（浙江通用）高考数学一轮复习 第九章 导数及其应用 9.2 导数的应用 课时3 导数与函数的综合问题.doc

课时3导数与函数的综合问题题型一用导数解决与不等式有关的问题命题点1解不等式例1设f(x)是定义在r上的奇函数，且f(2)0，当x0时，有0的解集是()a.(2,0)(2，)b.(2,0)(0,2)c.(，2)(2，)d.(，2)(0,2)答案d解析x0时0，(x)为减函数，又(2)0，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数.故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2).命题点2证明不等式例2证明：当x0,1时，xsin xx.证明记f(x)sin xx，则f(x)cos x.当x(0，)时，f(x)0，f(x)在0，上是增函数；当x(，1)时，f(x)0，所以当x0,1时，f(x)0，即sin xx.记h(x)sin xx，则当x(0,1)时，h(x)cos x10，所以h(x)在0,1上是减函数，则h(x)h(0)0，即sin xx.综上，xsin xx，x0,1.命题点3不等式恒成立问题例3已知函数f(x)ln x.若f(x)x2在(1，)上恒成立，求a的取值范围.解f(x)x2，ln x0，axln xx3，令g(x)xln xx3，则h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x，当x(1，)时，h(x)0，h(x)在(1，)上是减函数，h(x)h(1)20，即g(x)0.g(x)在(1，)上也是减函数，g(x)g(1)1，当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立.思维升华(1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式；(2)证明不等式f(x)g(x)，可构造函数f(x)f(x)g(x)，利用导数求f(x)的值域，得到f(x)0，得x2；由f(x)0，得0x2.所以f(x)的单调递增区间为(，0)，(2，)，单调递减区间为(0,2).(2)依题意，对任意x1,3，ax33x23ax26x0恒成立，等价于不等式a对x1,3恒成立.令h(x)，x1,3，则h(x)0，所以h(x)在区间1,3上是减函数，所以h(x)的最小值为h(3).所以a，即实数a的取值范围为.题型二利用导数解决函数零点问题例4(2014课标全国)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x).h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)没有实根.综上，g(x)0在r有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.思维升华研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.已知函数f(x)x2xsin xcos x的图象与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围.解f(x)x(2cos x)，令f(x)0，得x0.当x0时，f(x)0，f(x)在(0，)上递增.当x0时，f(x)1时，曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点.综上可知，b的取值范围是(1，).题型三导数与数列的综合问题例5设fn(x)xx2xn1，x0，nn，n2.(1)求fn(2)；(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0ann.(1)解方法一由题设fn(x)12xnxn1，所以fn(2)122(n1)2n2n2n1，则2fn(2)2222(n1)2n1n2n，得，fn(2)12222n1n2nn2n(1n)2n1，所以fn(2)(n1)2n1.方法二当x1时，fn(x)1，则fn(x)，可得fn(2)(n1)2n1.(2)证明因为fn(0)10，fn112n1220，n2，所以fn(x)在内至少存在一个零点，又fn(x)12xnxn10，所以fn(x)在内单调递增，因此fn(x)在内有且仅有一个零点an，由于fn(x)1，所以0fn(an)1，由此可得ana，故an，所以0anan1n.思维升华对于和数列有关的函数与导数问题，在解决的过程中一般要构造合适的函数，利用函数的单调性并结合数列的有关知识解决，解题中往往要用到不等式的放缩.已知函数f(x)|xa|ln x(a0).(1)若a1，求f(x)的单调区间及f(x)的最小值；(2)试比较与的大小 (nn*且n2)，并证明你的结论.解(1)a1，f(x)|x1|ln x，当x1时，f(x)x1ln x，f(x)10.f(x)在区间1，)上是递增的.当0x1时，f(x)1xln x，f(x)11时，有x1ln x0，即1，n1n1n1n1.故0得x，又x0,2，所以g(x)在区间0，上单调递减，在区间，2上单调递增，所以g(x)ming()，g(x)maxg(2)1.5分故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minm，则满足条件的最大整数m4.7分(2)对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间，2上，函数f(x)ming(x)max.8分由(1)可知在区间，2上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间，2上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立.11分设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知h(x)在区间，2上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x0.14分即函数h(x)xx2ln x在区间(，1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即实数a的取值范围是1，).15分温馨提醒(1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化.