2011级硕士数理统计练习题.pdf

2011 级硕士生数理统计练习题 2011 级硕士生数理统计练习题 一 设总体一 设总体 16 XN 110 XX 是来自总体是来自总体X X的一个容量为 10 的简单随机样本 的一个容量为 10 的简单随机样本 S S 2 2为其修正样本方差 且 为其修正样本方差 且 2 0 1P Sa 求求a之值 解 之值 解 随机变量随机变量 2 2222 99 9 0 1 1616 Sa P SaP 查表得查表得 9 14 684 16 a 所以所以 14 684 16 26 105 9 a 二二 设总体设总体 X 服从标准正态分布 服从标准正态分布 X1 X2 Xn是来自总体是来自总体 X 的一个简单随机样本 试问统计量的一个简单随机样本 试问统计量 Y n i i i i X X n 6 2 5 1 2 1 5 n 5 服从 何种分布 服从 何种分布 解解 12 5 222222 11 5 5 n ii ii XXXn 且且 1 2 与与 2 2 相互独 立 相互独 立 所以所以 2 1 2 2 5 5 5 5 X YFn Xn 三三 设总体设总体 X 2 0 N X1 X10 X15为总体的一个样本为总体的一个样本 则则 Y 2 15 2 12 2 11 2 10 2 2 2 1 2XXX XXX 服从服从 分布分布 参数为参数为 解解 因因 0 1 i X N i 1 2 15 那么那么 12 22 1015 2222 111 10 5 ii ii XX 且且 1 2 与与 2 2 相互独立相互独立 所以所以 222 1101 222 11152 10 10 5 2 5 XXX YF XXX 参数为 参数为 10 5 四四 设总体设总体 X N 1 2 总体总体 Y N 2 2 X1 X2 1 n X和和 Y1 Y2 2 n X分别来自总体分别来自总体 X 和和 Y 的简单随机样本 则的简单随机样本 则 2 21 1 2 1 2 21 nn YYXX E n j j n i i 解解 令令 1 22 1 1 1 1 1 n i i SXX n 2 2 2 1 2 1 1 n i j SYY n 则则 12 2222 1122 11 1 1 nn ij ij XXnSyynS 又又 22 2222 1122 1122 22 1 1 1 1 nSnS nn 那么那么 12 22 112222 12 1212 1 22 nn ij ij XXYY EE nnnn i 22 222 1212 1212 1 1 22 EEnn nnnn 五五 设随机变量 设随机变量X服从自由度为服从自由度为 nn的的F分布 若知分布 若知0 且满 足条件 且满 足条件05 0 XP 则 则 1 XP 解解 因因X F n n 所以 所以 1 F n n X 故 故 1 P XP X 而 而 1111 11 1 1 0 050 95 P XPPP XXX P X 六六 设总体设总体 X N 2 X1 X2 X2n n 2 是总体 是总体 X 的 一个样本 的 一个样本 n i i X n X 2 1 2 1 令 令 Y n i ini XXX 1 2 2 求 求 EY 解令解令 Zi Xi Xn i i 1 2 n 则则 Zi N 2 2 2 1 i n 且且 Z1 Z2 Zn 相互独立相互独立 令令 22 11 1 nn i i ii Z ZSZZn n 则则 2 11 11 222 nn i i ii X XZZ nn 故故2ZX 那么那么 222 11 2 1 nn in ii ii YXXXZZnS 所以所以 22 1 1 1 2 i E YnESnDZn 七七 设设 12 n XXX 为总体为总体 X 的一个样本的一个样本 1 若总体若总体 X 的概率密度为的概率密度为 2 1 0 0 x xex f x 其它 0 1 求参数求参数 的最大似然估计量的最大似然估计量 2 是否为是否为 的的 MVUE 为什么 为什么 2 设设 01 XB m pmpp 已知 未知 1 求求 p 的最大似然估计量的最大似然估计量 p 2 p 是否为是否为 p 的的 MVUE 为什么 为什么 解 解 1 似然函数似然函数 2 11 i x nn i i ii x Lf xe 111 1 ln ln2ln ln2 ln nnn i iii iii x Lxxnx 2 1 ln 21 0 n i i dLn x d 令 解得 解得 1 11 22 n i i xx n 故故 的的 MLE 值为 值为 1 11 22 n i i xx n 的的 MLE 量为量为 1 11 22 n i i XX n 2 由于由于 11 1 222 1111 11 nn i ii ii n x nnnnxxn i iii nn iiii x