2009年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷.pdf

中国校长网 中国校长网资源频道 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 湖北卷湖北卷 数学 理工农医类 数学 理工农医类 本试卷共本试卷共 4 4 页 满分页 满分 150150 分 考试时间分 考试时间 120120 分钟 分钟 祝考试顺利祝考试顺利 注意事项 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填在试题卷和答题卡上 并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上指定位置 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答在试题卷上无效 3 填空题和解答题用 0 5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内 答在 试题卷上无效 4 考试结束 请将本试题卷和答题卡一并上交 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是满足题目要求的 有一项是满足题目要求的 1 已知 1 0 0 1 1 1 1 1 Pa ammR Qb bnnR 是两个向量集 合 则PQ I A 1 1 B 1 1 C 1 0 D 0 1 2 设 a 为非零实数 函数 11 1 ax yxRx axa 且的反函数是 A 11 1 ax yxRx axa 且B 11 1 ax yxRx axa 且 C 1 1 1 x yxRx ax 且D 1 1 1 x yxRx ax 且 3 投掷两颗骰子 得到其向上的点数分别为 m 和 n 则复数 m ni n mi 为实数的概率为 A 1 3 B 1 4 C 1 6 D 1 12 4 函数cos 2 2 6 yx 的图象F按向量a平移到 F F的函数解析式为 yf x 当 yf x 为奇函数时 向量a可以等于 中国校长网 中国校长网资源频道 2 6 A 2 6 B 2 6 C 2 6 D 5 将甲 乙 丙 丁四名学生分到三个不同的班 每个班至少分到一名学生 且甲 乙两 名学生不能分到同一个班 则不同分法的种数为 18A 24B 30C 36D 6 设 22212 012212 2 2 nnn nn xaa xa xaxa x 则 22 024213521 lim nn n aaaaaaaa A 1B 0C 1D 2 2 7 已知双曲线 22 1 22 xy 的准线过椭圆 22 2 1 4 xy b 的焦点 则直线2ykx 与椭圆至 多有一个交点的充要条件是 A 1 1 2 2 K B 11 22 K C 22 22 K D 22 22 K 8 在 家电下乡 活动中 某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇 现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用 每辆甲型货车运输费用 400 元 可装洗衣机 20 台 每辆乙型货 车运输费用 300 元 可装洗衣机 10 台 若每辆车至多只运一次 则该厂所花的最少运输 费用为 A 2000 元B 2200 元C 2400 元D 2800 元 9 设球的半径为时间t的函数 R t 若球的体积以均匀速度c增长 则球的表面积的增长 速度与球半径 A 成正比 比例系数为CB 成正比 比例系数为 2C C 成反比 比例系数为CD 成反比 比例系数为 2C 10 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 中国校长网 中国校长网资源频道 他们研究过图 1 中的 1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似的 称图 2 中的 1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是正 方形数的是 A 289B 1024C 1225D 1378 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分分 请将答案填在答题卡对应题号的位请将答案填在答题卡对应题号的位 置上置上 一题两空的题一题两空的题 其答案按先后次序填写其答案按先后次序填写 11 已知关于x的不等式 1 1 ax x 0 的解集是 1 1 2 则a 12 样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示 根据样本的频率分布直方图估计 样本数 据落在 6 10 内的频数为 数据落在 2 10 内的概率约为 13 如图 卫星和地面之间的电视信号沿直线传播 电视信号能够传送到达的地面区域 称为 这个卫星的覆盖区域 为了转播 2008 年北京奥运会 我国发射了 中星九号 广播电视直 播卫星 它离地球表面的距离约为 36000km 已知地球半径约为 6400km 则 中星九号 覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为km 结果中保留反余弦的符 中国校长网 中国校长网资源频道 号 14 已知函数 cossin 4 f xfxx 则 4 f 的值为 15 已知数列 n a满足 1 a m m 为正整数 1 2 31 n n n nn a a a aa 当 为偶数时 当 为奇数时 若 6 a 1 则 m 所有可能的取值为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 10 分 注意 注意 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片 分别标有数 2 3 4 5 另一个盒子 也装有 