(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的值域问题.方法与技巧1.用导数方法证明不等式f(x)g(x)时，找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口.2.在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用.3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.失误与防范1.利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“af(x)恒成立”，要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到.2.利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义.a组专项基础训练(时间：30分钟)1.已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()a.(，0 b.(，1c.2,1 d.2,0答案d解析|f(x)|ax成立.由(1)得x(x2)ax在区间(，0上恒成立.当x0时，ar；当x0)，则h(x)a(x0)，可知h(x)为减函数.当a0时，h(x)0，故h(x)为增函数，所以h(x)h(0)0恒成立；当a1时，因为(0,1)，所以h(x)a0，故h(x)为减函数，所以h(x)h(0)0恒成立，显然不符合题意；当0a0，满足h(x0)ln(x01)ax00成立.如a时，取x04，则h(x0)ln 520成立，可知0a0，若af，b2f(2)，cf，则a，b，c的大小关系正确的是()a.abc b.bcac.acb d.ca0时，h(x)f(x)xf(x)0，此时函数h(x)单调递增.afh，b2f(2)2f(2)h(2)，cfhh(ln 2)h(ln 2)，又ln 22，acb，故选c.3.已知f(x)是定义域为r的奇函数，f(4)1，f(x)的导函数f(x)的图象如图所示.若两正数a，b满足f(a2b)1，则的取值范围是()a. b.c.(1,0) d.(，1)答案b解析f(x)是定义域为r的奇函数，f(4)1，f(4)f(4)，f(4)1，f(a2b)f(4)，又由f(x)0，得f(x)为增函数，a2b4，而a，b为正数，a2b4所表示的区域为如图所示的直角三角形aob(不包括边界)，其中a(0,4)，b(2,0)，可看成是直线pm的斜率，其中p(2，2)，m(b，a)在直角三角形aob的内部(不包括边界)，kpbkpmkpa，而kpa3，kpb，kpm0得x2，由f(x)0得1x0，对于任意实数x，有f(x)0，则的最小值为_.答案2解析f(x)2axb，f(0)b0.由题意知，ac，c0，2，当且仅当ac时“”成立.7.设函数f(x)是定义在(，0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且有2f(x)xf(x)x2，则不等式(x2 014)2f(x2 014)4f(2)0的解集为_.答案(，2 016)解析由2f(x)xf(x)x2，x0得2xf(x)x2f(x)x3，所以x2f(x)x30.令f(x)x2f(x)(x0)，则f(x)0(x0，即为f(x2 014)f(2)0，即f(x2 014)f(2)，又因为f(x)在(，0)上是减函数，所以x2 0142，所以x0恒成立.若x0，a为任意实数，f(x)exax0恒成立.若x0，f(x)exax0恒成立，即当x0时，a恒成立.设q(x).q(x).当x(0,1)时，q(x)0，则q(x)在(0,1)上单调递增，当x(1，)时，q(x)0恒成立，a的取值范围为(e，).9.设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xr.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xr，知f(x)ex2，xr.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)22ln 22a故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.(2)证明设g(x)exx22ax1，xr，于是g(x)ex2x2a，xr.由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xr，都有g(x)0，所以g(x)在r内单调递增.于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0).而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0.即exx22ax10，故当aln 21且x0时，exx22ax1.10.已知函数f(x)ax22xln x.(1)若f(x)无极值点，但其导函数f(x)有零点，求a的值；(2)若f(x)有两个极值点，求a的取值范围，并证明f(x)的极小值小于.解由题意可知，x0，f(x)2ax2.(1)f(x)有零点而f(x)无极值点，表明该零点左右f(x)同号，故a0，且方程2ax22x10有两个相等的实根.由此可得a.(2)由题意，2ax22x10有两不同的正根，故0，a0.解得0a，设2ax22x10的两根为x1，x2，不妨设0x10，而在区间(x1，x2)上，f(x)0，故x2是f(x)的极小值点.又f(x)在区间(x1，x2)上是减函数，如能证明f，则更有f(x2)1.利用导数容易证明当t1时，g(t)单调递减，而g(1)0，因此g(t)0，则a的取值范围是_.答案(，2)解析a0时，不符合题意，a0时，f(x)3ax26x，令f(x)0，得x0或x，若a0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意.则a0知，此时必有0f1，即0a314，又a0，所以a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立.解(1)因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，所以f(x)2xa.由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，).(2)由题意得f(1)a1e1，即ae.由(1)知