0.即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即8，解之，得a4或a0(舍去)函数解析式为f(x)4x24x7.探究提高二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f(x)ax2bxc (a0)； (2)顶点式：f(x)a(xh)2k (a0)；(3)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0).变式训练1：已知二次函数f(x)满足：在x=1时有极值；图象过点(0，-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行。（1）求f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间。解：（1）设f(x)=ax2+bx+c，则f(x)=2ax+b即解得 f(x)=x2-2x-3（2）g(x)=f(x2)=x4-2x2-3，g(x)=4x3-4x=4x(x-1)(x+1)列表：x(-，-1)(-1，0)(0，1)(1，+)f(x)-+-+f(x)由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1，0)，(1，+)题型二 二次函数中的单调性 例2已知函数f(x)x22ax3，x4,6.(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(3)当a1时，求f(|x|)的单调区间.解(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.(3)当a1时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6,6，且f(x)，f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0变式训练2：（1）.已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，3上是减函数，则实数a的取值范围为_ (，2_（2）已知函数f(x)x2mxn的图象过点(1,3)，且f (1x)f (1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称.(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若f(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函数，求实数的取值范围.解(1)f(x)x2mxn，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又f(1x)f(1x)，m22m，即m2.又f(x)的图象过点(1,3)，312mn，即mn2，n0，f(x)x22x，又yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称，g(x)(x)22(x)，g(x)x22x.(2)f(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x，当10时，f(x)的对称轴为x，又f(x)在(1,1上是增函数或.1或10.当10，即1时，f(x)4x显然在(1,1上是增函数综上所述，的取值范围为(，0题型三二次函数在闭区间上的最值例3（1）设函数f(x)=x2-2x+2，xt，t+1的最小值为g(t)，求g(t)的解析式。解：（1）f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，顶点坐标为(1，1)当t+11，即t0时，当即0t1时，g(t)=f(1)=1；当t1，函数在t，t+1上为增函数，g(t)=f(t)=t2-2t+2，g(t)=（2）已知函数的最大值为，求的值。（2）令，对称轴为，当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）当，即时，得或（舍去）当，即时，函数在单调递增，由，得综上可得：的值为或（3）已知a1，若f(x)=ax2-2x+1在区间1，3上的最大值为m(a)，最小值为n(a)，令g(a)=m(a)-n(a)， 求g(a)的函数表达式； 判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值。（3） f(x)=ax2-2x+1=a(x-)2+1-，由已知条件可知：13；当12时，a1。m(a)=f(3)=9a-5, n(a)=f(x)min=1-，g(a)=9a-5-(1-)=9a+-6. 当23时，a. m(a)=f(1)=a-1, n(a)=f(x)min=1-, g(a)=(a-1)-(1-)=a+-2。 g(a)= 当a1a2，g(a2)-g(a1)=(a2-a1)(1-)0，g(a)在，1上是增函数，最小值是g()=.g(a)在，1上是增函数，最小值是g()=.探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.变式训练3：（1）已知函数f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有一个最大值5，求a的值.解f(x)424a，对称轴为x，顶点为.当0，即a0时，f(x)在区间0,1上递减，此时f(x)maxf(0)4aa2.令4aa25，即a24a50，a5或a1(舍去)当01，即0a2时，ymaxf4a，令4a5，a(0,2)当1，即a2时，f(x)在区间0,1上递增ymaxf(1)4a2.令4a25，a12xm恒成立，求实数m的取值范围.解(1)由f(0)1得，c1. f(x)ax2bx1.又f(x1) f(x)2x，a(x1)2b(x1)1 (ax2bx1)2x，即2axab2x，因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10得，mbc,且f(1)=0,证明f(x)的图象与x轴有2个交点;（2） 在(1)的条件下,是否存在mr,使池f(m)= - a成立时,f(m+3)为正数,若存在,证明你的结论,若不存在,说明理由.（3）若对,有2个不等实根,证明必有一个根属于解:（1）的图象与x轴有两个交点.（2）的一个根,由韦达定理知另一根为，在(1,+)单调递增,即存在这样的m使；（3）令,则是二次函数.的根必有一个属于.例6 二次函数 的零点分别为（1）证明 （2）证明（3）若满足不等式|，试求的取值范围.解：（1）由题意知x、x是一元二次方程ax的两个实根，所以x+x=-x+x=-xx.所以(1+x)(1+x)=1.