Lf xexexe 由指数型分族族知由指数型分族族知 2 1 XB m pm 已知 1 1 2 iii xxm x im P XxC ppxm n i xmxx m n i i iii ppCxXPpL 11 1 1 ln lnln ln 1 i n x mii i L pCxpmxp 111 lnlnln 1 i nnn x mii iii Cpxp nmx 11 ln 0 1 nn ii ii xnmx dL p dppp 令 解得 解得 1 n i i x x p mnm 故故p的的 MLE 值为值为 1 n i i x x p mnm p的的 MLE 量为量为 1 n i i X X p mnm 2 由于由于 11 1 iii nn xxm x im ii L pP XxC pp 由指数型分族族知由指数型分族族知 八八 设设 n XXX 21 是来自正态总体是来自正态总体 0 4 N的样本 1 求常数 的样本 1 求常数 a b c使下述随机变量使下述随机变量Q服从卡方分布 服从卡方分布 222 12345679 Qa XXb XXXc XXX 2 求常数 k 使 2 求常数 k 使 1 10 2 2 i i X Yk X 服从 t 分布 九 总体 服从 t 分布 九 总体 X N 2 2已知 问需抽取容量已知 问需抽取容量 n 多大的样本 才 能使 多大的样本 才 能使 的置信概率为的置信概率为 1 且置信区间的长度不大于 且置信区间的长度不大于 L 解 由 解 由 2 已 知 可 知已 知 可 知 的 置 信 度 为的 置 信 度 为 1 的 置 信 区 间 为的 置 信 区 间 为 2 xu n 于是置信区间长度为于是置信区间长度为 2 2 u n i 那么由那么由 2 2 u n i L 得得 n 22 2 2 4 u L 十十 设某种砖头的抗压强度设某种砖头的抗压强度 X N 2 今随机抽取 今随机抽取 20 块块 砖头 测得数据如下 砖头 测得数据如下 kg cm 2 64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 1 求求 的置信概率为的置信概率为 0 95 的置信区间的置信区间 2 求求 2的置信概率为的置信概率为 0 95 的置信区间的置信区间 解解 76 6 18 14 1 0 950 05 20 xsn 20 025 222 20 0250 975 1 19 2 093 1 19 32 852 19 8 907 tnt n 1 的置信度为的置信度为 0 95 的置信区间的置信区间 2 18 14 1 76 62 093 68 11 85 089 20 a s xtn n 2 2 的置信度为的置信度为 0 95 的置信区间的置信区间 22 22 22 21 2 1 1 1919 18 14 18 14 190 33 702 01 1 1 32 8528 907 nsns nn 十一十一 设总体 设总体X X的概率分布为 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 2 2 1 2 1 2 其中其中 0 所以所以 的极大似然估计值为的极大似然估计值为 713 2 十二 设总体十二 设总体 XP n XXX 21 是来自 X 的样本 是来自 X 的样本 的先验分 布为 Gamma 分布 的先验分 布为 Gamma 分布 均为大于零的常数 损失函数为 2 Ldd 1 求1 求 的后验分布 的后验分布 2 求2 求 dd X 的后验风险的后验风险 R d 其中 其中 1 n XXX x R dELd 3 求 3 求 d X使得后验风险使得后验风险 R d达最小 十三 某个年级有三个小班 对他们进行了一次数学考试 现从各个班级随 机地抽取了一些学生 记录其成绩如下 达最小 十三 某个年级有三个小班 对他们进行了一次数学考试 现从各个班级随 机地抽取了一些学生 记录其成绩如下 73 66 88 77 68 41 89 60 78 31 79 59 82 45 48 78 56 68 43 93 91 62 91 53 80 36 51 76 71 79 73 77 85 96 71 15 74 80 87 56 试在显著性水平试在显著性水平 0 05 下检验各班级的平均分数有无显著差异下检验各班级的平均分数有无显著差异 设各个总体服 从正态分布 且方差相等 设各个总体服 从正态分布 且方差相等 解解 1 3 40 r i i rnn 2 3 2 11 i n Tij ij T Qx n 199462 185776 9 13685 1 2 3 2 1 1 Ai i i T QT nn 186112 25 185776 9 335 35 ETA QQQ 13349 65 1 167 7