（衡水万卷）高考数学二轮复习 四 立体几何周测 理.doc

衡水万卷周测（四）理科数学立体几何考试时间：120分钟姓名：_班级：_考号：_题号一二三总分得分一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）（2015浙江高考真题）如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ）a. b. c. d. 如图正方体的棱长为1，线段上有两个动点.，且,则下列结论中错误的是( ). a. b.平面c.三棱锥的体积为定值d.异面直线所成的角为一定值长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，对角线长为，则这个长方体的体积为（ ）a.6b.12c.24d.48已知球的直径，a,b是该球面上的两点，,，则棱锥的体积为( )a. b. c. d.已知三棱锥s-abc的底面abc为正三角形，点a在侧面sbc上的射影h是三角形sbc的垂心，二面角h-ab-c为30，且sa=2，则此三棱锥的体积为（ ）(a) (b) (c) (d) 向高为水瓶中注水，注满为止.如果注水体积与水深的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的( ) 如图，正方体的棱长为，以顶点a为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（ ）a b c d 在右图四面体中，则二面角的大小为（ ） a. b. c. d.已知菱形的边长是1，将这个菱形沿折成的二面角，则两点间的距离是（ ）a. b. c. d.若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )a. b.3 c. d.如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长.则当点运动时， 最小值是（ ）（a） （b） （c） （d）如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内.小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）a. b. c. d. 二 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）表面积为的球面上有四点s、a、b、c，且是等边三角形，球心o到平面abc的距离为，若平面平面,则棱锥体积的最大值为 .已知矩形abcd的顶点都在半径为4的球o的球面上，且,则棱锥的体积为 已知菱形的边长为2，.将三角形沿对角线折到，使得二面角的大小为，则与平面所成角的正弦值是 _ ；四面体的体积为 _ .正四面体abcd的外接球的体积为，则正四面体abcd的体积是_.三 、解答题（本大题共6小题，第1题10分，后5题12分，共70分）四棱锥中，（）求证：；（）求二面角的平面角的余弦值；如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，,为的中点， 平面，为的中点(1)证明 ：平面；(2)证明：平面；(3)求直线与平面所成角的正切值.（2015新课标1高考真题）如图，四边形abcd为菱形，abc=120，e，f是平面abcd同一侧的两点，be平面abcd，df平面abcd，be=2df，aeec。（1）证明：平面aec平面afc（2）求直线ae与直线cf所成角的余弦值在四棱锥中，平面平面，在锐角中，并且，（1）点是上的一点，证明：平面平面；（2）若与平面成角，当面平面时，求点到平面的距离如图在三棱锥中，平面，.分别为.的中点.(1) 求证：平面；(2)在线段上是否存在一点,使得平面平面，若存在，试确定的位置；若不存在。请说明理由.如图，平面，是等腰直角三角形，四边形是直角梯形，分别为的中点。 （1）求证：/平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）能否在上找一点，使得？ 若能，请指出点n的位置，并加以证明； 若不能，请说明理由。衡水万卷周测（四）答案解析一 、选择题b.【解析】试题分析：根据折叠过程可知与的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易得，当且仅当时，等号成立，故选b考点：立体几何中的动态问题d【解析】选项a，动直线be在底面内的射影即为，显然.垂直；选项b，直线和直线重合，显然直线平行于下底面；选项c，显然,若保证ef的长度为定值,则为定值.所以答案为d.dc【解析】由题可知一定在直径垂直的小圆面上，作过的小圆交直径于d，如图所示，设，则，此时所求的棱锥即分割成两个棱锥和,在和中，由已知条件可得，又因为 sc为直径，所以 所以,所以在中，所以x=4-x,解得，所以,所以为正三角形，所以.bb【解析】本题考查对几何体的体积公式的理解.如果水瓶形状的圆柱，当底面半径r不变时，v是h的正比例函数，其图像应该是过原点的直线，与已知图像不符.