4 张大小形状完全相同的卡片 分别标有数 3 4 5 6 现从一个盒子中任取一张 卡片 其上面的数记为 x 再从另一盒子里任取一张卡片 其上面的数记为 y 记随机变量 x y 求 的分布列和数学期望 17 本小题满分 12 分 注意 注意 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 已知向量 cos sin cos sin 1 0 aaa bc 求向量bc 的长度的最大值 设a 4 且 abc 求cos 的值 中国校长网 中国校长网资源频道 18 本小题满分 12 分 注意 注意 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 如图 四棱锥 S ABCD 的底面是正方形 SD 平面 ABCD SD 2a 2ADa 点 E 是 SD 上的点 且 02 DEa 的对称轴上一点 00A aa 的直线与抛物线相交于 M N 两点 自 M N 向直线 l xa 作垂线 垂足分别为 1 M 1 N 中国校长网 中国校长网资源频道 当 2 p a 时 求证 1 AM 1 AN 记 1 AMM 11 AM N 1 ANN 的面积分别为 1 S 2 S 3 S 是否存在 使得对任意的0a 都有 2 212 SS S 成立 若存在 求出 的值 若不存在 说明理由 21 本小题满分 14 分 注意 注意 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 在 R 上 定 义 运 算 1 4 3 pqpcqbbc b c 为 实 常 数 记 2 1 2fc 2 2fb R 令 2 1 fff 如果函数 f 在1 处有极什 4 3 试确定 b c 的值 求曲线 yf 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点 记 11g xfxx 的最大值为M 若Mk 对任意的 b c 恒成立 试示k的最大值 中国校长网 中国校长网资源频道 20092009 年高考湖北理科数学卷解析年高考湖北理科数学卷解析 1 答案 A 解析 因为 1 1 1 ambnn 代入选项可得 1 1PQ 故选 A 2 答案 D 解析 同文 2 3 答案 C 解析 因为 22 2 mni nmimnnm i 为实数 所以 22 nm 故mn 则可以取 1 2 6 共 6 种可能 所以 11 66 61 6 P CC 4 答案 B 解析 同文科 7 5 答案 C 解析 用间接法解答 四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 2 4 C 顺序有 3 3 A种 而甲乙被分在同一个班的有 3 3 A种 所以种数是 233 433 30C AA 6 答案 B 解析 令0 x 得 2 0 21 22 n n a 令1x 时 2 0122 2 1 2 n n aaaa 令1x 时 2 0122 2 1 2 n n aaaa 两式相加得 22 022 22 1 1 22 2 nn n aaa 两式相减得 22 1321 22 1 1 22 2 nn n aaa 代入极限式可得 故选 B 中国校长网 中国校长网资源频道 7 答案 A 解析 易得准线方程是 2 2 1 2 a x b 所以 2222 41cabb 即 2 3b 所以方程是 22 1 43 xy 联立 2 ykx 可得 22 3 4k 16k 40 xx 由0 可解得 A 8 答案 B 解析 同文 8 9 答案 D 解析 由题意可知球的体积为 3 4 3 V tR t 则 2 4 cV tR t R t 由此可得 4 c R t R t R t 而球的表面积为 2 4 S tR t 所以 2 4 8 vS tR tR t R t 表 即 22 8 24 cc vR t R tR t R tR t R t R tR t 表 故选 D 10 答案 C 解析 同文 10 11 答案 2 解析 由不等式判断可得 a 0 且不等式等价于 1 1 0a xx a 由解集特点可得 11 02 2 aa a 且 12 答案 640 4 解析 同文 15 13 答案 12800arccos 8 53 解析 如图所示 可得 AO 42400 则在 Rt ABO 中可得 cos AOB 8 53 所以 8 212800arccos 53 lRAOB R O B C A O B C A 中国校长网 中国校长网资源频道 14 答案 1 解析 因为 sincos 4 fxfxx 所以 sincos 4444 ff 21 4 f 故 cossin 1 44444 fff 15 答案 4532 解析 1 若 1 am 为偶数 则 1 2 a 为偶 故 2 23 a 224 amm a 当 4 m 仍为偶数时 46 832 mm aa 故132 32 m m 当 4 m 为奇数时 43 3 311 4 aam 6 3 1 4 4 m a 故 3 1 4 1 4 m 得 m 4 2 若 1 am 为奇数 则 21 3131aam 为偶数 故 3 31 2 m a 必为偶数 6 31 16 m a 所以 31 16 m 1 可得 m 5 16 解析 依题意 可分别取5 6 11 取 则有 1123 5 6 7 44161616 4321 8 9 10 11 16161616 ppp pppp 的分布列为 567891011 p 1 16 2 16 3 16 4 16 3 16 2 16 1 16 1234321 5678910118 16161616161616 E 17 解析 1 解法 1 cos1 sin bc bc bc bc 则 222 cos1 sin2 1cos bcbcbcbc 2 1cos1 0 4 bcbcbcbc 即0 2 bcbcbcbc 当cos1 时 有 2 b cb cb cb c所以向量 bcbcbcbc的长度的最大值为 2 中国校长网 中国校长网资源频道 解法 2 1 b b b b 1 c