2014年上海高考理科数学试题解析(完美PDF版).pdf

整理人整理人 谭峰谭峰 2014 年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷 理工农医类 考生注意 1 本试卷共 4 页 23 道试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 2 本考试分设试卷和答题纸 试卷包括试题与答题要求 作答必须涂 选择题 或写 非 选择题 在答题纸上 在试卷上作答一律不得分 3 答卷前 务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名 准考证号 并将核对 后的条形码贴在指定位置上 在答题纸反面清楚地填写姓名 一 填空题 本大题共有 14 题 满分 56 分 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果 每个空格填对得 4 分 否则一律得零分 1 函数 2 1 2cos 2 yx 的最小正周期是 解析 原式 cos4x 2 42 T 2 若复数1 2zi 其中i是虚数单位 则 1 zz z 解析 原式 2 115 16z zz 3 若抛物线 2 2ypx 的焦点与椭圆 22 1 95 xy 的右焦点重合 则该抛物线的准线方程 为 解析 椭圆右焦点为 2 0 即抛物线焦点 所以准线方程2x 4 设 2 xxa f x xxa 若 2 4f 则a的取值范围为 解析 根据题意 2 a 2a 5 若实数 x y满足1xy 则 22 2xy 的最小值为 解析 22 2222 2xyxy 6 若圆锥的侧面积是底面积的3倍 则其母线与底面夹角的大小为 结果用反 三角函数值表示 解析 设圆锥母线长为R 底面圆半径为r 3SS 侧底 2 3r Rr 即 3Rr 1 cos 3 即母线与底面夹角大小为 1 arccos 3 整理人整理人 谭峰谭峰 7 已知曲线C的极坐标方程为 3cos4sin 1 则C与极轴的交点到极点的距离 是 解析 曲线C的直角坐标方程为341xy 与x轴的交点为 1 0 3 到原点距离为 1 3 8 设无穷等比数列 n a的公比为q 若 134 lim n n aaaa 则q 解析 2 2 31 1 15 10 112 aa q aqqq qq 01q 51 2 q 9 若 21 32 f xxx 则满足 0f x 的x的取值范围是 解析 21 32 0f xxx 结合幂函数图像 如下图 可得x的取值范围是 0 1 10 为强化安全意识 某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练 则 选择的3天恰好为连续3天的概率是 结果用最简分数表示 解析 3 10 81 15 P C 11 已知互异的复数 a b满足0ab 集合 22 a bab 则ab 解析 第一种情况 22 aa bb 0ab 1ab 与已知条件矛盾 不符 第二种情况 22 ab ba 43 1aaa 2 10aa 即1ab 12 设常数a使方程sin3cosxxa 在闭区间 0 2 上恰有三个解 123 xxx 则 123 xxx 解析 化简得2sin 3 xa 根据下图 当且仅当3a 时 恰有三个交点 即 123 7 02 33 xxx 整理人整理人 谭峰谭峰 P2P5 P6 P7 P8 P4 P3 P1 B A 13 某游戏的得分为1 2 3 4 5 随机变量 表示小白玩该游戏的得分 若 4 2E 则小白得5分的概率至少为 解析 设得i分的概率为 i p 12345 23454 2ppppp 且 12345 1ppppp 12345 444444ppppp 与前式相减得 1235 320 2pppp 0 i p 12355 32ppppp 即 5 0 2p 14 已知曲线 2 4C xy 直线 6l x 若对于点 0 A m 存在C上的点P和l 上 的Q使得0APAQ 则m的取值范围为 解析 根据题意 A是PQ中点 即 6 22 PQ P xx x m 20 P x 2 3 m 二 选择题 本大题共有 4 题 满分 20 分 每题有且只有一个正确答案 考生应在答题纸 的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得 5 分 否则一律得零分 15 设 a b R 则 4ab 是 2a 且2b 的 A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 解析 B 16 如图 四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱 AB 是一条侧棱 1 2 8 i P i 是上底面上其余的 八个点 则 1 2 8 i AB AP i 的不同值的个 数为 A 1 B 2 C 4 D 8 解析 根据向量数量积的几何意义 i AB AP 等于AB 乘以 i AP 在AB 方向上的投影 而 i AP 在AB 方向上的投影是定值 AB 也是定值 i AB AP 为定值1 选 A 17 已知 111 P ab与 222 P ab是直线1ykx k为常数 上两个不同的点 则关于x 和 整理人整理人 谭峰谭峰 y的方程组 11 22 1 1 a xb y a xb y 的解的情况是 A 无论 12 k P P如何 总是无解 B 无论 12 k P P如何 总有唯一解 C 存在 12 k P P 使之恰有两解 D 存在 12 k P P 使之有无穷多解 解析 由已知条件 11 1bka 22 1bka 11 1 22 1 22 ab Da ba b ab 122112 1 1 0a kaa kaaa 有唯一解 选 B 18 设 2 0 1 0 xax f x xax x 若 0 f是 f x的最小值 则a的取值范围为 A 1 2 B 1 0 C 1 2 D 0 2 解析 先分析0 x 的情况 是一个对称轴为xa 的二次函数 当0a 时 min 0 f xf af 不符合题意 排除 AB 选项 当0a 时 根据图像 min 0 f xf 即0a 符合题意 排除 C 选项 选 D 三 解答题 本大题共有 5 题 满分 74 分 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤 19 本题满分 12 分 底面边长为2的正三棱锥 