由图知函数图像的切线斜率大于0，且随着高度h的增加，切线斜率逐渐变小，可以看出，随着高度h的增加v也增加，但随着h的变大，体积v在单位高度的增加是变小，图像上升趋势变缓，所以瓶子平行于底的截面的半径由底到顶逐渐变小.abccb解析：点到平面距离就是点到直线的距离，所以点到点的距离等于点到直线的距离，因此点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，在面中作于，连接，在中，而，要想最小，只要最小即可，由题意易求得，所以最小值为22，故选b.【思路点拨】注意到点到点的距离等于点到直线的距离，即点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，在中，而，要想最小，只要最小即可.d二 、填空题【答案】27解析：由题意画出几何体的图形如图：因为球的表面积为，所以球半径为，由于面sab面abc，所以点s在平面abc上的射影d落在ab上，由于oo平面abc，sd平面abc，即有oosd，当d为ab的中点时，sd最大，棱锥s-abc的体积最大由于则，则abc是边长为6的正三角形，则的面积为：.在直角梯形sdoo中，作于点e，,即有三棱锥s-abc体积,故答案为27.【思路点拨】由于面sab面abc，所以点s在平面abc上的射影d落在ab上，d为ab中点时，sd最大，棱锥s-abc的体积最大运用线面垂直的性质，结合勾股定理，即可求得cd，ab，及sd，由三棱锥的体积公式即可得到最大值【解析】设矩形对角线，交与点则，因此因此【答案】：【答案】 解析：设正四面体的棱长为x，则底面三角形的高为，即有，棱锥的高为，由于外接球的体积为，在直角三角形得，则正四面体的体积为所以答案为【思路点拨】由几何体的体积公式可求出其体积.三 、解答题（）证明：，底面，又acb=90所以，而，所以；（），为正三角形以a为原点，cd边的中线所在直线为轴，直线ab为y轴，ap为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，由（1）取面pac的法向量，由于，知面，故可设面pcd的法向量，则，即，所以，二面角的平面角的余弦值为.解：（1）连接，在平行四边形中，因为o为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为，且，所以，即.又平面，所以.而，所以平面.（3）取do的中点n，连接mn，an.因为m为pd的中点所以.且.由平面，得平面，所以是直线与平面所成的角.在中，所以.从而.在中，即直线与平面所成角的正切值为.【答案】（）见解析（）解：（1）证明：连接bd，设,连接在菱形abcd中，不妨设gb=1.由,可得,由平面abcd,ab=bc,可知ae=ec.又,所以,且.在中，可得,故.在中，可得.在直角梯形bdfe中，由bd=2，,可得.，egfg，acfg=g，eg平面afc，eg面aec，平面afc平面aec. 6分（）如图，以g为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系g-xyz，由（）可得a（0，0），e(1,0, )，f（1,0，），c（0，0），=（1，），=（-1，-，）.10分故.所以直线ae与cf所成的角的余弦值为. 12分考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力解法一（1）因为，由勾股定理得，因为平面平面，平面平面=，面，所以平面面，所以平面平面 6分（2）如图，因为平面，所以平面平面，所以，做于，所以面，设面面=，面平面所以面面，所以，取中点，得为平行四边形，由平面边长得为中点，所以 12分解法二（1）同一（2）在平面过做垂线为轴，由（1），以为原点，为轴建立空间直角坐标系,设平面法向量为，设，锐角所以，由，解得，解得或（舍）设，解得因为面平面，所以面法向量为，所以，解得，所以到平面的距离为竖坐标 12分解:（1）因为平面,所以.即与为直角三角形.又因为,所以.由,可知 为直角三角形.所以,又因为 所以平面（2）在线段上存在一点，使得平面平面，此时为线段的中点，连接因为.分别为.的中点，所以,又平面所以de平面aoc因为.分别为.的中点，所以.又平面，所以平面，又平面, 平面所以平面平面.（i）证明：取ac中点f，连结of、fb of/db，of=db四边形bdof是平行四边od/fb 又平面，od平面abcod/平面abc。（ii）db面abc，又，面abde，面abc，bd/ae，ea面abc 如图，以c为原点，分别以ca、cb为x、y轴，以过点c且与平面abc垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系ac=bc=4， c（0，0，0），a（4，0，0），b（0，4，0），d（0，4，2），e（4，0，4） ，设面odm的法向量，则由，可得 令x=2， 得：，设直线cd和平面odm所成角为。 则： 直线cd和平面odm所成角正弦值为 （iii）方法一：当n是em中点时，on平面abde。证明：取em中点n，连结on、cm，ac=bc，m为ab中点，cmab，又面abde面abc，面abde面abc=ab，cm面abc，cmab，n是em中点，o为ce中点，on/cm，on平面abde。方法二 当n是em中点时，on平面abde。dbba，又面abde面a