（江苏专用）高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理1导数与导函数的概念(1)设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数a，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数a为函数f(x)在xx0处的导数(derivative)，记作f(x0)(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(为常数)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()1(教材改编)f(x)是函数f(x)x32x1的导函数，则f(1)的值为_答案3解析f(x)x32x1，f(x)x22.f(1)3.2如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是_答案解析由yf(x)的图象知yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，由图知不符合，符合，故正确3设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)f()sin xcos x，则f()_.答案解析因为f(x)f()sin xcos x，所以f(x)f()cos xsin x，所以f()f()cossin，即f()1，所以f(x)sin xcos x.f(x)cos xsin x.故f()cossin.4已知点p在曲线y上，为曲线在点p处的切线的倾斜角，则的取值范围是_答案解析y，y.ex0，ex2，当且仅当ex1，即x0时，“”成立y1,0)，tan 1,0)又0，)，.5(2015陕西)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点p处的切线垂直，则p的坐标为_答案(1,1)解析yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，设p(m，n)，y(x0)的导数为y (x0)，曲线y (x0)在点p处的切线斜率k2 (m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点p的坐标为(1,1). 题型一导数的运算例1求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)y；(5)yln(2x5)解(1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，y18x210x4.(2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(4)y.(5)令u2x5，yln u，则y(ln u)u2，即y.思维升华(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0_.(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)_.答案(1)1(2)2解析(1)f(x)2 016ln xx2 017ln x，故由f(x0)2 017得2 017ln x02 017，则ln x00，解得x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数，且f(1)2，f(1)2.题型二导数的几何意义命题点1已知切点的切线方程问题例2(1)函数f(x)的图象在点(1，2)处的切线方程为_(2)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_答案(1)xy30(2)解析(1)f(x)，则f(1)1，故该切线方程为y(2)x1，即xy30.(2)y2e2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k2，切线方程为y2x2，该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示，其中直线y2x2与yx的交点为a(，)，三角形的面积s1.命题点2未知切点的切线方程问题例3(1)与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是_(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_答案(1)2xy10(2)xy10解析(1)对yx2求导得y2x.设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为k2x0.由2x02得x01，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.命题点3和切线有关的参数问题例4已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m_.答案2解析f(x)，直线l的斜率为kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，所以ex22(当且仅当ex，即x0时取等号)，则ex24，故y当(x0时取等号)当x0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0，)，切线的方程为y(x0)，即x4y20.9已知曲线yx3x2在点p0处的切线l1平行于直线4xy10，且点p0在第三象限(1)求p0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点p0，求直线l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解之得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点p0在第三象限，切点p0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点p0，点p0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.10设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设p(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点p(x0，y0)处的切线方程为即令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点p(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为s|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.b组专项能力提升(时间：20分钟)11已知函数f(x)1，g(x)aln x，若在x处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为_答案解析由题意可知g(x)，由f()g()，得可得a，经检验，a满足题意12曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2所围成，过曲线yx21 (x1,2)上一点p作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为_答案解析设p(x0，x1)，x01,2，则易知曲线yx21在点p处的切线方程为y(x1)2x0(xx0)，y2x0(xx0)x1，设g(x)2x0(xx0)x1，则g(1)g(2)2(x1)2x0(1x02x0)，s普通梯形1x3x012，p点坐标为时，s普通梯形最大13若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_答案2，)解析f(x)x2axln x，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，即xa0有解，ax2.14已知曲线f(x)xn1(nn*)与直线x1交于点p，设曲线yf(x)在点p处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015的值为_答案1解析f(x)(n1)xn，kf(1)n1，点p(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn，x1x2x2 015，则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015log2 016(x1x2x2 015)1.15已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解(1)由已知得f(x)3ax26x6a，f(1)0，3a66a0，a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0,3x6x012)g(x0)6x06，切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0,9)代入切线方程，解得x01.当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由(1)