P ABC 其表面展开图是 三角形 123 PP P 如图 求 123 PP P 的各边长及此三棱锥的 体积V 解析 根据题意可得 12 P B P共线 112 ABPBAPCBP 60ABC 112 60ABPBAPCBP 1 60P 同理 23 60PP 123 PP P是等边三角形 PABC 是正四面体 所以 123 PP P边长为 4 3 22 2 123 VAB 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 B AC P3 P1P2 整理人整理人 谭峰谭峰 A C B D 设常数0a 函数 2 2 x x a f x a 1 若4a 求函数 yf x 的反函数 1 yfx 2 根据a的不同取值 讨论函数 yf x 的奇偶性 并说明理由 解析 1 4a 24 24 x x f xy 44 2 1 x y y 2 44 log 1 y x y 1 2 44 log 1 x yfx x 1 1 x 2 若 f x为偶函数 则 f xfx 22 22 xx xx aa aa 整理得 22 0 xx a 0a 此时为偶函数 若 f x为奇函数 则 f xfx 22 22 xx xx aa aa 整理得 2 10a 0a 1a 此时为奇函数 当 0 1 1 a 时 此时 f x既非奇函数也非偶函数 21 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 如图 某公司要在A B 两地连线上的定点 C处建造广告牌CD 其中D为顶端 AC长35 米 CB长80米 设点A B 在同一水平面上 从A和B看D的仰角分别为 和 1 设 计 中CD是 铅 垂 方 向 若 要 求 2 问CD的长至多为多少 结果精确到0 01米 2 施工完成后 CD与铅垂方向有偏差 现在实测得38 12 18 45 求CD 的长 结果精确到0 01米 解析 1 设CD的长为x米 则tan tan 3580 xx 20 2 tantan2 2 2tan tan 1tan 22 2 160 80 356400 1 6400 x xx xx 解得020 228 28x CD的长至多为28 28米 2 设 DBa DAb DCm 180123 43ADB 整理人整理人 谭峰谭峰 则 sinsin aAB ADB 解得 115sin38 12 85 06 sin123 43 a 22 80160 cos18 4526 93maa CD的长为26 93米 22 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小 题满分 8 分 在平面直角坐标系xOy中 对于直线 0l axbyc 和点 111222 P xyP xy 记 1122 axbyc axbyc 若0 则称点 12 PP被直线l分割 若曲线C与直 线l没有公共点 且曲线C上存在点 12 PP被直线l分割 则称直线l为曲线C的一条分割 线 1 求证 点 1 2 1 0 AB 被直线10 xy 分割 2 若直线ykx 是曲线 22 41xy 的分割线 求实数k的取值范围 3 动点M到点 0 2 Q的距离与到y轴的距离之积为1 设点M的轨迹为曲线E 求证 通过原点的直线中 有且仅有一条直线是E的分割线 解析 1 将 1 2 1 0 AB 分别代入1xy 得 12 1 1 1 40 点 1 2 1 0 AB 被直线10 xy 分割 2 联立 22 41xy ykx 得 22 1 4 1kx 依题意 方程无解 2 1 40k 1 2 k 或 1 2 k 3 设 M x y 则 22 2 1xyx 曲线E的方程为 222 2 1xyx 当斜率不存在时 直线0 x 显然与方程 联立无解 又 12 1 2 1 2 PP 为E上两点 且代入0 x 有10 0 x 是一条分割线 当斜率存在时 设直线为ykx 代入方程得 2432 1 4410kxkxx 令 2432 1 441f xkxkxx 则 0 1f 22 1 1 43 2 fkkk 22 1 143 2 fkkk 当2k 时 1 0f 0 1 0ff 即 0f x 在 0 1 之间存在实根 ykx 与曲线E有公共点 当2k 时 0 1 0ff 即 0f x 在 1 0 之间存在实根 整理人整理人 谭峰谭峰 ykx 与曲线E有公共点 直线ykx 与曲线E始终有公共点 不是分割线 综上 所有通过原点的直线中 有且仅有一条直线0 x 是E的分割线 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 7 分 第 3 小 题满分 8 分 已知数列 n a满足 1 1 3 3 nnn aaa n N 1 1a 1 若 234 2 9aax a 求x的取值范围 2 设 n a是公比为q的等比数列 12nn Saaa 若 1 1 3 3 nnn SSS n N 求q的取值范围 3 若 12 k aaa 成等差数列 且 12 1000 k aaa 求正整数k的最大值 以及 k取最大值时相应数列 12 k aaa 的公差 解析 1 依题意 232 1 3 3 aaa 2 6 3 x 又 343 1 3 3 aaa 327x 综上可得36x 2 由已知得 1n n aq 又 121 1 3 3 aaa 1 3 3 q 当1q 时 n Sn 1 1 3 3 nnn SSS 即13 3 n nn 成立 当13q 时 1 1 n n q S q 1 1 3 3 nnn SSS 即 1 1111 3 3111 nnn qqq qqq 1 11 3 31 n n q q 此不等式即 1 1 320 320 nn nn qq qq 1q 1 32 31 2220 nnnn qqqqq 对于不等式 1 320 nn qq 令1n 得 2 320qq 解得12q 又当12q 时 30q 1 32 3 2 3 2 1 2 0 nnn qqqqq qqq 成立 12q 整理人整理人 谭峰谭峰 当 1 1 3 q 时 1 1 n n q S q 1 1 3 3 nnn SSS 即 1 1111 3 3 111 nnn qqq qqq 即 1 1 320 320 nn nn qq qq 310 30qq 1 32 31 2220 nnnn qqqqq 1 32 3 2 3 2 1 2 0 nnn qqqqq qqq 1 1 3 q 时 不等式恒成立 综上 q的