c c c 2 b c b c b c b c b c b c b c b c 当cos1 时 有 2 0 bc bc bc bc 即 2 bc bc bc bc bcbcbcbc的长度的最大值为 2 2 解法 1 由已知可得 cos1 sin bc bc bc bc coscossinsincoscos cos ia b ca b ca b ca b c a b c 0abc 即cos cos 由 4 得cos cos 44 即2 44 kkz 22 4 kkkz 或 于是cos0cos1 或 解法 2 若 4 则 22 22 a 又由 cos sin b 1 0 c 得 22222 cos1 sin cossin 22222 abc a b c 0a bc 即cos cos1 0 sin1 cos 平方后化简得cos cos1 0 解得cos0 或cos1 经检验 cos0cos1 或即为所求 18 18 证法 1 如图 1 连接 BE BD 由地面 ABCD 是正方形可得 AC BD SD 平面 ABCD BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影 AC BE 中国校长网 中国校长网资源频道 解法 1 如图 1 由 SD 平面 ABCD 知 DBE SD 平面 ABCD CD 平面 ABCD SD CD 又底面 ABCD 是正方形 CD AD 而 SD AD D CD 平面 SAD 连接 AE CE 过点 D 在平面 SAD 内作 DE AE 于 F 连接 CF 则 CF AE 故 CDF 是二面角 C AE D 的平面角 即 CDF 在 Rt BDE 中 BD 2a DE a tan 2 DE BD 在 Rt ADE 中 2 2 2ADa DEaAEa 从而 2 2 2 AD DEa DF AE 在Rt CDF 中 2 2 tan CD DF 由tantan1 得 2 22 2 1222 2 由 0 2 解得2 即为所求 I 证法 2 以 D 为原点 DA DC DS 的方向分别作为 x y z 轴的正方向建立如 图 2 所示的空间直角坐标系 则 D 0 0 0 A 2 0 0 B 2a 2a 0 C 0 2a 0 E 0 0a 2 2 0 2 2 ACaaBEaaa 22 2200AC BEaaa 即ACBE II 解法 2 由 I 得 2 0 0 2 2 2 EAaa ECaa BEaaa 设平面 ACE 的法向量为 n x y z 则由nEAEC n得 0 2xz0 z2n 2 0 2yz0 n EA n EC 即取 得 易知平面 ABCD 与平面 ADE 的一个法向量分别为 0 0 2 DCaDSa 与 0 2 0 中国校长网 中国校长网资源频道 22 sin cos 422 DC n DS BE DSBEDCn 0 0 2 2 22 tantansincos2 2 422 由于 0 2 解得2 即为所求 19 19 解析 I 在 1 1 2 2 n nn Sa 中 令 n 1 可得 11 12 n Saa 即 1 1 2 a 当2n 时 21 1111 11 2 22 nn nnnnnnn SaaSSaa 11 n11 1 2a 21 2 nn nnn aaa n 即2 11 2 1 n21 n nnnnn babbb n 即当时 b 又 11 21 ba 数列 n b是首项和公差均为 1 的等差数列 于是1 1 12 2 n nnn n n bnnaa II 由 I 得 11 1 2 n nn n can n 所以 23 1111 23 4 1 2222 n n Tn K 2341 11111 2 3 4 1 22222 n n Tn K 由 得 231 11111 1 1 22222 nn n Tn K 1 1 1 11 1 133 42 1 1 1 222 1 2 3 3 2 n n n n n n n n T 535 3 221 3 212212 21 n n nn nnnnn T nnn 于是确定 5 21 n n T n 与的大小关系等价于比较221 n n 与的大小 由 2345 22 1 1 2221 22 3 1 2241 22 5 时 证明如下 中国校长网 中国校长网资源频道 证法 1 1 当 n 3 时 由上验算显示成立 2 假设1nk 时 1 22 22 21 422 1 1 21 2 1 1 kk kkkkk g 所以当1nk 时猜想也成立 综合 1 2 可知 对一切3n 的正整数 都有221 n n 证法 2 当3n 时 0121011 2 1 1 2221 nnnnnn nnnnnnnnn CCCCCCCCCnn K 综上所述 当1 2n 时 5 21 n n T n 20 题 本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识 考查综合运 用数学知识进行推理运算的能力 14 分 解 依题意 可设直线 MN 的方程为 1122 xmya M x yN xy 则有 12 Ma yNa y 由 2 2 xmya ypx 消去 x 可得 2 220ympyap 从而有 12 12 2 2 yymp y yap 于是 2 1212 22 xxm yyam pa 又由 2 11 2ypx 2 12 2ypx 可得 22 2 12 12 22 2 44 y yap x xa pp 如图 1 当 2 p a 时 点 0 2 p A即为抛物线的焦点 l为其准线 2 p x 此时 1112 22 PP MyNy 并由 可得 2 12 y yp 证法 1 1112 AMp yANp y uuuu vuuuv Q 222 111211 0 AMANpy yppAMAN uuuu v uuuv 即 证法 2 11 12 AMAN yy KK pp Q 中国校长网 中国校长网资源频道 11 2 12 11 22 1 AMAN y yp KKAMAN pp 即 存在4 使得对任意的0a 都有 2 213 4SS S 成立 证明如下 证法