（2）由方程ax(a0)的判别式=1-4a0,解得0a所以y=ax( a0)的图象的对称轴-0，即aa，,若xa，f(a)2a2，由知f(x)2a2，此时g(a)2a2. ()当aa，a2，若xa， f(x)2a2a2. 此时g(a)a2，综上，得g(a).分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一.本题充分体现了分类讨论的思想方法.在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论.除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分：1.含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；2.分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；3.解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻.方法与技巧1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路.2.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，又例如涉及二次不等式需讨论根的大小等.3.关于二次函数yf(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为x.(2)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xa(a为常数).(3)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(x2a)f(x)，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xa(a为常数).注意：(2)(3)中，f(ax)f(ax)与f(x2a)f(x)是等价的.(4)利用配方法求二次函数yax2bxc (a0)对称轴方程为x；(5)利用方程根法求对称轴方程.若二次函数yf(x)对应方程f(x)0的两根为x1、x2，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为x.失误与防范1.求二次函数的单调区间时要经过配方法，要熟练准确利用配方法.2.对于函数yax2bxc要认为它是二次函数，就必须认定a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况.3.对于二次函数yax2bxc (a0)给定了定义域为一个区间k1，k2时，利用配方法求函数的最值是极其危险的，一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四种情况：k1；k1；0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是 ( d)2.函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是 ()a.m2 b.m2 c.m1 d.m13.已知函数f(x)ax2(bc)x1 (a0)是偶函数，其定义域为ac，b，则点(a，b)的轨迹是()a.线段 b.直线的一部分c.点 d.圆锥曲线4.设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是()a.(，0 b.2，) c.(，02，) d.0,25.已知函数f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 ()a.(0,2) b.(0,8) c.(2,8) d.(，0)6.函数f(x)x2(2a1)|x|1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是() a.a b.a d.a0，12，则实数m的取值范围是_.13.若方程x211x30a0的两根均大于5，则实数a的取值范围是_.14.已知f(x)ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1,2a，则yf(x)的值域为_.三、解答题15.是否存在实数a，使函数f(x)x22axa的定义域为1,1时，值域为2,2？若存在，求a的值；若不存在，说明理由.解f(x)(xa)2aa2.当a1时，f(x)在1,1上为增函数，a1(舍去)；当1a0时，a1；当01时，f(x)在1,1上为减函数，a不存在综上可得a1.16.已知二次函数f(x)ax2bx (a，b为常数，且a0)，满足条件f(1x)f(1x)，且方程f(x)x有等根.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n (mn)，使f(x)的定义域和值域分别为m，n和3m,3n，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由.解(1)f(x)满足f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称而二次函数f(x)的对称轴为x，1.又f(x)x有等根，即ax2(b1)x0有等根，(b1)20.由得b1，a.f(x)x2x.(2)f(x)x2x(x1)2.如果存在满足要求的m，n，则必需3n，n.从而mn0时，方程f(x)0只有一个实根；f(x)的图象关于(0，c)对称；方程f(x)0至多有两个实根其中正确的命题是_解析：c0时，f(x)x|x|b(x)x|x|bxf(x)，故f(x)是奇函数；b0，c0时，f(x)x|x|c0，x0时，x2c0无解，x0时，f(x)x2c0，x，有一个实数根7对于区间a，b上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于区间a，b中的任意数x均有|f(x)g(x)|1，则称函数f(x)与g(x)在区间a，b上是密切函数，a，b称为密切区间若m(x)x23x4与n(x)2x3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是_3,4 2,4 2,3 1,4解析：|m(x)n(x)|1|x25x7|1，解此绝对值不等式得2x3，故在区间2,3上|m(x)n(x)|的值域为0,1，|m(x)n(x)|1在2,3上恒成立8.已知函数f(x)的自变量的取值区间为a，若其值域也为a，则称区间a为f(x)的保值区间.函数f(x)x2形如n，) (n(0，)的保值区间是_.9.已知关于x的二次函数f(x)x2(2t1)x12t.(1)求证：对于任意tr，方程f(x)1必有实数根； (2)若t，求证：方